函数,平面直角坐标系
平面直角坐标系与函数的概念
专题四 函数第一节 平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。
2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平 面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。
3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。
说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。
⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。
5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。
6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的 ，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。
(3)常量：在某变化过程中的量。
变量：在某变化过程中的量。
(4) 函数的表示方法:①；②；③。
能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。
二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′， 则A 点的对应点A ′点的坐标是（ ）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。
讲平面直角坐标系与函数
奇偶性是指函数是否具有对称性的性质。如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该 函数为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
03
一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，自变量x的最 高次数为1。
解释定义
一次函数描述了一个直线上的点的变化规律，其中x表示横坐 标，y表示纵坐标。k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐 标。
值域是函数的重要组成部分，它们反映了函数与实际问题的联系和限制
。
函数的表示方法
函数的符号表示
通常用一个函数符号f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f表示因变量。函数f(x)的值随x 的变化而变化。
表格法表示函数
表格法是一种直观地表示函数的方法，通过列出一些自变量x的值和对应的因变量y的值， 可以清晰地展示函数的变化情况。
当k<0时，函数在x<0和 x>0时都是单调递增的。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数被用来 描述电磁场、引力场等物理现象 。
在生物学中，反比例函数被用来 描述细胞分裂、神经传导等生物 过程。
反比例函数的应用广泛，如在物 理学、工程学、生物学、数学、 化学和经济学等领域都有广泛的 应用。
在工程学中，反比例函数被用来 描述电路阻抗、流体阻力等物理 量之间的关系。
在数学中，反比例函数被用来研 究函数的奇偶性、单调性和周期 性等性质。
05
对数函数
对数函数的定义
自然对数函数：以数 学常数e为底数的对 数函数，记作f(x) = ln(x)。
对数函数的值域： f(x) ∈ (-∞, +∞)。
第9讲 平面直角坐标系与函数
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的
平面直角坐标系及函数基本概念
教师 许长征、田淑梅 年级九年 学科数学 第1课时 2012年 3月 14日课题平面直角坐标系及函数基本概念课型复习学 习 目 标1、平面直角坐标系2、点坐标对称性3、函数的概念4、自变量取值范围5函数表达方式及图像做法重点 点坐标对称性，函数的概念，自变量取值范围 难点 自变量取值范围环节导 学 设 计易错点及变式一、平面直角坐标系1、平面内有 且 的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内的点和 之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征：（1）各象限内点的坐标有如下特征：点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＞0；点P （x, y ）在 象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在 象限⇔x ＞0，y ＜0。
（2）坐标轴上的点有如下特征：点P （x, y ）在 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。
点P （x ，y ）在 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。
3．点P （x, y ）坐标的几何意义：（1）点P （x, y ）到 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到 袖的距离是| x |；（3）点P （x, y ）到 的距离是22y x +（4）在平面直角坐标系内任意两点的距离可表示为： 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是 ； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是 ；【典型考题】 1、点P （-1，2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．A ．（1，2）B ．（-1，2）C ．（1，-2）D ．（-1，-2）2、点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2） D 、（2，－1）3、点 P （3，－4）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿＿＿＿。
平面直角坐标系及函数图像
曲面是三维空间中由无数个平面或曲线所围成的几何体。在 三维坐标系中，曲面的方程可以用一个三元方程来表示。例 如，球面方程为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，其中 (a,b,c)为球心坐标，R为球半径。
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空间点坐标
在三维坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数x、y、z来表示，称为点P的坐标，记 作P(x,y,z)。
空间点坐标表示方法
柱坐标
柱坐标是一种用极径、极角和垂直高度三个量来表示空间点位置的方法。在柱 坐标系中，点的位置用(r,θ,z)表示，其中r为点到Z轴的距离，θ为点与X轴正方 向的夹角，z为点到XY平面的距离。
05
拓展内容：三维坐标系简介
三维坐标系定义及性质
三维坐标系定义
三维坐标系是在平面直角坐标系的基础上，引入第三个坐标轴而形成的坐标系。通常，三 个坐标轴分别用X、Y、Z表示，它们互相垂直并相交于原点O。
右手定则
在三维坐标系中，通常采用右手定则来确定坐标轴的方向。即伸出右手，大拇指指向X轴 正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
利用性质判断
周期函数具有一些特殊的性质，如周期性、 对称性、可加性等，这些性质可以帮助我们 判断一个函数是否具有周期性。
04
典型问题解析与讨论
求交点坐标问题
01
02
03
解析法
联立两个函数的解析式， 解方程组求得交点的横纵 坐标。
图象法
在平面直角坐标系中分别 作出两个函数的图象，两 图象交点的坐标即为所求 。
坐标的表示方法
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以用数对来表示。例如，(a, b)表示一个点的横坐标为a，纵坐 标为b。当a>0且b>0时，该点位于第一象限；当a<0且b>0时，该点位于第二象限；当a<0且b<0时 ，该点位于第三象限；当a>0且b<0时，该点位于第四象限。
1.第9课时 平面直角坐标系与函数
或_(a__，__b_＋__n_)．口诀(a：，左b－减n右) 加，上加下减
第9课时 平面直角坐标系与函数
1. 在平面直角坐标系中，点M(－2，－5)在( C )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 下列各点不在x轴上的是( A )
A. (－1，－1)
B. (－1，1)
C. (1，1)
D. (1，－1)
第9课时 平面直角坐标系与函数
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Байду номын сангаас
5.点P(2，－3)关于y轴对称的点的坐标是_(_－__2_，__－__3_)_． 6. 在平面直角坐标系中，将点P(－3，2)向上平移4个单位长度后得到点P′，则P′ 的坐标为_(_－__3_，__6_)． 7. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋4，m－1)，若点P在过点A(2，－3)且 与x轴平行的直线上，则点P的坐标为(0_，__－__3_)__．
坐标刻画一个简单图形；
第9课时 平面直角坐标系与函数
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◎探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义； ◎结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例； ◎能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； ◎ 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值； ◎能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系； ◎结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
函数表达式的形式 自变量的取值范围
第9课时 平面直角坐标系与函数
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函数概念与平面直角坐标系
第三章函数第1讲函数概念与平面直角坐标系考纲要求2017年命题趋势1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．2．掌握坐标平面内点的坐标特征．3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.根据往年命题情况，选择题多为压轴题，复习时重点关注函数自变量的取值范围和实际背景下的函数图像的判断.课前回顾（要点基础知识梳理）一、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相的数轴的交点O称为，水平的数轴叫，竖直的数轴叫，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标的符号特征（如上图）3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝；点P(x，y)在y轴上⇔x＝；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝，y＝ .（+ ，+）（，）（，）（，）二、特殊点的坐标特征1.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：①平行于x 轴 相同；②平行于y 轴 相同． 2．点P(a ，b)对称点的坐标其关于x 轴的对称点P 1的坐标为( ， )；其关于y 轴的对称点P 2的坐标为（ ， ）；其关于原点的对称点P 3的坐标为( ， )．3．点的平移 将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]．三、点与点、点与线之间的距离．1.点M （a ，b )到x 轴的距离为 ．2.点M （a ，b ）到y 轴的距离为 ．3.点M 1（x 1，0）M 2（x 2，0）之间的距离为 ．点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )之间的距离为4.点 M 1（0，y 1），M 2 （0，y 2）之间的距离为 ．点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)之间的距离为 .四．函数．（1）概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有 的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．（2）确定函数自变量的取值范围：① 使函数关系式 的自变量的取值的全体； ②一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；零次幂底数不为零；开偶次方的被开方数为非负数；使实际问题有意义．（3）函数的表示法：、 、 ．⇔⇔考点1： 平面直角坐标系中点的坐标特征1.(2016 年广东)在平面直角坐标系中，点 P (－2，－3)所在的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.(2016 年湖北武汉)已知点 A (a,1)与点 A ′(5，b )关于坐标原点对称，则实数 a ，b 的值是( )A.a ＝5，b ＝1B.a ＝－5，b ＝1C.a ＝5，b ＝－1D.a ＝－5，b ＝－13.(2016 年山东菏泽)如图，A ，B 的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段 AB 平移至 A 1B 1，则 a ＋b 的值为( )考点2：确定函数自变量的取值范围5.如图 ，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围则这个函数解析式为( )考点3：函数与图像的关系6．（2013·佛山）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是（ ） A B C D4．函数y ＝x x －3－(x －2)0中，自变量x 的取值范围是 A.y ＝x ＋2 B.y ＝x 2＋2 C.y ＝x ＋2 D.y ＝1x ＋2巩固提升1.(2016 年湖北荆门)在平面直角坐标系中，若点 A (a ，－b )在第一象限内，则点 B (a ，b )所在的象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限当x=3时，函数值为3.(2016 年广东)如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系的图象大致是（ ）A B C D 归纳总结：本节课你收获了什么？思考如图 ，弹性小球从点 P (0,3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第 1次碰到矩形的边时的点为 P 1，第 2 次碰到矩形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到矩形的边时的点为P n .则点P 3的坐标是__________，点 P 2014 的坐标是________.2.在函数y ＝x ＋1x 中，自变量x的取值范围是___________.。
平面直角坐标系与函数的概念
考点聚焦
考点三 函数的有关概念及图象
2. 函数的三种表示法 (1)解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运 算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. (2)列表法： 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系， 这种表示法叫做列表法. (3)图象法： 用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
相反数.
③特殊位置点的特点：P（a ，b）若在一、三象限角的平分线上，
则 a=b ，若在二、四象限角的平分线上，则 a=-b.
考点聚焦
考点一 平面直角坐标系的有关概念
④对坐标轴的距离：P（a ,b）到x轴的距离 |b| ，到y轴的距离 |a| ，到原
点的距离
.
⑤坐标平面内点的平移：将点P（a ,b）向左右平移h个单位，对应点坐标 为 (a-h,b) 或 (a+h,b).向上（下）平移k个点位，对应点坐标为
强化训练
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （ •东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在
第二象限，则m的取值范围是（
A．m＜﹣1
B．m＞2
C） C．﹣1＜m＜2 D．m
＞﹣1
强化训练 (1)当函数表达式是整式时，自变量可取 ；
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
考点一：平面直角坐标系中点的特征
关于原点对称，横纵坐标都互为相反数.
使函数 的自变量的取值的全体，叫做自变量的 .
考使点函二 数：平面的考直自角点变坐量二标的系：取与值平其的知面全识体直，角叫做坐自标变量系的与其. 知识
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；
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函数，平面直角坐标系
函数是一个数学概念，是一个映射关系，指实数集合内的任一元素都有且仅有一个相
关联的另一元素。
在平面直角坐标系中，我们可以以函数图像的方式表示函数的性质，包
括其定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
本文将对函数在平面直角坐标系中的表
示及其相关性质进行介绍。
一、坐标系及函数的定义
平面直角坐标系是一个由横纵坐标轴和它们的正负半轴组成的二维平面，通常用X轴
和Y轴表示。
在这个坐标系中，点的位置是由它在X轴与Y轴上的坐标决定的。
函数是一个映射，它是一个从一个集合到另一个集合的规则。
在数学中，函数通常被
表示为一系列的输入与输出变量，即f(x) = y，其中f是函数符号、x是输入变量，y是输出变量。
函数可以用一张图像来表示。
二、函数的基本性质
函数的图像可以表示出函数的一些基本性质，如函数的定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。
定义域：定义域指函数有效的输入值范围，通常用集合的形式表示。
如果定义域中
的某一个值会导致函数无意义或报错，那么该值就不在定义域内。
值域：值域指函数可输出的实际值的范围。
值域由图像框定，根据函数的单调性和
对称性，可以很容易确定其值域。
单调性：单调性是指在函数定义域内函数值的增减关系。
如果函数在定义域内单调
递增，那么它的图像就是从左到右逐渐升高的。
如果函数在定义域内单调递减，那么它的
图像就是从左到右逐渐降低的。
对称性：对称性是指函数图像关于某条线或某点的对称性。
当函数关于X轴或Y轴对称时，称函数图象关于X轴或Y轴对称。
当函数关于原点对称时，称函数图象关于原点轴
对称。
奇偶性：奇偶性是指函数的性质：当任意一个输入变量的相反数被输入到函数中时，函数的输出值是否保持不变。
如果函数在其定义域内关于原点对称，则称之为奇函数。
如
果函数恒等于它的相反数，即f(-x) = -f(x)，则称之为偶函数。
三、常见函数的图像
在平面直角坐标系中，有许多常见的函数，它们的图像则有着相应的特点。
直线函数：直线函数的图像是一条直线，其一般式为y = kx + b，其中k为斜率，b 为截距。
直线函数的定义域为实数集，值域为实数集。
直线函数在定义域内单调，当斜率
为正时函数单调递增，当斜率为负时函数单调递减。
二次函数：二次函数的图像呈现开口朝上或朝下的“U”或“n”形。
一般式为y =
ax² + bx + c。
利用平移, 可以确定二次函数的顶点和对称轴。
当a>0时，二次函数的图像开口朝上，顶点在对称轴上方；当a<0时，二次函数的图像开口朝下，顶点在对称轴下方。
反比例函数：反比例函数的图像呈现开口朝上或朝下的“n”形，可以用y=k/x表示，其中k为非零实数。
反比例函数的定义域为实数集除去零因子，值域为非零实数集。
反
比例函数在定义域内单调递减。
指数函数：指数函数的图像呈现上升的“J”型，其一般式为y = a^x，其中a为大于零且不等于1的常数。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
当a>1时，指数
函数的图像逐渐增长，当0<a<1时，指数函数的图像逐渐下降。
四、结论
在平面直角坐标系中，函数的图像展现了函数的基本性质，如定义域、值域、单调性、对称性和奇偶性等。
了解这些性质可以帮助我们更好地理解和应用函数。
此外，不同类
型的函数对应的图像也有着不同的特点，掌握常用函数的图像可以帮助我们更好地理解和
应用数学知识。