点差法习题(有答案)
点差法
点差法（选做）对点差法掌握不太熟练的同学建议阅读例题及变式，选做练习题，注意知二得一。
例题：过点M （1，1）作斜率为﹣12的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣12，即可求出椭圆C 的离心率． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，222222 1.x y a b+=，∵过点M （1，1）作斜率为﹣12的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得22212().02a b+-=，a ∴=∴c b ==，∴2c e a ==．故答案为：2． 点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．结论：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2020y b x a=-.变式一：已知直线与椭圆22194x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则1202x x x +=，1202y y y +=，21121y y k x x -=-，020y k x =，∴2211 1.94x y +=2222 1.94x y +=两式作差并化简得∴121212129()()()()04x x x x y y y y +-++-= ∴001922.04x y k +⨯=，∴12904k k +=，∴k 1k 2=﹣94．故答案为：94- 点评：本题考查了“平方差法”、设而不求，以及线段中点坐标公式、斜率计算公式的应用，属于中档题．如果知道上面的结论可以直接求解即可。
圆锥曲线经典题型
题型一：定义法题型二：中点弦问题---点差法题型三对称问题题型四面积问题题型五角平分线题型六平行四边形题型七切线问题题型八四点共圆题型九角度问题题型三 对称问题【2015浙江理】已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）．已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
题型四 面积问题1(2016全国3)已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C的准线于P ，Q 两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.题型四 面积问题2如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的标准方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．题型四 面积问题3已知A 、B 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右顶点B(2,0),过椭圆C 的右焦点F 的直线交其于点M,N,交直线x=4于点P ,且直线PAPF,PB 的斜率成公差不为零的等差数列(1) 求椭圆C 的方程(2)若记△AMB,△ANB 的面积分别为21,S S ,求21S S 的取值范围题型五 角平分线（2010安徽文）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率21=e (1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.题型七 切线问题如图，过抛物线py x C 2:21=上的一点Q 与抛物线py x C 2:22-=相切于B A ,两点．若抛物线py x C 2:21=的焦点1F 到抛物线py x C 2:22-=的焦点2F 的距离为21 （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 与抛物线1C 相切于一点P ．题型八 四点共圆已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.题型九 角度问题求解椭圆中的角度问题常用方法： 1.余弦定理2.向量，||||cos a b a b θ⋅= 角度问题的等价转化：①“以弦AB 为直径的圆过点O ”(提醒：需讨论K 是否存在)⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y +=②“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）；已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，直线l ：y =x +2与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点A 作直线m ，与圆O 相交于两点R ，S ，若△ORS 是钝角三角形，求直线m 的斜率k 的取值范围．题型三十八：三角形的内切圆问题()r CA BC AB S ABC ⋅++=∆21例1：双曲线C 的方程为1322=-y x ，左右焦点21,F F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右支于点Q P 、，使得901=∠PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆的半径是例2.椭圆1162522=+y x 的左右焦点21,F F ，弦AB 过点1F 且2ABF ∆内切圆的周长为π，若B A 、的坐标分别为()()2211,,,y x y x ，则=-21y y。
点差法——精选推荐
点差法例（星期五早测）：已知椭圆x（平方）/2+y（平方）=1，求过点P（1/2，1/2)且被P平分的弦所在的直线方程点差法：设所求直线为 y-1/2=k(x-1/2)即: y=kx-1/2k+1/2又设直线与椭圆相交的两个点位P1（x1,y1)P2(x2,y2)(注：在字母后的数字为下标,,如P1的"1",,P2的"2"是下标,,,以下雷同,）则有：x1（平方）+2y1(平方）=2 ①x2 (平方）+2y2(平方）=2 ②这里可能有人会不太懂这两条式是怎么来的，其实一开始我也不太明白，其实就是把P1,P2代入椭圆的那个方程而得出的。
好，我们继续。
①-②，得：（x1(平方）—x2(平方））+2(y1（平方）—y2（平方））=0分解公因式得（x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0最后化简得 (y1-y2)/(x1-x2)= -1/2乘以(x1+x2)/(y1+y2)记得求K的公式吗？ (y1-y2)/(x1-x2)就是这个东西..所以直线的K值就等于 -1/2乘以(x1+x2)/(y1+y2)而且我们可以从中点坐标公式得出两个式子，就是用普通的方法时要列的那两个中点坐标方程，可以得到 x1+x2=1y1+y2=1把这两个值代入 -1/2乘以(x1+x2)/(y1+y2)这个式子里，就可以求出K值了。
K= -1/2乘以1/1= -1/2再把所求K值代入直线方程 y=kx-1/2k+1/2 这个东西里面就可以求出直线方程了，是不是很简单？没什么要计算的，真是爽死了。
最后得出此直线方程为 2x+4y-3=0最后让我总结下思路：点差法第一步：设点（直线与椭圆的交点）第二步：代入（椭圆方程）会有两个方程第三步：两个方程作差第四步：然后变形，变为等号一边是求K值的代数式的形式 (y1-y2)/(x1-x2)=OOXX,,第五步：利用中点坐标公式求出K,,好处：计算量灰常小但不是题题可用，为什么呢？很简单可以理解，(y1-y2)/(x1-x2)=OOXX,,这个式子中如果最后变形后OOXX里面的东西不是x1+x2和y1+y2的话，就算不出了，所以如果是这样，就用回原始方法吧。
圆锥曲线的点差法应用(人教A版)(含答案)
圆锥曲线的点差法应用（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.设双曲线的一条弦被直线平分,则所在直线的斜率为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用2.已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用3.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点,若的中点坐标为,则的方程为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用4.中心为原点,一个焦点为的椭圆,截直线所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用5.直线过抛物线的焦点且与相交于两点,且的中点坐标为,则抛物线的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用6.已知椭圆,则斜率为2的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹方程为( )A.的一部分B.的一部分C.的一部分D.的一部分答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用7.过椭圆内一点的弦的中点的轨迹方程为( )A. B.的一部分C. D.的一部分答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用8.直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是( )A.的一部分B.的一部分C.的一部分D.的一部分答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用。
高考数学高频压轴十五大专题突破——专题11 破译解析几何中点差法通法
12=2,∴k =2.∴AB :2x -y -15=0. x - x a 2 2a b ba 2-2一、填空题1．若过点 P (8,1)的直线与双曲线 x 2-4y 2=4 相交于 A 、B 两点,且 P 是线段 AB 的中点,则直线AB 的方程是_________________.【答案】2x -y -15=0【 解 析 】 设 A (x 1,y 1) 、 B (x 2,y 2), 则 x 12-4y 12= 4,x 22-4y 22=4, 两 式 相 减 得 (x 1-x 2)(x 1+x 2)=4(y 1-y 2)(y 1+y 2),即 y - y 1 2AB2．点 P (8,1)平分双曲线 x 2－4y 2=4 的一条弦,则这条弦所在直线的斜率是_______.【答案】2x2y2x y3．椭圆中有如下结论：椭圆 + = 1(a > b > 0) 上斜率为1 的弦的中点在直线 +22 = 0x 2 y 2上，类比上述结论：双曲线 -a 2b 2= 1(a, b > 0) 上斜率为1 的弦的中点在直线上【答案】xyb 2 = 0【解析】试题分析：将椭圆方程x 2 y 2+a b2= 1 中的 x 2变为 x ， y 2 变为 y ，右边变为 0，于此得到椭圆x 2 y 2 x y+ = 1 上斜率为 1 的弦的中点在直线 + = 0 上. a 2 b 2 a 2 b 2类比上述结论，将双曲线的方程作为上述变换可知：双曲线中点在直线xy-=0.a2b2x2y2=1上斜率为1的弦的-a b222 2 F R 【答案】（1） + （ ⋅ = - ．化简即可．（2）把 x= 1 代入曲线 C 的方程，可得点 P 1, ⎪ ．由于圆 2 0考点：1.类比的思想；2.新定义题.二、解答题4．已知两点 A （－2,0）和 B （2,0），直线 AM 、BM 相交于点 M ，且这两条直线的斜率之积为- 34．（1）求点 M 的轨迹方程；（2）记点 M 的轨迹为曲线 C ，曲线 C 上在第一象限的点 P 的横坐标为 1，直线 PE 、PF 与圆（x －1）＋y 2＝r （0＜r ＜ 3 2）相切于点 E 、 ，又 PE 、PF 与曲线 C 的另一交点分别为 Q 、 ．求△OQR 的面积的最大值（其中点 O 为坐标原点）．x 2 y 2= 1 （x ≠±2； 2） 3 4 3【解析】试题分析：（1）设点 M （x ，y ），由题意可得 kAM⋅ k3BM = - 4 ，利用斜率计算公式即可得出y y 3 ⎛ 3 ⎫ x + 2 x - 2 4 ⎝ 2 ⎭（x －1）＋y 2＝r 2 的圆心为（1， ），利用对称性可知直线 PE 与直线 PF 的斜率互为相反数．设直线 PE 的方程为 y = k (x - 1)+ 3 2，与椭圆的方程联立可得 Q , R 坐标．进而确定直线 RQ1 1的斜率为 ， 把 直 线 RQ 的 方 程 y = x + t 代 入 椭 圆 方 程 ， 消 去 y 整 理 得2 2所以 y⋅ =- ，整理得点 M 所在的曲线的方程为 + ．所以|RQ |＝ 1 + ⎪ ·5，4 - b 2 · b 2 (4 - b 2 ) ≤所以 △S ORQ ＝ · (2 2bx 2 + tx + t 2 - 3 = 0 ．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点 O 到直线 RQ 的距离为 d ．利用 S = 1QR d 和基本不等式即可得出2试题解析：（1）设点 M （x ，y ），因为 k AM k BM ＝－y 3 x + 2 x - 2 43 4，x 2 y 2 4 3= 1 （x ≠±2）把直线 R Q 的方程 y ＝ 1x ＋b 代入椭圆方程，消去 y 整理得 x 2＋bx ＋b 2－3＝0，2⎛ 1 ⎫2⎝ 2 ⎭b 2 - 4 (b 2 - 3) 1＝154 - b 2 ，2原点 O 到直线 RQ 的距离为 d ＝2b2521 15 3＝3 b 2+ 4 - b 22 2)= 3考点：1．直线 与圆锥曲线的关系；2．轨迹方程5．已知左焦点为 F (-1,0)的椭圆过点 E （1, 2 33的动弦 AB ,CD ,设 M ,N 分别为线段 AB ,CD 的中点.）.过点 P (1,1)分别作斜率为 k 1,k 2 的椭圆+所以 k 1= 2 =- 3( y + y ) 6 y 于是,x M = -3k k 2 + 3k 2 2 + 3k 2(1)求椭圆的标准方程;(2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k 1;(3)若 k 1+k 2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.x 2 y 2 22【答案】(1) +=1(2) -(3)证明见解析（0,- ）323 3【解析】(2)设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 x 2 y 21 + 1 =1,①3 2x 2 y 22 + 2 =1.②3 2②-①,得(x 2- x 1)(x + x ) ( y - y )(y 2 1 2 13 22+ y 1)=0.y - y1 =- x - x212 (x + x ) 4x 2 1 2 1p =- p2 3 .(3)依题设,k 1≠k 2.[来设 M (x M ,y M ),又直线 AB 的方程为 y -1=k 1(x -1), 即 y =k 1x +(1-k 1), 亦即 y =k 1x +k 2,代入椭圆方程并化简得(2+3 k 12 )x 2+6k 1k 2x +3 k 2 -6=0.1 2 ,y = 2 M 112k ,同理,x N = -3k 1k2 ,y = 2 + 3k 2 2N2k 1 2 + 3k 22.此时直线过定点（0,-2）.3当 k 1k 2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点（0,-2）.3综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为（0,-2 3）.6．在直角坐标系中， O 为坐标原点，如果一个椭圆经过点 P (3,2 ),且以 点 F (2,0)为它的一个焦点.（1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点 F (2,0)的弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.【答案】(1) x 2 y 2+ = 1 ;(2) 2 x 2 + 3 y 2 - 4 x = 0 .12 8【解析】试题分析： (1)既然是求椭圆的标准方程，那么另一个焦点必定是点 E (-2,0) ，c = 2 ， 2a = PF + PE = 4 3 ，即 a = 2 3 ， b 2 = a 2 - c 2 = 8 ，可得椭圆标准方程为⎩2+x2y2+=1；(2)只要知道本题中k128AB=k MF(斜率存在时)，利用这个等式可迅速求出结论。
点差法进阶篇一到六
, 0) ，与
y
轴平行的直线交双曲线于 P1 、
P2 时，求证：
A1P1 与
A2 P2 交点的轨迹方程是：
x2 a2
+
y2 b2
= 1( x 0 、 a) ．
y
Q
P1
A1
A2
x
P2 数海之旅公众号
证明 如图，以椭圆为例进行证明，设 A1P1 与 A2 P2 交点为 Q(x , y) ，由于 kP1A2 = −kP2A2 ，利用对称点点 差法可得：
点差法进阶篇之六 ......................................................................................................................................... 18 定比点差法 ..................................................................................................................................... 18 定比点差对称轴轴上点公式 ......................................................................................................... 19
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点差法进阶篇目录
点差法进阶篇一 ............................................................................................................................................... 2 对称点点法差法 vs 点的斗转星移 .................................................................................................. 2
解析大题---点差法
FA 2 FB ，则 k =____ .
2.求以椭圆
x2 y 2 -1 为中点的弦所在的直线方程。 1 内的点 A 2， 8 5
3.求中心在原点，一个焦点为 0， 5 2 且被直线 y =3x 2 截得的弦中点横坐标为 方程。
1 的椭圆 2
5 追求卓越，挑战极限，在绝望中寻找希望，人生终将辉煌！
为 AB 中点。 （I）求直线 AB 的方程；
， （II）若 Q 11 ，是否存在以 Q 为中点的弦？
， 例 7：求抛物线 y 8 x 被点 P -11 平分的弦所在的直线方程。
2
4 追求卓越，挑战极限，在绝望中寻找希望，人生终将辉煌！
【课堂练习】 1.已知直线 y k ( x 2)(k 0) 与抛物线 C：y 2 8x 相交 A、B 两点， F 为 C 的焦点。若
6 ，直线 y t 椭圆 C 3
5.已知 m 是非零实数， 抛物线 C：y 2 ps p 0 的焦点 F 在直线 l : x my
2
m2 0 上。 2
（I）若 m 2 ，求抛物线 C 的方程 （II）设直线 l 与抛物线 C 交于 A、B ， AA2 F ， BB1F 的重心分别为 G、H 求证：对任意非零实数 m ，抛物线 C 的准线 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。
4.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 - 2， 0 ， 2， 0 ，离心率是 交与不同的两点 M，N ，以线段为直径作圆 P ，圆心为 P 。 （I）求椭圆 C 的方程； （II）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （III）设 Q x, y 是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。
高考数学复习基础知识专题讲解与练习27 圆锥曲线点差法(解析版)
高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题27 圆锥曲线点差法一、单选题1．已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（ ）A ．1BCD ．2【答案】A 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法计算可得． 【详解】解：设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -= 两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1； 故选：A ．2．若点()1,1P 为圆2260x y y +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211160x y y +-=，2222260x y y +-=，两式做差可得2222121212660x x y y y y -+--+=，即()()()()()121212121260x x x x y y y y y y +-++---=， 又因为()1,1P 是AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，因此()()()1212122260x x y y y y -+---=，即()()1212240x x y y ---=， 所以11212AB y y k x x -==-， 因此直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=， 经检验，符合题意，故弦AB 所在直线的方程为210x y -+=. 故选：B.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．4【答案】C 【分析】根据离心率可得a =，利用点差法即可求解. 【详解】由题意可得c e a ==a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+= 两式相减可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+， 则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+． 故选：C4．若直线l 与椭圆22162x y +=交于点A 、B ，线段AB 中点P 为（1，2），则直线l 的斜率为（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．－6【答案】B 【分析】设A ，B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标公式可得直线斜率． 【详解】设A ，B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ，2211162x y ∴+=，2222162x y +=，相减得22222121062x x y y --+= ， 即()()()21212121()062x x x x y y y y -++-+=，又AB 中点是P （1，2），121224x x y y +=⎧∴⎨+=⎩ ，()()212124062x x y y -⋅-⋅∴+=，1+203k = 123k ∴=-， 16k =-，故选：B ．5．过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（ ） A ．250x y +-= B ．210x y --= C ．250x y +-= D ．230x y --=【答案】D 【分析】利用点差法求得直线AB 的斜率，进而可求出直线AB 的方程，注意检验判别式是否大于0. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-， 因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=， 故选：D.6．以椭圆22143x y +=内一点()1,1P 为中点的弦所在的直线方程是（ ）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-= C2(20y +-= D．2(20x +-=【答案】B 【分析】首先设直线与椭圆的两个交点()11,A x y ，()22,B x y ，再利用点差法求直线的斜率，最后求解直线方程. 【详解】设过点()1,1P 的直线交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=， 因为122x x +=，122y y +=，12x x ≠，两边同时除以12x x -得121211043y yx x -+⨯=-，得121234y y k x x -==--，所以直线方程为()3114y x -=--，即3470x y +-=. 故选：B7．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ）A ．14- B ．34-C ．12-D ．1【答案】A 【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差可得22221212220x x y y a b --+=， 所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率c e a ==222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.8．已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0B ．x ﹣4y +7=0C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=0【答案】C 【分析】运用代入法、点差法求出直线l 的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】解：设P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵线段PQ 的中点为(1，2)，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，∵222212121,144x x y y -=-=， ∴()()12124x x x x -+﹣(y 1﹣y 2)(y 1+y 2)=0，整理得121218y y x x -=-，即直线l 的斜率为18，故直线l 的方程为y ﹣2=18(x ﹣1)， 即x ﹣8y +15=0， 故选：C.9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，可得122x x +=，122y y +=-，将,A B 两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，进而可求出,a b 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x +=，122y y +=-，则22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩， 两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=22122212()2()2b x x b a y y a +-=-⋅+-=22b a ， 又AB k =0131+-=12，∴22ba12=， 联立22222312c ba c ab =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，得22189a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴椭圆方程为221189x y +=.故选：D ．10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为右焦点，B 为上顶点，平行于FB 的直线l 交椭圆于M ，N 两点且线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ）AB ．12C ．14D【答案】A 【分析】求得直线l 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可. 【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的斜率为k则()()()()2211221212121222222222101x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎧+=⎪-+-+⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ 所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，由线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以121211,2x x y y +=-+=-所以222k b a =-，又b k c =-，所以222b b c a=，又222a b c =+所以b c =，∴2a e =⇒=， 故选：A.11．在抛物线28y x =中，以()1,1-为中点的弦所在直线的方程是（ ） A ．430x y --= B ．430x y +-= C ．430x y +-= D ．430x y ++=【答案】C 【分析】先设弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，进而可求出直线方程. 【详解】设以()1,1-为中点的弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得，21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得，22121288y y x x -=-，所以1212128842AB y y k x x y y -====--+-因此所求直线的方程为()()141y x --=--，整理得430x y +-=. 故选：C.12．已知斜率为1k =的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，若A ，B 的中点为()1,3M ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=【答案】B【分析】利用点差法，设()()1122,,,A x y B x y ，代入双曲线方程后作差，得12121222120x x y y y y a b x x ++--⋅=-，利用直线的斜率和线段AB 的中点坐标求得ba的值. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得22221212220x x y y a b ---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+--=，两边同时除以12x x -得12121222120x x y y y y a b x x ++--⋅=-，由条件可知122x x +=，126y y +=，12121y y x x -=-， 22260a b ∴-=，解得：223b ba a=⇒=所以双曲线的渐近线方程是y =0y ±=. 故选：B13．直线:20l x y -=经过椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点F ，且与椭圆交于,A B 两点，若M 为线段AB 中点，||||MF OM =，则椭圆的标准方程为（ ）A ．22+163x y =B ．22+185x y =C ．2214x y += D ．22+1129x y =【答案】C 【分析】由已知求得3c =，得到M的横坐标为进而求得M 的纵坐标，然后得出OM 的斜率，由22OM l b k k a =-,得到2214b a =，即可判定结论.【详解】易得直线l 的与x轴的交点横坐标为∴椭圆的半焦距3c =,又∵||||MF OM =，∴M的横坐标为代入直线方程得到M∴OM 的斜率01201212OM y y yk x x x +=-==+,由于直线l 的斜率121212l y y k x x -==-, 2212121222121212OM l y y y y y y k k x x x x x x +--=⨯=+--, 2211221x y a b +=,222222 1x y a b +=,∴2221222212y y b x x a -=--, ∴2214OM l b k k a =-=-,∴2214b a =,逐项检验，即可判定只有C 符合， 故选：C .14．已知曲线2244x y -=，过点(3,1)A 且被点A 平分的弦MN 所在的直线方程为（ ） A ．3450x y --= B ．3450x y +-= C ．4350x y --= D ．4350x y +-=【答案】A 【分析】设()()1122,,,M x y N x y ，根据点差法求()1212344MN x x k y y +==+，进而求出方程并检验即可.【详解】解：设()()1122,,,M x y N x y ，故221122224444x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 两式做差得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=-+， 所以()111212124MN y y x xk x x y y -+==-+， 又因为12126,2x x y y +=+=， 所以()11121212344MN y y x x k x x y y -+===-+， 故弦MN 所在的直线方程为()3413y x -=-，即：3450x y --=.联立方程22345044x y x y --=⎧⎨-=⎩得：22040110y y -+=， 16008807200∆=-=>，故满足条件.故选：A.15．过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（ ） ABC ．12D ．13【答案】A 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法运算可得2212b a =，再由离心率公式即可得解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=， 121212AB y yk x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=， 所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：A.16．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（ ）A ．22195x y +=B ．2215x y +=C ．22162x y +=D ．221106x y +=【答案】A 【分析】设,A B 以及AB 中点M 坐标，利用“点差法”得到,AB MO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()2,0F 即可求解出椭圆的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 而12121ABy yk x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯， 所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.17．已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ） A ．14- B ．4- C ．12-D ．2-【答案】B 【分析】首先设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，将A ，B 代入椭圆方程再相减得到()()2102011202y y y x x x --+=，从而得到121202k k +⋅=，即可得到答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-. 故选：B18．过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．12D ．13【答案】A 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，由条件可得12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=--，由2211221x y a b +=，2222221x y a b +=得到()()()()1212121222x x x x y y y y ab+-+-+=，然后得出222a b =即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由条件可得12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=-- 因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b+-+-+=将12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=--代入可得222a b =，所以c e a ==故选：A第II 卷（非选择题）二、填空题19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则椭圆E 的方程为___________．【答案】221248x y +=【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法”，得22ABb k a=，再根据直线过点()4,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得2213b a =，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得28b =，224a =，即可得E 的方程. 【详解】由题意，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程22221x y a b +=，可得2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减可22221212220x x y y a b --+=，变形可得()()2121221212AB x x b y y k x x y y a -+-==-+﹐又AB 的中点M 为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-，代入上式可得，222222AB b b k a a -==-，又1,(4,0),3AB MF MFk k F k ==，所以22221,33b b a a ==，又2222,16a b c c =+=，解得2222,16a b c c =+=，所以椭圆E 的方程为221248x y +=．故答案为：221248x y +=20．椭圆()222210x y a b a b +=>>20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______． 【答案】43- 【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法即可求出直线OE 的斜率； 【详解】解：因为椭圆()222210x y a b a b +=>>c e a ==2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQy y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =- 故答案为：43-21．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________. 【答案】±1 【分析】利用抛物线的定义，找到直线AB 中点M 的纵坐标，以及最短距离时点F 也在直线AB 上，再次利用直线的两点表示出斜率，即可解出M 的坐标，求出AB 的斜率． 【详解】由题意得抛物线的准线方程为l ：1y =-，过A 作1AA l ⊥于1A ，过B 作1BB l ⊥于1B ，设弦AB 的中点为M ，过M 作1MMl⊥于1M ，则1112MM AA BB =+，设抛物线的焦点为F ，则AF BF AB +≥，即118AA BB AF BF +=+≥(当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立)，所以11128AA BB MM +=≥，解得14MM ≥， 即弦AB 的中点到x 轴的最短距离为：413-=，所以点M 的纵坐标为()0,3x ，()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1F ，2114x y =，2224x y =，∴所以直线AB 的斜率0121212031420x y yx x k x x x -+-====--， ∴02x =±，此时1k =±，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为±1， 故答案为：±1.22．直线m 与椭圆2214xy +=交于1P ，2P ，线段12PP 的中点为P ，设直线m 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =______． 【答案】14- 【分析】设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段12PP 的中点P 的坐标，即可得到答案. 【详解】设111222(,),(,)P x y P x y ，中点00(,)P x y ，则012121212012,y y y y yk k x x x x x -+===-+，把点111222(,),(,)P x y P x y 代入椭圆的方程2214x y +=， 整理得222212121,144x x y y +=+=，两式相减得22221212()04x x y y -+-=， 整理得2212121222121212()()1()()4y y y y y y x x x x x x --+==---+，即1214k k =-.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点（4，0）的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E 的离心率为_______【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b +=，① 2222221x y a b +=，② ①-②可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，因为AB 中点坐标为（2，﹣1），则124x x +=，122y y +=-，所以()2122120121422y y b x x a ---===--， 所以224a b =，因为222b a c =-， 所以2234a c =，所以c e a ==24．设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______. 【答案】14【分析】根据线段AB 的垂直平分线方程可得出直线AB 的斜率，由此利用点差法可得出关于p 的等式，进而可求得实数p 的值. 【详解】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p -+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.25．已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x ya b +=，两式作差，利用中点坐标和斜率公式可得2212b a =，再根据离心率公式可得结果.【详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x ya b +=， 两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a ==2212c a=.26．在直角坐标系xOy 中，AB 是圆O 的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率AB k ，OM k ，则1AB OMk k ⋅=-.类比于圆，在直角坐标系xOy 中，AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率AB k ，OM k ，则AB OM k k ⋅=________.【答案】22b a-【分析】利用椭圆中的点差法进行求解即可，也就是设出椭圆弦的两个端点的坐标，代入椭圆标准方程中，两个方程相减，根据斜率公式和中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，所以有2121()()AB y y k x x -=-.由M 是AB 中点，所以点M 的横坐标为：122x x +，纵坐标为：122y y +，因此直线OM 的斜率为：1212OM y y k x x +=+； 1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆上的点，因此有2222112222221(1),1(2),(2)(1)x y x y a b a b+=+=-得： 22222121212121212222()()()()0x x y y x x x x y y y y a b a b +=⇒=----+-+2212122121()()()()y y y y b x x x x a -+-+∴=-，因此有AB OMk k ⋅=22b a-. 故答案为：22b a-三、解答题27．已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>过点(2,，长轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,1)P 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当P 为线段AB 中点时，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）230x y +-= 【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可. （1）因为椭圆C 的长轴长为2a =，得a =又椭圆C 过点(2,， 所以24218b+=，得24b =. 所以椭圆C 的标准方程为:22184x y +=.（2）直线l 的斜率不存在时，过点(1,1)P ，直线l 的方程为：1x = 此时线段AB 中点为()1,0，不合题意.所以直线l 的斜率必存在，设其为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 坐标代入椭圆C 的标准方程为22184x y +=得，22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212084x x y y --+=，整理得：12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=， 所以12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-，1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-，所以12124182y y k x x --===--. 所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=.因为点P 在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交于两点，此直线即为所求.28．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若1F AB的周长为（1）求椭圆C 的方程； （2）椭圆C中以(M 为中点的弦所在直线方程. 【答案】（1）22154x y +=；（2）20x +=.【分析】（1）由已知得4a =a ，又1c =，可得2224b a c =-=，进而可得答案． （2）根据题意得中点弦的斜率存在，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211154x y +=，2222154x y +=，两式作差，化简可得斜率，即可得出答案． 【详解】解：（1）由已知得4a =a = 又由1c =，可得2224b ac =-=，所以椭圆方程为22154x y +=．（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且M 在椭圆内， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 所以2211154x y +=，2222154x y +=， 两式作差，得12121212()()()()045x x x x y y y y +-+-+=， 所以121212121105242x x y y y y x x ++-⨯+⨯⨯=-，所以11(1054k ⨯+⨯⨯=，所以k =所以中点弦的方程为1y x -，所求的直线方程20x +．29．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,4，离心率为35（1）求C 的方程；（2）求过点()3,1M 且以M 点为中点的弦的方程．【答案】（1）2212516x y +=；（2）481692525y x =-+. 【分析】（1）利用待定系数法求出b =4，再根据35c e a ==，代入即可求解. （2）利用点差法可求得直线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）将()0,4代入C 的方程得2161b =， ∴b =4，又35c e a == 得222925a b a -=，即2169125a -=，∴5a =，∴C 的方程为2212516x y +=．（2）设直线与C 的交点为A ()11,x y ，B ()22,x y ，代入椭圆方程得221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差化简可得2222121202516x x y y --+=，即()()()()12121212++02516x x x x y y y y --+=，又1212+32+12x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则()()()()12121212+102516+y y y y x x x x -+=-，4825AB k ∴=-∴以M 点为中点的弦的方程: 481(3)25y x -=--,即：481692525y x =-+.30．已知椭圆()222:124x y C a a +=>的离心率为2，点,A B 是椭圆C 上的两个点，点()2,1P 是线段AB 的中点.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求AB .【答案】（1）22184x y +=；（2. 【分析】 （1）由题意得ca=，根据a ，b ，c 的关系，可求得a 的值，即可得答案； （2）解法一：由题意得AB 的斜率存在，设为k ，可得直线AB 的方程，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，根据AB 的中点为()2,1P ，可得k 的值，代入弦长公式，即可得答案；解法二：利用点差法，可求得直线AB 的斜率k ，进而可得直线AB 的方程，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +的值，代入弦长公式，即可得答案. 【详解】（1）由条件知，c a =，22224c a b a =-=-，=，解得a = 所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）解法一：当直线AB 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意， 故可设直线AB 的方程为()21y k x =-+，并设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()222812x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y ，得()()()2222141224430k x k k x k k ++-+--=，()()21212222443421,2121k k k k x x x x k k ---+==++， 由点()2,1P 是线段AB 的中点知，1222x x+=，所以()2421421k k k -=+，解得1k =-，代入得1212104,3x x x x +==，所以AB =解法二：当直线AB 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意， 设()()1122,,,A x y B x y ，其中12x x ≠，代入椭圆方程，22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y -+-++=， 由点()2,1P 是线段AB 的中点知，12122,122x x y y ++==， 直线AB 斜率为()()12121212418x x y y k x x y y +-==-=--+， 直线AB 方程为3y x =-+，联立方程22283x y y x ⎧+=⎨=-+⎩，消去y ，得2312100x x -+=，所以1212104,3x x x x +==，所以()212AB x x =+=。
点差法教学课件
点差法一、例题：例 已知(,)42M 是直线l 被椭圆42236x y +=所截得的线段AB 的中点，求直线l 的方程。
解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由(4,2)M 是线段AB 的中点的中点可知128x x +=，124y y +=。
因为点A ，B 在椭圆22436x y +=上，2211436x y +=，2222436x y +=。
两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=。
因式分解得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=。
解得直线l 的斜率121212y y k x x -==--。
直线l 的方程：12(4)2y x -=--，即280x y +-=。
二、练习：1. 过椭圆22416x y +=内一点P(1，1)作一直线l ，使直线l 被椭圆截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.解：设弦的端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由(1,1)P 是线段AB 的中点的中点可知122x x +=，122y y +=。
因为点A ，B 在椭圆22416x y +=上，2211416x y +=，2222416x y +=。
两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=。
因式分解得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=。
解得直线l 的斜率12124y y k x x -==--。
直线l 的方程：14(1)y x -=--，即450x y +-=。
2. (2015年辽宁高考题) 已知椭圆C ：222(0)x y m m +=>9，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率乘积为定值。
证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则222112222299x y mx y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩。
6点差法的应用 讲义及练习
讲次6.点差法的应用-教师版一.综述(一)圆锥曲线问题中,与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好 (二)注意:点差法在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系.只有Δ>0，直线才是存在的.(三) 点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题二.例题精讲 破解规律例1. 已知椭圆（）的离心率，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于,两点，当是中点时，求直线方程． 分析：（1）由离心率得到a,b 的比值,由比例设出椭圆方程,在代入点,得到方程. （2）设， ，由点差法求得直线的斜率，即可得到直线方程．答案:（1）；（2）. 解析：（1由得,设 ∴椭圆的方程为,将点代入解得,故椭圆方程为 （2）设， .则， ， ∴又，∴.∴直线方程为即.经验证直线符合要求. 点评:本题考查椭圆方程的求法,第二问已知弦中点,求弦方程,一般可以考虑用点差法.规律总结: 与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的2222:1x y C a b +=0a b >>12e =2⎭，C ()1,1P C A B P ABAB ⎭()11A x y ⋅()22B x y ⋅AB 22143x y +=3470x y +-=1,2c e a ==22222221344c a b b a a a -==⇒=224,03a t t b t⎧=>⎨=⎩C 22143x y t t +=⎭1t =22143x y +=()11A x y ⋅()22B x y ⋅2211143x y +=2222143x y +=()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=12122x x y y +=+=121234AB y y k x x -==--AB ()3114y x -=--3470x y +-=方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题现学现用1: 直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ） A . -2 B . -1 C . 1 D . 2答案:A 解析:,.设，，两式相减， 由于中点的横坐标为1,则纵坐标为,将代入直线，解得 例2. 已知椭圆，点在上 （1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C 的方程.（II ）点差法处理弦中点问题答案:(1) （2） 解析：（Ⅰ）解得,所以椭圆C的方程为. （Ⅰ）设,把坐标带入椭圆方程得做差得: 40x y m ++=22116x y +=A B 、AB m =40x y m ++=144my x ∴=--()11A x y ，()22B x y ，22112222116{ 116x y x y +=+=()121212121164y y x x x x y y -+=-=--+AB 14114⎛⎫⎪⎝⎭，144m y x =--2m =-2222:1(0)x y C a b a b+=>>(C C l O l C ,A B AB M OM l 2242,1,2a a b=+=228,4a b ==22184x y +=12OM k k ⋅=-22421,a b =+=228,4a b ==22184x y +=()()()1122,,,,,M M Ax y B x y M x y ,A B 22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=即:,整理得,即 ,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.点评：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.规律总结:若线段AB 是椭圆(或双曲线)的弦,AB 中点为M,则,其中e 为离心率,且均存在.现学现用2: 已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则（ ） A . -4 B .C . 4D . 6解析: 设，则， ， ，两式相减，得，即，即，同理，得， 所以；故选A . 例3: 已知椭圆： 经过点，且离心率为．（I ）求椭圆的方程；（II ）若一组斜率为的平行线，当它们与椭圆相交时，证明：这组平行线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．分析：(Ⅰ)由经过点，可得，结合可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅰ) 利用点差法找出中点坐标满足的关系式答案:(Ⅰ) (Ⅰ)见解析 ()()121222084M M x x x y y y --+=121212M M y y y x x x -=--12OM k k ⋅=-21OM AB k k e ⋅=-,OM AB k k 22184x y -=A B C 、、AB BC AC 、、D E F 、、OD OE OF 、、111AB BC ACk k k ++=-()()()112200,,,,,A x y B x y D x y 1201202,2x x x y y y +=+=2211184x y -=2222184x y -=()()()()1212121284x x x x y y y y +-+-=0121202y x x y y x -=-12OD AB k k =112,2OE OF BC AC k k k k ==()11124OD OE OF AB BC ACk k k k k k ++=++=-C 22221(0)x y a b a b+=>>(12C 2C C 22221(0)x y a b a b +=>>(b =12222a b c =+2a =C 22143x y +=解析：(Ⅰ)由已知可得， 又，可得， ， 所以椭圆的方程为． (Ⅰ) 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为， ，它们的中点坐标为．由两式相减可得， ，由已知，所以，故直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上.点评: 第二问求中点轨迹方程.利用点差法,，做差结合， , ,化简可得 ,所以这组平行线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.规律总结:牵涉到弦中点轨迹方程,垂直平分线问题可以考虑使用点差结合中点坐标公式来处理现学现用3: 已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．解析:易知,又，解得.∴椭圆的方程为.∴椭圆右焦点的坐标为 ,设线段的中点为 ,由三角形重心的性质知b =12c a =222a b c =+2a =1c =C 22143x y +=()11,x y ()22,x y ()00,x y 221122221,43{ 1,43x y x y +=+=()()()()21212121043x x x x y y y y -+-++=()()()()21212121043x x y y y y x x +-++=⨯-21212y y x x -=-00380x y +=C 380x y +=221122221,43 1,43x y x y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩21212y y x x -=-2102x x x +=2102y y y +=00380x y +=C 22221(0)x y a b a b+=>>()0,4B e =l ,M N BMN ∆F l 4b =222222216115c a b e a a a -===-=220a =2212016x y +=F ()2,0MN ()00,Q x y，从而,解得,所以点Q 的坐标为.设，则，且, 以上两式相减得,∴,故直线的方程为，即. 答案:三.课堂练习 强化技巧1. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1,1)为中点的弦所在直线的方程是（ ）A . x −4y +3=0B . x +4y −5=0C . x −2y +1=0D . x +2y −3=0 答案:D解析:设直线与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 12+2y 12=4x 22+2y 22=4，两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，因为弦的中点坐标(1,1)，所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ，代入得到(x 1−x 2)+2(y 1−y 2)=0 ，所以y 1−y 2x 1−x 2=−12，即斜率k =−12，且过点(1,1)，所以直线方程是y −1=−12(x −1) ，化简为x +2y −3=0，故选D .2. 过点M(1,1)作斜率为−13的直线l 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为__________． 答案:√63解析:设A （x 1,y 1),B （x 2,y 2)，由题得{b 2x 12+a 2y 12=a 2b 2b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2∴b 2(x 1+x 2)(x 1−x 2)+a 2(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0∴2b 2(x 1−x 2)+2a 2(y 1−y 2)=0∴b 2(x 1−x 2)=−a 2(y 1−y 2)∴b 2a 2=−y 1−y 2x 1−x 2=13∴a 2=3b 2∴a 2=3(a 2−c 2)∴2a 2=3c 2∴e =√63.故填√63. 3. 过点的直线与中心在原点，焦点在相交于、2BF FQ =()()002,422,x y -=-003,2x y ==-()3,2-()()1122,,,M x y N x y 12126,4x x y y +=+=-222211221,120162016x y x y +=+=()()()()1212121202016x x x x y y y y +-+-+=1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-⋅=-⨯=-+-()6235y x +=-65280x y --=65280x y --=()0,2l x C A B两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称． （1）求直线的方程； （2）求椭圆的方程． 答案:(1) ;(2). 解析：（1）由，得，从而 设椭圆方程为在椭圆上，则两式相减得，设的中点为则又在直线上， ，于是 ，则直线的方程为. （2）右焦点关于直线的对称点设为 则解得由点在椭圆上，得， 所求椭圆的方程的方程为. 四.课后作业 巩固内化1. 若双曲线的中心为原点， 是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）A .B .C .D . 答案:B解析:由题意设该双曲线的标准方程为， ，12y x =AB C l l C 2y x =-+2224199x y +=2c e a ==22212a b a -=222,.a b c b ==22222,x y b +=()()1122,,,A x y B x y 222222112222,22,x y b x y b +=+=()()()2222121212121212220,.y y x xxx y y x x y y -+-+-==--+AB ()00,,x y 00,2AB x k y =-()00,x y 12y x =0012y x =012AB x k y =-=-l 2y x =-+(),0b l (),,x y ''12,22{y x by x b =-+=-+''''22{ x y b '==-'()2,2b -()2222994222,,42b b b a +-===∴C 2224199x y +=()0,2F -F l M N MN ()3,1P 2213x y -=2213x y -=2213y x -=2213y x -=22221(0,0)y x a b a b-=>>()()1122,,,M x y N x y则且，则，即，则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.故选B . 2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ） A . B . C . D . 答案:D解析:由题意设该双曲线方程为，且，， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选D .3. 已知椭圆＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于点A 、B ，若AB中点为(1，－)，且直线AB 的倾斜角为45°，则椭圆方程为( ) A . ＋＝1 B . ＋＝1 C . ＋＝1 D . ＋＝1答案:C解析:∵，∴c ＝，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋＝1， ＋＝1， ∴，，∴a 2＝，b 2＝.故选：C2211221y x a b -=2222221y x a b-=()()()()1212121222y y y y x x x x a b +-+-=()()12122226y y x x ab --=()2122121261230y y a x x b ---===--223b a =2244c a ==221,3a b ==2213x y -=1y x =-23-22134x y -=22143x y -=22152x y -=22125x y -=22221(0,0)x y a b a b-=>>227a b +=()()1122,,,M x y N x y MN 25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭2211221x y a b -=2222221x y a b -=()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=22224102533,a b a b --==227a b +=222,5a b ==22125x y -=22x a22y b 1229x 25y 29x 24y 229x 249y 29x 229y 1211c =-32212x a 212y b 222x a 222y b ()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=22210a b -+=92944. 已知 ,若在斜率为的直线上存在不同的两点，满足：且线段的中点为，则的值为( )A .B .C .D . 答案:D解析:根据条件可知点在以为焦点的双曲线上， ，那么，双曲线方程是，那么设，所以 ，两式相减得，两边同时除以 ，可得，解得，故选D .5. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)，一个顶点为(0,√3)，若在此椭圆上存在不同两点关于直线y =2x +m 对称，则m 的取值范围是 A . （−√153,√153） B . （−2√1313,2√1313） C . （−12,12） D . （−√1513,√1513） 答案:C解析:由题意得c =1,b =√3∴a =2,x 24+y 23=1设A ,B 为椭圆上两点关于直线y =2x +m 对称，则由点差法得AB 中点M 满足x 4−12⋅y3=0 ，又中点M 满足y =2x +m 解得M(−2m,−3m) ，又M 在椭圆内部，所以4m 24+9m 23<1⇒m ∈(−12,12)，选C6. 设A 、B 是椭圆上的两点，点是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.确定的取值范围，并求直线AB 的方程.解：（1）点在椭圆内，＜，即＞12.的取值范围是.由得，，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.()()2,0,2,0A B -k l ,MN MA MB -=NA NB -=MN ()6,1k 2-12-122,M N ,AB 24,2c a ==21b =2213x y -=()()1122,,,M x y N x y 2211222213{13x y x y -=-=()()()()1212121203x x x x y y y y +--+-=12x x -12203k -=2k =λ=+223y x )3,1(N λ )3,1(N λ=+223y x ∴22313+⨯λλ∴λ),12(+∞λ=+223y x 1322=+λλx y ∴3,22λλ==b a x ⊥由得：，.所求直线AB 的方程为，即.从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为，即. 7. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅰ）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。
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点差法习题【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
使用说明及学法指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、自主证明1、定理 在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN -=⋅. 同理可证，在椭圆12222=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN -=⋅. 2、定理 在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅. 3、定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.例2 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.例3 抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 212-=x y D.122-=x y 1. 已知椭圆4222=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ） A. 23 B. 32 C. 330 D. 2632. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x3. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 【规律总结】同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN =⋅01.一、 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
)235235(0<<-=+x y x 三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
答 案例1. 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2. 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
例3. 解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则210=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+又 125752121=+x y ，125752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴0212123y x x y y -=-- 32121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y ∴点M 的坐标为)21,21(-。
例4. 解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则x x x 221=+， y y y 221=+ 又 125752121=+x y ，125752222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即y x x x y y 32121-=--32121=--=x x y y k ∴33=-yx ，即0=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12575022xy yx ，得)235,235(-P )235,235(-Q点M 在椭圆内∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 例5.解：设椭圆的方程为12222=+b x a y ，则5022=-b a ┅┅①设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则 210=x ，212300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又1221221=+b x a y ，1222222=+b x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b即0)()(212212=-+--x x a y y b∴ 222121b a x x yy =-- ∴ 322=b a ┅┅②联立①②解得752=a ，252=b∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 例 6.解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中点，则12432121=+y x ，12432222=+y x 两式相减得，0)(4)(322212221=-+-y y x x即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x x x x 221=+，y y y 221=+，412121-=--x x y y∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内 联立⎩⎨⎧+==m x y xy 43，得⎩⎨⎧-=-=m y m x 3 则必须满足22433x y -<， 即22433)3(m m -<，解得1313213132<<-m。