平行关系
平行关系、垂直关系
有关垂直关系的证明方法：
2、线面垂直
（1）利用线面垂直的判定定理
（2）利用面面垂直的性质定理
（3）利用向量法
有关垂直关系的证明方法：
3、面面垂直 （1）利用面面垂直的定义
（2）利用面面垂直的判定定理
1、空间四面体ABCD中，若AB=BC， AD=CD，E为AC的中点，则有( 4 ）
A E D B C
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 平行直线 共面情况 在同一平面内 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个 没 有 没 有
异面直线 不同在任何一平面内
证明三点共线通常采用以下方法： (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面 的公共点，根据基本性质2，这些点都在交线上． (2)由其中任意两点确定一条直线，再证另一点在这条直 线上．
D F G
A
B
C
E
练习
1.已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？
1.平面SAD⊥平面ABCD S
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD
D A O
AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE
④
线面垂直
② ③
线线垂直
例 2、已知在正方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，E 为CC′中点，F为AC和BD的交点，
求证：A′F
⊥平面BED
D′ B′ D F A B P C′ E
（方法一）转化为平面几何 （方法二）三垂线定理
一. 平行直线 1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行性质：过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4：平行于同一直线的两条直线互相 平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.
了解平行与垂直形的平行和垂直关系
了解平行与垂直形的平行和垂直关系平行和垂直关系是几何学中的重要概念，用以描述两条直线或两个平面之间的相对位置关系。
了解平行和垂直形的平行和垂直关系对于几何学的学习和应用具有重要意义。
一、平行关系平行关系是指两条直线或两个平面之间没有交点，并且始终保持相同的距离。
在平面几何中，平行关系由平行线来描述。
如果两条直线的任意两个点相互连接的线段始终平行，则这两条直线被称为平行线，记作$l_1 \parallel l_2$。
平行线之间的距离始终保持相等，这个距离被称为平行线间的距离。
在立体几何中，两个平面如果没有交点，并且保持相同的距离，则被称为平行平面。
平行关系在几何学中有广泛的应用。
在平面几何中，平行线之间的性质包括：平行线上的任意一对内角相等、平行线之间的外角相等、平行线与横截线所夹的内角相等等。
平行关系也被应用于解决实际问题，如建筑设计中的平行墙面或公路设计中的平行车道等。
二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的交角为90度（直角）。
在平面几何中，垂直关系由垂直线来描述。
如果两条直线的交角为90度，则这两条直线被称为垂直线，记作$l_1 \perp l_2$。
在立体几何中，两个平面如果通过一条直线交于直角，则被称为垂直平面。
垂直关系在几何学中也有广泛的应用。
垂直关系可以用于求解直角三角形的边长和角度。
在建筑设计中，垂直关系用于垂直墙面的设计以及地面与墙面之间的垂直关系。
在物理学中，垂直关系用于描述物体受力情况中的垂直方向分量。
三、平行和垂直关系的判断如何判断两条直线或两个平面之间的平行和垂直关系呢？在平面几何中，常用的方法包括：1. 通过线段的斜率来判断。
如果两条直线的斜率相同，则它们是平行线；如果两条直线的斜率互为倒数，则它们是垂直线。
2. 通过线段的方程来判断。
如果两条直线的方程中的系数满足一定的条件，则可以判断它们是平行线或垂直线。
在立体几何中，判断平行和垂直关系的方法也是基于对交线的角度关系的判断。
空间中的平行关系
解：当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能
相交，因而 m∥β α∥β；当α∥β时，α 内任一直线与
β平行，因为 m⊂α，所以 m∥β.综上知，“m∥β”是“α
∥β”的必要而不充分条件．
答案: B
直线与平面平行的判断 平面与平面平行的判定 线面平行、面面平行的性质的应用
考点一·直线与平面平行的判断
点评：证面面平行的基本方法是利用面面平行的判定 定理，即转化为证线面平行．
【变式探究】
2．如图，已知 ABC-A1B1C1 是正三棱柱，E，F 分别是 AC， A1C1 的中点．求证：平面 AB1F∥平面 BEC1.
证明：因为 E、F 分别是 AC、A1C1 的中点， 所以 AE＝FC1.又因为 AE∥FC1， 所以四边形 AEC1F 是平行四边形，所以 AF∥EC1. 因为 EC1⊂平面 BEC1，AF⊄平面 BEC1， 所以 AF∥平面 BEC1. 连接 EF.因为 EF∥BB1，EF＝BB1， 所以四边形 BB1FE 是平行四边形， 所以 B1F∥BE，B1F⊄平面 BEC1，BE⊂平面 BEC1， 所以 B1F∥平面 BEC1. 因为 AF，B1F 是平面 AB1F 内的相交直线， 所以平面 AB1F∥平面 BEC1.
⇒β∥α. (2) 垂直于 同一直线
的两个平面平行．
4．两个平面平行的性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的直线 平行于 另
一个平面．
符号表示：α∥β，a⊂α，则 a∥β
.
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线 平行 . 符号表示：α∥β，α∩γ＝a，．如图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所 截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，且 BF＝DH.证明：截 面四边形 EFGH 是菱形.
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
什么是平行和垂直
什么是平行和垂直？平行和垂直是几何学中用来描述线段、直线和平面之间相对关系的重要概念。
它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
1. 平行：平行是指两个或多个线段、直线或平面在同一平面内且永远不相交。
平行的特点是它们的距离始终相等，无论它们在平面上的位置如何改变，它们之间的距离始终保持不变。
-平行线段：两个线段的长度可能不同，但它们的方向相同，从一个线段上的任意点到另一个线段上的垂直线段的长度相等。
-平行直线：两条直线在同一平面内，且它们的方向相同，永远不会相交。
平行直线具有相同的斜率，但有不同的y 轴截距。
-平行平面：两个平面在空间中没有交点，且它们的法线方向相同。
2. 垂直：垂直是指两个线段、直线或平面之间的关系，其中一个线段、直线或平面与另一个线段、直线或平面的交角为90 度（直角）。
垂直关系是平行关系的一种特殊情况。
-垂直线段：两个线段在同一平面内，且它们的交角为90 度。
垂直线段的特点是它们之间的距离是最短的。
-垂直直线：两条直线在同一平面内，且它们的交角为90 度。
垂直直线的特点是它们的斜率相乘为-1。
-垂直平面：两个平面相交于一条直线，并且与这条直线相交的两个直线互相垂直。
3. 平行和垂直的应用：-几何学：平行和垂直关系是几何学中的基本概念，用于研究和分析线段、直线和平面之间的关系和性质。
-建筑学：平行和垂直关系在建筑设计和施工中起着重要作用，如平行的墙面、垂直的柱子等。
-地理学：平行和垂直关系用于描述地球表面的经度线和纬度线，帮助确定地理位置和导航方向。
-数学建模：平行和垂直关系在数学建模中用于描述和解决实际问题，如平行线的交点问题、垂直平面的投影问题等。
通过学习平行和垂直的概念和特性，我们可以更好地理解和应用数学中的几何知识。
平行和垂直关系帮助我们描述和分析现实世界中的各种线段、直线和平面之间的关系，为解决实际问题提供了重要的工具和方法。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间里的平行关系（精选7篇）
空间里的平行关系（精选7篇）空间里的平行关系篇1教学建议一、知识结构在平行线知识的基础上，教科书以学生对长方体的直观认识为基础，通过观察长方体的某些棱与面、面与面的不相交，进而把它们想象成空间里的直线与平面、平面与平面的不相交，来建立空间里平行的概念.培养学生的空间观念.二、重点、难点分析能认识空间里直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系既是本节教学重点也是难点.本节知识是线线平行的相关知识的延续，对培养学生的空间观念，进一步研究空间中的点、线、面、体的关系具有重要的意义.1.我们知道在同一平面内的两条直线的位置关系有两种：相交或平行，由于垂直和平行这两种关系与人类的生产、生活密切相关，所以这两种空间位置关系历来受到人们的关注，前面我们学过在平面内直线与直线垂直的情况，以及在空间里直线与平面，平面与平面的垂直关系.2.例如：在图中长方体的棱AA'与面ABCD垂直,面A'ABB'与面ABCD互相垂直并且当时我们还从观察中得出下面两个结论:(1)一条棱垂直于一个面内两条相交的棱,这条棱与这个面就互相垂直.(2)一个面经过另一个面的一条垂直的棱,这两个面就互相垂直.正如上述，在空间里有垂直情况一样，在空间里也有平行的情况，首先看棱AB与面A'B'C'D'的位置关系,把棱AB向两方延长,面A'B'C'D'向各个方向延伸,它们总也不会相交,像这样的棱和面就是互相平行的,同样,棱AB与面DD'C'C是互相平行的,棱AA'与面BB'C'C、与面DD'C'C 也是互相平行的.再看面ABCD与A'B'C'D',这两个面无论怎样延展,它们总也不会相交,像这样的两个面是互相平行的,面AA'B'B与DD'C'C也是互相平行的.3.直线与平面、平面与平面平行的判定（1）不在平面内的一条直线，只要与平面内的某一条直线平行，那么，这条直线与这个平面平行。
空间中的平行关系
(1)试确定F的位置;
(2)求三棱锥A-CDF的体积.
解 (1)连接BE交AD于点O,连接OF,因为CE∥平面ADF,CE⊂平面BEC,平面
ADF∩平面BEC=OF,
所以CE∥OF.
因为O是BE的中点,所以F是BC的中点.
(2)因为 BC 与平面 ABD 所成角为 30°,BC=AB=1,
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为直线a,b,平面α,β,a⊂α,b⊂α,由a∥β,b∥β,得α,β平行或相交;
由α∥β,得a∥β,b∥β,
所以a∥β,b∥β是α∥β的必要不充分条件.故选B.
3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是有(
A.AD1∥BC1
B.平面AB1D1∥平面BDC1
所以 C 到平面 ABD 的距离为 h=BC·
sin
1
30°= .
2
因为 AE=2,F 是 BC 的中点,
所以
1
1
1
VA-CDF=VF-ACD= VB-ACD= VC-ABD=
2
2
2
1
3
× ×
1
1
×1×2×
2
2
=
1
.
12
解题心得在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立
的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转
α,β相交于点A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,则
PD=
答案
.
15
4
解析 由题意,平面 α∥平面 β,则
Hale Waihona Puke 所以·PD=
=
3×5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行关系
1．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________． ① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α； ②
⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α；③ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥β
α⊥β ⇒l ∥α. 2．下面的说法中，________是平面α∥平面β的一个充分条件．
①存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β； ②存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β； ③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；
④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.
3．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是________．
4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．
①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若m∥n，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β ③若m∥n，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β ④ 若m∥n，m ∥α，则n∥α
5．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，且PQ ∥AC ，
PN ∥BD ，则下列命题中，正确的序号是________．
①AC ⊥BD ；②AC∥截面PQMN ；
③AC＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.
6．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上
一点，且AP ＝a 3
，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．
7．在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．
(1)若E 为A 1C 1的中点，求证：DE∥平面ABB 1A 1；
(2)若E 为A 1C 1上一点，且A 1B ∥平面B 1DE ，求A 1E EC 1
的值．
1/2
8.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．
①BM是定值；②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，
四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．
(1)求证：BC⊥平面ACFE；
(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．。