2019-2020年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-精华版
【精选】2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)
2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝，b＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：k＝4，因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△ACB．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y ＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）2122【分析】先利用直角作出BD ，再用勾股定理求出BD ，再用锐角三角函数求出AB ，AD ，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD ⊥l 于点D ，在Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，∴cos C ＝cos α＝，∴CD ＝BC •cos C ＝13×＝5，BD＝＝12， 在Rt △ABD 中，BD ＝12，sin A＝，∴tan A ＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB 和AD ．24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，∠DCE ＝∠B ．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，23∴sin B ＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF ＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；24（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，25∴k＝1，b＝0，故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；26②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t ＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．2728【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，根据三角形的中位线的性质得到EM ∥OC ′，EM＝OC ′，根据相似三角形的性质得到∠AOM ＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C ′D ′∥AB ，∴∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，∵∠ABO ＝∠C ′D ′O ＝60°，∴∠OBD ′+∠BD ′O ＝60°，∴∠BOD ′＝120°，∴∠BOC ′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM ⊥BD ′；故答案为：150，垂直；（2）OM ⊥BD ′，OM＝BD ′，证明：取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，∵AC ′的中点M ，∴EM ∥OC ′，EM ＝OC ′，∴∠OEM +∠AOC ′＝180°，∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′+′AOC ′＝180°，∴∠OEM ＝∠BOD ′，∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝x﹣1上，即可判断出结论；（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．【解答】解：（1）29。
2020.1北京市西城区初三年级第一学期期末-数学试题答案
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：3 tan 30° + 4 cos45° - 2 sin 60°=342 =． ·············································································································· 5分18．解：（1）对称轴是直线 x =2，顶点是（2，-1）．2=43y x x -+的图象，如图．（2）当1＜x ＜3时， y ＜0．······························································································································5分19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD．∵BE=BD，∴∠BED =∠BDE．∴∠AEB =∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴AE BE AD CD=．∵BE =BD =1，CD = 2，∴12 AEAD=．······················································································································5分20．（1）△DEF是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=∠DAB=∠DCB=90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF=∠DAB=90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE=DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF．∴∠ADE =∠CDF．∵∠ADC =∠ADE+∠EDC =90°，∴∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴△DEF是等腰直角三角形．（2）△DEF的面积为8．··························································································5分21．解：（1）6；（2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛．依题意，得(1)362x x-=．解得x1= 9，x2= -8（不合题意，舍去）．所以x = 9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．·························5分22．证明：（1）∵ PB ，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ．∴ PB =PC ，∠BPO =∠CPO ． ∴ PO ⊥BC ，BE =CE ． ∵ OB =OA ， ∴ OE =12AC ． （2）∵ PB 是⊙O 的切线，∴ ∠OBP =90°．由（1）可得 ∠BEO =90°，OE =12AC =3． ∴ ∠OBP = ∠BEO =90°． ∴ tan BE PBBOE OE OB∠==在Rt △BEO 中，OE =3，OB =5， ∴ BE =4． ∴ PB=203． ·················································································· 5分23．（1）解：在Rt △ABC 中，1tan 2α=， BC =3， ∴ AC =6．∴ 点B 的坐标为（6，3）．∵ B （6，3），E （4，4）在抛物线2y ax bx =+上，∴ 22663,44 4.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得 1,42.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ y 关于x 的函数关系式为2124y x x =-+．（2）当x ＝2时，212224y =-⨯+⨯＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．···························································································· 6分24．解：（1）相切．证明：连接BD ，如图．∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°， ∴ BD 是⊙O 的直径，即点O 在BD 上． ∴ ∠BCD = 90°． ∴ ∠CED +∠CDE = 90°． ∵ ∠CED =∠BAC ． 又 ∵∠BAC =∠BDC ，∴ ∠BDC +∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°． ∴ DE ⊥OD 于点D ． ∴ DE 是⊙O 的切线．（2） 如图，BD 与AC 交于点H ．∵ DE ∥AC ，∴ ∠BHC =∠BDE = 90°．∴ BD ⊥AC ． ∴ AH = CH ．∴ BC = AB =4，CD = AD =2． ∵ ∠F AD =∠FCB = 90°，∠F =∠F ， ∴ △F AD ∽△FCB ． ∴AD AFCB CF=． ∴ CF =2AF ．设 AF = x ，则DF = CF -CD=2x -2． 在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+， ∴ 222(22)2x x -=+．解得 183x =，20x =（舍去）． ∴ 83AF =． ····································································· 6分25．解：（1）① 2y ax b x c =++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）． （2）图象如图1所示．图1 图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．···························································································· 6分26．解：（1）∵ 抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m - 2与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上，∴ 点B 的坐标为（0，2）． ∴ -2m - 2= 2． ∴ m = -2．∴ 抛物线的表达式为 y = x 2 + 4 x + 2． ∵ A ，B 两点关于直线x = -2对称， ∴ 点A 的坐标为（-4，2）．（2）① y = x 2 + 4 x + 2的图象，如图1所示． G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．② 对于任意的实数m ，抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m – 2与直线y = - x -2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C ．当m ≤-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.图1∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．··························································································6分27．解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴PQ =PC．∴BN =PC．∴△ABN≌△ACP．∴∠BAN =∠CAP，AN=AP．∴∠NAP =∠BAC = 60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN=AP．又MP=PN，∴MP=12 AP． ·······························································7分28．解：（1）①2．②BC关于△ABC的内半圆，如图1，BC关于△ABC的内半圆半径为1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线=y x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图2．∴当34≤R≤1时，t的取值范围是32≤t≤3．12图2 图3ii ）当点P 在OF 的延长线上运动时，OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点E 且与OP 相切的半圆，如图3． ∴ 当 R =1 时，t 的取值范围是 t ≥3．iii)当点P 在OF 的反向延长上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点O 且与EP 相切的半圆，如图4.∴ 当34≤R ＜1时，t 的取值范围是t ≤95+-．图4综上，点P 在直线y x 上运动时（P 不与O 重合），当34≤R ≤1时，t 的取值范围是 t ≤95+-或t ≥ 32． ································································································ 7分。
【推荐】2019-2020年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)-优质版
北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP?AC D．8．如图，抛物线y＝a2+b+3（a≠0）的对称轴为直线＝1，如果关于的方程a2+b﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝2+3与y轴的交点坐标为．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝．11．如图，在平面直角坐标系Oy中，第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．如图，直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，的取值范围是．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝a2+b+c（a≠0）与y轴交于点C，与轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系Oy中，抛物线C1：y＝﹣2+2．（1）补全表格：抛物线顶点坐标与轴交点坐标与y轴交点坐标y＝﹣2+2（1，1）（0，0）（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）00.51 1.52…h（m）08.751518.7520…（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y＝（≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝2﹣2a+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y ＝2﹣2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝+b（，b为常数，≠0）中，＝，b＝．26．在平面直角坐标系Oy中，抛物线M：y＝a2+b+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（为常数，≠0）的图象是双曲线，图象上的点（，y）的横纵坐标的积是定值，即y＝；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（﹣h）2+，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，），对称轴是＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（﹣h）2+，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随的增大而减小，在对称轴的右侧，y随的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随的增大而增大，在对称轴的右侧，y随的增大而减小，顶点坐标是（h，），对称轴是＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD ＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程2+4﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，∴方程2+4﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP?AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP?AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝a2+b+3（a≠0）的对称轴为直线＝1，如果关于的方程a2+b﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于的方程a2+b﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为＝1，∴抛物线与轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当＝0时，y＝3，则抛物线y＝2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝ 4 ．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系Oy中，第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于 4 ．【分析】根据点A的坐标可得出的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：＝4，因为第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出的值．12．如图，直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，的取值范围是﹣1＜＜2 ．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B （2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜＜2，故答案为：﹣1＜＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于 2 ．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE?cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝a2+b+c（a≠0）与y轴交于点C，与轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝a2+b+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为 1 ．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4，OM＝3，在Rt△OMA中，（4）2+（3）2＝32，解得＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC?AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．19．在平面直角坐标系Oy中，抛物线C1：y＝﹣2+2．（1）补全表格：抛物线顶点坐标与轴交点坐标与y轴交点坐标y＝﹣2+2（1，1）（0，0）（2，0）（0，0）（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C2，并直接回答：抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣2+2与轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC的度数为45 °；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC ＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE ＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）00.51 1.52…h（m）08.751518.7520…（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y＝（≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝+1，y＝﹣+3，求得直线PA，PB与轴的交点坐标分别为M （﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y＝（≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝+1，y＝﹣+3，∴直线PA，PB与轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC?cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD 上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2，则BC＝3，根据勾股定理得，AB＝，∴sin B＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF＝，在Rt△BOF中，BF＝＝，∴BC＝BF+CF＝+＝3，∴＝8，∴OB＝＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝2﹣2a+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y ＝2﹣2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝2﹣2a+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝+b（，b为常数，≠0）中，＝ 1 ，b＝0 ．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝2﹣6+3﹣1＝2﹣6+2＝（﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝2﹣2a+a﹣1＝（﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝2﹣2a+a2+a，∵y＝2﹣2a+a2+a＝（﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝，∴＝1，b＝0，故答案为：y＝2﹣2a+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系Oy中，抛物线M：y＝a2+b+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝a2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣2+1，（2）①由旋转的性质，得By）与B（0，1）关于F（t，0）对称，1（，＝t，＝0，解得＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO 边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150 °，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系Oy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；。
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北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABC C ．AB 2＝AP •ACD ．8．如图，抛物线y ＝a 2+b +3（a ≠0）的对称轴为直线＝1，如果关于的方程a 2+b ﹣8＝0（a ≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．1D ．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y ＝2+3与y 轴的交点坐标为 ．10．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果＝，AC ＝10，那么EC ＝ ．11．如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点P （，y ）与点A （2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 ．12．如图，直线y 1＝+n （≠0）与抛物线y 2＝a 2+b +c （a ≠0）分别交于A （﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y 1＞y 2时，的取值范围是 ．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝a2+b+c（a≠0）与y轴交于点C，与轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系Oy中，抛物线C1：y＝﹣2+2．（1）补全表格：1212抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy中，双曲线y＝（≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E 在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝2﹣2a+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝2﹣2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝+b（，b为常数，≠0）中，＝，b ＝．26．在平面直角坐标系Oy中，抛物线M：y＝a2+b+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（为常数，≠0）的图象是双曲线，图象上的点（，y）的横纵坐标的积是定值，即y＝；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（﹣h）2+，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，），对称轴是＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（﹣h）2+，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随的增大而减小，在对称轴的右侧，y随的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随的增大而增大，在对称轴的右侧，y随的增大而减小，顶点坐标是（h，），对称轴是＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程2+4﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝2+4﹣m的图象与轴有公共点，∴方程2+4﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝a2+b+3（a≠0）的对称轴为直线＝1，如果关于的方程a2+b﹣8＝0（a ≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于的方程a2+b﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为＝1，∴抛物线与轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当＝0时，y＝3，则抛物线y＝2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系Oy中，第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：＝4，因为第一象限内的点P（，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出的值．12．如图，直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，的取值范围是﹣1＜＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝+n（≠0）与抛物线y2＝a2+b+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜＜2，故答案为：﹣1＜＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝a2+b+c（a≠0）与y轴交于点C，与轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝a2+b+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4，OM＝3，在Rt△OMA中，（4）2+（3）2＝32，解得＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．19．在平面直角坐标系Oy中，抛物线C1：y＝﹣2+2．（1）补全表格：1212抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣2+2与轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与轴的两交点之间的距离是抛物线C1与轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线y ＝（≠0）与直线y ＝的交点为A （a ，﹣1），B （2，b ）两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM ＝PN ，PM ⊥PN ．【分析】（1）依据双曲线y ＝（≠0）与直线y ＝的交点为A （a ，﹣1），B （2，b ）两点，可得点A 与点B 关于原点对称，进而得到a ，的值；（2）根据双曲线y ＝上一点P 的横坐标为1，可得点P 的坐标为（1，2），进而得到直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝+1，y ＝﹣+3，求得直线PA ，PB 与轴的交点坐标分别为M （﹣1，0），N （3，0），即可得到PM ＝PN ，PM ⊥PN ．【解答】解：（1）∵双曲线y ＝（≠0）与直线y ＝的交点为A （a ，﹣1），B （2，b ）两点，∴点A 与点B 关于原点对称， ∴a ＝﹣2，b ＝1，∴把A （﹣2，﹣1）代入双曲线y ＝，可得＝2；（2）证明：∵双曲线y ＝上一点P 的横坐标为1， ∴点P 的坐标为（1，2），∴直线PA ，PB 的函数表达式分别为y ＝+1，y ＝﹣+3，∴直线PA ，PB 与轴的交点坐标分别为M （﹣1，0），N （3，0），∴PM ＝2，PN ＝2，MN ＝4，∴PM ＝PN ，PM 2+PN 2＝MN 2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）【分析】先利用直角作出BD，再用勾股定理求出BD，再用锐角三角函数求出AB，AD，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD⊥l于点D，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝13，∴cos C＝cosα＝，∴CD＝BC•cos C＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt△ABD中，BD＝12，sin A＝，∴tan A＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D为圆心，9为半径作弧与射线l交于点A，连接AB，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB和AD．24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E 在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2，则BC＝3，根据勾股定理得，AB＝，∴sin B＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF＝，在Rt△BOF中，BF＝＝，∴BC＝BF+CF＝+＝3，∴＝8，∴OB＝＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝2﹣2a+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝2﹣2a+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝2﹣2a+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝+b（，b为常数，≠0）中，＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝2﹣6+3﹣1＝2﹣6+2＝（﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝2﹣2a+a﹣1＝（﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝2﹣2a+a2+a，∵y＝2﹣2a+a2+a＝（﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝，∴＝1，b＝0，故答案为：y＝2﹣2a+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系Oy中，抛物线M：y＝a2+b+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝a2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，根据三角形的中位线的性质得到EM∥OC′，EM＝OC′，根据相似三角形的性质得到∠AOM＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C′D′∥AB，∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，∴∠BOD′＝120°，∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM⊥BD′；故答案为：150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N，∵AC′的中点M，∴EM∥OC′，EM＝OC′，∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，∴∠BOD′+′AOC′＝180°，∴∠OEM＝∠BOD′，∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系Oy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；②若点M在直线y＝﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝﹣1上，即可判断出结论；（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．【解答】解：（1）作出图形，由内对称点的意义得，点P关于线段AB的内称点的是Q1，故答案为Q1；②如图2，。
2019-2020学年北京市西城区初三第一学期期末试题(含答案)
∵B（6，3），E（4，4）在抛物线 上，
∴
解得
∴y关于x的函数关系式为 ．
（2）当x＝2时， ＝3＞1+1.8，
所以水珠能越过这棵树．
6分
24．解：（1）相切．
证明：连接BD，如图．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．
∴∠BCD=90°．
11．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2，4），B（-4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 ．
12．如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0， ），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°．
第12题图第13题图
（A） （B） （C） （D）
3．圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为
（A）5π（B）10π（C）20π（D）25π
4．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°
得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC
的度数为
（A）60°（B）65°
（C）72.5°（D）115°
∴PO⊥BC，BE=CE．
∵OB=OA，
∴OE= AC．
（2）∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=90°．
由（1）可得∠BEO=90°，OE= AC=3．
∴∠OBP=∠BEO=90°．
∴
在Rt△BEO中，OE=3，OB=5，
∴BE=4．
∴PB= ．
5分
23．（1）解：在Rt△ABC中， ，BC=3，
∴AC=6．
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
2019-2020学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数是（）A．40°B．80°C．100°D．120°2．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x﹣2）2﹣1C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+2）2﹣13．（2分）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（）A．5πB．10πC．20πD．25π4．（2分）如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．60°B．65°C．72.5°D．115°5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为（）A．3B．C．2D．26．（2分）下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2的说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向下B．抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）C．当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧D．对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点7．（2分）A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y18．（2分）如图，AB＝5，O是AB的中点，P是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的一个动点（点P与点A，B 可以重合），连接P A，过P作PM⊥AB于点M．设AP＝x，AP﹣AM＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是．10．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是．11．（2分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．12．（2分）如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°．13．（2分）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.5米，则这个学校教学楼的高度为米．14．（2分）我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长P6＝6R，计算π＝3；圆内接正十二边形的周长P12＝24R sin15°，计算π＝3.10；请写出圆内接正二十四边形的周长P24＝，计算π≈．（参考数据：sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.130）15．（2分）在关于x的二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：x……12345678……y＝ax2+bx+c……﹣3.19﹣3.10﹣2.71﹣2.05﹣1.100.14 1.47 3.48……根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）．16．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP＝x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）计算3tan30°+4cos45°﹣2sin60°．18．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图象回答：当x取什么值时，y＜0．19．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．20．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若EF＝4，则△DEF的面积为．21．（5分）某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．（1）求证：OE＝AC；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求PB的长．23．（6分）图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，tanα＝．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系y＝ax2+bx（a，b是常数，a≠0），图2记录了x与y的相关数据（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．24．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的长．25．（6分）下面给出六个函数解析式：y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2．（1）若该抛物线与直线y＝2交于A，B两点，点B在y轴上．求该抛物线的表达式及点A的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．①将（1）中的抛物线在A，B两点之间的部分记作G1（不含A，B两点），直接写出G1上的横整点的坐标；②抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2与直线y＝﹣x﹣2交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作G2（不含C，D两点），若G2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围．27．（7分）△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．（1）如图1，若PC＝AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM．写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP＝AP，并说明理由．28．（7分）对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE 关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝100°，故选：C．2．【解答】解：抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，得：y＝（x﹣2）2；再向上平移1个单位长度，得：y＝（x﹣2）2+1．故选：A．3．【解答】解：圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长＝＝10π．故选：B．4．【解答】解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝35°，∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+35°＝65°；故选：B．5．【解答】解：∵CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．故选：C．6．【解答】解：A、由于y＝x2+bx﹣2中a＝1＞0，所以该抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．B、令x＝0，则y＝﹣2，所以抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2），故本选项不符合题意．C、当b＞0时，与a的符号相同，则抛物线的对称轴位于y轴的左侧，故本选项不符合题意．D、由于△＝b2+8＞0，所以该抛物线与x轴有两个公共点，故本选项符合题意．故选：D．7．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（﹣，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2，由x＝﹣，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，故选：B．8．【解答】解：连接BP，∵AB为圆的直径，∴∠APB＝90°，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝90°，∴∠APB＝∠AMP，又∠A＝∠A，∴△AMP∽△APB，∴＝，即＝，解得，AM＝x2，∴y＝x﹣x2（0≤x≤5），故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），∵此抛物线开口向上，∴此函数有最小值，最小值为﹣1；故答案为：﹣1．10．【解答】解：添加条件为∠AED＝∠B，理由如下：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB；故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．11．【解答】解：如图所示：△A′B′O即为所求．12．【解答】解：∵A（3，0），B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠OAB＝，∴∠OAB＝30°，∠BCO＝30°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为120°．13．【解答】解：由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，△ACB∽△ADE，故＝，则＝，解得：ED＝15（m），即这个学校教学楼的高度为15米．故答案为：15．14．【解答】解：圆内接正二十四边形的周长P24＝48•R•sin7.5°，π≈≈3.12，故答案为48sin7.5°，3.12．15．【解答】解：由表格可知，当x＝5时，y＝﹣1.10＜0，当x＝6时，y＝0.14＞0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8，故答案为：5.8．16．【解答】解：如图，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵PD＝DG＝x，∴AP＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴＝，∴＝，x＝，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或5≤x＜6；故答案为：x＝或5≤x＜6．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．【解答】解：3tan 30°+4 cos45°﹣2 sin 60°＝3×+4×﹣2×＝2．18．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是直线x＝2，顶点是（2，﹣1）．当y＝0时，即，x2﹣4x+3＝0．解得x1＝1，x2＝3，因此抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0）当x＝0时，y＝3，因此与y轴的交点（0，3），列表得：描点、连线得到y＝x2﹣4x+3的图象，如图所示：（2）由图象可知，当y＜0时，就是图象位于x轴下方的所对应的自变量的取值范围，即：当1＜x＜3时，y＜0．19．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE．∴∠AEB＝∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴．∵BE＝BD＝1，CD＝2，∴．20．【解答】解：（1）△DEF是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADC＝∠DAB＝∠DCB＝90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF＝∠DAB＝90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE＝DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．∴∠ADE＝∠CDF．∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠CDF+∠EDC＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形；（2）∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝EF＝×4＝4，∴△DEF的面积＝×4×4＝8．故答案为8．21．【解答】解：（1）×4×3＝6（场）．故答案为：6．（2）设有x支球队参加比赛，依题意，得：x（x﹣1）＝36，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．22．【解答】证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．∴PO⊥BC，BE＝CE．∵OB＝OA，∴OE＝AC；（2）∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°．由（1）可得∠BEO＝90°，OE＝AC＝3．∴∠OBP＝∠BEO＝90°．∴tan∠BOE＝＝，在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝5，∴BE＝4．∴PB＝．23．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，tanα＝，BC＝3，∴AC＝6．∴点B的坐标为（6，3）．∵B（6，3），E（4，4）在抛物线y＝ax2+bx上，∴解得∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x2+2x．（2）当x＝2时，y＝﹣×22+2×2＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．24．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD，如图1．∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．∴∠BCD＝90°．∴∠CED+∠CDE＝90°．∵∠CED＝∠BAC．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．∴DE⊥OD于点D．∴DE是⊙O的切线．（2）如图2，BD与AC交于点H，∵DE∥AC，∴∠BHC＝∠BDE＝90°．∴BD⊥AC．∴AH＝CH．∴BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．∵∠F AD＝∠FCB＝90°，∠F＝∠F，∴△F AD∽△FCB．∴．∴CF＝2AF．设AF＝x，则DF＝CF﹣CD＝2x﹣2．在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴（2x﹣2）2＝22+x2．解得：x1＝，x2＝0（舍）．∴AF＝．25．【解答】解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）故答案为：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）．（2）图象如图1所示．（3）观察图象可知：①函数图象关于y轴对称，正确；②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；③存在某个函数，y＝x2，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小，正确；④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．故答案为①③．（4）观察图2可知，关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为﹣1，0．故答案为﹣1，0．26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2与直线y＝2交于A，B两点，点B在y轴上，∴点B的坐标为（0，2）．∴﹣2m﹣2＝2．∴m＝﹣2．∴抛物线的表达式为y＝x2+4x+2．∵A，B两点关于直线x＝﹣2对称，∴点A的坐标为（﹣4，2）．如图1：（2）①y＝x2+4x+2的图象，如图1所示．G1上的横整点分别是（﹣3，﹣1），（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1）．②∵解得x1＝﹣1，x2＝2m，∴C、D两点的坐标分别为：（﹣1，﹣1）、（2m，﹣2m﹣2）对于任意的实数m，抛物线y＝x2﹣2mx﹣2m﹣2与直线y＝﹣x﹣2总有一个公共点（﹣1，﹣1）．当m≤﹣1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为﹣3，﹣2，如图2．∴∴﹣2≤m＜﹣．当m＞﹣1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3．∴∴＜m≤1．综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是﹣2≤m＜﹣或m≤1．27．【解答】解：（1）如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，又∵PC＝AC，∴∠P AC＝∠APC，∵∠ACB＝∠P AC+∠APC＝60°，∴∠P AC＝∠APC＝30°，∴∠BAP＝90°，当BQ∥AP时，∠PBQ＝∠APC＝30°，连接CQ，由旋转的性质得：PC＝PQ，∴PQ＝PC＝AC＝BC，∴∠CBQ＝∠CQB＝30°，∴∠BCQ＝120°，∴∠ACB+∠BCQ＝180°，∴A、C、Q三点共线，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，即n＝60；（2）n＝120．理由如下：延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN，AN，QN，如图2所示：∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN＝PQ．∴∠NBP+∠CPQ＝180°，∴∠NBP＝180°﹣∠CPQ＝60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠ABN＝∠ACP＝120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴PQ＝PC．∴BN＝PC．在△ABN和△ACP中，，∴△ABN≌△ACP（SAS）．∴∠BAN＝∠CAP，AN＝AP．∴∠NAP＝∠BAC＝60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN＝AP．又MP＝PN，∴MP＝AP．28．【解答】解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠C＝∠B＝45°，∵CD＝1，∴BD＝2﹣1＞CD，∴D到AC的距离小于到AB的距离，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝，即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，∴BD＝BC＝，同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，∵直线OF：y＝x∴∠FOE＝30°由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5．∴当R＝1 时，t的取值范围是t≥3．iii）当点P在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，∴∠OEP＜30°，∴OM＜1，当R＝时，如图6，过P作P A⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM＝MN＝，ME＝3﹣＝，∴EN＝＝＝，Rt△OP A中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，∴P A＝﹣t，∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，∴△EMN∽△EP A，∴，即＝解得：t＝﹣，∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．。
北京市西城区2019届初三上学期期末考试数学试题及答案(PDF版)
4
18．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=∠ACB，点 E，F 分 别在 AB，BC 上，且∠EFB=∠D． （1）求证：△EFB∽△CDA； （2）若 AB=20，AD=5，BF=4，求 EB 的长．
A E D
B
F
C
19． 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值 如下表所示： x y … … -3 0 -2 -3 -1 -4 0 -3 1 0 … …
A O B
15．如图，矩形纸片 ABCD 中， AB AD ，E，F 分别是 AB，DC 的 中点，将矩形 ABCD 沿 EF 所在直线对折，若 A 得到的两个小矩形都和矩形 ABCD 相似，则用 等式表示 AB 与 AD 的数量关系为 ．
D F C E B
O 的半径是 5， 16． P 是 O 所在平面内一点， 如图， 点 A 在 O 上．
x3 x3
+
由表格可知不等式 x 3 0 的解集为 x 3 ． ②对于不等式 x 3 x 1 0 ，观察函数 y x 3 x 1 的图象可 以得到如下表格： x 的范围 y 的符号
x3 1 x 3 x 1
+
8
+
由表格可知不等式 x 3 x 1 0 的解集为
且 AP 2 ，过点 P 作直线 l，使 l⊥PA． （1）点 O 到直线 l 距离的最大值为 ；
O A
（2）若 M，N 是直线 l 与 O 的公共点，则 当线段 MN 的长度最大时，OP 的长 为 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题， 每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演 算步骤或证明过程． 17．计算： 4sin 30 2 cos 45 tan 2 60 .
2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末考试数学试题有答案-最新推荐
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．AB AC BP CB= 8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2019-20209月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5 h （m ） 0 8.75 （1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x=（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的 计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径． 25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段 AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。
北京市西城区2020届人教版九年级上学期期末考试数学试题解析版
（B）抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2）
（C）当 b＞0 时，抛物线的对称轴在 y 轴右侧
（D）对于任意的实数 b，抛物线与 x 轴总有两个公共点
7．A（ − 1 ，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y= − (x − 2)2 + k 的图象上，则 2
y1，y2，y3 的大小关系为
（A）y1＜y2＜y3
（B）y1＜y3＜y2
（C）y3＜y1＜y2
（D）y3＜y2＜y1
8．如图， AB=5，O 是 AB 的中点， P 是以点 O 为圆心，AB 为直径的
半圆上的一个动点（点 P 与点 A，B 可以重合），连接 PA，过 P 作 PM⊥AB 于点 M．设 AP=x， AP − AM = y ，则下列图象中，能表
添加的一个条件是
．
11．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（-2， 4），B（-4，0），O（0，0），以原点 O
为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为 1 ． 2
12．如图，A，B 两点的坐标分别为 A（3，0），B（0， 3 ），将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转得
到线段 BC．若点 C 恰好落在 x 轴的负半轴上，则旋转角为
°．
第 12 题图
第 13 题图
13．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所
示．若 a1 = 1米， a2 = 10 米，h=1.5 米，则这个学校教学楼的高度为
米．
14．我国魏晋时期的数学家刘徽（263 年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆 内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 π 3.14 ．
2019-2020学年北京市西城区初三期末数学试卷(含答案)
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第1页（共8页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学2020.1考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC =80°，则∠ABC 的度数是（A ）40°（B ）80°（C ）100°（D ）120°2．在平面直角坐标系中，将抛物线2=y x 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（A ）2=(2)1y x -+（B ）2=(2)1y x --（C ）2=(2)1y x ++（D ）2=(2)1y x +-3．圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（A ）5π（B ）10π（C ）20π（D ）25π4．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转35°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A =30°，则∠EFC 的度数为（A ）60°（B ）65°（C ）72.5°（D ）115°5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若∠ABC =30°，OE =3，则OD 长为（A ）3（B ）6（C ）23（D ）2北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第2页（共8页）6．下列关于抛物线y =x 2＋bx －2的说法正确的是（A ）抛物线的开口方向向下（B ）抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）（C ）当b ＞0时，抛物线的对称轴在y 轴右侧（D ）对于任意的实数b ，抛物线与x 轴总有两个公共点7．A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数2=(2)y x k --+的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（A ）y 1＜y 2＜y 3（B ）y 1＜y 3＜y 2（C ）y 3＜y 1＜y 2（D ）y 3＜y 2＜y 18．如图，AB =5，O 是AB 的中点，P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接PA ，过P 作PM ⊥AB 于点M ．设AP =x ，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.函数y ＝ax 2+bx +c （0≤x ≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是．第9题图第10题图第11题图10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB ，添加的一个条件是．11．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A （-2，4），B （-4，0），O （0，0），以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为12．北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第3页（共8页）12．如图，A ，B 两点的坐标分别为A （3，0），B （0，将线段BA 绕点B 顺时针旋转得到线段BC ．若点C 恰好落在x 轴的负半轴上，则旋转角为°．第12题图第13题图13．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若11a =米，210a =米，h=1.5米，则这个学校教学楼的高度为米．14．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π 3.14≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66p R =，计算π632p R≈=；圆内接正十二边形的周长1224sin15p R =︒，计算π123.102p R≈=；请写出圆内接正二十四边形的周长24p =，计算π≈.（参考数据：sin150.258︒≈，sin7.50.130︒≈）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第4页（共8页）15．在关于x 的二次函数2y ax bx c =++中，自变量x 可以取任意实数，下表是自变量x 与函数y 的几组对应值：x…12345678…2y ax bx c=++…-3.19-3.10-2.71-2.05-1.100.141.473.48…根据以上信息，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）．16．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP =x ，若以点D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算3tan 304cos 452sin 60︒+︒-︒．18．已知二次函数2=43y x x -+．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图象回答：当x 取什么值时，y ＜0．19．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是AD 上一点，且BE =BD ．（1）求证：△ABE ∽△ACD ；（2）若BD =1，CD =2，求AE AD的值．20．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ，若点F 恰好落在边BC 的延长线上，连接DE ，DF ，EF ．（1）判断△DEF 的形状，并说明理由；（2）若EF =，则△DEF 的面积为．21．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第5页（共8页）（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22．如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ．连接PO 交⊙O 于点D ，交BC 于点E ，连接AC ．（1）求证：OE =12AC ；（2）若⊙O 的半径为5，AC =6，求PB 的长．23．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，tan α=12．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A 喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．图1图2（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A 的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且∠CED =∠BAC ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若DE ∥AC ，AB =4，AD =2，求AF 的长．北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第6页（共8页）25．下面给出六个函数解析式：21=2y x，21y +，212y x x =--，2=231y x x --，2=21y x x -++，234y x x =---．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如y =，其中x 为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数2=21y x x -++的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y 轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x ＞m （m 为正数）时，y 随x 的增大而增大，当x ＜-m 时，y 随x 的增大而减小④函数图象与 轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程221x x x k -++=-+有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第7页（共8页）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2．（1）若该抛物线与直线y =2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上．求该抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．①将（1）中的抛物线在A ，B 两点之间的部分记作G 1(不含A ，B 两点)，直接写出G 1上的横整点的坐标；②抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =–x –2交于C ，D 两点，将抛物线在C ，D两点之间的部分记作G 2（不含C ，D 两点），若G 2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．27.△ABC 是等边三角形，点P 在BC 的延长线上，以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转n °（0＜n ＜180）得线段PQ ，连接AP ，BQ ．（1）如图1，若PC =AC ，画出当BQ ∥AP 时的图形，并写出此时n 的值；（2）M 为线段BQ 的中点，连接PM .写出一个n 的值，使得对于BC 延长线上任意一点P ，总有1=2MP AP ，并说明理由．图1备用图北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第8页（共8页）28．对于给定的△ABC ，我们给出如下定义：若点M 是边BC 上的一个定点，且以M 为圆心的半圆上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的半圆为BC 边上的点M 关于△ABC 的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M 关于△ABC 的最大内半圆.若点M 是边BC 上的一个动点（M 不与B ，C 重合），则在所有的点M 关于△ABC 的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC 关于△ABC 的内半圆.（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，①如图1，点D 在边BC 上，且CD =1，直接写出点D 关于△ABC 的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC 关于△ABC 的内半圆，并直接写出它的半径长；图1图2（2）在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（3，0），点P 在直线3=3y x 上运动（P 不与O 重合），将OE 关于△OEP 的内半圆半径记为R ，当34≤R ≤1时，求点P 的横坐标t 的取值范围.北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）15答案不唯一，如：5.9三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解：3tan30°+4cos45°-2sin60°=342322⨯+-⨯=．····················································································5分18．解：（1）对称轴是直线x=2，顶点是（2，-1）．2=43y x x-+的图象，如图．（2）当1＜x＜3时，y＜0．·································································································5分19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ．∵BE =BD ，∴∠BED =∠BDE ．∴∠AEB =∠ADC ．∴△ABE ∽△ACD ．（2）解：∵△ABE ∽△ACD ，∴AE BEAD CD =．∵BE =BD =1，CD =2，∴12AE AD =．···························································································5分20．（1）△DEF 是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD 中，DA =DC ，∠ADC =∠DAB =∠DCB =90°．∵F 落在边BC 的延长线上，∴∠DCF =∠DAB =90°．∵将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ，∴DE =DF ．∴Rt △ADE ≌Rt △CDF ．∴∠ADE =∠CDF ．∵∠ADC =∠ADE +∠EDC =90°，∴∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴△DEF 是等腰直角三角形．（2）△DEF 的面积为8．···························································································5分21．解：（1）6；（2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x 支球队参加比赛．依题意，得(1)362x x -=．解得x 1=9，x 2=-8（不合题意，舍去）．所以x =9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．···················5分22．证明：（1）∵PB ，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ．∴PB =PC ，∠BPO =∠CPO ．∴PO ⊥BC ，BE =CE ．∵OB =OA ，∴OE =12AC ．（2）∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP =90°．由（1）可得∠BEO =90°，OE =12AC =3．∴∠OBP =∠BEO =90°．∴tan BE PB BOE OE OB∠==在Rt △BEO 中，OE =3，OB =5，∴BE =4．∴PB=203．···················································································5分23．（1）解：在Rt △ABC 中，1tan 2α=，BC =3，∴AC =6．∴点B 的坐标为（6，3）．∵B （6，3），E （4，4）在抛物线2y ax bx =+上，∴22663,44 4.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得1,42.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y 关于x 的函数关系式为2124y x x =-+．（2）当x ＝2时，212224y =-⨯+⨯＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树． (6)分24．解：（1）相切．证明：连接BD ，如图．∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，∴BD 是⊙O 的直径，即点O 在BD 上．∴∠BCD =90°．∴∠CED +∠CDE =90°．∵∠CED =∠BAC ．又∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，即∠BDE =90°．∴DE ⊥OD 于点D ．∴DE 是⊙O 的切线．（2）如图，BD 与AC 交于点H ．∵DE ∥AC ，∴∠BHC =∠BDE =90°．∴BD ⊥AC ．∴AH =CH ．∴BC =AB =4，CD =AD =2．∵∠FAD =∠FCB =90°，∠F =∠F ，∴△FAD ∽△FCB ．∴AD AF CB CF =．∴CF =2AF ．设AF =x ，则DF =CF -CD=2x -2．在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+，∴222(22)2x x -=+．解得183x =，20x =（舍去）．∴83AF =．······································································6分25．解：（1）①2y axb x c=++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）．（2）图象如图1所示．图1图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．·····························································································6分26．解：（1）∵抛物线y =x 2-2m x -2m -2与直线y =2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为（0，2）．∴-2m -2=2．∴m =-2．∴抛物线的表达式为y =x 2+4x +2．∵A ，B 两点关于直线x =-2对称，∴点A 的坐标为（-4，2）．（2）①y =x 2+4x +2的图象，如图1所示．G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．②对于任意的实数m ，抛物线y =x 2-2m x -2m –2与直线y =-x -2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C ．当m ≤-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.图1∴-2≤32m <-．当m ＞-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m <≤1．图2图3综上，G 2恰有两个横整点，m 的取值范围是-2≤32m <-或12m <≤1．···························································································6分27．解：（1）如图．当BQ ∥AP 时，n =60．（2）n =120．证明：延长PM 至N ，使得MN =PM ，连接BN ，AN ，QN ，如图．∵M 为线段BQ 的中点，∴四边形BNQP 是平行四边形．∴BN ∥PQ ，BN=PQ ．∴∠NBP =60°．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC =∠ACB =60°．∴∠ABN =∠ACP =120°．∵以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转120°得到线段PQ ，∴PQ =PC ．∴BN =PC ．∴△ABN ≌△ACP ．∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ．∴∠NAP =∠BAC =60°．∴△ANP 是等边三角形．∴PN =AP ．又MP=12PN ，∴MP =12AP ．································································7分28．解：（1）①22．②BC 关于△ABC 的内半圆，如图1，BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．（2）过点E 作EF ⊥OE ，与直线3=3y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点，i）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2．∴当34≤R ≤1时，t 的取值范围是32≤t ≤3．图1图2图3ii）当点P 在OF 的延长线上运动时，OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点E 且与OP 相切的半圆，如图3．∴当R =1时，t 的取值范围是t ≥3．iii)当点P 在OF 的反向延长上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点O 且与EP 相切的半圆，如图4.∴当34≤R ＜1时，t 的取值范围是t ≤95+-．图4综上，点P 在直线=3y x 上运动时（P 不与O 重合），当34≤R ≤1时，t 的取值范围是t ≤95+-或t ≥32．·································································································7分。
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北京市西城区第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5，那么sin B 等于（ ）．A.35 B. 45 C. 34 D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x =-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）．A.12y y >B.12y y =C.12y y <D.不能确定3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）.A.48πB.24πC.4πD.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.A.m ≤4B.<4mC. m ≥4-D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABCC ．2AB AP AC =⋅D ．ABACBP CB =8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系Oy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线1y kx n =+(≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．t （s ）0 0.5（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系Oy 中，双曲线k y x =（≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（，b 为常数，≠0）中，= ，b= ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ；（2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系Oy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．。