刚体的平动与转动(定轴)
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
平动与转动
J z I zz z I zz
dJ z I zz I zz Mz dt ( M z 为诸外力对z 轴的主矩)
1 2 I zz V E 2
( F 为保守力时)
P.188: e.g.1
三. 轴上的附加压力
A ,B 两点受约束不动. 研究约束反力 如图: P.189
外力为保守力时： 辅助方程
1 1 2 E mv c I zz 2 V 2 2
1. 四个方程只有三个是独立的, Izz 是一个标量； 2. Fx Fy Mz 中的力包括约束反力的作用, 故需加约束方程才能求解.
P.201: 例2
方法1: 机械能守恒定律
方法2: 质心的运动定律 + 对质心的动量矩定律 补充例题: 3.2、3.3, P.228~229
另一种推导方法
0
讨 论
1. 轴上附加压力（动压力）为零的条件： ！ 转轴(z)为中心惯量主轴 (xc=0, xy=0 , Izx= 0 , Iyz= 0 ）. 2. 如果 动反力 = 静反力, 则转轴必为中心惯量主轴, 同时刚 体也必为动平衡,即使去掉约束,也会一直转下去.此时,转轴 称为自由转动轴. 3. 附加压力是由于刚体转动时所产生的惯性力引起的， 2 主要部分 . 所以高速运转的机器，制造与安装质量非常重要！ P.192: e.g.2 静力学复习
( r r0 ) ( x x0 ) j ( y y0 )i
与基点的选取无关，是一个滑移矢量
.
静系：
相对于原点
动系：
相对于瞬心
v x v Ax ( y y0 ) 基点法 v y v Ay ( x x0 ) v x v Ax y V’A 为动系中基点 (相对于瞬心)的速度！ v y v Ay x
第四章 刚体的转动
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
第六章 刚体的平动和定轴转动
2
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
刚体的转动
J miri
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
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Rotation inertial mass 三。转动惯量：
J点=m r2
转动惯量的物理意义：刚体转动惯性的量度. z
转动惯量仅取决于 刚体本身的性质，即与 刚体的形状、大小、质 量分布以及转轴的位置 有关。而与转动状态无 关.
2
ri
Δmi
J r dm
回转半径rG(加权平均半径)
设物体的总质量为点 m，刚体对 给定轴的转动惯量为J，
6。在地面上发射一航天器，使它不但脱离地球引力范围还 要脱离太阳引力范围所需的最小发射速度称_____________， 为16.7km/s。 A．第三宇宙速度 C．第一宇宙速度 B．最低轨道速度 D．第二宇宙速度
7．论述伽利略科学研究方法及其对我们的启示。
8．牛顿万有引力定律如何揭示了物理美学中的普遍性.谈 谈你的体会？
M J
例2、质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在 滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。求（1）由静止开始1秒 钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。
解：
1 2 a TR MR 2 R
( M J )
mg T ma
（F=ma）
T m m
M R
角动量守恒
机械能守恒 动量守恒
1.F,a,M,ß都是瞬时量 2.三个守恒定律来自F(M)的累积效应.
3.累积效应可用对应的始末状态量的变化来量度。
4.守恒定律只是各度量关系在特定条件下的特例。 5.累积效应可使我们只考量始末两个状态量， 回避了过程的繁杂。
4。火箭是 最重要的应用之一。火箭内装置了大 量的燃料，燃料燃烧后产生高温高压气体通过尾部不断 向后高速喷出，从而使火箭不断向前加速，这就是火箭 推进原理。火箭是唯一可以不依赖空气，自携燃料，能 胜任星际航行的飞行工具。
mg h
E p mgh弹性势来自：（弹簧平衡位置为势能零点）
kx 0 x
1 2 E p kx 2
引力势能：
（无限远处为势能零点）
r GMm/r2
Mm E p G0 r
∞
系统：
A外 A非保内 EK EP ( Ek E p ) ( Eko E po )
A外 A非保内 E机 E机0
作业2
1。哥白尼能够提出日心说，是由于
1. 哥白尼具有天文观测技术和天文学理论。对希 腊自然哲学著作的钻研给了他批判托勒玫理论的勇 气。 2. 哥白尼得知古代就曾有人提出地球绕太阳转动 的设想后，开始认真考虑以太阳为静止中心，诸行 星包括地球围绕太阳运转的宇宙体系。 3. 哥白尼时代，航海事业发展很快，迫切需要精 确简明的天文历表，客观形势促使哥白尼提出自己 的革命性理论。 A． 1、2条对 B．1、2、3条都对 对 D． 2、3条对 C．1、3条
2
解方程组，得：
代入上式，得：
二、第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度
（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少
等于零。 （2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。 由机械能守恒定律：
h
解得：
∞
3 1
v2 2 gR 2v1 11.2 10 m s
ω
ri v
v0
mv0 r0 mvr r0 v v0 r1
v0
F
已知：m1, m2, M ,R
M,R
T1
求：T1,T2, a
m1
T2
m2
a
M1,R1 T1 T M2,R2 T2
m1
a m2
三个守恒定律比较
F=ma (M J )
来 源
过渡
力（矩）对空间的积累 力对时间的积累 力矩对时间的积累
2。1967年国际计量大会决定采用 作为新的时间计量 基准，定义1秒是 基态的两个超精细能级之间跃迁所 对应的辐射周期的9192631770倍的持续时间。
A．铯原子钟，铯–103原子 原子 C．铑原子钟，铑–103原子 原子 B．铯原子钟，铯–133 D．铑原子钟，铑–133
3。放射性发现后，地质学家从岩石里铀和铅的含量值估算 出岩石的年龄已有40亿年。按______ ___ ___估计，地 球的年令为46亿年，即1017秒的数量级。 A．放射性238U含量 C．放射性同位素238U和235U总量 素238U和235U之比 B．放射性235U含量 D．放射性同位
2.
F ma M J
牛 顿 米 千 克 米2
牛 顿
千 克
米/秒2 弧度/秒2
3.
F F
（M =-M/）
J mi ri
v r
1 2 J MR 2
2
（J点=m r2）
M rF (二二 )
a=r β
1 J ML2 12
1 2 J ML 3
t0—t1: 机守
0 1. 2 H 3
mgh mv
1 2
2 1
h
m
t1—t2: 动守
M H
mv1 (m M )v2
t2—t3: 机守
1 2
(m M )v2 mgH MgH
2
F
M,R 0 1. 2
t0—t1: 机守
t1—t2: 角动守
h H
m
3
M
H
t2—t3: 机守
v2 mv 1R (M m)v 2 R J R
J mr
z
2 G
刚体质量集中于等效点G
rG
rG :
R
m=m
R
J
<J
J mi ri
环与盘 Δmi r dm ri
r
2
（J点=m r2）
r
dr
R
J=ΣΔm iR2=MR2
1 2 J mi ri MR 2 0
2
R
1 2 J mi ri ML 3 0
2
L
1 2 J ML 12
圆盘M, R
长杆M, L
L
J=MR2/2
a
J=ML2/3
a
位移
速度 加速度 惯量
动能
动量
线量：ΔX 角量: Δθ
V
a
m
mv2/2
mv
ω
ΔX
β
J
J ω2/2
Jω
r
Δθ
ΔX=r Δθ
V=r ω
a=r β
刚体定轴转动，各点线量不同 V
角量相同 ω
牛顿力学三定律 v 恒矢量 1.
ω=恒矢量
（F 0） （M=0）
二，转动的牛顿定律：
刚体： 形状和大小都不变的物体。 刚体的平动与转动（定轴）
平动——刚体上各点的状态量（线）保持不变
一、对转轴的力矩
对转轴力矩的定义： 在垂直与转轴的平面 内，外力 F 与力线到转 轴的距离d的乘积定义为 对转轴的力矩。
M
z
r
d
F
M r F rFsin F d
A．牛顿第一定律
C．动量守恒定律
B．万有引力定律
D．角动量守恒定律
5。如果一个系统在 的情况下，系统内部又 _________________________________的话，那么系统的机 械能守恒，这就是机械能守恒定律。
A．不受外力，没有像摩擦力这类会消耗能量的力
B．外力不做功，没有像摩擦力这类会消耗能量的力做功 C．不受外力，没有相互作用力 D．不受外力，没有像摩擦力这类会消耗能量的力做功
转动动能
P m v v L mr r J
2
m vr
动量矩 Angular momentum
角 动 量
三，守恒定律：
功能关系：
功：过程量（涉及两者）。能：状态量（本身具有）。
功（A）是能量变化（ΔE）的量度
质点：A外=
ΔE动
（A 内=A非保内+A保内）
系统：A外+A非保内+A保内=
ΔE动
一、第一宇宙速度 已知：地球半径为R，质量为M， M 卫星质量为m。要使卫星在距地 面h高度绕地球作匀速圆周运动， 求其发射速度。 设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。 机械能守恒： 万有引力作为 向心力：
R
m
1 2 Mm 1 2 Mm mv1 G mv G 2 R 2 Rh
Mm v G m 2 Rh R h
F=ma
EK=mv2/2
M=Jβ
EK=Jω2/2
Ft mv2 mv1
P=mv
L=Jω
Mt J 2 J1
ΣM外=0
mi vi C
动量守恒
ΣF外=0
J ii C
角动量守恒
判断守恒:
F
T
例2、 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅 直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使 小球一速度v0绕管心作半径为r0的圆周运动，然后 向下拉绳子，使小球运动半径变为r1。求小球的速 度? r1 解： 角动量守恒 r0
mg 8 10 a 5 m s 2 m M 2 88 1 T 16 5 40 N 2
mg
1 2 1 2 h at 5 1 2.5 m 2 2
平动
转动；
平动惯量
线量
角量。
F = ma F r=m r2 a /r M= J β
转动惯量
1 2 Ek m v 2 1 2 v 2 mr ( ) 2 r 1 2 J 2
牛顿名言：
• 如果我比别人看得远些，那是因为 我站在巨人们的身上。 • 我不知道世人怎么看，但我自己看 来，我只不过是一个在海滨玩耍的小孩， 不时地比别人找到一块更光滑、更美丽 的鹅卵石和贝壳而感到高兴，而在我面 前的真理的海洋却是个迷。