河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题(含答案解析)

河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．集合{{},2,0x A xy B y y x ===>∣∣，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，2] B ．（1，2] C ．[1，2] D ．（1，＋∞）3．已知2π-＜α＜0，sin α＋cos α＝15，则221cos sin αα- 的值为（ ） A ．75B ．257C ．725D ．24254．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．22y x =-B ．()2112y x =- C ．2log y x =D ．12log y x =5．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是 A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．5πB ．12πC ．20πD ．8π8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减，若21log 5a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.52c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题:p x A B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件10．函数()log 31a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上（其中,0m n >），则12m n+的最小值等于 A ．10B ．8C ．6D ．411．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （2 +x ）=－f （x ），且当时x ∈[0，1]时2()1f x x =-+，则方程[)(),0,1f x k k =∈在[－1，5]的所有实根之和为 A ．0B ．2C ．4D ．812．设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若123a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，0b =，56c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知()1f x +是定义域为R 的偶函数，对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，且()30f =，则()0f x x>的解集为___________. 14．已知F 为抛物线2:C y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上，且分别位于x 轴的上、下两侧，若BFO 的面积是12（O 为坐标原点），且12OA OB ⋅=，则直线AB 的斜率是______．15．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝1，E 为BC 的中点，则点A 到平面A 1DE 的距离是______．16．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线右支相交于点B ，若13FA FB =，则双曲线的离心率为______. 三、解答题17．如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）（1）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（2）在所给直观图中连接BC '，证明：//BC '平面EFG ．18．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间. 19．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．20．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知22(sin sin )sin 3sin sin A B C A B +-=. （1）求角C ；（2）若4b =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围. 21．设函数()()1,0f x a b a bx=>+. （1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.22．已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21nn +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据集合相等，找到,a b 满足的等量关系，求得,a b ，即可求得b a -. 【详解】因为{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，又0a ≠，故可得：0a b +=，当1b =时，1a =-，满足题意，此时2b a -=； 当1ba=时，b a =，解得0a b ==，不满足题意，舍去. 故2b a -=. 故选：C. 2．B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可 【详解】解：由(2)0x x -≥，得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤， 由于0x >，所以0221x >=，所以{}1B y y =>， 所以{}12A B x x ⋂=<≤， 故选：B 3．B 【解析】 【分析】利用同角基本关系式得到cos α－sin α，从而得到结果. 【详解】 因为2π-＜α＜0， 所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2， 所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－125＝4925， cos α－sin α＝75，cos 2α－sin 2α＝1775525⨯=，所以221cos sin αα-的值为257. 故选：B 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案 【详解】由题中表格可知函数在()0,∞+上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B ． 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用问题，解题时应掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题． 5．A 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，根据题意，结合函数的图象得到17(,0)3x ∈-，236x x +=，进而求得123x x x ++的取值范围.【详解】由题意，作出函数()f x 的图象，如图所示，若存在互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x k ===， 可得(3,4)k ∈-，不妨令123x x x <<，则17(,0)3x ∈-，236x x +=，则12311(,6)3x x x ++∈，即123x x x ++的取值范围是11(,6)3.故选：A.6．D 【解析】 【分析】首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求ϕ的取值范围. 【详解】()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,令2222232k x k ππππϕπ-+≤-+≤+解得51212k x k ππϕπϕπ-++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，126{5126k k ππϕπππϕπ++≥-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈0k ∴=时，124ππϕ≤≤.故选D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型. 7．A 【解析】由三视图还原几何体的直观图，补全几何体为长方体有几何体的外接球即为该长方体的外接球，由长方体外接球半径R 为体对角线的一半可求出R ，进而求球体表面积. 【详解】由三视图知：几何体为上图四棱锥11B ADD A -，且11ADD A 为边长为1的正方形，AB =1111ABCD A B C D -，则几何体的外接球即为该长方体的外接球，所以外接球半径R 为长方体的体对角线的一半，∈R =，由外接球的表面积为245R ππ=，故选：A 8．D 【解析】 【分析】根据奇偶性可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增，并能将a 变为()2log 5f ；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递减()f x ∴在()0,∞+上单调递增则：()()2221log log 5log 55a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0.522log 5log 4.1220>>>> ()()()0.522log 5log 4.12f f f ∴>>即：a b c >> 本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较. 9．C 【解析】根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意；对于B ：若命题:p x A B ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B 正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意. 故选：C 10．D 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得定点(2,1)A --，得到22m n +=，再把式子化为112()(2)2m n m n++，利用基本不等式，即可求解.【详解】由对数函数的性质可得，函数()log 31a y x =+-点的图象恒过定点(2,1)A --， 又因为点A 在直线20mx ny ++=，所以22m n +=，则121121411()(2)[4()](4(44)42222n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+=， 当且仅当4n m m n=，即11,2n m ==等号成立，所以12m n+的最小值为4，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及基本不等式求最小值，其中解答中熟记对数函数的性质，合理化简，准确使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 11．D 【解析】 【详解】试题分析：画出函数f （x ）的图像如下，由图像知，所有实根之和为1234()()8x x x x +++=．故选D ．考点：方程的根点评：当题目不是求出函数的具体零点时，通常通过画出函数的图像来求解． 12．A 【解析】根据题意，构造函数()()cos g x f x x =，求导，可得()g x 在()0,π上的单调性，将a ，b ，c变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】设函数()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-， 因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,π上是增函数， 1cos ()23333a f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ()2202f g b πππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，5555cos ()6666c f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a b c <<， 故选：A 13．()(),10,3-∞-【解析】根据题意推出()f x 在(,1]-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，分类讨论x ,利用函数()f x 的单调性可解得结果. 【详解】因为对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在(,1]-∞上单调递增，因为()1f x +是定义域为R 的偶函数，所以(1)f x +的图象关于直线0x =对称，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(213)(1)f f f =⨯-=-， 因为(3)0f =，所以(1)0f -=，当0x <时，()0f x x>可化为()0f x <(1)f =-，因为()f x 在(,0)-∞上递增，所以1x <-， 当01x <≤时，()0f x x>可化为()0(1)f x f >=-，因为()f x 在[1,1]-上递增，所以1x >-，又01x <≤，所以01x <≤， 当1x >时，()0f x x>可化为()0f x >(3)f =，因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以13x <<，综上所述：()0f x x>的解集()(),10,3-∞-.故答案为：()(),10,3-∞-【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性解不等式是关键，根据函数的奇偶性和对称性可得函数的单调性14．13-【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由BFO 的面积可求得点B 坐标，再由12OA OB ⋅=可求得点A 坐标，即可求出斜率. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ．由抛物线2y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，而()2111242BFO S y =⨯⨯-=△，得24y =-，则216x =，由12121116412OA OB x x y y x y ⋅=+=-=，则1143x y -=，又211y x =，结合10y >，解得11y =，11x =，所以直线AB 的斜率是()1411163--=--． 故答案为：13-.15 【解析】 【分析】利用等体积法，转化求解点A 到平面A 1DE 的距离即可． 【详解】在长方体在1111211323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯= ，1AD =DE =，1EA ==，22211A D DE A E =+ ，1DE A E ∴⊥ ，112A DES=， 设点A 到平面1A DE 的距离为h ，11133A A DE V h -== ，解得：h =，【点睛】本题考查点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为F '，由条件可得||1,|3|,cos ,3FA FB FB b b FA b BFF c '====∠，由双曲线定义可得||32BF b a '=-，在BFF '中根据余弦定理，建立,,a b c 关系，再结合222c a b =+，即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为F '，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ， ,||,||,||OA FA OA a OF c FA b ∴⊥==∴=，1,cos ||33,FA FB FB b b BFF c '==∠=，||32F B b a '=-，在BFF '中，222||||||2||||cos F B FB FF FB FF BFF ''''=+-∠，222(32)94232bb a bc b c c-=+-⨯⨯⨯，整理得332,,2b a b e a =∴==故答案为. 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质、圆的切线性质、余弦定理，注意双曲线定义在解题中的应用，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题. 17．（1）图见解析，3284cm 3；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据柱体和锥体体积公式，求该多面体的体积； （2）要证明线面平行，转化为证明线线平行，即可证明. 【详解】解析（1）如图所示． 所求多面体的体积是：311284446222cm 323V V V ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭正方体正三角锥（2）如图所示，复原长方体ABCD A B C D ''''-，连接AD '，则//AD BC ''．∈E ，G 分别是AA '，A D ''的中点， ∈//AD EG '．从而//EG BC '． 又BC '⊄平面EFG ， ∈//BC '平面EFG ．18．（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）利用函数()y f x =的最大值可求得A ，由图象计算出函数()y f x =的最小正周期，可求得ω的值，再代入点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，结合22ππϕ-<<可求得ϕ的值，由此可解得函数()y f x =的解析式；（2）利用三角恒等变换思想化简函数()y g x =的解析式为()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，即可得出函数()y g x =的单调递增区间.【详解】（1）由函数()y f x =的图象可知，()max 2A f x ==，函数()y f x =的最小正周期为24236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则21T πω==， 又2sin 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得πsinφ16， 22ππϕ-<<，2363πππϕ∴-<+<，62ππϕ∴+=，解得3πϕ=，因此，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()()1cos 2sin cos 2sin cos 32g x f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin cos sin 22sin 223x x x x x x π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 令()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈. 因此，函数()y g x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】已知图象求三角函数解析式()sin y A x b ωϕ=++（或()cos y A x b ωϕ=++）的步骤如下： （1）先求振幅A 与平衡位置b ：()()max min2f x f x A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求频率ω：2Tπω=； （3）求初相ϕ：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.19．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【解析】【详解】（∈）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．（∈）由（∈）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 20．（1）3π；（2）. 【解析】（1）由正弦定理角花边可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得2221cos 22a b c C ab +-==，即可得解；（2）因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3C π=，A B C π++=得到23A B π+=， 62B ππ<<，216sin 2tan ABCS bc A Bπ⎛⎫===+△. 【详解】（1）由正弦定理得()()3a b c a b c ab +++-=， ∈222a b c ab +-=，由余弦定理可知，2221cos 22a b c C ab +-==，又∈(0,)C π∈，∈3C π=.（2）因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3C π=，A B C π++=得到23A B π+=， ∈022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∈62B ππ<<.正弦定理得，sin sin b cB C=，4b =. 三角形面积公式有：216sin 2tan ABCS bc A Bπ⎛⎫===+△ 又因62B ππ<<，故tan B ，∈ABC S <△ 故ABCS的取值范围是.【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式，属于中档题. 解三角形的范围问题有以下两种方法：（1）利用基本不等式，根据基本不等式转化，构造不等式求范围；（2）利用三角函数，一般方法是根据正弦定理边化角，构造三角函数，通过角的范围求解.21．（1）1a b ==；（2）(,1]-∞. 【解析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a ba b -=--++，又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=， 所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭，当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．(1)21n a n =-；(2)()143149n n n T ++-⋅=.【解析】 【详解】（∈）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得1a 1,d 2，所以2 1.n a n =-（∈）由（∈）知21224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.。