高中数学高二数学 数列通项公式求法集锦

数列通项公式求法集锦
一、累加法（叠加法、迭加法）
1、d a a n n +=+1（d 为常数）：等差数列为代表
2、)(1n f a a n n +=+则
)1(.....)2()1(......)1()2()1(121-++++==-+-+=-+=--n f f f a n f n f a n f a a n n n )(n f 为关于n 的函数，一般有以下形式：
（1） 裂项消项法：
)11()(2k n n k A kn n A n f +-=+= 、)11()(2n
k n k A kn n A n f --=-= )())(()(n k n k A n k n n k n n k n A k n n A n f -+=-+++-+=++=
例：1111)(2+-=+=
n n n n n f ； 裂项方法：令1
1)(2+-=+=
n B n A n n n f ，则n n A n B A n n Bn n A n B n A n n ++-=+-+=+-=+222)()1(11，对比n n +21与n n A n B A ++-2)(可以得到等式⎩⎨⎧==-10A B A ，则⎩⎨⎧-==1
1B A ，所以1111)(2+-=+=n n n n n f 。

（2）常用数列：b kn n f +=)(（等差数列） n q k n f ⋅=)(（等比数列）
累加时为求等差或等比数列的前n 项和。

（3）特殊数列：2)(n n f = 3)(n n f =
6)12)(1(......3212222++=
++++n n n n 22223333).....321()2
)1((4)1(......321n n n n n n ++++=+=+=++++ 二、累乘法（叠乘法、迭乘法）
1、n n qa a =+1（q 为非零常数）：等比数列为代表：11-⋅=n n q a a ；
2、n n a n f a •=+)(1，则
)1(.....)2()1(......)1()2()1(121-••==-•-•=-•=--n f f f a n f n f a n f a a n n n
)(n f 为关于n 的函数，一般有如下形式
（1）k
n k n n f +++=1)(， )1(.....)2()1(......)1()2()1(121-••==-•-•=-•=--n f f f a n f n f a n f a a n n n =1
11.....231211+++•=+++••++•++k k n a k n k n k k k k a （2）1)(-•=n q k n f
)1(.....)2()1(......)1()2()1(121-••==-•-•=-•=--n f f f a n f n f a n f a a n n n =1)(.....)()(121-•=⋅••⋅•⋅••-n S n n q k q k q k q k k a （S n-1 为q 的指数（等差数列）的前n-1项和）
三、q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，则有t tp pa a n n +-=+1，所以q t tp =+-，则p
q t -=1。

令t a b n n -=，则有t a b n n -=，则有n n pb b =+1，利用迭乘法（方法二、1）可解。

四、n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法一：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q
q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q
b q p b n n 11+=+再利用类型三解决。

解法二：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n p ，得：n n n n n p q p p
a p a )(111⋅+=++ 引入辅助数列{}n
b （其中n
n n p a b =
），得：n n n p q q b b )(11⋅+=+再利用迭加法（方法一，2，（2））解决。

五、n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一：(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++，{则
))(12n n n tsa a t s a -+=++则s ，t 满足⎩
⎨⎧-==+q st p t s ，}令n n n sa a b -=+1，则有n n tb b =+1，解出n b （等比数列）的通项公式，则有111-+⋅+=n n n t b sa a ，再利用类型四解出n a 。

解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根。

当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定
（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；
当21x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即
把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。

六、r n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：两边取对数，n r n n a r p pa a lg lg )lg(lg 1+==+,令n n a b lg =，则p rb b n n lg 1+=+，利用方法三可解。

七、C
Ba Aa a n n n +=+1 解法：两边取倒数得到
A B a A C a n n +•=+11
1，令n n a b 1=，则有A B b A C b n n +•=+1，利用方法三可解。

八、1+n a =
D
Ca B Aa n n ++型（A 、B 、C 、D 为常数） 特征根法：x =D
Cx B Ax ++ （1）21x x ≠时，2
1x a x a n n --=C ·2111x a x a n n ---- （2）21x x =时， 11x a n -=C x a n +--111 九、q pn a a n n +=++1或n n n pq a a =⋅+1
解法：对于q pn a a n n +=++1 （1）
q n p a a n n +-=+-)1(1 （2）
（1）-（2）得到p a a n n =+-+11，即数列中的所有奇数项和偶数项分别构成等
差数列。

对于n n n pq a a =⋅+1 （1）
11--=⋅n n n pq a a （2）
（1）/（2）得到q a a n n =-+1
1，即数列中的所有奇数项和偶数项分别构成等比数列。

练习
例1 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，求该数列的通项n a
例4 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列通项n a
例5 设数列{}n a 的前n 项的和14122333
n n n S a +=-⨯+， 求通项n a ； 例6已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
例7已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
32
，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛a n ｝的通项公式；。