人教版高中数学课件必修一基本初等函数 对数函数性质的应用(52张)

新课引入 回顾学习过的函数，如一次函数、二次函数、指数函数 等，我们都了解了它们的图象和性质．那么，对于对数函数 上一节课，我们已经从其图象上认识了一些特征，明确了其 过定点(1,0)，当 a>1 时，y＝logax 的图象是上升的，当 0<a<1 时，y＝logax 的图象是下降的．知道了对数函数的定义域，现 在我们重点研究一下对数函数的单调性及其应用，把感性认 识上升为理性认识．
2
)
1 B.2x D．2x
－2
[答案]
A
[解析]
函数 y＝ax(a>0， 且 a≠1)的反函数是 f(x)＝logax，
又 f(2)＝1，即 loga2＝1，所以 a＝2，故 f(x)＝log2x.
思路方法技巧
命题方向 1 对数型复合函数的单调性
[例 1] [分析]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
讨论函数 f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． 观察题中函数，可发现底数是否大于 1 不明确，
自主预习 复合函数 y＝f[g(x)]是由 y＝f(x)与 y＝g(x)复合而成， 若 f(x) 与 g(x)的单调性相同， 则其复合函数 f[g(x)]为 增函数 ； 若 f(x) 与 g(x)的单调性相反，则其复合函数 f[g(x)]为 减函数 ．
对于函数型复合函数 y＝logaf(x)来说，函数 y＝logaf(x)可 看成是 y＝logau 与 u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合 函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合 函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
图象
a>1 定义域 值域 单调性 过定点 (0，＋∞) R 增函数
0<a<1 (0，＋∞) R 减函数
图象过点(1,0)，即 loga1＝0.
函数值 x∈(0,1)⇒y∈ (－∞，0) ； x∈(0,1)⇒y∈ (0，＋∞) ； 特点 x∈[1，＋∞)⇒y∈[0，＋∞) x∈[1，＋∞)⇒y∈(－∞，0]
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时， 若 x>1，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数， 1 若 x<－3，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
规律总结：求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定 义域；(2)拆分函数；(3)分别求 y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4) 按“同增异减”得出复合函数的单调性．
由于习惯上我们常常将 x 看成自变量， 而将 y 看成因变量， 因此，我们将 x＝logay 中的 x，y 互换，写成 y＝logax(x∈(0， ＋∞))， 即对数函数 y＝logax(x∈(0， ＋∞))是指数函数 y＝ax(x ∈R)的反函数(inverse function)．
通过以上所学，完成下列练习． (2009· 广东)若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的 反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝( A．log2x C．log1 x
对于形如 y＝logaf(x)(a>0，且 a≠1)的复合函数，其值域 的求解步骤如下： (1)分解成 y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求 f(x)的定义域； (3)求 u 的取值范围； (4)利用 y＝logau 的单调性求解．
【思维拓展】
(1)若对数函数的底数是含字母的代数式
(或单独一个字母)，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类 讨论． (2) 求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影 响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．
求函数 y＝log0.1(2x2－5x－3)的单调减区间．
[解析]
2
1 依题意，得 2x －5x－3>0.解得 x<－ 或 x>3.令 u 2
2
1 ＝2x －5x－3，函数 u 的递减区间为(－∞，－ )，递增区间为 2 (3，＋∞)，则 y＝log0.1(2x2－5x－3)的递减区间为(3，＋∞).
根据指数与对数的关系， 将指数式 y＝ax(a>0， 且 a≠1)(其 中 x 是自变量，且 x∈R，y 是 x 的函数，y∈(0，＋∞))化在对 数式，即 x＝logay，于是对任意一个 y∈(0，＋∞)，通过式子 x＝logay 都有唯一一个 x∈R 与之对应， 这样将 y 看成自变量， x 是 y 的函数，这时我们就说 x＝logay(y∈(0，＋∞))是函数 y ＝ax(x∈R)的反函数．
又 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是减函数，
2
∴log1 u≥log1 4＝－2，
2 2
∴y＝log1 (3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
2
(2010· 山东高考)函数 f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
命题方向 2 对数型复合函数的值域
[例 2]
求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析]
(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为 R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}． (2)设 u＝3＋2x－x2， 则 u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4.
所以应对底数 a 是否大于 1 进行讨论，然后运用复合法来判 断函数的单调性．
[解析] 1 －3}．
由 3x2－2x－1>0， 得函数的定义域为{x|x>1 或 x<
当 a>1 时， 若 x>1，∵u＝3x2－2x－1 为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数． 1 若 x<－3，∵u＝3x2－2x－1 为减函数，
成才之路· 数学
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2．2 对 数 函 数
第二章
2.2.2 对数函数及其性质
第二章
第 2 课时 对数函数性质的应用
课前自主预习
名师辩误做答 方法警示探究
思路方法技巧
课堂基础巩固
建模应用引路
课后强化作业
课前自主预习
温故知新 回顾对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象与性质填表： a>1 0<a<1