点差法应用
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
点差法的应用
点差法公式在高考中的应用圆锥曲线中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就圆锥曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.022********=-+-b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.【注意】能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.典题妙解例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a . ∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点 为),(y x P .由平行四边形法则知：F F F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=F .∴.926)1(22=+-y x ① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例 2. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ， ∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x . （Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB . （Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB=⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.① 由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.②,由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴符合题意的k 的值存在，2±=k .例（05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=，∴)81,0(,41F p =.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=.由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 练习1. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D四点是否共圆，为什么？3. (08陕西理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N. （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由 参考答案1. 解：（1） 点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在. 由22ba x y k AB-=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x . 2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200a b x y k AB=⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 8.（Ⅰ）证明：41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行.当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =.∴82220k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k .设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82kx m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=.代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x .0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB ∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ， ∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N .由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x .设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x k x x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB . ∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。
点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用
[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５(１)求直线ＡＢ的方程ꎻ(２)如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于ＣꎬＤ两点ꎬ那么ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点是否共圆ꎬ为什么?解㊀(１)由题意知ꎬ直线ＡＢ的斜率存在且不为０ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＢ的斜率为ｋꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ꎬｙ１＋ｙ２＝４ꎬｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２.由ｘ２１－ｙ２１２＝１ｘ２２－ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝１ꎬ从而ｋ＝１.故直线ＡＢ的方程为ｙ－２＝１ (ｘ－１)ꎬ即ｘ－ｙ＋１＝０.(２)解略.评注㊀此问题用常规方法也易求解ꎬ但没有用点差法来得快.２.用点差法简求轨迹方程例２㊀(２００１年春季高考上海卷 文理２１)已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２２＝１ꎬ点Ｐ(ａꎬｂ)的坐标满足ａ２＋ｂ２２ɤ１ꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｑ为线段ＡＢ的中点ꎬ求:(１)点Ｑ的轨迹方程ꎻ(２)点Ｑ的轨迹与坐标轴的交点的个数.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ｘꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ.由ｘ２１＋ｙ２１２＝１ｘ２２＋ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘｙꎬ又ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｂ－ｙａ－ｘꎬ从而ｂ－ｙａ－ｘ＝－２ ｘｙꎬ即２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.故点Ｑ的方程为２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.(２)解略.３.用点差法简求圆锥曲线的方程例３㊀(２０１３年高考新课标全国卷Ⅱ 理２０)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１ꎬｙ０－０ｘ０－０＝１２.ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬ㊀①ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï①－②并整理ꎬ得ｂ２(ｘ１＋ｘ２)ａ２(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ꎬ所以ｂ２ ２ｘ０ａ２ ２ｙ０＝１ꎬ故ｂ２ａ２ ２＝１ꎬ即ａ２＝２ｂ２.又由题意知ꎬＭ的右焦点为(３ꎬ０)ꎬ故ａ２－ｂ２＝３.因此ꎬａ２＝６ꎬｂ２＝３.所以Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)解略.评注㊀此问题若没有想到点差法ꎬ就不易求解了ꎬ甚至解不出来.４.巧用点差法简解对称题型一般地ꎬ对称直线㊁对称点的题目ꎬ用点差法求解较为简便.例４㊀(１９８６年高考广东卷 理４)已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ试确定ｍ的取值范围ꎬ使得对于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍꎬ椭圆Ｃ上有不同的两点关于该直线对称.解㊀设椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１上不同两点Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)关于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍ对称ꎬ线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｋｐｐ＝－１４.ｘ２１４＋ｙ２１３＝１ꎬ㊀①ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï４５①－②并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－３４ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ又因为ｋｐｐ＝－１４ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１４ꎬ所以－１４＝－３４ ２ｘ０２ｙ０ꎬ即ｙ０＝３ｘ０.由ｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｙ０＝３ｘ０ꎬ{解得ｘ０＝－ｍꎬｙ０＝－３ｍ.{因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１内ꎬ所以ｘ０２４＋ｙ０２３<１ꎬ即ｍ２４＋９ｍ２３<１ꎬ解得－２１３１３<ｍ<２１３１３ꎬ即为所求ｍ的取值范围.评注㊀解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件ꎬ应认真领会.５.注意中点的构造ꎬ创造点差法的条件简解题例５㊀(２０１６年高考浙江卷 理１９)设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１).(１)求直线ｙ＝ｋｘ＋１被椭圆截得的线段长(用ａꎬｋ表示)ꎻ(２)若任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点ꎬ求椭圆离心率的取值范围.分析㊀(１)略.(２)因为此问题ꎬ正面情况较多或正面入手困难ꎬ所以想到从反面入手ꎬ即运用正难则反思想ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至少有４个公共点.而在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的公共点数不可能是５ꎬ６ꎬ７ꎬ ꎬｎ.故而ꎬ在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)有４个公共点.解㊀(１)略.(２)假设圆与椭圆有４个公共点ꎬ则圆与椭圆在ｙ轴左侧有２个交点ＰꎬＱ.设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＰＱ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ于是ｘ２１ａ２＋ｙ１２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２＝１ꎬ两式相减整理ꎬ得(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ａ２(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０.因为ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ又ｋＡＭ ｋＰＱ＝－１ꎬ即ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｘ０ｙ０－１ꎬ从而ｘ０＋ａ２ｙ０ －ｘ０ｙ０－１＝０ꎬ由ｘ０ʂ０ꎬ得ｙ０＝１１－ａ２.因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１内ꎬ所以ｘ０２ａ２＋ｙ０２<１.故ｘ０２ａ２＋１(１－ａ２)２<１ꎬ即ｘ０２<ａ２－ａ２(１－ａ２)２.又存在ｘ０２ɪ(０ꎬａ２)使上式成立ꎬ所以ａ２－ａ２(１－ａ２)２>０ꎬ即ａ>２.因此ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点的充要条件为１<ａɤ２ꎬ由离心率ｅ＝ｃａ＝ａ２－１ａꎬ得所求离心率的取值范围为(０ꎬ２２].评注㊀(１)命题者(官方)给出的解答计算量较大ꎬ详见文[４].(２)此问题ꎬ解法较多(详见文[１])ꎬ上述解法最简捷.点差法在高考中有着广泛的运用ꎬ如:２０１０年高考ꎬ山东卷 文９ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１２ꎬ安徽卷 理１９ꎻ２０１２年高考ꎬ湖北卷 理２１ꎻ２０１３年高考ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１０ꎻ２０１５年高考ꎬ全国卷Ⅱ 理２０ꎬ浙江卷 理１９ꎻ２０１８年高考ꎬ全国卷Ⅲ 理２０.综上所述ꎬ点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用ꎬ同时作为一种基础数学方法ꎬ它与其它数学方法之间有着极大的相关性ꎬ这是我们在解题过程中所不能忽视的ꎬ在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法ꎬ才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中ꎬ来提高解题效率与质量.㊀㊀参考文献:[１]李美君.数学 入题 三维度:直接㊁间接㊁转换 以２０１６年浙江省数学高考理科第１９题为例[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(１１):３３－３７.[２]赵建勋.点差法及其应用[Ｊ].中学生数学(高中)ꎬ２０１２(１２):２０－２１.[３]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用[Ｊ].数理化解题研究(高中)ꎬ２０１９(２):９－１０.[４]天利高考命题研究中心.２０１６高考真题(数学 理科)[Ｍ].拉萨:西藏人民出版社ꎬ２０１６.[责任编辑:李㊀璟]５５。
定比点差法的11大应用
定比点差法的11大应用
定比点差法（BCR）是一种用于经济和工程评估的方法，用于衡量项目的效益和成本之间的关系。
以下是定比点差法的11个常见应用：
1. 项目可行性分析：BCR可用于评估不同项目方案的经济可行性，并帮助选择最具经济效益的项目。
2. 投资决策：BCR可用于评估投资项目的回报率，帮助决策者判断是否值得进行投资。
3. 资本预算编制：BCR可用于编制资本预算，确定哪些项目应该获得资金支持。
4. 优化资源配置：通过比较不同项目的BCR，可以优化资源的分配，将有限的资源投入到最具经济效益的项目中。
5. 政府投资项目评估：对于政府投资项目，BCR可用于评估其社会经济效益，帮助政府决策者做出明智的投资决策。
6. 公共基础设施建设项目评估：BCR可用于评估公共基础设施建设项目的经济效益，例如道路、桥梁、水利等项目。
7. 环境保护项目评估：BCR可用于评估环境保护项目的经济效益，例如减排项目、生态修复项目等。
8. 新产品开发项目评估：BCR可用于评估新产品开发项目的经济效益，帮助企业决策者判断投入研发资源的回报率。
9. 基金会项目评估：对于非营利组织的基金会项目，BCR可用于评估其社会效益，并帮助基金会决策者选择最具价值的项目。
10. 教育和培训项目评估：BCR可用于评估教育和培训项目的经济效益，帮助学校或培训机构决策者做出合理的投资决策。
11. 健康医疗项目评估：BCR可用于评估健康医疗项目的经济效益，例如医疗设备购置、医院扩建等项目。
这些是定比点差法的一些常见应用领域。
BCR作为一种经济评估方法，可以在各个行业和领域中用于决策和资源分配的优化。
高考数学点差法在圆锥曲线中的应用(解析版)
点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16两式相减得(x12−x22)+4(y12−y22)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0∴y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−44×2=−12即k AB=−12,故所求直线的方程为y−1=−12(x−2),即x+2y−4=0.【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1)∵e=ca=3,2b=22,∴c=3a,b=2．∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．∴双曲线C的标准方程为x2-y22=1．(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1 x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l ．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点P 0,1 ，且离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点0,-35的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，线段AB 的中点为M ，求MO 的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (0,1)，其离心率为32．∴b =1，c a =32⇒1-b 2a2=34，∴b a =12，∴a =2，故椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线l 斜率不存在时，M 与O 重合，不合题意，当直线l 斜率存在时，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，直线l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=y 0+35x 0，A ，B 两点在椭圆上，有x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减，x 12-x 224=-y 12-y 22 ，即x 1+x 24y 1+y 2 =-y 1-y 2x 1-x 2，得x 04y 0=-y 0+35x 0，化简得x 02=-4y 02-125y 0，MO =x 02+y 02=-3y 02-125y 0=-3y 0+25 2+1225，∴当y 0=-25时，MO 的最大值为235【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是二次曲线C :Ax 2+By 2+Cx +Dy +F =0上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,且弦AB 的斜率存在,则Ax 21+By 21+Cx 1+Dy 1+F =0⋯⋯(1)Ax 22+By 22+Cx 2+Dy 2+F =0⋯⋯(2)由(1)-(2)得A x 1-x 2 x 1+x 2 +B y 1-y 2 y 1+y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∵x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0∴2Ax 0x 1-x 2 +2By 0y 1-y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∴2Ax 0+C x 1-x 2 =-2By 0+D y 1-y 2 ,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-2Ax 0+C2By 0+D2B +D ≠0,x 1≠x 2 .二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求过点P 12,12且被P 点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵12=x 1+x 22,12=y 1+y 22,∴x 1+x 2=1,y 1+y 2=1∴x 1-x 2+2y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =-12.直线AB 的方程为y -12=-12x -12,即2x +4y -3=0.因为P 12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x ,y 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1 ,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y∴2x x 1-x 2 +4y y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x2yx 1≠x 2又k AB =y -1x -2,所以 y -1x -2=-x 2y ,化简得：x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 ,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 (三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为2,13,求直线MN 的斜率；(2)若M ,N ,O 三点共线,直线NF 1与椭圆C 交于N ,P 两点,求△PMN 面积的最大值.【解析】(1)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 215+y 21=1,x 225+y 22=1,两式相减,可得x 1+x 2 x 1-x 25+y 1+y 2 y 1-y 2 =0,则4x 1-x 2 5+2y 1-y 2 3=0,解得k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-65,即直线MN 的斜率为-65；(2)显然直线NF 1的斜率不为0,设直线NF 1：x =my -2,N x 3,y 3 ,P x 4,y 4 ,联立x =my -2x 25+y 2=1,消去x 整理得m 2+5 y 2-4my -1=0,显然Δ=20m 2+1 >0,故y 3+y 4=4m m 2+5,y 3⋅y 4=-1m 2+5,故△PMN 的面积S △PMN =2S △OPN =2⋅12OF 1 ⋅y 3-y 4=2⋅4m m 2+5 2-4⋅-1m 2+5=45m 2+1m 2+5,令t =m 2+1,t ≥1,则S △PMN =45t t 2+4=45t +4t≤454=5,当且仅当t =2,即m =±3时等号成立,故△PMN 面积的最大值为5.【例6】已知椭圆x 225+y 29=1上不同的三点A x 1,y 1 ,B 4,95,C x 2,y 2 与焦点F 4,0 的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .【解析】(1)证略.(2)解∵x 1+x 2=8,∴设线段AC 的中点为D 4,y 0 .又A 、C 在椭圆上,∴x 1225+y 129=1,(1)x 2225+y 229=1,(2)1 -2 得：x 12-x 2225=-y 12-y 229,∴y 1-y 2x 1-x 2=-9x 1+x 2 25y 1+y 2=-925⋅82y 0=-3625y 0.∴直线DT 的斜率k DT =25y 036,∴直线DT 的方程为y -y 0=25y 036x -4 .令y =0,得x =6425,即T 6425,0 ,∴直线BT 的斜率k =95-04-6425=54.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O 为坐标原点，点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，直线l ：y =x +m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为-12．(1)求C 的方程；(2)若m =1，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22 ,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,k OM=y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2=-12∵A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆上，则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=y 1+y 2x 1+x 2×y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a 2，即-12=-b2a2，则a 2=2b 2又∵点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，则1a 2+32b 2=1联立解得a 2=4,b 2=2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：y =x +1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ ⊥l ，则k AB ⋅k PQ =-1，即k PQ =-1由(1)可得k ON ⋅k PQ =-12，则k ON =12，即直线ON :y =12x联立方程y =12x y =x +1，解得x =-2y =-1 即N -2,-1∵-2 24+-1 22=32>1，则N -2,-1 在椭圆C 外∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【例8】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，求实数m 的范围．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2+y 1+y 2 y 1-y 2 b 2=0，即1a 2+y 1+y 2 y 1-y 2b 2x 1+x 2 x 1-x 2=0，又k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1，所以1a 2-12b2=0，即a 2=2b 2．又因为椭圆C 过点1,62 ，所以1a 2+32b2=1，解得a 2=4,b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,PQ 的中点为N x 0,y 0 ，所以x 3+x 4=2x 0,y 3+y 4=2y 0，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以k PQ =-1且点N 在直线l 上，即y 0=x 0+m ．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以x 234+y 232=1,x 244+y 242=1．两式相减得x 3+x 4 x 3-x 4 4+y 3+y 4 y 3-y 42=0．即x 3+x 44+y 3+y 4 y 3-y 42x 3-x 4=0，所以x 3+x 44=y 3+y 42，即x 0=2y 0．联立x 0=2y 0y 0=x 0+m，解得x 0=-2my 0=-m ，即N (-2m ,-m )．又因为点N 在椭圆C 内，所以(-2m )24+(-m )22<1，所以-63<m <63所以实数m 的范围为-63<m <63．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 中,若直线l 与该椭圆交于点A ,B ,点P x 0,y 0 为弦AB 中点,O 为坐标原点,则k AB ⋅k OP =b 2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 且x 1≠x 2,则x 12a 2+y 12b 2=1,(1)x 22a 2+y 22b2=1,(2)1 -2 得：x 12-x 22a 2=-y 12-y 22b 2,∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2 ,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2.又k OP =y 1+y 2x 1+x 2,∴k AB =-b 2a 2⋅1k OP ,∴k AB ⋅k OP =-b 2a 2(定值).【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b为正常数)的右顶点为A ,直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且P 、Q 均不是双曲线的顶点,M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2,求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12,试探究直线l 是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),因为P 、Q 在双曲线上,所以x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2,即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2,即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12,所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形,即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时,设l ：x =t ,代入x 2a 2-y 2b2=1得,y =±bt 2a 2-1,由|t -a |=b t 2a2-1得,(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0,即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0,得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍),故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时,设l ：y =kx +m ,代入x 2a 2-y 2b2=1,得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0,Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2,x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ,所以AP ·AQ =0,即(x 1-a ,y 1)·(x 2-a ,y 2)=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0,即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0,即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0,即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0,所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时,直线l 的方程为y =-max +m ,此时经过A ,舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时,直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ,恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0,经检验满足题意；综上①②,直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0．三、跟踪检测1.已知椭圆C :x 22+y 2=1,F 1为右焦点，直线l :y =t (x -1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ．(1)当t =2时，求QF 1 ；(2)当t ≠0时，求QF 1|AB |是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，线段AB 的中点M 坐标为x M ,y M ，联立得x 2+2y 2-2=0,y =2(x -1), 消去y 可得：9x 2-16x +6=0，所以x 1+x 2=169,x 1x 2=69,所以x M =89，代入直线AB 方程，求得y M =-29，因为Q 为△ABS 三条中垂线的交点，所以MQ ⊥AB ，有k MQ k AB =-1，直线MQ 方程为y +29=-12×x -89.令y =0,x Q =49，所以Q 49,0 .由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1,相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，上顶点为D ，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，当点M 的坐标为(2,1)时，直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时，若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数，求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知，离心率e =22，所以a =2b =2c ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得k ⋅k OM =-b 2a 2=-12，所以k =-1；所以直线为y -1=-(x -2)，即y =-x +3，所以b =c =3，椭圆方程为x 218+y 29=1；(2)设直线为y =kx +m ，由y =kx +mx 2+2y 2=18得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-18=0，则x M =x 1+x 22=-2km 1+2k 2，y M =m1+2k2，�=16k 2m 2-41+2k 2 2m 2-18 =818k 2-m 2+9 >0，所以k DM =y M -3x M -0=6k 2+3-m 2km =-k ，解得m =6k 2+31-2k2，1-2k 2≠0，k ≠±22因为l 不过D 点，则6k 2+31-2k 2≠3，即k ≠0则18k 2+9-6k 2+3 21-2k 22>0，化简得4k 4-4k 2-3>0，解得2k 2-3 2k 2+1 >0，k 2>32，所以k >62或k <-62.3.已知椭圆x 22+y 2=1．(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨迹方程；(3)求过点M 12,12且被M 平分的弦所在直线的方程．【解析】(1)设弦与椭圆两交点坐标分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设P x ,y ，当x 1=x 2时，P -1,0 ．当x 1≠x 2时，x 22+y 2=1⇒x 2+2y 2=2，x 21+2y 21=2,x 22+2y 22=2, 两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 +2y 1+y 2 y 1-y 2 =0，即1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2 x 1+x 2 x 1-x 2=0(*)，因为y 1-y 2x 1-x 2=k FP =yx +1，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，所以，代入上式并化简得x 2+x +2y 2=0，显然P -1,0 满足方程.所以点P 的轨迹方程为x 2+x +2y 2=0(在椭圆内部分)．(2)设Q x ,y ，在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=2，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x +4y =0(在椭圆内部分)．所以，点Q 的轨迹方程x +4y =0(在椭圆内部分).(3)在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=k ，x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入上式可求得k =-12．所以直线方程为2x +4y -3=0．4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m =1时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又k AB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2．又因为椭圆C过点1,6 2，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1．假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以k PQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1．又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0．联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1．又因为-224+-122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1, y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p．因为直线AB的方程为y=x-p 2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p．因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x．(2)设P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由Δ=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y 2-4my +4mt +4=y 2-4my +4m 2=0的根为y =2m ,所以x =m 2,即Q m 2,2m ．因为FP =-2,m -1m ,FQ =m 2-1,2m ,所以FP ⋅FQ =-2m 2-1 +2m m -1m=0,所以FP ⊥FQ ,即F 在以PQ 为直径的圆上．6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ,过点F 1的直线l 1交椭圆C 于A ,B 两点.当直线l 1的斜率为1时,点-47,37是线段AB 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图,若过点F 2的直线l 2交椭圆C 于E ,G 两点,且l 1∥l 2,求四边形ABEG 的面积的最大值.【解析】 (1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由题意可得b 2x 21+a 2y 21-a 2b 2=0,b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2⋅-43,即4b 23a2=1,∴b 2a2=34.∵a 2-b 2=1,∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)根据对称性知AB =EG ,AB ∥EG ,∴四边形ABEG 是平行四边形,又S 四边形ABEG =2S △F 2AB ,∴问题可转化为求S △F 2AB 的最大值.设直线l 1的方程为x =my -1,代入x 24+y 23=1,得3m 2+4 y 2-6my -9=0.则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,∴S △F 2AB =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2-4⋅-93m 2+4=121+m 23m 2+4.令1+m 2=t ,则t ≥1,且m 2=t 2-1,∴S △F 2AB =12t 3t 2+1=123t +1t .记h t =3t +1tt ≥1 ,易知h t 在1,+∞ 上单调递增.∴h t min =h 1 =4.∴S △F 2AB =123t +1t≤124=3.∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.7.如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,MN ⊥l ,N 为垂足,点N 坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB 的面积(O 为坐标系原点).【解析】 (1)点N (-2,-3)在准线l 上,所以准线l 方程为：x =-2,则p 2=2,解得p =4,所以抛物线的方程为：y 2=8x ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由A 、B 在抛物线y 2=8x 上,所以y 21=8x 1y 22=8x 2 ,则y 1-y 2 y 1+y 2 =8x 1-x 2 ,又MN ⊥l ,所以点M 纵坐标为-3,M 是AB 的中点,所以y 1+y 2=-6,所以-6y 1-y 2 =8x 1-x 2 ,即k AB =-43,又知焦点F 坐标为(2,0),则直线AB 的方程为：4x +3y -8=0,联立抛物线的方程y 2=8x ,得y 2+6y -16=0,解得y =2或y =-8,所以y 1-y 2 =10,所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =y 1-y 2 =10.8.在平面直角坐标系xOy 中,设点F (1,0),直线l ：x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为M 、N .求直线MN 过定点D 的坐标.【解析】 (1)依题意,点P 在直线l ：x =-1上移动,令直线l 交x 轴于点K ,而点F(1,0),又R 是线段PF 与y 轴的交点,当点P 与点K 不重合时,OR ⎳l ,而O 为FK 中点,则点R 是线段FP 的中点,因RQ ⊥FP ,则RQ 是线段FP 的垂直平分线,QP =QF ,又PQ ⊥l 于点P ,即PQ 是点Q到直线l 的距离,当点P 与点K 重合时,点R 与点O 重合,也满足上述结论,于是有点Q 到点F 的距离等于点Q 到直线l 的距离,则动点Q 的轨迹E 是以F为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为：y 2=4x ,所以动点Q 的轨迹E 的方程为y 2=4x .(2)显然直线AB 与直线CD 的斜率都存在,且不为0,设直线AB 的方程为y =k(x -1),k ≠0,令A x A ,y A ,B x B ,y B ,M x M ,y M ,N x N ,y N ,由y 2A =4x A y 2B =4x B 两式相减得：(y A +y B )(y A -y B )=4(x A -x B ),则y A +y B =4k,即y M =2k,代入方程y =k (x -1),解得x M =2k 2+1,即点M 的坐标为2k 2+1,2k ,而CD ⊥AB ,直线CD 方程为y =-1k (x -1),同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,-2k ),当2k 2+1=2k 2+1,即k =±1时,直线MN ：x =3,当k ≠1且k ≠-1时,直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =k 1-k 2,方程为y +2k =k 1-k 2(x -2k 2-1),整理得y 1k -k =x -3,因此,∀k ∈R ,k ≠0,直线MN ：y 1k-k =x -3过点(3,0),所以直线MN 恒过定点D (3,0).9.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】 (1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1 ,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.10.己知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为42,短轴长为2,直线l 过点P -2,1 且与椭圆C 交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1,求弦AB 的长；(3)若过点Q 1,12的直线l 1与椭圆C 交于E 、G 两点,且Q 是弦EG 的中点,求直线l 1的方程．【解析】 (1)依题意,椭圆C 的半焦距c =22,而b =1,则a 2=b 2+c 2=9,所以椭圆C 的方程为：x 29+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),依题意,直线l 的方程为：y =x +3,由y =x +3x 2+9y 2=9消去y 并整理得：5x 2+27x +36=0,解得x 1=-125,x 2=-3,因此,|AB |=1+12⋅|x 1-x 2|=325,所以弦AB 的长是325.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C 内,设E (x 3,y 3),G (x 4,y 4),因E 、G 在椭圆C 上,则x 23+9y 23=9x 24+9y 24=9 ,两式相减得：(x 3-x 4)(x 3+x 4)+9(y 3-y 4)(y 3+y 4)=0,而Q 是弦EG 的中点,即x 3+x 4=2且y 3+y 4=1,则有2(x 3-x 4)+9(y 3-y 4)=0,于是得直线l 1的斜率为y 3-y 4x 3-x 4=-29,直线l 1的方程：y -12=-29(x -1),即4x +18y -13=0,所以直线l 1的方程是4x +18y -13=0.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦,直线y =kx (k >0)经过弦AB 的中点M ,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为k 1,点P 的坐标为1,32(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值.【解析】(1)由题意知1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设M x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由于A ,B 为椭圆C 上的点,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 4=-y 1+y 2 y 1-y 2 3,所以k 1=y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2 4y 1+y 2=-3x 04y 0.又k =y 0x 0,故k 1k =-34,为定值.12.已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【解析】(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1,∴a 2=1,b 2=2．设存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 21-y 212=1,x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2,即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2,∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0,则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3,直线CD 的方程为x +y -3=0,设C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,CD 的中点为Q x 0,y 0 ,x 23-y 232=1,x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2,则-1⋅y 0x 0=2,则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0,解得Q -3,6 ,x -y +1=02x 2-y 2=2 ,解得A -1,0 ,B 3,4 ,x +y -3=02x 2-y 2=2 ,整理得x 2+6x -11=0,则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F 1,F 2处,|F 1F 2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C ,当笔尖运动到点M 处时,经测量此时∠F 1MF 2=π2,且△F 1MF 2的面积为4．(1)以F 1,F 2所在直线为x 轴,以F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C 的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l 与轨迹C 交于A ,B 两点,且弦AB 的中点为N (2,1),求△OAB 的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义知2a =8,故a 2=16．∵在Rt △F 1MF 2中,|F 1F 2|=2c ,假设|MF 1|=x ,|MF 2|=y (x ,y >0),又∵△F 1MF 2的面积为4cm 2,x +y =8xy =8 ,故4c 2=x 2+y 2=(x +y )2-2xy =48,∴c 2=12,b 2=a 2-c 2=4,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵弦AB 的中点为N (2,1),∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2 且 x 1≠x 2．又∵A ,B 均在椭圆上,∴x 21+4y 21=16x 22+4y 22=16,得x 21-x 22=-4(y 21-y 22),即(x 1+x 2)⋅(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)⋅(y 1-y 2).∴(x 1-x 2)=-2(y 1-y 2).∵x 1≠x 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12故直线AB 的方程为：x +2y -4=0．联立 x +2y -4=0x 2+4y 2-16=0,整理得x 2-4x =0．得 x 1=0,x 2=4,∴A (0,2),B (4,0),∴S △OAB =12×2×4=4．∴△OAB 的面积为4cm 2．14.若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m x -3 对称,求实数m 的取值范围.【解析】当m =0时,显然满足.当m ≠0时,设抛物线C 上关于直线l :y =m x -3 对称的两点分别为P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ,且PQ 的中点为M x 0,y 0 ,则y 12=x 1,(1)y 22=x 2,(2)1 -2 得：y 12-y 22=x 1-x 2,∴k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y 0,又k PQ =-1m ,∴y 0=-m 2.∵中点M x 0,y 0 在直线l :y =m x -3 上,∴y 0=m x 0-3 ,于是x 0=52.∵中点M 在抛物线y 2=x 区域内∴y 02<x 0,即-m 2 2<52,解得-10<m <10.综上可知,所求实数m 的取值范围是-10,10 .。
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步 【微点综述】在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念． 一、定比分点若AP PB λ=，则称点P 为点,A B 的λ定比分点．若0λ>，点P 在线段AB 上，此时称点P 为内分点；若0λ<，点P 在线段AB 的延长线上，此时称点P 为外分点．①点在线段AB 上（()0,1APPBλ=∈） ①点在线段AB 的延长线上（(),1APPBλ=∈-∞-）①点在线段AB 的反向延长线上（()1,0APPBλ=∈-） 补充定义：当1λ=-时，对应的定比分点可以认为是无穷远点. 二、定比点差法原理1．线段定比分点向量公式及坐标公式已知AP PB λ=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,,111x x y y OA OB OP P λλλλλλ+++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭．证明：证法一：设()00,P x y ，()1212,,,,111x x y y OA OB AP PB OP OA OB OP OP P λλλλλλλλ+++⎛⎫=∴-=-∴=∴ ⎪+++⎝⎭.证法二：设()00,P x y ，则()()01010202,,,AP x x y y BP x x y y λλ=--=--，利用对应坐标相等即可推出1212,11,1OA OB O x x y y P P λλλλλλ++⎛⎫⎪+⎭+=+∴+⎝． 2．“定比点差法”的由来（1）若点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ+-+=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅+-⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅--+=①（和定比分点坐标公式形式保持一致）． （2）若点()()1122,,,A x y B x y 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ---=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅--⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅---=①． （3）若点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线()220y px p =>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2112222,2,y px y px ⎧=⎨=⎩于是有()222212122y y p x x λλ-=-，变形得121212121111y y y y x x x x p λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⋅=+ ⎪+-++⎝⎭，即12120011y y x x y p x λλλλ--⎛⎫⋅=+ ⎪-+⎝⎭①． 说明：1.上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当1λ=时，“定比点差法”即为“点差法”． 2.上述表达式①、①、①的形式与()00000022221,1,x x y y x x y yy y p x x a b a b+=-==+的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理. 三、定比点差对称轴轴上点公式对于过轴上的定点(),0m 或()0,m 直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.过定点(),0M m 的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，设()11,,AM MB A x y λ=，()22,B x y ，则有①截距对偶公式：1221212,1,1x x m x x a m y y λλλλλ+⎧=⎪+⎪-⎪=⎨-⎪⎪⎪=-⎩；①坐标公式：221222122,2,a a x m m m m a m a m x m m y yλλλ⎧⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-⎨=++⎪⎪⎪⎪=-⎩； ①拓展公式之1212,x x y y ：44221222224221222112,412.4a a x x m m m m b a a y y m m a m m λλλλ⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩四、定比点差法的应用（一）应用定比点差法求点的坐标 例1．已知12,F F 分别是椭圆2213x y +=的左右焦点，点,A B 在椭圆上，且125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 【答案】()0,1±【解析】如图，延长1AF 交椭圆于点C ，由对称性得12CF F B =，则115AF FC =． 设()()1122,,,A x y C x y ，则1212155,66x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()1,0F，1212550.x x y y ⎧+=-⎪∴⎨+=⎪⎩由点,A C 在椭圆上，则2211222233,257575,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 于是有()()()()121212125535572x x x x y y y y +-++-=-，即)1212572,5x x x x --=-∴-=125x x +=-110,1x y =∴=±，则()0,1A ±．【评注】由向量数乘的几何意义知1F A //2F B 且125F A F B =，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长1AF 交椭圆于点C ，得到12FC F B =，从而得到2,,A F C三点共线，且115AF FC =，于是定点1F 为焦点弦AC 的定比分点，自然想到使用定比点差法．（二）应用定比点差法求离心率例2．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l 、2l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足AM MC λ=，BM MD λ=（其中0λ>且1λ≠），若λ变化时直线AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】D【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，据此可得：131322{1x x y y λλλλ+=++=+，同理可得：242422{1x x y y λλλλ+=++=+，则：()()()()1234123441{21x x x x y y y y λλλλ+++=++++=+，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程做差可得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即：()()222121212212122x x b a y y b x x a y y +-=-⨯⇒+=++，同理可得：()()2234342a y y b x x +=+，两式相加可得()()()()22123412342a y y y y b x x x x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，故：()()()()1234123421y y y y x x x x λλ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，据此可得：22221a b e =⇒=【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ①只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．例3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过其左焦点F,A B两点，若2AF FB =，求椭圆的离心率．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2AF FB =得121222,33x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，由(),0F c -得121223,20.x x c y y +=-⎧⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，则2222221122222222,444,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()22221212121222223b x x x x a y y y y a b +-++-=-，()22221212323,2a b c x x a b x x c∴--=-∴-=，联立1223x x c +=-，得22132a c x c -=，又111y y x c ∴=+2222222232a c b a a b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422441390a a c c -+=，两边都除以4c ，得4291340e e -+=，解得23e =或1e =，又201,3e e <<∴=． 【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．（三）应用定比点差法求直线方程例4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2，过点2F 作直线与椭圆C 相交于,A B 两点，且①1ABF的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24AB F A =，求直线AB 的方程．【解析】（1）由已知可得22,4c a ==222a c b -=，解得1,a b ==∴所求的椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由24AB F A =，得2213AF F B =．设()()1122,,,A x y B x y ，得1212233,44x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()21,0F ，121234,30.x x y y +=⎧∴⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，得2211222291818,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()()1212121212123323316,4316,34x x x x y y y y x x x x +-++-=∴-=∴-=，联立1234x x +=，解得143x =，又221191818x y +=，解得21141,,,1,333AF y A k ⎛⎫=±∴±∴=±∴⎪⎝⎭直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得2213AF F B =，自然考虑定比点差法（四）应用定比点差法求弦长例5．已知斜率为32的直线l 与抛物线23y x =的交于,A B 两点，与x 轴交于点P ，若3AP PB =，求AB ．【解析】设()()()()112200,,,,,00A x y B x y P x x >，由3AP PB =，得121233,44x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，则由1201234,30.x x x y y +=⎧⎨+=⎩点,A B 在抛物线上，则2112223,927,y x y x ⎧=⎨=⎩于是有()()()1212123339y y y y x x +-=-，则1290x x -=，联立12034x x x +=，得103x x =，又11032y x x =-，则103y x =，由22110001043,99,1,,3y x x x x AP x AB AP =∴=∴=∴=-=∴== 【评注】由已知条件3AP PB =可知该题可使用定比点差法，得到点A 的横坐标103x x =，再利用32AP k =，得到103y y =，利用抛物线方程得到01x =，求出AP ，最后由43AB AP=得出答案．例6．（2022·上海徐汇·三模）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>焦距为⎭，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A ､B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ､D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求实数k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）2.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到12AB x =-=m 的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出,C D 两点坐标，由Q ､C ､D 三点共线得到方程，化简后得到12122y y k x x -==-． 【解析】（1）由题意得：焦距为2222c a b ==-，点坐标⎭代入椭圆方程得：222113a b +=， 222221132a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23a =，21b =， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ABAB ． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 由1112y k x =+，及①221133y x =-，代入可得13171247x x x --=+， 又3111322y y k x x ==++，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,， 同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,42QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4471,42QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为Q ､C ､D 三点共线，所以3443717104242x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．将点C ，D 的坐标代入，通分化简得22112424y x y x -=-，即12122y y k x x -==-． 【评注】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数． 例7.（2022·山西太原·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)P，离心率为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点M （4，1）的动直线与椭圆C 相交于不同的两点A ，B 时，在线段AB 上取点N ，满足MB A N M N B A λλ=-=，求线段PN 长的最小值．【答案】（1）22142x y +=；（2. 【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解；（2）由定比分点公式化简得N 点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.【解析】（1）根据题意，22211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2242a b ==，，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），N （x ，y ）， 由λλAM MB AN NB =-=，，得 12121212λλ41λ1λλλ11λ1λx x x x x y y y y y -+⎧⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩，，①222222121222λλ41λ1λx x y y x y --==--，， 又222211222424x y x y +=+=，，①2244λ4241λx y -+==-，①点N 在直线220x y +-=上，①PN ===最小．【总结】定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”．它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势． 【针对训练】（2018年高考浙江卷）1．已知点P (0，1)，椭圆224x y m += (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的左焦点Fl 与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．（2022·吉林市教育学院模拟预测）4．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=AM mMB ，点N 满足=-AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率． （2022·山东济南·二模）5．已知椭圆C 的焦点坐标为()11,0F -和()21,0F ，且椭圆经过点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若()1,1T ，椭圆C 上四点M ，N ，P ，Q 满足3MT TQ =，3NT TP =，求直线MN 的斜率.（2022·重庆南开中学模拟预测） 6．已知0a b>>，直线l 过椭圆22122:1x y C a b+=的右焦点F 且与椭圆1C 交于A 、B 两点，l 与双曲线22222:1x y C a b-=的两条渐近线1l 、2l 分别交于M 、N 两点．(1)若OF =l x ⊥轴时，①MON 的面积为32，求双曲线2C 的方程；(2)如图所示，若椭圆1C 的离心率e =1l l ⊥且()0FA AN λλ=>，求实数λ的值． （2022云南红河·模拟预测）7．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是以原点O 为圆心，半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心，半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ，作MD x ⊥轴于点D ，作NQ MD ⊥于点Q .(1)令MOD α∠=，若4a =，1b =，3πα=，求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(3)设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正负半轴分别交于点1B ，2B ，若点E ､F 分别满足3AE OE =-，243AF OB =，证明直线1B E 和2B F 的交点K 在曲线C 上.（2022重庆·模拟预测）8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N . （1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程. （2022·全国·高三专题练习）9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （①）求椭圆M 的方程； （①）若1k =，求||AB 的最大值；（①）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .参考答案：1．5【分析】方法一：先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=- 因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+= 22224(23)4x y m ∴+-=，即22223()424x m y +-=，与22224x y m +=相减得：234m y +=，所以，()222211(109)54444x m m m =--+=--+≤，当且仅当5m =时取最等号，即5m =时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线AB 的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立221,,4y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440k x kx m +++-=，根据韦达定理得122841k x x k +=-+，由2AP PB =知122x x =-，代入上式解得22841kx k =+，所以228||821414||||k x k k k ==≤=++．此时214k =，又21222442841m x x x k -==-=-+，解得5m =． ［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线AB 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122t t =-．由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++，解得228sin 13sin t αα=+，所以()222222222222222222cos 4sin 64sin cos cos 4sin 13sin 13sin cos 1616413sin 13sin 213sin x t αααααααααααα⎛⎫+ ⎪++===⨯⋅≤⨯= ⎪+++ ⎪⎪⎝⎭，此时22cos 4sin αα=，即222241cos ,sin ,555t αα===，代入12122442,13sin m t t t t α-=-=+，解得5m =．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设()()1122,,,A x y B x y ，因为2AP PB =，所以()()1122,12,1x y x y --=-． 即122x x =- ①，1223y y += ①，又因为22221212,44x x y m y m +=+=，所以222144x y m +=．不妨设20y >，因此12y y ==①式可得(223=．化简整理得22224109(5)16xm m m =-+-=--+．由此可知，当5m =时，上式有最大值16，即点B 横坐标的绝对值有最大值2． 所以5m =．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换112x x y y =⎧⎨=⎩，则2211(1)x y m m +=>为一个圆．根据仿射变换的性质，点B 的横坐标的绝对值最大，等价于点1B 的横坐标的绝对值最大，则11cos 2||cos 2||sin cos B x PB POM PM POM OP POM POM =∠=∠=∠∠||sin2||OP POM OP =⋅∠≤．当π4POM ∠=时等号成立，根据||1OP =易得1OB =5m =． ［方法六］：中点弦性质的应用设()22,B x y ，由2AP PB =可知()22,232A x y --，则AB 中点223,22x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为22AB CM b k k a ⋅=-，所以22223114y y x x --⋅=-，整理得()2222214x y +-=，由于22x ≤，则2max 2x =时，22y =，所以4454m =+=．【整体点评】方法一：由题意中点,A B 的坐标关系，以及点差法可求出点B 的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点B 的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点B 的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；方法四：利用题目条件硬算求出点B 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；方法六：利用中点弦的性质找出点B 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点B 的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法． 2【分析】由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可. 【详解】如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ， 设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OMy b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP bk k a==， 即222b b a a=，解得12b a =，所以c e a ===，【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 3．23【分析】利用点差法，设()11,A x y 、()22,B x y ，代入椭圆方程中，变形后作差，由2AF FB =可得1223x x c +=-，1220y y +=，从而可得2122a x x c-=，求出点A 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率【详解】因为2AF FB =，设()11,A x y 、()22,B x y ，2211222222221444x y a b x y a b ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② ①-①得：()()()()121212122222223x x x x y y y y a b +-+-+=-，1223x x c +=-，1220y y +=， 则2122a x x c-=，得222113322a a c x c c c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，①11y x c =+，①22132a c y c c ⎫-=+=⎪⎭，将A 代入椭圆方程 整理得：422241390a a c c -+=，所以2249a c =或22a c =（舍） 故23c e a ==． 4．(1)28y x =；2a = (2)12【分析】(1)由条件列方程求p ，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求a ，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点N 的轨迹，列方程求b ，由此可得离心率.【详解】（1）抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4可得4p =抛物线1C 的方程：28y x =椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的右顶点为(2,0)F ， 所以2a =．（2）①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()()()1122001(1),,,,,,-=-y k x A x y B x y N x y 由()222141x y b y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩得()2222248(1)4(1)40++-+--=b k x k k x k b ， ()222163210∆=+-+>b k k b22121222228(1)4(1)4,44---+=-=++k k k b x x x x b k b k①,==-AM mMB AN mNB①()()12012011,-=--=--x m x x x m x x ，即①10122011--=---x x xx x x ①()212120212244424-++-==+-+x x x x k b x x x k b ，①()22004144-+=-k x b x b又①()0011-=-y k x①()22004144-+=-y b x b ，即①2200440+-=b x y b①N 点轨迹为直线22440+-=b x y b①当直线AB 斜率不存在时，经检验点231,4⎛⎫⎪⎝⎭b N 在直线22440+-=b x y b 上． ①N 点轨迹方程为22440+-=b x y b||ON 最小值即点O 到直线22440+-=b x y b 的距离2125=，即23b = 椭圆2C的离心率为12c e a ==．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．(1)22143x y +=(2)34-【分析】（1）根据题意得到c =1，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程求解；（2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，由3MT TQ =得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，得到()()111122143x y -+-=，同理得()()331122143x y -+-=，两式相减求解. 【详解】（1）解：由题意可知，c =1，设椭圆方程为222211x y a a +=-，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得()()224410a a --=，解得214a =（舍），24a =， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ， 因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩①②，①-①得()()1111424424843x y -⋅+-⋅=， 即()()111122143x y -+-=……①， 又3NT TP =，同理得()()331122143x y -+-=……① ①-①得()()131311043x x y y -+-=， 所以1313134143MNy y k x x --===--.6．(1)2214x y -=；(2)λ=【分析】（1）由题设可得F、||MN =2a b =，由椭圆参数关系求a 、b ，即可写出双曲线方程.（2）由椭圆离心率可得a =，进而可得双曲线渐近线，假设1:b l y x x a ==，写出2l 、l 方程，联立求N 坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A 坐标，根据A 在椭圆上求λ值.【详解】（1）由题设F ，且双曲线22222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±，当l x ⊥轴时，||MN =OF ①MON 的面积为32，所以13||||22OF MN ⋅=，故2a b =，而2223a b c -==，可得224,1a b ==，所以双曲线2C 的方程为2214x y -=.（2）对于椭圆有c e a ==，而222a c b -=，则a =，不妨假设1:b l y x a =，则2:b l y x a =-=且l为)y x c =-，所以(2,)N c ，又(c,0)F ，()0FA AN λλ=>，令(,)A x y，则(,),(2,)FA x c y AN c x y =-=--，故(2))x c c x y y λλ-=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，所以211x c y λλ+⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，而A 在椭圆22122:12x y C c c +=上，则2222222(21)2(21)412(1)(1)2(1)λλλλλλλ++++==+++，整理得261λ=，综上，可得λ=. 7．(1)2,Q ⎛± ⎝⎭ (2)()222210x y a b a b+=>> (3)证明见解析【分析】（1）根据数形结合直接可得点Q 坐标；（2）由题意列出点Q 轨迹的参数方程，进而可得点Q 轨迹的普通方程； （3）由题意写出直线1B E 和2B F 方程，进而可得交点K 的坐标，进而得证.【详解】（1）解：设(),Q x y，则由题知4cos 23sin 3M Nx x y y ππ==±=±=⎧⎪⎪⎨=±=⎪⎪⎩因此2,Q ⎛± ⎝⎭； （2）解：设MOD α∠=及(),Q x y ，则由题知cos sin x a y b αα=±⎧⎨=±⎩，则点Q 的轨迹C 为椭圆，方程为：()222210x y a b a b+=>>；（3）设(),K x y ，由知，()10,B b ，,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()20,B b -，3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1:14B E x yl a b +=，即4bx ay ab +=， 2:34B F y b xl a b b +=-+，即44bx ay ab -=， 联列上述直线方程，解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222222281511717x y a b 2+=+=，因此交点K 在椭圆C 上. 8．（1）22154x y +=；（2）22132x y +=. 【分析】（1）由AF FM =结合椭圆的对称性知AM x ⊥轴，从而得出点,,A B M 的坐标，再由2BF FN =得出点N 的坐标，代入椭圆方程可得答案.（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，设FM AF λ=，FN BF μ=，表示出点M N ，的坐标，代入椭圆方程，结合点,A B 在椭圆上分别得到0x 与,λμ的式子，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得0x 关于,λμ的式子，从而可得答案.【详解】解：（1）由AF FM =，根据椭圆的对称性知AM x ⊥轴，AM 过右焦点()1,0F所以21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()21,2N N b BF FN x y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，，，由2BF FN =，可得()22212N Nx b y a⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得22,2b N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得42224114b a b a +⋅=，解得22164b a +=，所以221164a a -+=，即25a =，所以2224b a c =-=，故椭圆方程为22154x y +=； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，令()00=1,FM AF x y λλ=--，则()001,M x y λλλ+--，代入椭圆方程得()()22002211x y a b λλλ+--+=，即()()22222000221211x x y a bλλλλλ+-+++=，又2200221x y a b +=，所以()()20221211x a λλλλ+-++=，化简得到()()20121x a λλλ+-=- ① 同理：令FN BF μ=，同理解得()001,N x y μμμ++，代入椭圆方程同理可得()()20121x a μμμ++=- ①由题知()()()()000000211M N M N y y y y yx x x x x λμλλμμ---==⋅-+--++，解得()()02x λμλμ+=-，①①-①得()()()202x a λμλμμλ--+=-，将①式代入得()()()24a λμλμμλ---=-，故23a =，故椭圆方程为22132x y +=. 【点睛】关键点睛：本题考查向量在椭圆中的应用以及直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是设FM AF λ=，得出()001,M x y λλλ+--代入椭圆方程可得()()20121x a λλλ+-=-，同理设FN BF μ=，可得()()20121x a μμμ++=-，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得()()02x λμλμ+=-，联立可得解，属于难题. 9．（①）2213x y +=；（①；（①）1.【分析】（①）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（①）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（①）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（①）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=； （①）设直线AB 的方程为y x m =+， 由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m=时，max ||ABAB ；（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将点,C D 的坐标代入化简可得12121y yx x -=-，即1k =．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。
圆锥曲线点差法应用个性化教案
圆锥曲线点差法应用个性化教案第一章：圆锥曲线点差法概述1.1 圆锥曲线点差法的定义1.2 圆锥曲线点差法的意义1.3 圆锥曲线点差法与传统解法对比第二章：圆锥曲线点差法的基本原理2.1 圆锥曲线点差法的数学原理2.2 圆锥曲线点差法的适用范围2.3 圆锥曲线点差法的局限性第三章：圆锥曲线点差法的应用实例3.1 求解圆锥曲线的方程3.2 求解圆锥曲线与直线的交点3.3 求解圆锥曲线的切线和法线第四章：圆锥曲线点差法在高考题中的应用4.1 2010年高考题解析4.2 2024年高考题解析4.3 2024年高考题解析第五章：圆锥曲线点差法的拓展与延伸5.1 圆锥曲线点差法在实际问题中的应用5.2 圆锥曲线点差法与其他数学方法的结合5.3 圆锥曲线点差法在数学竞赛中的应用第六章：圆锥曲线点差法在求解轨迹问题中的应用6.1 利用点差法求解动点的轨迹方程6.2 利用点差法判断动点的轨迹形状6.3 实际问题中的轨迹问题求解案例第七章：圆锥曲线点差法在求解参数问题中的应用7.1 利用点差法求解圆锥曲线中的参数问题7.2 利用点差法求解动点在圆锥曲线上的参数问题7.3 参数问题在实际应用中的案例分析第八章：圆锥曲线点差法在求解交点问题中的应用8.1 利用点差法求解圆锥曲线与直线的交点8.2 利用点差法求解圆锥曲线与圆的交点8.3 交点问题在实际应用中的案例分析第九章：圆锥曲线点差法在求解切线和法线问题中的应用9.1 利用点差法求解圆锥曲线的切线9.2 利用点差法求解圆锥曲线的法线9.3 切线和法线问题在实际应用中的案例分析第十章：圆锥曲线点差法在求解最值问题中的应用10.1 利用点差法求解圆锥曲线上的最值问题10.2 利用点差法求解圆锥曲线与直线、圆的最值问题10.3 最值问题在实际应用中的案例分析第十一章：圆锥曲线点差法在解决几何问题中的应用11.1 利用点差法解决圆锥曲线与几何图形的位置关系11.2 利用点差法求解圆锥曲线中的角度和距离问题11.3 几何问题在实际应用中的案例分析第十二章：圆锥曲线点差法在解决函数问题中的应用12.1 利用点差法求解圆锥曲线与函数的关系12.2 利用点差法解决圆锥曲线中的函数最值问题12.3 函数问题在实际应用中的案例分析第十三章：圆锥曲线点差法在解决物理问题中的应用13.1 利用点差法解决圆锥曲线与物理运动的关系13.2 利用点差法解决物理中的力学和光学问题13.3 物理问题在实际应用中的案例分析第十四章：圆锥曲线点差法在解决实际生活中的问题14.1 利用点差法解决工程和测量问题14.2 利用点差法解决地理和天文问题14.3 实际生活问题在案例分析中的应用第十五章：圆锥曲线点差法的教学实践与反思15.1 圆锥曲线点差法教学设计与实践15.2 圆锥曲线点差法教学效果评估与反思15.3 圆锥曲线点差法教学的改进与优化建议重点和难点解析本文主要介绍了圆锥曲线点差法的应用，共分为十五个章节。
圆锥曲线专题点差法
点差法的应用技巧
定义：点差法是一种通过将两点坐标代入方程，然后相减来消元，简化计算的方法
应用场景：适用于求圆锥曲线中点坐标的问题
步骤：设两点坐标，代入圆锥曲线方程并相减，整理得到中点坐标的表达式
注意事项：需确保两点确实在圆锥曲线上，否则计算结果可能不准确
设两个点$P_1(x_1,y_1)$和 $P_2(x_2,y_2)$在圆锥曲线上
将两点代入圆锥曲线方程，得到两个等 式
将两个等式相减，消除$x_1, y_1, x_2, y_2$中的任意三个
整理得到一个关于$x_1, y_1, x_2, y_2$的二次方程
利用二次方程的性质，求出所求点的坐 标
点差法在圆锥曲线 中的应用
适用范围：点差法适 用于求两条平行直线 间的距离
解题步骤：利用点差法 求出两条平行直线间的 中点坐标，然后利用距 离公式求出距离
注意事项：在应用点差 法求距离时，需要注意 平行直线的斜率相等， 并且中点坐标的求解要 准确
实例解析：通过具体实 例解析点差法在求距离 中的应用，并给出相应 的解题步骤和答案
圆锥曲线专题点差法
汇报人：XX
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点差法的基本原理
点差法在圆锥曲线 中的应用
点差法的应用技巧
点差法的注意事项
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点差法的基本原理
点差法是一种通 过将两个相交曲 线的交点坐标代 入方程，然后相 减来消去变量， 简化计算的方法。
点差法适用于解 决与中点、斜率 等有关的圆锥曲 线问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尤其在 处理弦的斜率和 中点问题时非常 方便。
点差法的核心思想 是利用点差法公式 将两个交点的坐标 代入方程后相减， 得到一个关于斜率 的等式，从而解决 问题。
第7讲 点差法(解析版)
，过点
F
的直线交 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ，则椭圆 E 的离心率为（ ）
1
A．
2
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3
【答案】B
【解析】令 AB 的中点为 M，坐标为 (1, 1) ，则 kAB
kMF
0 1
3 1
1 2
，
kOM
1
因为 A、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在 x 轴，所以 kAB
A． x2 y2 1 18 9
B． x2 y2 1 27 18
C． x2 y2 1 36 27
D． x2 y2 1 45 36
【答案】A
【解析】设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， F c, 0
所以
x12 2m x22 2m
y12 m y22 m
1
，相减得
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题得 x1+x2 =2，y1+y2 =2 ，
所以
b2 b2
x12 x22
a2 y12 a2 y22
a2b2 a2b2
，
两式相减得 b2 (x1 x2 )(x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以 2b2 (x1 x2 ) 2 a2 ( y1 y2 ) 0 ，
所以
2b2
4b2
( y1 ( x1
y2 ) x2 )
0
，
所以1 2k 0,k 1 . 2
故选：C
2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆 E : x2 y2 1(m 0) 的右焦点为 F ，过点 F 的直线 2m m
高中数学复习专题讲解与练习-----点差法的应用
高中数学复习专题讲解与练习高中数学复习专题讲解与练习专题06 6 点差法点差法点差法的应用的应用的应用一.综述综述(一)圆锥曲线问题中,与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好(二)注意:点差法在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系.只有Δ>0，直线才是存在的.(三) 点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题二.例题精讲例题精讲 破解规律破解规律例1. 已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率12e =，且过点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点，当P 是AB 中点时，求直线AB 方程．【分析】：（1）由离心率得到a,b 的比值,由比例设出椭圆方程,在代入点,得到方程. （2）设()11A x y ⋅， ()22B x y ⋅，由点差法求得直线的斜率，即可得到直线AB 方程．【答案】:（1）22143x y +=；（2）3470x y +−=. 【解析】：（1由1,2c e a ==得22222221344c a b b a a a −==⇒=,设224,03a t t b t=> =∴椭圆C代入解得1t =,故椭圆方程为22143x y +=（2）设()11A x y ⋅， ()22B x y ⋅2222143x y +=，∴()()()()12121212043x x x x y y y y +−+−+=又12122x x y y +=+=，∴121234AB y y k x x −==−−.∴直线AB 方程为()3114y x −=−−即3470x y +−=.经验证直线符合要求. 【点评】:本题考查椭圆方程的求法,第二问已知弦中点,求弦方程,一般可以考虑用点差法.规律总结规律总结: : : 与弦中点有关的问题可以考虑用点差法与弦中点有关的问题可以考虑用点差法与弦中点有关的问题可以考虑用点差法..即:设弦的端点坐标设弦的端点坐标，，并代入圆锥曲线的方程并代入圆锥曲线的方程,,并作差并作差..利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,,进而处理问题进而处理问题现学现用1: 直线40x y m ++=交椭圆22116x y +=于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m =（ ）A . -2B . -1C . 1D . 2 【答案】:A例2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【分析】：22421,a b=+=求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）点差法处理弦中点问题【答案】:(1) 22184x y += （2）12OM k k ⋅=−【解析】：（Ⅰ）由题意有22421,a b=+=解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为22184x y +=.（Ⅱ）设()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把,A B 坐标带入椭圆方程得22112222184184x y x y += +=121212M M y y y x x x −=−−,即12OM k k ⋅=−,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【点评】：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.规律总结规律总结::若线段AB 是椭圆是椭圆((或双曲线或双曲线))的弦的弦,AB ,AB 中点为M,M,则则21OM AB k k e ⋅=−,其中e 为离心率为离心率,,且,OM ABk k 均存在均存在..现学现用2: 已知双曲线22184x y −=上有不共线的三点A B C 、、，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++=（ ） A . -4 B . − C . 4 D . 6例3: 已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，且离心率为12．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若一组斜率为2的平行线，当它们与椭圆C 相交时，证明：这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上．【分析】：(Ⅰ)由22221(0)x y a b a b+=>>经过点(，可得b =，根据离心率为12，结合222a b c =+可得2a =，从而可得椭圆C 的方程；(Ⅱ) 利用点差法找出中点坐标满足的关系式【答案】:(Ⅰ) 22143x y += (Ⅱ)见【解析】【解析】：(Ⅰ)由已知可得b =，12c a =， 又222a b c =+，可得2a =， 1c =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．(Ⅱ) 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，它们的中点坐标为()00,x y ．由221122221,43{ 1,43x y x y +=+=两式相减可得()()()()21212121043x x x x y y y y −+−++=，()()()()21212121043x x y y y y x x +−++=×−，由已知21212y y x x −=−，所以00380x y +=，故直线被椭圆C 截得的线段的中点都在直线380x y +=上.【点评】: 第二问求中点轨迹方程.利用点差法,221122221,431,43x y x y +=+= ，做差结合21212y y x x −=−， 2102x x x +=,2102y y y +=,化简可得00380x y +=,所以这组平行线被椭圆C 截得的线段的中点在同一条直线上.规律总结规律总结::牵涉到弦中点轨迹方程牵涉到弦中点轨迹方程,,垂直平分线问题可以考虑使用点差结合中点坐标公式来处理垂直平分线问题可以考虑使用点差结合中点坐标公式来处理现学现用3: 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,4B，离心率e =，直线l 交椭圆于,M N 两点，如果BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，直线l 方程为________．【解析】:易知4b =,又222222216115c a b e a a a −===−=，解得220a =.∴椭圆的方程为2212016x y +=.∴椭圆右焦点F 的坐标为()2,0,设线段MN 的中点为()00,Q x y ,由三角形重心的性质知2BF FQ =uuu v uuu v，从而()()002,422,x y −=−,解得003,2x y ==−,所以点Q 的坐标为()3,2−.设()()1122,,,M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=−，且222211221,120162016x y x y +=+=,以上两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y +−+−+=,∴1212121244665545MN y y x x k x x y y −+==−⋅=−×=−+−,故直线的方程为()6235y x +=−，即65280x y −−=. 【答案】: 65280x y −−=三.课堂练习课堂练习 强化技巧强化技巧1. 椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是（ ）A .B .C .D .【答案】:D【解析】:设直线与椭圆交于，则，两式相减得，因为弦的中点坐标，所以，代入得到，所以，即斜率 ，且过点，所以直线方程是 ，化简为，故选D .2. 过点作斜率为的直线与椭圆： 相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________．【答案】:【解析】:设，由题得.故填.3. 过点()0,2的直线l 与中心在原点，焦点在x的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线12y x =过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称． （1）求直线l 的方程； （2）求椭圆C 的方程． 【答案】:(1) 2y x =−+;(2)2224199x y +=. 【解析】：（1）由c e a ==22212a b a −=，从而222,.a b c b == 设椭圆方程为22222,x y b +=()()1122,,,A x y B x y 在椭圆上，则222222112222,22,x y b x y b +=+=两式相减得，设AB 的中点为()00,,x y 则00,2AB x k y =−又()00,x y 在直线12y x =上， 0012y x =，于是12AB x k y =−=−，则直线l 的方程为2y x =−+. （2）右焦点(),0b 关于直线l 的对称点设为(),,x y ′′ 则12,22{y x by x b −+=−+′′′′解得22{ x y b ′==−′由点()2,2b −在椭圆上，得()2222994222,,42b b b a +−===， ∴所求椭圆C 的方程的方程为2224199x y +=. 四.课后作业课后作业 巩固内化巩固内化1. 若双曲线的中心为原点， ()0,2F −是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ， N 两点，且MN 的中点为()3,1P 则双曲线的方程为（ ）A . 2213x y −=B . 2213x y −=C . 2213y x −=D . 2213y x −=【答案】:B2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线1y x =−与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 （ ） A . 22134x y −= B . 22143x y −= C . 22152x y −= D . 22125x y −=【答案】:D【解析】:由题意设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，且227a b +=，()()1122,,,M x y N x y ， MN 的中点为25,33−−，则2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，则()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−=，即22224102533,a b a b −−==，联立227a b +=，得222,5a b ==，即该双曲线方程为22125x y −=；故选D .学科=网3. 已知椭圆22x a ＋22y b ＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于点A 、B ，若AB 中点为(1，－ 12)，且直线AB 的倾斜角为45°，则椭圆方程为( )A . 29x ＋25y ＝1B . 29x ＋24y ＝1C . 229x ＋249y ＝1D . 29x ＋229y ＝1【答案】:C【解析】:∵1211c =−，∴c ＝32，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则212x a ＋212y b ＝1， 222x a ＋222y b ＝1， ∴()()()()12121212220x x x x y y y y a b +−+−+=，22210a b −+=，∴a 2＝92，b 2＝94.故选：C 4. 已知()()2,0,2,0A B −,若在斜率为k 的直线l 上存在不同的两点,M N，满足： MA MB −=NA NB −=且线段MN 的中点为()6,1，则k 的值为( )A . 2−B . 12−C . 12D . 2 【答案】:D【解析】:根据条件可知点,M N 在以,A B 为焦点的双曲线上， 24,2c a == ，那么21b =，双曲线方程是2213x y −=，那么设()()1122,,,M x y N x y ，所以2211222213{13x y x y −=−= ，两式相减得()()()()1212121203x x x x y y y y +−−+−= ，两边同时除以12x x − ，可得12203k −=，解得2k =，故选D .5. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)，一个顶点为，若在此椭圆上存在不同两点关于直线对称，则的取值范围是A . （）B . （） C . （） D . （）【答案】:C【解析】:由题意得设A ,B 为椭圆上两点关于直线对称，则由点差法得AB 中点M 满足，又中点M 满足解得 ，又M 在椭圆内部，所以，选C6. 设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程.【解析】：（1）Q 点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+×＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λλx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由22ba x y k AB −=⋅得：313λλ−=⋅AB k ，∴1−=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13−⋅−=−x y ，即04=−+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13−⋅=−x y ，即02=+−y x .7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的渐近线方程为: y =，右顶点为()1,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线y x m =+与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点为()00,M x y ，当00x ≠时，求y x 的值。
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解析几何解题思路分析求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数. （2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题----定点定值问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值 （5）求曲线的方程问题<1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决； <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）),(11y x ),(22y x“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：()2222121202x x y y -+-=， ()1212121202x x y y y y x x +-∴++=-. 又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，51AB MN y k k x +∴==-. 又()2111y x =+，（1）()2221y x =+，（2）()()12-得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-.于是5221yxx+=+-，即227y x=-.弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x=-（在已知抛物线内）.2求曲线方程例3已知ABC∆的三个顶点都在抛物线232y x=上，其中()2,8A，且ABC∆的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.解由已知抛物线方程得()8,0G.设BC的中点为()00,M x y，则A G M、、三点共线，且2AG GM=，G∴分AM所成比为2，于是228128212xy+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，解得0114xy=⎧⎨=-⎩，()11,4M∴-.设()()1122,,,B x yC x y，则128y y+=-.又21132y x=，（1）22232y x=，（2）()()12-得：()22121232y y x x-=-，121212323248BCy ykx x y y-∴====--+-.BC∴所在直线方程为()4411y x+=--，即4400x y+-=.例4已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的一条准线方程是1x=，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于A B、两点，若AB的中点为11,24C⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆方程.解设()()1122,,A x yB x y、，则121211,2x x y y+=-+=，且2211221x ya b+=，（1）2222221x ya b+=，（2）()()12-得：2222121222x x y ya b--=-，()()221212221212112b x xy y bx x a y y a+--∴=-=-⋅-+，21221221ABy y b k x x a-∴===-，222a b ∴=，（3） 又21a c=，2a c ∴=，（4） 而222a b c =+，（5）由（3），（4），（5）可得2211,24a b ==，∴所求椭圆方程为2211124x y +=.3 求直线的斜率例5已知椭圆221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .（1）证 略.（2）解128x x +=，∴设线段AC 的中点为()04,D y .又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22221259x y +=，（2） ()()12-得：22221212259x x y y --=-， ()()1212121200998362525225x x y y x x y y y y +-∴=-=-⋅=--+. ∴直线DT 的斜率02536DT y k =，∴直线DT 的方程为()0025436y y y x -=-. 令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线BT 的斜率955644425k -==-. 4 确定参数的范围例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.解 当0m =时，显然满足.当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，（1）222y x =，（2） ()()12-得：221212y y x x -=-，1212120112PQy y k x x y y y -∴===-+， 又1PQ k m =-，02my ∴=-. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是052x =. 中点M 在抛物线2y x =区域内20y x ∴<，即2522m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得m <<综上可知，所求实数m的取值范围是(. 5 证明定值问题例7已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.证明设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b +=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y a b--=-，()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OPy y k x x +=+，221AB OPb k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）. 6 处理存在性问题例8已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.解 假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则122x x +=，122y y +=，又2211112x y -=，（1）2222112x y -=，（2） ()()12-得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， ∴()()121220x x y y ---=PQ ∴的斜率 12122y y k x x -==-又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为 ()121y x -=-，即21y x =-.但若将21y x =-代入22112x y -=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.。