人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类讲义

因式分解大归类
知识点：
因式分解：【定义】 把一个单项式或多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。

整式乘法与因式分解的对比
如：x x x x +=+2
)1(， 称这种式子变形为整式的 乘法 。

反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。

一、提公因式法
例1：把c ab b a 323128+分解因式 （温馨提示：方法是先“找”，再“提”）
“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是 ；
（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是 （指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是 ，
所以，238b a 与c ab 312的公因式就是 。

解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅
例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式 （分析：“找”公因式，是 ）
针对性练习：1、找下列各式的公因式
（1）n m 2与3mn 公因式是 （2）102x 与x 15的公因式是
（3） 23x 与212xy 的公因式是 （4）bc a ab c ab 2
23201612+-的公因式是
2、把下列各式分解因式
（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-
（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2
293xy x -
（7）2
2912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-
（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()
2222b a q b a p +-+
（11）()()712742+-+x x a
（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2
二、利用“平方差公式”进行因式分解
整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ， ，这个变形过程是 因式分解 。

即：两个数的平方差，等于这两个数的和．与这两个数的差．
的 乘积 判断下列多项式是否利用平方差公式进行因式分解，若能，请分解因式：
(1) （ ）22a b - ； （2）（ ）22b a +
（3）（ ）29x - ； （4）（ ）22x y -+ （5）（ ）225y x - ；（6）（ ）4
12-y
（1）2
21625y x - (2)21a - (3)224x y - 解：原式()()2
245y x -=
(4)2542-x （5）22
0.25x y - (6)216121m -
针对性练习： 1．分解因式：
（1）2249b a - （2）22169y x - （3）1162-x （4）2
24y x +-
2．若5=+n m ，5=-n m ，则2
2n m -=
3．分解因式（注意：必须分解到每个因式都不能分解为止）
（1）44y x - （2）4x －81 （3）164-x （4）164+-a
4．分解因式：
（1）2249x y - （2）ab b a -3 （3）2
4x y y -
对比：整式乘法：（1）
()=+2b a （2）(
)=-2b a 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的
可知：整式乘法和 是互逆运算，利用完全平方公式可以因式分解。

完全平方式：把．．．．．．．式子222b ab a ++和2
22b ab a +-叫做完全平方式．．．．． 244a a -+=22(___)2(___)(___)(___)-⋅⋅+ =
____________962=++y y = ；____________36122=+-b b =
2．分解因式：（1）2242025b ab a ++ （2）1442
++b b
解，原式 =
=
（3）49142+-m m （4）1222+-xy y x
分解因式综合题目：
例题：(1)2244y xy x -+- (2)36)(12)(2
++-+b a b a (3) 22363ay axy ax ++ 分析：(1)与“完全平方式”222b ab a ++和222b ab a +-对比，观察“平方项”的系数特点。

解决办法：（1）先提公因式 。

（2）将b a +看作一个整体，即发现有“完全平方式”。

（3）观察：这个多项式不是完全平方式。

但提出公因式 后，可以得到：
解：(1) 解：原式()2244y xy x +--
= （2） （3）
=
=
▲（1）()2222=++b ab a （2） ()2222=+-b ab a
针对性练习：
1．分解因式
（1）924162+-x x （2）4
12++y y （3）2296b ab a ++
2．分解因式: （1）c ac c a
442+- （2）22363ay axy ax +-
3．分解因式（1）36122---x x （2）2
22y x xy --- (3)=+-xy y x 4)(2
四、“()pq x q p x +++2
”型整式的因式分解 （十字相乘法） 整式乘法：()()=++q x p x ；
因式分解：()=+++pq x q p x 2
注意“()pq x q p x +++2”结构特点：
二次项系数是 ，常数项是p 与q 的 ，一次项系数是p 与q 的 。

即：常数项分解成两个因数的积，一次项系数恰好等于 这两个因数的和 。

例1：分解因式：1072
++x x
分析：二次项系数是 ，常数项10= ，一次项系数7= ，
解： 1072++x x (_____)(_____)2++=x x =
二、因式分解 （1）1072+-x x （2）1272+-y y
解 原式=_____(______)2++x x =
（3）10112+-x x （4）10112++x x （5）232++x x
（6）822--x x （7）1872-+x x （8）1242
--x x
拔高：1.分解因式.
(1)(x+y)2-9y 2； (2)a 2-b 2+a +b ； (3)10b(x-y)2-5a (y-x)2；
2.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形.
3.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.
课外作业：
1. 下列运算过程是整式乘法的是（填写序号） ，是因式分解的是 。

（1）)2)(2(422y x y x y x -+=- （2）xy x y x x 62)3(22-=-
（3）9)3)(3(2-=-+a a a （4）)2)(2(42-+=-m m m
（5）11025)15(22+-=-a a a （6）22)2(44+=++x x x
2. 在多项式：①22y xy x -+ ②222y xy x -+- ③2
2y x xy ++ ④412
x x +-中能用完全平方公式分解因式的是（填序号） 。

3. 若多项式9
12++kx x 是完全平方式，则k 的值为 。

4. 用适当的方法对下列各式因式分解
（1）3
333axy y ax - （2）)(5)(3x y b y x a --- （3）3222a x a ax ++
（4）56152+-x x
（5）32244y y x xy -- （6）ab b a 8)2(2+-
（7）x x 4)1(2+-
（8）22363y xy x -+- （9） ()()22x p x q +-+
（10）x xy 92-
（11）22()9x y m +-
（12）()()962++-+y x y x。