南航矩阵论2013研究生试卷及答案
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
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20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
矩阵论研究生考试题(2012-2013)-推荐下载
证明:1) E 1;2) A 1时， E A 可逆，且 1 E A1 1 .
3. A 为秩为 r 的半正定 Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵 P ,
使得
A
P
（其中 Ir 为 r 阶单位矩阵）
P
H
,其中
1
r
(i
1 A
0, i
1.
A
是
n
阶方阵，
则 A 的最小多项式 m
2.矩阵
3.矩阵
4.设
A
A
0 2 1
2
1 2 0
a1
a2
a3
1 3
E
0
4 5
2
A
的标准型为
的
的谱半径
为给定的常向量，
1
1
范数（列和范数）
X
，
.
则
总分
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
南航矩阵论期中考试试题2013可修改全文
Mid-term Exam of Matrix TheoryPart IRequired Questions (4×15′=60′).Q1.1)Let A = 2−344−686−78,1.Calculate the characteristics polynomial and eigenvalues of A .2.Find the determinant divisors,invariant divisors and elementary divisors of A .2)Given B =(17−645−16)and C =(14−603−13),please determine if B and C are similar or not.And prove your conclusion.Q2.Denote V ={(a 11a 12a 21a 22)∈R 2×2|a 11=a 22}.For any X ∈V ,let T (X )=P X +XP ,where P =(0110).1.Find a basis of V and show the dimension.2.Arbitrarily given A =(a 11a 12a 21a 22)and B =(b 11b 12b 21b 22)in V ,define (A,B )=a 11b 11+2a 12b 12+a 21b 21.Please show that (A,B )is an inner product on V .3.Given an orthonormal basis of V under the inner product of 2.4.Prove that T is a linear transformation on V ,and show the matrix representation of T with respect to the basis given in item 1.Q3.Consider the inner product space C [−1,1]with inner product defined as(f,g )=∫1−1f (x )g (x )dx,∀f (x ),g (x )∈C [−1,1].11.Show that1and3x2−1are orthogonal.2.Determine∥1∥and∥3x2−1∥.3.Let S=L{1,3x2−1}be a subspace of R[x]3,find the optimal approximation of xover S.Q8.Denote R[x]3to be the vector space of zero and polynomials with degree less than3.1.Determine the dimension of R[x]3and give a basis of R[x]3.2.Define the linear transformation D on R[x]3,D(f(x))=f′(x),∀f(x)∈R[x]3.Please give the matrix representation of D with respect to the basis given in the above item.Show R(D)and ker(D).3.Prove that D is not diagonalizable.4.Define the inner product on R[x]3,(f,g)=∫1−1f(x)g(x)dx,∀f(x),g(x)∈R[x]3,please Gram-Schmidt orthogonalize the basis given in item1.Part IIPreferential Questions(2×20′=40′).Q5.For any x∈R n,several definitions are given as follows,∥x∥0=∑x i=0|x i|0,∥x∥p=(m∑i=1|x i|p)1p(0<p<1),∥x∥1=m∑i=1|x i|.(1)1.Please determine if∥x∥0,∥x∥p and∥x∥1are valid vector norms or not.And try todefense your decision.2.Especially when n=2,plot the curves of∥x∥0=1,∥x∥p=1and∥x∥1=1respectively.2Q6.Given A∈R n×n,summarize the necessary and sufficient conditions of A to be di-agonalizable,and prove at least one of them.Determine if the matrix A given in Q1is diagonalizable or not.If yes,please explain why,if not,please give the Jordan canonical form of A.Q7.Given A∈R n×n,denote W={X∈R n×n|AX=XA}.1.Show that W is a subspace of R n×n.2.DenoteD=λ10 00λ2 0............00···λn,whereλ1,λ2,···,λn are different from each other.If A=D,please determine the dimension of W.3.If A is similar to D defined as in item2,please prove that any X∈W is diagonalizable.4.Given some X∈W,if X and A are both diagonalizable,then there exists a nonsingularmatrix P∈R n×n such that P−1XP and P−1AP are diagonal simultaneously.3。
南航双语矩阵论matrixtheory第五章部分习题参考答案
第五章部分习题参考答案#2. Find determinant divisors and elementary divisors of each of the following matrices.(a) 1000100015432λλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪+⎝⎭ (b)001010100000λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Solution（a ） 100010()0015432A λλλλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭det (())A λ4322345λλλλ=++++100det 10101λλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭. Hence, the determinant divisors are 123()()()1D D D λλλ===,4324()2345D λλλλλ=++++. Invariant divisor are 123()()()1d d d λλλ===,4324()2345d λλλλλ=++++Unfortunately, it is not easy to factorize 4324()2345d λλλλλ=++++ by hand. With the help of Maple or Matlab, we can see that ()A λ has four distinct linear elementary divisors. (b) 44()D λλ=, 123()()()1D D D λλλ===. There is a unique elementary divisor 4λ #3. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , a a B a εε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are similar.Proof The Smith normal forms of both I A λ- and I B λ-are11()n a λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. A and B have the same set of elementary divisors. Hence they are similar to each other. #4. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 11a a B a ε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are NOT similar. ProofThe determinant of I A λ- is ()n a λ- . The determinant of I B λ- is ()n a λε--. A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.#11. How many possible Jordan forms are there for a 66⨯ complex matrix with characteristic polynomial 42(2)(1)x x +-?Solution The possibilities for the sets of elementary divisors are { 42(2),(1)x x +-}, {4(2),(1),(1)x x x +--}{32(2),(2),(1)x x x ++-}, {3(2),(2),(1),(1)x x x x ++--} {222(2),(2),(1)x x x ++-}, {22(2),(2),(1),(1)x x x x ++--},{22(2),(2),(2),(1)x x x x +++-}, {2(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x +++--}{2(2),(2),(2),(2),(1)x x x x x ++++-}, {(2),(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x x ++++--}. For each set of elementary divisors, there is a Jordan canonical form up to similarity. There are 10 Jordan canonical forms up to similarity.#12. Classify up to similarity all 33⨯ complex matrices A such that 3A I =. Solution An annihilating polynomial of A is 321(1)()()x x x x ωω-=---, where ω A is diagonalizable.The possibilities for the minimal polynomial of A are1x -, x ω-, 2x ω-;(1x -)(x ω-), (x ω-)(2x ω-), (1x -)(2x ω-);2(1)()()x x x ωω---Up to similarity, all 33⨯ complex matrices A are100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 000000ωωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 222000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 22000000ωωω⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 2000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;221000000ωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,210001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭#14. If N is a nilpotent (幂零的) 33⨯ matrix over C , prove that 21128A I N N =+- satisfies2A I N =+, i.e., A is a square root of I N +. Use the binomial series for 1/2(1)t + to obtain asimilar formula for a square root of I N +, where N is any nilpotent n n ⨯ matrix over C .Use the result above to prove that if c is a non-zero complex number and N is a nilpotent complex matrix, then cI N +has a square root. Now use the Jordan form to prove that every non-singular complex n n ⨯ matrix has a square root.Solution If N is an n n ⨯ matrix and k N O =, then k x is an annihilating polynomial for N . The minimal polynomial of N must be of the form p x , where p n ≤ and p k ≤ since the minimal polynomial of a matrix divides its characteristic polynomial. Thus, n N O =.(1) If N is a nilpotent 33⨯ matrix, then 3N O =. By straightforward computation, we can verify that 2A I N =+.(2) If N is an n n ⨯ nilpotent matrix, n N O =.1/22111111(1)(1)((1)1)122222(1)122!(1)!n n t t t t n -----++=+++++- 1/22111111(1)(1)((1)1)122222()22!(1)!n n I N I N N N n -----++=++++-(3) Since1N c is a nilpotent matrix, 1I N c + has a square root 1/21()I N c+. cI N + has a square root 1/21/21()c I N c+.(4) Suppose that 12121()0()000()r d d d r J J P AP J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Then each ()k d k J λ has asquare root 1/2()k d k J λ since ()k d k J λ is of the form k I N λ+, where 0k λ≠ because A is nonsingular and N is nilpotent.Let 121/211/2211/2()000()000()r d d d r J J B P P J λλλ-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭, then 2B A =. Hence, A has a squareroot.#20. Prove that the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial if andonly if the elementary divisors are relatively prime in pairs.Proof Suppose that a Jordan canonical form of A is1212()000()000()r d d d r J J J J λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(where 12,,,r λλλ are not necessarily distinct. Each ()i d i J λ is a Jordan block.)The minimal polynomial of A is the same as that of J . The characteristic polynomial of A is the same as that of J . The elementary divisors of A are 11()d λλ-, , ()rd r λλ-The minimal polynomial of ()i d i J λ is ()i d i λλ-. The minimal polynomial of J is the least common multiple (最小公倍式) of 11()d λλ-, , ()rd r λλ-. The characteristicpolynomial of J is 1212()()()()rd d d r p λλλλλλλ=--- .The least common divisor of 11()d λλ-, , ()rd r λλ- is equal to the product of11()d λλ-, , ()r d r λλ- if and only if ()j dj λλ-and ()k d k λλ-are relatively prime forj k ≠. Thus the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial ifand only if the elementary divisors are relatively prime in pairs.。
南航矩阵论课后习题答案
南航矩阵论课后习题答案南航矩阵论课后习题答案矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。
南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重要环节。
在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。
下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。
1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。
解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。
一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。
计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。
因此，矩阵A可逆。
接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。
计算得到A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。
最后，将伴随矩阵除以行列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。
2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。
解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。
特征方程的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
计算得到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。
解这个二次方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。
接下来，我们可以求解对应于每个特征值的特征向量。
将特征值代入(A - λI)x = 0，即可求解出特征向量。
对于特征值λ1 = 1，解得特征向量x1 = [1; -1]；对于特征值λ2 = 5，解得特征向量x2 = [1; 3]。
3. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的奇异值分解。
解析：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南航双语矩阵论-matrix-theory第三章部分题解精选全文
可编辑修改精选全文完整版Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P(a) (())'()p x xp x σ=(b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=.(())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-.(())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ=The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈=(c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++.(())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ=The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by10()(())(0)p x dx p x p σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭⎰ Find a matrix A such that()x A ασαββ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.Solution1(1)1σ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1/2()0x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭11/211/2()1010x ασαβαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Hence, 11/210A ⎛⎫= ⎪⎝⎭#10. Let σ be the transformation on 3P defined by(())'()"()p x xp x p x σ=+a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -=d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ.Solution (a) (1)0σ= ()x x σ=22()22x x σ=+002010002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(b) (1)0σ=()x x σ=22(1)2(1)x x σ+=+000010002B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(c)2[1,,1]x x +2[1,,]x x =101010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭The transition matrix from 2[1,,]x x to 2[1,,1]x x + is101010001S ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1B S AS -=(d) 2201212((1))2(1)n n a a x a x a x a x σ+++=++#11. Let A and B be n n ⨯ matrices. Show that if A is similar to B then there exist n n ⨯ matrices S and T , with S nonsingular, such thatA ST =andB TS =.Proof There exists a nonsingular matrix P such that 1A P BP -=. Let 1S P -=, T BP =. Then A ST =and B TS =.#12. Let σ be a linear transformation on the vector space V of dimension n . If there exist a vector v such that 1()v 0n σ-≠ and ()v 0n σ=, show that(a) 1,(),,()v v v n σσ- are linearly independent.(b) there exists a basis E for V such that the matrix representing σ with respect to the basis E is000010000010⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭Proof(a) Suppose that1011()()v v v 0n n k k k σσ--+++= Then 11011(()())v v v 0n n n k k k σσσ---+++=That is, 12210110()()())()v v v v 0n n n n n k k k k σσσσ----+++==Thus, 0k must be zero since 1()v 0n σ-≠. 211111(()())()v v v 0n n n n k k k σσσσ----++==This will imply that 1k must be zero since 1()v 0n σ-≠.By repeating the process above, we obtain that 011,,,n k k k - must be all zero. Thisproves that1,(),,()v v v n σσ- are linearly independent.(b) Since 1,(),,()v v v n σσ- are n linearly independent, they form a basis for V .Denote 112,(),,()εv εv εv n n σσ-=== 12()εεσ= 23()εεσ= …….1()εεn n σ-= ()ε0n σ=12[(),(),,()]εεεn σσσ121[,,,,]εεεεn n -=000010000010⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭#13. If A is a nonzero square matrix and k A O =for some positive integer k , show that A can not be similar to a diagonal matrix.Proof Suppose that A is similar to a diagonal matrix 12diag(,,,)n λλλ. Then for each i , there exists a nonzero vector x i such that x x i i i A λ= x x x 0k k i i i i i A λλ=== since k A O =.This will imply that 0i λ= for 1,2,,i n =. Thus, matrix A is similar to the zero matrix. Therefore, A O =since a matrix that is similar to the zero matrix must be the zero matrix, whichcontradicts the assumption.This contradiction shows that A can not be similar to a diagonal matrix. OrIf 112diag(,,,)n A P P λλλ-= then 112diag(,,,)k k k k n A P P λλλ-=. k A O = implies that 0i λ= for 1,2,,i n =. Hence, B O =. This will imply that A O =.Contradiction!。
南京航空航天大学-2013年-硕士研究生招生考试初试试题(A卷)-815理论力学
C M 4m D 3m
第 1 题图
z 5
机身
3 7
机翼
FL y
第 2 题图
B
第 3 题 （25 分） 图示机构中， 半径为 r 的圆轮在轮心 A 与 杆 长度为 r 的杆 O1A 铰接， O1A 以匀角速 ω1 绕
O1 轴转动， 带动圆轮 A， 进而驱动杆 O2B 绕 O2
B C
ϕ
第 7 题图
科目代码：815 科目名称：理论力学 第 2 页 共 2 页
R = 2r ， 长为 l 的杆 AB 分别在两端与两轮
缘铰接。已知轮心 C 以匀速 vC 向左运动， 图示瞬时点 A 运动至最高点，杆 AB 处于 水平位置，A、B、C 三点共线。试求此时： 轮 O 的角速度 ωO 和杆 AB 的角加速度
vCห้องสมุดไป่ตู้C
B
A O
第 4 题图
α AB 。
第 5 题 （20 分） 均质细杆 AB 质量为 m，长为 l = 2 r，均质 圆盘质量也为 m，半径为 r。杆与圆盘在点 A 处 焊接（AB 与过点 A 的直径垂直） 。系统在铅垂平 面内可绕轴 O 转动。初始时杆 AB 水平，系统从 静止开始运动。试用达朗贝尔原理求此瞬时，杆
南京航空航天大学 2013 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）
科目代码： 815 科目名称： 理论力学 满分： 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸
上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ F
第 1 题 （25 分） 图示平面结构由 T 字形杆 ABC 和直 杆 CD 组成，所受载荷及尺寸如图所示。 已知：F = 60 kN，M = 100 kN⋅m，q = 25 kN/m。各杆自重及各处摩擦均不计。试 求：支座 A、D 处的约束力。 第 2 题 （15 分） 图示喷气式飞机的机翼在 A 处与机 身固定，机翼的重力 FG 平行于 z 轴，机 翼同时受到平行于 x 轴的发动机推力 FT 和平行于 z 轴的气动升力 FL 的作用，若 FG＝20kN，FT＝8kN， FL=40kN，有关 尺寸如图，单位为 m。试求 A 处的约束 力和约束力偶。
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
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2012 ~ 2013学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期：2013年1月15日课程编号：A080001命题教师：阅卷教师：
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间，对任意 ，定义： ，其中 .
(1)求 的一组基和维数；
(2)对任意 ，定义：
(1)求系数矩阵 的满秩分解；
(2)求广义逆矩阵 ；
(3)求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答:(1)矩阵 , 的满秩分解为
.…………………(5分)
(2) .……………………(10分)
(3)方程组的极小最小二乘解为 .…………(5分)
共6页第5页
四、(20分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1)求 ；
(2)证明矩阵幂级数 收敛；
(3)求矩阵幂级数 的和.
解答：(1) .………(10分)
(2)因为 是相容范数，且 ，则 在收敛半径内，因此级数收敛.……………(5分)
(3) .……………(5分)
共6页第6页
五、(20分)设 是两个 阶矩阵,其中 ，证明:
(1)若对任意 ，有 则 可逆；
(2)若 都是Hermite正定矩阵，则 的特征值均为正数；
，
证明 是 的一个内积；
(3)求 在题（2）所定义的内积下的一组标准正交基;
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1）所取基下的矩阵………………………………(5分)
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3)标准正交基 .…………(5分)
解答: (1) 的行列式因子为 ;…(3分)
不变因子为 ;…………………(3分)
初等因子为 ;……………………(2分)
Jordan标准形为 .……………………(2分)
(2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同;…………………(5分)
相似,理由是各阶行列式因子相同.…………………(5分)
共6页第4页
三、(20分)已知线性方程组 不相容.
(4)由于 ,所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………(3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(20分)设三阶矩阵 ， ， .
(1)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形；
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
(3)若 都是Hermite半正定矩阵，则 ,并且当等号成立时,必有 .
解答：
(1)由 可得， ，由于 是相容范数，则 ， 的特征值都不为零，因此 可逆.………………………(6分)
(2) ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 与 有相同的特征值，且 ，所以 的特征值均为正数.
………………(8分)
(3) ，这里 是Hermite矩阵.由于 与 有相同的特征值，且 ,所以 的特征值均为非负数,从而 .…………………(4分)
当 时,有 ,从而 .设 这里 也是Hermite矩阵,则
.
于是 ,由此得到 .…………(2分)
.