高考数学一轮专题复习 高效测试19 三角函数的图象和性质 新人教A版

高效测试19：三角函数的图象和性质
一、选择题
1．函数f(x)＝lg(sin2x ＋3cos2x －1)的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|kπ－π12＜x ＜kπ＋π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|kπ－π6＜x ＜kπ＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|kπ－π4＜x ＜kπ＋11π12，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|kπ＜x ＜kπ＋π3，k ∈Z 解析：由sin 2x ＋3cos2x －1＞0，得
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＞12. 即2kπ＋π6＜2x ＋π3＜2kπ＋5π6
(k ∈Z)， ∴kπ－π12＜x ＜kπ＋π4
(k ∈Z)． 答案：A
2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2
C ．2π，1
D ．2π， 2
解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos2x ∴最小正周期T ＝2π2
＝π，最大值为1.故选A. 答案：A
3．已知函数y ＝t anωx 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C ．ω≥1 D．ω≤－1
解析：由已知条件ω＜0，又
π|ω|
≥π，∴－1≤ω＜0. 答案：B
4．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值是( )
A ．0
B ．1
C ．－1 D.π4
解析：由于相邻的两支截直线y ＝π4所得的线段长为π4，所以该函数的周期T ＝π4＝πω，因
此ω＝4，函数解析式为f(x)＝tan4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝ta nπ＝0.
答案：A
5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π
3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π
12
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π
3，5π
6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π
6，π
解析：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π
6，
∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－2x 的递增区间实际上是
u ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π
6的递减区间，
即2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π
2(k ∈Z)，
解上式得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π
6(k ∈Z)．
令k ＝0，得π3≤x≤5π
6.
又∵x ∈[0，π]，∴π3≤x≤5
6π.
即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6－2x (x ∈[0，π])的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π
3，5
6π.
答案：C
6．以下三个命题：
①任意α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sinx 都能取到最大值1；
②若存在α∈R 且α≠0，f(x ＋α)＝－f(x)对任意x ∈R 成立，则f(x)为周期函数； ③存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4，－3π
4，使sinx ＜cosx.
其中正确命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：对于①：∵[α，α＋π]该区间长度为y ＝sinx 的半个周期．
∴y ＝sinx 在[α，α＋π]上不一定取到最大值1.
故①错．
对于②：是正确的．
对于③：画图观察易得③是错误的．
综上可知应选B.
答案：B
二、填空题
7．若f(x)＝x|sinx ＋a|＋b(x ∈R)是奇函数，则a2＋b2＝__________.
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，
∴－x|－sinx ＋a|＋b ＋x|sinx ＋a|＋b ＝0，
∵x ∈R ，∴a ＝0，b ＝0，a2＋b2＝0.
答案：0
8．已知函数f(x)＝12(sinx ＋cosx)－12
|sinx －cosx|，则f(x)的值域是__________． 解析：当sinx≥cosx 时，f(x)＝cosx ，
当sinx ＜cosx 时，f(x)＝sinx ，
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ cosx sinx≥cosx ，sinx sinx ＜cosx .
图象如图实线表示，所以值域为⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤－1，22.
答案：⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－1，22 9．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f(x)＝x －2，则有下面三个式子： ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 12 ②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＜f ⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3； ③f(sin1)＜f(cos1)
其中一定成立的是__________．
解析：由f(x)＝f(x ＋2)知T ＝2为f(x)的一个周期，
设x ∈[－1,0]知x ＋4∈[3,4]，
f(x)＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2.
图象如图：
对于①：sin 12＜cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＞f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 12. 对于②：sin π3＞cos π3⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＜f ⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3. 对于③：sin1＞cos1⇒f(sin1)＜f(cos1)．
故应填②③.
答案：②③
三、解答题
10．定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)＝sinx. (1)求当x ∈[－π，0]时，f(x)的解析式； (2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；
(3)求当f(x)≥1
2时，x 的取值范围．
解析：(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
而当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π
2时，f(x)＝sinx.
∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
2，0时，－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π
2.
∴f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.
又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π
2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π
2，
∵f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.
∴当x ∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.
(2)如图．
(3)由于f(x)的最小正周期为π，
因此先在[－π，0]上来研究f(x)≥1
2，
即－sinx≥1
2，∴sinx≤－1
2，∴－5π6≤x≤－π
6.
由周期性知，[中。

教。

网z 。

z 。

s 。

tep]
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－56π，kπ－π
6，k ∈Z 时，f(x)≥1
2.
11．已知函数f(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋x －3cos2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π
2.
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π
4，π
2上恒成立，求实数m 的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2＋2x －3cos2x
＝1＋sin2x －3cos2x
＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π
3.
又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π
2，
∴π6≤2x－π
3≤2π
3，即2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π
3≤3，
∴f(x)max ＝3，f(x)min ＝2.
(2)∵|f(x)－m|＜2⇔f(x)－2＜m ＜f(x)＋2，
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， ∴m ＞f(x)max －2且m ＜f(x)min ＋2，
∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．
12．已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数a ，b 的值；
(2)设g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π
2且lg[g(x)]＞0，求g(x)的单调区间．
解析：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π
6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
6∈[－2a ，a]．
∴f(x)∈[b,3a ＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，
因此a ＝2，b ＝－5.
(2)由(1)知a ＝2，b ＝－5，
∴f(x)＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
6－1，
g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π
2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π
6－1
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
6－1.
又由lg[g(x)]＞0得g(x)＞1，
∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
6－1＞1，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π
6＞1
2，
∴2kπ＋π6＜2x ＋π6＜2kπ＋5
6π，k ∈Z.
由2kπ＋π
6＜2x ＋π
6≤2kπ＋π
2(k ∈Z)，
得g(x)的单调增区间为：⎝ ⎛⎦⎥⎤kπ，kπ＋π
6(k ∈Z)
由2kπ＋π
2≤2x＋π
6＜2kπ＋5π
6，
得g(x)的单调减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋π
3(k ∈Z).。