基于啮合特性的人字齿轮动力学建模与分析

第４３卷第８删２０１２年８月中南大学学报（自然科学版１ＪｏｕｒｎａＩｏｆＣｅⅡｔｒａｌＳｏｕｔｈＵｎｉｖｅｒｓ姆（ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ）、白Ｉ４３Ｎｏ８Ａｕｇ２０１２基于啮合特性的人字齿轮动力学建模与分析王成，高常青，崔焕勇（济南大学机械工程学院，山东济南，２５００２２）摘要：利用人字齿轮啮合特性的分析结果，准确计算人字齿轮轮齿时变啮合刚度激励和误差激励。

根据齿轮啮合冲击模型，计算人字齿轮啮入冲击激励。

裉据人字齿轮的均载传动特性。

综合考虑｝二述３种激励，利用集中参数理论建立人字齿轮１２自由度弯曲一扭转一轴向变形耦合的三维空间动力学模型。

应用牛顿第二定律，建立系统的振动方程，对方程进行消除刚体位移和量纲归一化处理。

采用变步长四阶龙格一库塔法（ＲｕｎＥｅ—Ｋｕｎａ）求解，得到系统的振动响应和动态特性。

结果表明：人字齿轮动力学模型的建立、求解和分析为其动态设计奠定了基础。

关键词：人字齿轮；动态激励；动力学分析；轴向振动中图分类号；ＴＨｌ３２文献标志码：Ａ文章编号：１６７２—７２０７（２０１２）０８３０１９～０６Ｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓｂａｓｅｄｏｎｍｅｓｈｉｎｇｃｈａｒａｃｔｅｒｓ：ＷＡＮＧＣｈｅｎｇ，ＧＡＯＣｈａｎｇ—ｑｉｎｇ，ＣＵＩＨｕａｎ—ｙｏｎｇ（ｓｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｌｃａｌＥｎｇｍｅｅ曲ｇ，ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＪｍａｎ，ＪｌｎａＩｌ２５００２２，ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｔｉ航ｅｓｓｅｘｃｉｔａｎｏｎａｎｄｅｒｒｏｒｅｘｃｌｔａｔｉｏｎｗｅｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｖｍｅｒｃｓｕｌｔｓｏｆｍｅｓｍｎｇｃｏｎｔａｃｔａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓＴｈｅｃｏｍｅｒｔｎｌｐａｃｔｅｘｃｌｃａｔｌＯｎｗａｓｏｂｔａｌｎｅｄｂｙｍｅｍｏｄｅｌｏｆｌｍｐａｃｔＡｃｃｏｒｄｉ“ｇｔ０ｍｅｓｈｍｇｃｈａｒａｃ蛔证１ｃｓｏｆ１０ａｄｓｈａ舢ｇｆｏｒｄｏｕｂｌｅｈｅｌｌｃａｌｇｅａｒｓ，ｔｈｅｔｈｒｅｅ—ｄｌｍｅｎｓｌｏｎａＩｔ、ｖｅｌｖｅ—ｄ８９ｒｅｅｄｙｎａｍｌｃａ】ｍｏｄｅ】０ｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｈｅｌｌｃａＩｇｅ嬲ｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｃｅｎ仃ａｔｅｄｐａｒａｍｅｔｅＬＴｈｅｉｎｔｅｍａｌｄｙｎａｍｉｃｅｘｃＩｔａｔｌｏｎｓｐｒｏｄｕｃｅｄｂｙｓｔｉ胁ｅｓｓｅｘｃｌｔ撕ｏｎ，ｅ玎ｏｒｅｘｃｌＩａｔｉｏｎａｎｄｃｏｍｅｒｉｍｐａｃｔｅｘｃｉＩａｌｌｏｎｗｅｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｌｓｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｄｙｌｌ锄ｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈ培ｓｙｓｔｅｍｗｅｒｃｅｓｔａｂＩｉｓｈｅｄｂｙｔｈｅＮｅ、吼ｏｎｓｅｃｏｎｄｉａ砒ａｎｄ出ｅｉｄｅｎｔｊｃａｌｄｔｍｅｎｓｉｏｎｉｅｓｓｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｅｒｅｄｅｄｕｃｅｄｂｙｔｈｅｍｅ血ｏｄ０ｆｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇｒｅｌａｔｉｖｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔａ１１ｄｉｄｅｍｉｃａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓＴｈｅｙｗｅｒｅｓＯｌｖｅｄｂｙｍｅｍｅｔｈＯｄＯｆｆｏｕ曲一ｏｒｄｅｒＲｕｎｇｅ—Ｋｕｎａａｌｇｏｒｉｍｍｗ汕ｖａｒｌａｂｌｅｓｔｃｐｌｅｎｇｔｈｓａｎｄｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｌ０ＴｓｏｆｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓｗｅｒｅｓｔＩｌｄｌｅｄＴｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｌｌ“ｔｈｅｂｕｌｌｄｉｌｌ＆ｓｏｌｖｍｇａｎｄａｎａｌｙｚｌｎｇｉｓｔｈｅｂａｓｌｓｏｆｔｈｅｄｙｎａｍｌｃｄｅｓｌｇｎｏｆｄ叫ｂＩｅｈｅＩｉｃａｌｇｅａｒｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓ，ｄｙｎａｍｉｃｅｘｃｌ诅ｔｌｏｎ；ｄｙＴ】ａｍｌｃｓａｎａ】ｙｓｉｓ；ａｘｉａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ与斜齿轮相比，人字齿轮传动具有轴承负荷小等优点川，被大量使用在舰船等大功率动力驱动系统中。

船舶噪声的来源之一是齿轮箱的噪声，而齿轮箱的噪声主要是由齿轮相互啮合产生的。

因此，人字齿轮的设计成为船舶降噪的关键技术之一。

而建立人字齿轮动力学模型，计算激励下的动态响应是人字齿轮动态设计的前提条件。

对于齿轮系统振动特性的研究一直为国内、外学者所关注，并获得了大量的成果口。

５］，但就人字齿轮动力学而言还缺乏深入的研究。

吴新跃等”旧然建立了人字齿轮动力学模型，但所建模型未全面考虑左右端斜齿轮副之间的相互影响，且没有考虑啮合冲击激励。

舰船传动装置中的人字齿轮处于高收稿日期：２叭Ｉｑ９－２１；修回日期：２０ｌｌ—１２３０基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０９０５０７４）：山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项日（Ｂｓ２叭ｌｚｚ００２）：济南大学科研基金资助项目（ｘＫＹＩＯｌ２）；济南丈学博士基金资助项目（ｘＤｓｌ０２２）通信作者：王成（１９７７），男，山东莱州人，博士，讲师，从事机械传动等方而的研究；电话：０５３ｌ甚２７６５９２５；Ｅ－ｍｌｌ：ｍｅ＿ｗａ“ｇｃ＠山ｎｅｄｕ＿ｃｎ万方数据中崮大学学报ｆ凸然车＝｝学舨１第４３卷速重载的传动状态，其啮合受到加工和安装误差的影响。

借助轮齿接触分析技术（ＴｃＡ）和承载接触分析技术（ＬＴｃＡ）可准确获得人亨齿轮在拟真实工况条件Ｆ的啮合特性。

而利用啮合接触分析的结果，可准确计算得到内部激励。

因此，本文作者利用人字齿轮啮合特性的研究结果＂】，建立人字齿轮１２自由度弯曲一扭转一轴向变形耦合的三维空伺动力学模型，并对系统的振动响应进行了求解与分析。

１人宇齿轮系统内部激励的计算齿轮系统的振动噪声根源于齿轮系统的动态激励，这里仅研究人字齿轮啮合时的内部激励，包括时变刚度激励、制造安装误差和轴向位移引起的误差激廊以及啮入冲击激励。

利用人字齿轮副啮合接触分析的结果，可准确进行内部激励的计算，其计算流程见图ｌ。

相关齿轮几何接触分析和承载接触分析以及人字齿轮副啮合接触分析见文献ｆ７—１０１。

人字齿轮副几何接触分析ＴｃＡｇ下一步人字齿轮副ＬＴｃＡ提供精确的齿面几何分析数据）囊毒值牵ｌ建裒Ａ字齿轮动力学模型｛图１内部激励计算流程图Ｆｉ晷１ＦＩｏｗｄ１３９ｒａｍｆｏｒｃａｌｃｕｌａｔｌｏｎｏｆｉｎｔｅｍａｌｅｘｃｌｔａｔｌｏｎ１．１人字齿轮时变刚度激励的计算时变刚度激励源于齿轮嘀合过程中啮合齿对数的变化导致轮齿啮合综合刚度的时变性而产生的动态激励㈣。

利用人字齿轮副承载接触分析得到不同啮合位置的接触力和接触变形，从而得到该位置的啮合刚度，将啮合刚度的离散值通过多项式拟合和Ｆ０ｕ啦ｒ级数变换展开成周期函数。

图２所示为某人字齿轮副１个啮合周期内的啮合综合刚度曲线图“表示同时参与啮合的齿对数：横坐标为小轮转角，可根据小轮实际转速转化为相应的啮合时问）。

存轮齿啮合过程中，若某啮合位嚣有多对齿同时啮合，那么该啮合位置的轮齿啮合综合刚度是由在该位置同时参与啮合的单对轮齿啮合刚度叠加而成。

凶此，通过反变换，求Ｈｊ的甲对轮齿从啮入到啮出的刚度曲线见图３。

，｝Ｚ皂划甚也留小轮转角，ｒａｄ图２人字齿轮啮合综合刚度曲线Ｆｊ窖．２Ｍｅ曲１ｎｇ８ｙｎｔｈｅｌｊｃ时１ＨｎｅｓｓｃｕⅣｅｏｆｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓ小轮转角／ｒａｄ图３单对轮齿啮合刚度曲线Ｆｉｇ．３Ｍｅｓｈｉｎｇｓｔ垧ｈｅｓｓｃｕｒｖｅＯｆｓｌｎｇｌｅ＿ｐａ打ｔｅｅｔｈ１．２人宇齿轮误差激励的计算轮齿啮合误差是由轮齿制造安装误差引起的实际齿廓与理论齿廓的偏移，目前研究中一般仅考虑齿形误差和基节误差，根据齿轮加工精度等级通过查齿轮手册然后合成系统等效误差，最后通过简谐函数来模拟误差¨“。

此外，在低转速下由于人字齿轮制造安装误差引起的轴向位移也是人字齿轮高速运动时振动的激励源。

因此，根据齿形误差和基节误差，利用人字齿轮副承载接触分析得到低转速下长周期内的轴向位移一经Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开后其周期函数曲线见图４。

万方数据第８期王成，等：基于啮合特性的人字齿轮动力学建模与分析３０２１∈醛世螺暴小轮转角／ｍｄ图４轴向位移曲线Ｆｉｇ．４ＣｕｒｖｅＯｆａｘｌａｌｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ１．３人字齿轮啮合冲击激励的计算啮合冲击主要是由啮入、啮出和节点冲击组成，三者对于齿轮传动性能的影响，节点冲击最小，啮出冲击次之，啮入冲击最大旧。

这里仪计算啮入冲击激励。

文献［１２］给出了线外啮入点到正常啮入点间任意位置冲击力的计算方法。

同样，将得到的啮合点的冲击力通过多项式拟合以及Ｆ０ｕｒｉｅｒ级数变换展开成周期函数。

某转速下一个啮合周期内人字齿轮的啮入冲击力曲线见图５。

小轮转角／ｒａｄ图５人字齿轮副的啮入冲击力曲线Ｆｉｇ．５Ｃｕ“ｅｏｆｃｏｍｅｒｃｏｍａｃｔｉｒｎｐａｃｔｆｏｒｃｅｆｏｒｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓ２人字齿轮三维空间动力学模型的建立人字齿轮为实现均载传动，通常小轮采用轴向浮动安装。

应用集中参数法建立人字齿轮弯一扭一轴耦合的三维空间动力学模型ｆ如图６所示，图中轴的扭转刚度、阻尼与弯曲刚度、阻尼没有画出），忽略接触齿面的摩擦，人字齿轮动力学模型是１２自由度的振动系统，这１２个自由度可表示为：｛ｄ｝＝饥１，白Ｉ，岛ｌ，肋ｌ，昂ｌ，易ｌ，蜘２，毛２，岛２，助，乙２，以２｝１式中：¨．和白．分别为主动轮左端的两斜齿轮中心点Ｑ。

在ｙ向和ｚ向的平移振动位移；岛－为Ｑ・的转角振动位移：炜Ｉ和昂。

分别为从动轮左端的两斜齿轮中心点佛１在ｙ向和ｚ向的平移振动位移；％ｌ为Ｑ】的转角振动位移；乩：和白：分别为主动轮右端的两斜齿轮中心点ｑ２在ｙ向和ｚ向的平移振动位移；％２为ｑ：的转角振动位移；％：和如分别为从动轮右端的两斜齿轮中心点仉２在ｙ向和ｚ向的平移振动位移，岛２为仉：的转角振动位移。

圈６人字齿轮传动的动力学模型Ｆｉｇ．６Ｍｏｄｅｌｏｆｄｙｎａｍｉｃｓａｎａｌｙｓｌｓｆｏｒｄｏｕｂｌｅｈｅｌｉｃａｌｇｅａｒｓ由图６可知：９１，ｐｌ和９２，Ｐ２点的振动位移与主、从动轮广义位移间的关系分别为：｛老：东：乏笔㈣ｆ乙＝ｚ目一歹ｇｔａｎ卢＼ＩＤｊ＝ｚ∞一ｊ∞协ｐ式中，产１，２。

法向阻尼采用如下方法得到ｃ＝２ｆ。

√ｉｉ（３）式中：ｍ为人字齿轮副的等效质量；二为人字齿轮副的相对啮合阻尼系数，这里取￡＝Ｏ．０７０；Ｋ为人字齿轮副的平均啮合刚度。

万方数据３０２２－｝ｌ南大学学报（“然科学版）第４３卷相应的切向和轴向刚度、阻尼和啮合误差的计算请参照文献［１３］。

考虑左右端斜齿轮副之间的相互作用，切向动态啮合力可表示为：‘面＝七蟛［歹ｇ一歹球一Ｐ＂１＋ｃ拶［％一歹甜一呦１＋（一１）舯１［七。

（岛１一只２）＋ｃ。

（辞ｌ一辞２）］（４）轴向动态啮合力可表示为：Ｆ口＝ｋ口Ｕ目一ｊ∞一ｅ≈１＋ｃｑ啦目一ｊｗ—ｉｑｌ＋（一１）。