f剖析解题过程
函数常见解题错误剖析
函数常见解题错误剖析函数在数学中是一种常用的抽象概念，它可以用来描述一个输入和输出之间的关系。
函数作为数学中重要的概念，在若干类学科中得到了广泛的应用。
函数的求解是数学中最基本的任务，但也是最容易出错的任务。
在解决函数类问题过程中，学生往往会遇到一些错误，这些错误都会对学生的学习和学术能力产生积极或消极的影响。
因此，本文试图通过剖析学生在解决函数问题时经常犯的错误，来更好地帮助学生更好地解决函数问题，提高解题能力和学术能力。
首先，学生在解决函数问题时常犯的错误之一是混乱函数的定义。
函数具有明确的定义，学生在解决函数问题时，需要根据题中给出的函数的定义来进行解题。
如果忽略了函数的定义，那么很容易因为理解函数的定义不当而出错。
类似地，学生还可能会在解决函数问题时由于函数的关系混淆而出错。
函数间的关系非常复杂，学生往往会犯混淆函数的关系的错误。
其次，学生在解决函数问题时可能会出现数学符号混乱的错误。
函数中经常使用一些数学符号，如积分符号、微分符号、求和符号等。
这些符号在使用时有一定的特性，如果不了解这些特性，则很容易出现混乱符号的错误。
例如，学生往往会按有关积分的公式来计算求和，这是一个明显错误的；学生在求微分时有时也会出现犯这样的错误的情况。
再次，学生在解决函数问题时可能会出现不熟悉问题的情况，这会影响学生的解题正确率。
在解决函数问题时，学生可能会遇到一些函数问题，他们完全不了解这些问题，或者只是知道一些基本概念，没有深入研究。
在这种情况下，学生往往会出错，因为他们无法正确的理解问题。
最后，学生在解决函数问题时可能会出现不注意细节的错误，例如在计算时漏掉一些步骤，或者在求解函数的解时使用错误的公式。
这样的错误往往会导致学生的解题结果出错，从而影响解题的正确率。
综上所述，解决函数问题常犯的错误有很多，如混乱函数的定义、混淆函数之间的关系、混乱数学符号、不熟悉问题以及不注意细节等。
希望通过本文，可以帮助学生更好地理解上述错误，从而避免在解决函数问题中出错。
牛顿第二定律详解
牛顿第二定律详解实验：用控制变量法研究：a与F的关系，a与m的关系知识简析一、牛顿第二定律1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。
2.表达式：F=ma揭示了：①力与a的因果关系，力是产生a的原因和改变物体运动状态的原因；②力与a的定量关系3、对牛顿第二定律理解：（1）F=ma中的F为物体所受到的合外力．（2）F＝ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的合质量．（3）F＝ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变．（4）F＝ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。
（5）F＝ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度．（6）F＝ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是米／秒2．（7）F＝ma的适用范围：宏观、低速4. 理解时应应掌握以下几个特性。
(1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。
(2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。
作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。
(3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。
因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。
(4) 同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体(5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)；只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。
牛顿运动定律的应用1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤：(1) 选取研究对象(2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况(3) 建立直角坐标：其中之一坐标轴沿的方向然后各力沿两轴方向正交分解(4) 列出运动学方程或第二定律方程F合=a合；Fx合=ax合；Fy合=ay合用a这个物理量把运动特点和受力特点联系起来(5) 在求解的过程中,注意解题过程和最后结果的检验,必要时对结果进行讨论.2．物理解题的一般步骤：(1) 审题：解题的关键，明确己知和侍求，特别是语言文字中隐着的条件(如：光滑、匀速、恰好追上、距离最大、共同速度等)，看懂文句、及题述的物理现象、状态、过程。
函数y=f(x)的解析表达式的几种求法
函数y=f(x)的解析表达式的几种求法《解析函数y=f(x)的几种求法》
在数学推导领域，解析函数(y=f(x))是一种表示关系的数学表达式，它能将包
含一个称为“参数”的变量的函数的内容简明地表达出来，而参数的值可以任意变化。
采用解析的方法求解函数，可以大大减少计算工作量，为研究数学特征，求解未知变量提供可靠依据。
精确来说，解析函数有以下几种求法：解析替代法、特征值法、下界条件法、
独立变量假设法、等级法、函数拟合法，每种方法都拥有自己的优点，便于有效的完成计算任务。
以解析替代法为例，此种方法可以用来求解函数中涉及两个变量的求解问题，
它能以比其他方法更快的速度计算出结果，且拥有极高的效率，其原理是将变量替换为固定的数值，保证变量间的函数表示和计算过程中不发生变化。
另一字特征值法，它是求解函数特征值及各特征值在研究区域内的坐标的方法。
其优点在于，当参数值在区域内变化时，该方法得出的结果更准确，且能显示出函数特征值曲线变化情况，有助于定量分析函数行为特性及工程应用。
最后，独立变量假设法是求解函数关于独立变量的表达式的方法，它的特点是
能在较高的效率下将解析函数的表达式表示为一个简单的式子，从而实现函数的可视化表示，便于进行计算。
总之，解析函数的求解是数学运算的一个重要部分，它能以实用的方式来帮助
我们研究函数表达式的特性和参数的关系，从而使我们有效解决待解问题，丰富数学分析，提升数学研究能力。
让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧(作为代表作预备)
让学生用好基本不等式解题的四个教学技巧吴享平（福建省厦门第一中学）邮编361000有人说“基本不等式”可以与数学各分支的大部分知识相结合，从而产生许许多多的数学问题，如：比较大小，最值问题，取值范围等等，无不展示着这一不等式的功效与作用。
因此，让学生正确理解与掌握这一不等式的有关概念、形式与特点，并能灵活的加以运用是学好数学的必要条件之一，这里，从学生学习该不等式时容易产生的失误，以及在运用该不等式进行解题时，缺乏灵活性与创新性等现象，探索教学中的应对的方法与技巧，仅供教师与学生在教学与学习时参考和借鉴。
一.以“误”导“正”，防范在前在使用“基本值不等式”证题或求最值时，学生常常只注重这一不等式的形式，容易忽略它成立的条件与取等要求，于是在平时教学时，针对初学生这一特点，采用以“误”攻“误” 的策略，让学生加深映象、深化理解，从而使学生能够正确掌握和运用这一不等式进行解题。
1.引导注意正数条件例１.已知3,-≠∈a R a ，求31672+++=a a a u 的取值范围. 错解：由51)3(4)3(21)3(4)3(31621)3(7]3)3[(2=+++≥++++=++-++-+=a a a a a a a u ，当且仅当a=－１时，取到“＝”.),5[+∞∈∴u .剖析：（先引导学生展开判断，启发学生特值检验）如,5-=a 时，53<-=u ，显然，以上解法有错，（再带动学生进行“错因”分析）事实上，以上解法产生错误的根源就在“忽视了定理的正数条件”。
正确解法１：１）当3->a 时，有03>+a ，于是,51)3(4)3(≥++++=a a u 当且仅当a ＝－１时，取到等号；２）当3-<a 时，有03<+a ，于是=++++=1)3(4)3(a a u 341]})3(4[)]3({[1-=-≤+-++--a a ，当且仅当a ＝－５时，取到等号.∴u 的取值范围为),5[]3,(+∞--∞ . 正确解法２：,1)3(4)3(++++=a a u 令)3(4)3(+++=a a t 由同号与)3(4)3(++a a ，∴ 4|3|4|3|2|3|4|3||)3(4)3(|||=+⋅+≥+++=+++=a a a a a a t ，44≥-≤∴t t 或∴3-≤u 或 5≥u ，∴u 的取值范围为),5[]3,(+∞--∞ .2.引导注意取等条件例２.已知函数34)(22+-+=x m x x f 的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围。
从剖析学生思维过程提高解题技能
从剖析学生思维过程提高解题技能摘要：词汇是英语学习的基础，在英语教学活动中起着重要作用，对学生的英语能力的提高有着相当大的影响。
本文主要讨论在课外如何培养和训练学生的词汇学习策略，使词汇学习成为其一种习惯，从而提高学生的自主学习能力，促进其英语学习。
教学过程中，我们往往会遇到这样一个问题。
学生百思不解的一道题目，拿来请教老师，老师稍加点拨，他(她)便恍然大悟：原来如此。
之后，他(她)或许会这样问：我怎么就想不到呢?这就是教学过程中如何培养学生解题技能的问题。
技能是在个体身上固定下来的自动化的行为方式，亦即按照一定的程序或步骤来完成的动作，运算技能混个体头髓中的思维操作，需要个体通过一定的运算程序来完成。
在讲解例题或习题时，我们或许将一种或几种正确的解题方法展示给学生。
事实上，成绩稍好一点的学生最关心并不是这道题的如何解答，而是关心你是如何找到这种正确解法的。
尤其是遇到一些综合性较强的题目，就更是如此了。
也就是说，一些综合性较强的问题的解决，其成功与否往往并不取决于问题本身的复杂程度，而是探索解法过程的复杂程度。
由于数学问题一般没有一个统一的解题模式。
因此要解决此类问题，不仅需要学生对有关数学知识和数学技能的深刻理解同时还需要学生能将所学的数学经验有机地联系起来：要实现这一有机结合，实际上就是需要学生掌握一定的解题策略，或者说是运算技能。
那么，教学过程中，如何注意培养学生的运算技能呢?结合几年的教学体验，笔者认为，展示解题的思维过程是培养学生运算技能的极为有效的途径。
教学中的解题过程，是指解答数学问题的整个过程，其中包括如何以学生已拥有的数学经验为背景，去寻求正确解决问题途径的整个思维过程。
一、展示解题过程，就是展示熟练的解题者的整个思维过程。
为学生的模仿创造了条件。
心智技能的研究告诉我们，标准反应或标准程序是个体学习技能时进行比较，模仿主要对象，对于技能的形成起着举足轻重的作用。
教学过程中，我们如果将整个思维过程，尤其是将解题方法的搜索过程讲述出来，其实就是将许多只可意会不可言传的大脑内部的活动变为可传递的信息，用语言展示出来，渗透在教学活动中，对于运算技能的培养，无疑有着十分重要的指导意义。
剖析极值点偏移问题的处理方法
剖析极值点偏移问题的处理方法ʏ江苏省盐城市时杨中学 刘长柏极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数图像不对称,极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中㊂这类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大㊂解决极值点偏移问题,常见的有构造对称函数法和比值代换法,二者各有千秋,独具特色㊂一㊁极值点偏移的概念已知函数y =f (x )是连续函数,在区间(a ,b )内只有一个极值点x 0,f (x 1)=f (x 2),且x 0在x 1与x 2之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同,使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有x 0ʂx 1+x 22这种情况,称为极值点偏移㊂二㊁极值点偏移问题的处理方法1.对称构造法求极值点偏移问题例1 已知函数f (x )=a x 2+l n (x -1)㊂(1)求函数f (x )的单调区间;(2)若a >2,在x ɪ32,+ɕ内存在不等实数x 1,x 2,使得f (x 1)+f (x 2)=8a ,证明:x 1+x 2<4㊂解析:(1)函数的定义域为(1,+ɕ),并且f '(x )=2a x +1x -1=2a x 2-2a x +1x -1㊂①若a =0,f '(x )=1x -1>0,f (x )的单调递增区间为(1,+ɕ)㊂②若a ʂ0,二次函数φ(x )=2a x 2-2a x +1的对称轴是x =12,φ(0)=φ(1)=1㊂i )若a >0,φ(x )在(1,+ɕ)上大于0,从而f '(x )>0,故函数f (x )的单调递增区间是(1,+ɕ)㊂i i )若a <0,当x ɪ1,a -a 2-2a 2a时,f '(x )>0;当x ɪa -a 2-2a 2a,+ɕ时,f'(x )<0㊂此时函数f (x )的单调递增区间是1,a -a 2-2a 2a,单调递减区间是a -a 2-2a2a,+ɕ㊂(2)由对称性,不妨设x 1<x 2㊂因为f (2)=4a ,所以f (x 1)+f (x 2)=2f (2)㊂若2ɤx 1<x 2,a >0,由(1)得f (x )在(1,+ɕ)上单调递增,则f (2)<f (x 1)<f (x 2),f (x 1)+f (x 2)>2f (2),与已知条件矛盾㊂若x 1<x 2ɤ2,仿上也可推出矛盾㊂故32<x 1<2<x 2,即2<4-x 1㊂要证明x 1+x 2<4,只需证明x 2<4-x 1㊂因为a >0,f (x )在(1,+ɕ)上单调递增,所以只需证明f (x 2)<f (4-x 1)㊂又f (x 1)+f (x 2)=8a ,故只需证明8a -f (x 1)<f (4-x 1)㊂构造函数h (x )=f (4-x )+f (x )-8a ,x ɪ32,2,其中h (2)=2f (2)-8a =0㊂则h '(x )=-f '(4-x )+f'(x )=2a x +1x -1-2a (4-x )-13-x =4a (x -2)+4-2x(x -1)(3-x )=(x -2)4a -2(x -1)(3-x )㊂因32<x <2,故x -2<0,2(x -1)(3-x )<83㊂当a >2时,4a -2(x -1)(3-x )>0㊂故h '(x )<0,h (x )在32,2 上单调递减,h (x )>h (2)=0㊂82 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月当x ɪ32,2时,f (4-x )+f (x )-8a >0,8a -f (x 1)<f (4-x 1)成立,即f (x 2)<f (4-x 1)㊂由f (x )在定义域内单调递增,得x 2<4-x 1,即x 1+x 2<4成立㊂例2已知函数f (x )=x +3x+2l n x -a (a ɪR )有两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1x 2>1㊂解析:由题意,假设0<x 1<1<x 2,构造函数g (x )=f (x )-f1x(x >1)㊂故g (x )=2x-2x +4l n x ,则g '(x )=-2(x -1)2x2,g (x )在(1,+ɕ)上单调递减㊂因g (1)=0,故当x 2>1时,g (x 2)<g (1)=0,即f (x 2)<f1x 2成立㊂而f (x 1)=f (x 2),故f (x 1)<f 1x 2㊂又f '(x )=(x +3)(x -1)x2,故f (x )在(0,1)上单调递减,x 1>1x 2,则x 1x 2>1㊂点评:对称变换求极值点偏移,主要用来解决与两个极值点之和㊁积相关的不等式的证明问题㊂解题的关键在于构造函数,对结论x 1+x 2>2x 0型,构造函数F (x )=f (x )-f (2x 0-x )或F (x )=f (x 0+x )-f (x 0-x ),判断函数F (x )在某段区间上的正负,并得出f (x )与f (2x 0-x )的大小关系,进一步转化为x 与2x 0-x 之间的关系,进而得到所证或所求;对结论x 1㊃x 2>x 20型问题,构造函数F (x )=f (x )-fx 2x,通过研究F (x )的单调性获得不等式证明㊂2.消参减元法求极值点偏移问题(i)比值代换法求极值点偏移问题㊂例3 已知函数f (x )=l n x -a x ,a为常数,若函数f (x )有两个零点x 1,x 2,试证明:x 1x 2>e 2㊂解析:不妨设x 1>x 2>0㊂由题意知l n x 1-a x 1=0,l n x 2-a x 2=0,即l n x 1+l n x 2=a (x 1+x 2),l n x 1-l n x 2=a (x 1-x 2)㊂则l n x 1-l n x 2x 1-x 2=a ㊂欲证明x 1x 2>e 2,即证l n x 1+l n x 2>2㊂而l n x 1+l n x 2=a (x 1+x 2),即证a >2x 1+x 2㊂原命题等价于证明l n x 1-l n x 2x 1-x 2>2x 1+x 2,即证l n x 1x 2>2(x 1-x 2)x 1+x 2㊂令t =x 1x 2,t >1㊂构造g (t )=l n t -2(t -1)t +1,t >1,则g '(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0㊂故g (t )在(1,+ɕ)上单调递增㊂又g (1)=0,故g (t )>g (1)=0,即l n t >2(t -1)t +1,也即x 1x 2>e 2㊂(i i)差值换元法求极值点偏移问题㊂例4 已知函数f (x )=x e -x (x ɪR ),若x 1ʂx 2,且f (x 1)=f (x 2),证明:x 1+x 2>2㊂解析:由题意,函数f (x )=x e -x(x ɪR ),可得f '(x )=(1-x )e -x ㊂当x <1时,f '(x )>0;当x >1时,f'(x )<0㊂可知函数f (x )在(-ɕ,1)上单调递增,在(1,+ɕ)上单调递减,且f (0)=0㊂因f (x 1)=f (x 2),故x 1e-x1=x 2e-x2,化简得e x 2-x1=x 2x 1㊂①不妨设x 2>x 1,可得0<x 1<1<x 2㊂令t =x 2-x 1,则t >0,x 2=t +x 1,代入①式,可得e t=t +x 1x 1,解得x 1=t e t -1㊂则x 1+x 2=2x 1+t =2te t -1+t ,故要证x 1+x 2>2,即证2te t -1+t >2㊂92解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月又e t-1>0,故等价于证明2t+(t-2)㊃(e t-1)>0㊂②构造函数G(t)=2t+(t-2)(e t-1), t>0,则G'(t)=(t-1)e t+1,Gᵡ(t)=t e t> 0㊂故G'(t)在(0,+ɕ)上单调递增, G'(t)>G'(0)=0㊂从而G(t)也在(0,+ɕ)上单调递增, G(t)>G(0)=0㊂故②式成立,也即原不等式x1+x2>2成立㊂点评:比(差)值换元的目的是消参㊁减元,是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参㊁减元的目的㊂设法用比值(一般用t表示)表示两个极值点关系,即t= x1x2,化为单变量的函数不等式,继而将所求问题转化为关于t的函数问题求解㊂变式训练1.已知函数f(x)=2a l n x-x2+2(a-1)x+a㊂若f(x)有两个不同的零点x1,x2,求a的取值范围,并证明:x1+x2>2a㊂解析:f(x)的定义域为(0,+ɕ)㊂f'(x)=2a x-2x+2(a-1)= -2(x-a)(x+1)x㊂当aɤ0时,f'(x)<0在(0,+ɕ)上恒成立,则f(x)在(0,+ɕ)上单调递减,不符合题意㊂当a>0时,在(0,a)上有f'(x)>0,在(a,+ɕ)上有f'(x)<0,所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+ɕ)上单调递减㊂f(a)>0,解得a>1,经检验满足题意㊂不妨设0<x1<a<x2,令F(x)= f(x)-f(2a-x),则F'(x)=f'(x)-f'(2a-x)(2a-x)'=f'(x)+f'(2a-x)=2a x-2x+2(a-1)+2a2a-x-2(2a-x)+2(a-1)=4(a-x)2x(2a-x)㊂当xɪ(0,a)时,F'(x)>0,F(x)在(0,a)上单调递增,故F(x)<F(a)=f(a)-f(2a-a)=0,即f(x)<f(2a-x)㊂因为0<x1<a<x2,所以f(x1)< f(2a-x1)㊂又f(x1)=f(x2),a<2a-x1<2a,故f(x2)<f(2a-x1)㊂又f(x)在(a,+ɕ)上单调递减,故x2>2a-x1,即x1+x2>2a㊂2.已知f(x)=x l n x-12m x2-x,若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证: x1x2>e2(e为自然对数的底数)㊂解析:f(x)=x l n x-12m x2-x(x> 0),f'(x)=l n x-m x㊂f(x)在(0,+ɕ)上存在两个极值点x1, x2,且x1<x2,故l n x1-m x1=0,l n x2-m x2=0㊂整理得m=l n x1+l n x2x1+x2㊂并且m= l n x1-l n x2x1-x2,即l n x1+l n x2x1+x2= l n x1-l n x2x1-x2,也即l n x1+l n x2=x1+x2x1-x2㊃l n x1x2=x1x2+1l nx1x2x1x2-1㊂设t=x1x2ɪ(0,1),则l n x1+l n x2= (t+1)l n tt-1㊂要证x1x2>e2,即证l n x1+l n x2>2㊂只需证明(t+1)l n tt-1>2,即证明l n t-2(t-1)t+1<0㊂设h(t)=l n t-2(t-1)t+1,则h'(t)= 1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0㊂故h(t)在(0,1)上单调递增,h(t)<h(1)=0,即h(t)=l n t-2(t-1)t+1<0㊂因此,l n x1+l n x2>2,x1x2>e2㊂(责任编辑徐利杰)0 3解题篇经典题突破方法高二数学2024年3月。
剖析多过程问题
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多过程问题的解决方法三 -----程序法 所谓程序法，是按时间的先后顺序对题 目给出的物理过程进行分析，正确划分 出不同的过程，对每一过程，具体分析 出其速度、位移、时间的关系，然后利 用各过程的具体特点列方程解题． 利用程序法解题，关键是正确选择 研究对象和物理过程，还要注意两点： 一是注意速度关系，即第1个过程的末 速度是第二个过程的初速度；二是位移 关系，即各段位移之和等于总位移．
剖
析
多 过 程 问 题
多过程问题 1.很多动力学问题中涉及物体两个或多个连续 的运动过程，在物体不同的运动阶段， 物体的运动情况和受力情况都发生了变化，我 们把这类动力学问题称为多过程问题． 2.多过程问题可根据涉及物体的多少分为单 体多过程问题和多体多过程问题． 3.观察每一个过程特征和寻找过程之间的联系 是求解多过程问题的两个关键．过程特征需仔 细分析每个过程的约束条件，如物体的受力情 况、状态参量等，以便运用相应的物理规律逐 个进行研究． 至于过程之间的联系，则可从物 体运动的速度、位移、时间等方面去寻找．
【答案】 第一次经过B点的时间为0.2 s 第二次经过B点的时间为0.7464 s
2．如图所示，将一物块M放在匀速传送的 传送带的A点，已知传送带速度大小v＝2 m/s，AB＝2 m，BC＝4 m，M与传送带 的动摩擦因数μ＝0.25，试求物块由A运动 到C点共需要多长时间．(g取10 m/s2， sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
【解析】 第一阶段做初速度为零的匀加速直线运动、加速度为 a1＝＝μg＝2.5 m/s2， 所用时间为 t1＝＝＝0.8 s s1＝a1t＝0.8 m 第二阶段做匀速直线运动，所用时间为t2＝＝0.6 s 第三阶段做初速度v＝2 m/s的匀加速直线运动， mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma2 s2＝BC＝vt3＋a2t 解得a2＝4 m/s2， t3＝1.0 s 故物块M运动到C所需时间为t＝t1＋t2＋t3＝2.4 s.
解题中化归转化的“五种策略”
２０２３年１１月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解题中化归转化的 五种策略◉江苏省苏州市吴江中学㊀贺姣妮㊀㊀摘要:数学解题中,化归转化思维表现极其活跃．具体应用化归转化思维解题时,揭示联系,分析问题,创造条件,创新应用,遵循基本的解题策略,实现化归与转化的目的．结合实例剖析,就常见的化归转化过程中的解题策略加以应用,开拓数学思维,优化数学品质,提升数学能力．关键词:化归;转化;策略;思维;创新㊀㊀数学解题的实质是数学知识与数学思维的化归与转化过程．因而在实际解题过程中,要从题设条件入手,朝着结论的方向,从不同视角㊁不同侧面㊁不同知识等方面去探讨问题的破解,寻求合理有效的解题途径与方法．在此过程中,要遵循化归与转化过程中的熟悉化原则㊁简单化原则㊁直观化原则等一些基本原则．本文中结合实例,就解题过程中化归转化的基本解题策略加以剖析．１正向向逆向的转化问题的题设和结论之间往往存在着一定的因果关系和辩证关系．具体解题时,若从问题的正面入手切入时思维受阻,可以反其道,从它的反面出发,借助逆向思维,经常可以收获不错的效果,另辟捷径．例１㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ５)甲㊁乙㊁丙㊁丁㊁戊５名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(㊀㊀)．A．１２种㊀㊀B．２４种㊀㊀C．３６种㊀㊀D．４８种解析:根据题意,把丙和丁捆绑在一起作为一个整体,则４个人任意排列,有A４４ A２２＝４８种情况,而甲站在两端的情况有C１２ A３３ A２２＝２４种．所以甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有４８－２４＝２４种．故选择答案:B．点评:从正面入手,情况比较复杂,不易操作;合理转化,从反面视角切入,确定 甲站在两端 的不同排列方式,进而利用补集思维进行分析,处理起来更加直接有效．在破解一些涉及 不 至少或至多 等相关问题时,经常借助补集思维,通过正向向逆向转化来分析与处理．２局部向整体的转化问题往往由局部与整体进行合理有效的组合而形成,在解决一些比较复杂的数学问题时,可以从总体角度加以把握,从整体入手,秉持全局观念,不单打独斗,往往会有不错的收获．图１例２㊀(２０２１年云南省玉溪市峨山一中高考数学三模试卷)为了给数学家帕西奥利的«神圣的比例»画插图,列奥纳多 达芬奇绘制了一些多面体,如图１的多面体就是其中之一．它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分,这个多面体的各棱长均为２,则该多面体外接球的体积为(㊀㊀)．A．１６πB．８πC．１６π３D．３２π３图２解析:如图２所示,把该多面体还原补形为正方体,由所给多面体的棱长为２,可得正方体的棱长为２２．此时正方体的中心即为多面体外接球的球心．而球心到多面体顶点的距离为(２)２＋(２)２＝２,即多面体外接球的半径R＝２．所以该多面体外接球的体积V＝４３πR３＝３２π３．故选择答案:D．点评:从条件入手直接利用多面体外接球的性质来处理,不易找到突破口,容易出错;而把多面体还原补形为正方体,进而确定正方体的中心即为多面体的外接球的球心,从局部还原到整体,合理化归与转化．从局部上升到整体,从另一个视角来分析,往往会有不错的效果．３未知向已知的转化类比化归与转化是知识迁移与学习能力提升的一种基本途径．数学解题中,往往要抓住题目中已知关键信息,将未知的结论与已知的条件进行类比转化与类比推理,答案往往就在其中,巧中取胜．９５解题研究２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀例３㊀我们知道:在平面内,点(x ０,y ０)到直线A x ＋B y ＋C ＝０(A ,B 不同时为零)的距离公式为d ＝|A x ０＋B y ０＋C |A ２＋B ２,通过类比的方法可求得空间中的点(０,１,１)到平面x ＋y ＋z ＋１＝０的距离为(㊀㊀)．A．２B ．３C ．２D．１解析:依题意,通过类比推理可得,点(０,１,１)到平面x ＋y ＋z ＋１＝０的距离为d ＝|０＋１＋１＋１|１２＋１２＋１２＝３．故答案为选项B ．点评:从平面中点到直线的距离公式这一已知信息入手,通过合理化归与转化,利用类比推理可得空间中点到平面的距离公式,化未知为已知,实现问题的转化与突破．类比推理往往可以实现低维度向高维度的化归与转化,实现未知向已知的过渡与转变,突破界限．４抽象向具体的转化对于一些抽象的数学问题,可以结合抽象问题的几何意义或其他特征,合理具体化,构建联系,建立与之对应的数学模型,将其转化为熟知的数学问题,从而启迪解题思路,寻找解决问题的突破口[１]．例４㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷 １２)(多选题)已知函数f (x )及其导函数f ᶄ(x )的定义域均为R ,记g (x )＝f ᶄ(x )．若f (３２－２x ),g (２＋x )均为偶函数,则(㊀㊀)．A．f (０)＝０B ．g (－１２)＝０C ．f (－１)＝f (４)D．g (－１)＝g (２)分析:依题意,通过特值法,探寻特殊的函数,结合原函数与导函数所对应的函数均是偶函数,引入三角函数加以合理构造．解析:构造特殊函数f (x )＝s i nπx ＋λ,λɪR ,则可以得到f(３２－２x )＝s i n(３２π－２πx )＋λ＝－c o s ２πx ＋λ,故f (３２－２x )是偶函数．而g (x )＝f ᶄ(x )＝πc o sπx ,则有g (２＋x )＝πc o s (２π＋πx )＝πc o s πx ,故g (２＋x )也是偶函数．因此,以上构造的特殊函数f (x )满足题目条件．而f (０)＝s i n ０＋λ＝λ,g (－１２)＝πc o s (－π２)＝０,f (－１)＝s i n (－π)＋λ＝λ,f (４)＝s i n４π＋λ＝λ,g (－１)＝πc o s (－π)＝－π,g (２)＝πc o s ２π＝π．综上分析,选项B C 正确．故选择答案:B C ．点评:由抽象函数的基本性质,构建与之相应的具体的特殊函数,实现抽象向具体的转化,进而利用特殊函数进行求值与判断．构建满足题设条件的数学模型,是实现抽象向具体转化的一种基本手段,也是破解数学小题比较常用的一种特殊技巧方法．５个别向一般的转化华罗庚说过: 善于退,足够地退,退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的决窍． 具体解题时,可以借助特殊现象的研究,再借助类比㊁分析㊁归纳㊁迁移等去概括一般性的规律,由此实现问题的解决．例５㊀(２０２２年高考数学新高考Ⅱ卷 ８)若函数f (x )的定义域为R ,且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x ) f (y ),f (１)＝１,则ð２２k ＝１f (k )＝(㊀㊀)．A．－３B ．－２C ．０D．１解析:令x ＝１,y ＝０,则有f (１)＋f (１)＝f (１) f (０),结合f (１)＝１,可得f (０)＝２．令y ＝１,可得f (x ＋１)＋f (x －１)＝f (x )f (１)＝f (x ),即f (x ＋１)＝f (x )－f (x －１),所以f (２)＝f (１)－f (０)＝－１,f (３)＝f (２)－f (１)＝－２,f (４)＝f (３)－f (２)＝－１,f (５)＝f (４)－f (３)＝１,f (６)＝f (５)－f (４)＝２,f (７)＝f (６)－f (５)＝１,归纳可知f (x )的周期为６．所以ð２２k ＝１f (k )＝４[f (１)＋f (２)＋f (３)＋f (４)＋f (５)＋f (６)]－f (５)－f (６)＝４ˑ０－１－２＝－３．故选择答案:A．点评:根据题设抽象函数所满足的关系式,借助特殊赋值法处理,构建相应的函数递推关系式,利用前若干项函数值的求解,由个别到一般加以转化,通过归纳来确定函数的周期性,进而利用函数的周期性来分析与求解．归纳推理往往可以达到从个别到一般的转化与应用,也是破解问题常用的一种推理方式．著名的数学家㊁莫斯科大学教授C ．A ．雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表«什么叫解题»的演讲时提出: 解题就是把要解题转化为已经解过的题． 在实际的数学解题过程中,其实质就是从未知向已知㊁从复杂到简单㊁从抽象到具体等的转化．合理熟练掌握一些基本的解题转化策略,可以开拓数学思维,优化数学品质,提升数学能力,培养数学核心素养[２]．参考文献:[１]王东．化归转化思想在三角恒等变换题型中的应用[J ]．中学数学,２０２２(１５):７０Ｇ７１．[２]曾丽萍,王奇南．渗透数学思想提升核心素养 以化归与转化思想的教学为例[J ]．福建中学数学,２０２２(５):２８Ｇ３０．Z０６。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法含答案
A. ［－1，3］B. ［－3，1］C. ［－2，2］D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔*〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔*〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔*+1〕的图象是由y=f 〔*〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔*+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔*+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔*〕＝*2－2*，则函数f 〔*〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长*的函数，则其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2*〔*≤10〕 B.y ＝20－2*〔*<10〕C.y ＝20－2*〔4≤*<10〕D.y ＝20－2*〔5<*<10〕解：Y=20-2* Y>0，即20-2*>0，*<10， 两边之和大于第三边， 2*>Y ， 即2*>20-2* 4*>20 *>5。
此题定义域较难，很容易忽略*>5。
∴54、二次函数y ＝*2－4*＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，则区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为*=2，当*=0或*=4时有最大值y=4，*=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔*＋2〕的定义域是［3，4］，则函数y ＝f 〔*＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔*＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤*≤4 则3+2 ≤*+2≤4+2，所以5≤*+2≤6 所以 y=f(*)的定义域为[5,6] 则5≤*+5≤6，则0≤*≤1 所以y ＝f 〔*＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕333.1(02).1(02)2223.1(02).11(02)2A y x x B y x x C y x x D y x x =-≤≤=--≤≤=--≤≤=--≤≤二. 填空题。
f排列的解题方法
A3
22.排成前后两排，前3人后4人：
A A A 5040 __________________________
3 4 7 7 4 7
解： （多排问题单排法处理）. 与无任何限制的排列相同， 有
A
7 7
5040 种．
根据分步计数原理： 7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．
23.前3后4人且甲、乙在前排，丙排后排：
插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，
共有
AA
3
3
4 4
144
种排法.
1 7 A7 2520 2 18.甲在乙的右边： ________________
对称性(比例法)
1 2
A
2520 7
7
小 结三
定序问题倍缩法
定序问题可以用倍缩法，还可转化为 空位法处理
19.甲、乙、丙3人自左至右顺序不变 (即男生顺序一定,只排女生)：
法二（倍缩法）：A44/A22 法一（分类）：相邻：A33，
间隔1队：2A22
间隔两队：A22，
由加法原理得：共有12种
排列应用小结：合理分类，准确分步
1.特殊元素优先，特殊位置优先 2.相邻问题用捆绑法（先整体后局部） 3.不相邻问题用插空法（先排列剩余元 素，把不相邻的元素插入已得的空隙中） 4.定序问题用除法，或者留空法
3 6 4 4
方法二：先安排特殊元素（甲）
A A 2880
1 4 6 6
方法三：先不考虑特殊计算所有可能，再 7 1 6 去掉不符合条件的 A7 A3 A6 2880
小 结一
对于“在”与“不在”等有特殊元素或特殊位置
的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优 先处理特殊元素（位置）法
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大雨后的街道一片积水，本应 该在此时承担起排水重任的下 水道，却发挥了完全相反的作 用——积水回流，从管道口喷 涌而出，溅起了半米多高的泥 浆。这样的场景并不罕见，在 中国的大中小城市中你都可能 看到。
提近取2信0息年、来概，括昆表明术郊：区原的因一：些花乡卉村种由植原收来益以较粮高食；、蔬人菜民种生植活为水主平，提逐高渐，转对变花为卉专的 门市的场花需卉求种增植大。；云交南通成运为输我方国式最的大进的步鲜（切航花空生或产高基速地公。路的发展）。 （自然3）条说件出：导纬致度昆低明，郊热区量农条作件物好品，种全变年化可的种原植因花以卉及；种盆植地花内卉水的源有充利足自；然盆条地件内。土 壤深定厚位肥：沃昆；明全郊省区自然环境复杂（垂直地域分异显著），花卉植物品种丰富
甲：石林
乙：腾冲火山热泉
图2
36.阅读材料，回答下列问题。
定位：云南省、昆明、腾冲（关注纬度、 海陆、地形位置） （1）昆明位于________（地形区） 的断陷盆地中。
图题2干中转甲译、：乙石两林类成景因观？的腾形冲成火山热泉成因？ 原因分别是_____、_____。（4分）
背景分析：石林位于云贵高原，属于石灰岩地貌，流水溶蚀石灰岩形成喀斯特 地貌；腾冲位于亚欧、印度洋板块交界处，岩浆活动频繁、地热丰富
背景分析：昆明亚热带季风气候，水热配合好，光照足，水源充足、土壤肥沃、 垂直地域明显，昆明郊区农业20年前粮食、蔬菜种植为主。近20年种植花卉。
题干转译：为什么昆明郊区从种粮食、蔬菜变化为种花卉？昆明郊区种花卉的 有利自然条件？
相关知识结构搭建：
答题指导：仔细审题，提取信息，调动知识，理清思路，规范答题
一般答题步骤
（1）定位（确定位置、条件信息；确定人类活动） （2）题干转译 （3）背景分析（已知经验信息与题干条件信息结合） （4）相关知识结构搭建 （5）信息筛取 （6）概括表述
36.阅读材料，回答下列问题。
（1）昆明位于________（地形区） 的断陷盆地中。 图2中甲、乙两类景观的形成 原因分别是_____、_____。（4分）
祝同学们成功 ！
二、2014年四川高考地理复习策略
例： 学会分类构建分析思路和答题模式
地理原因分析类问题Ⅱ——因果逻辑推理型
例2．分析图中三角洲的成因。
陆
提炼方法
三角洲
海
下游 流速
河流的泥 沙含量
海底 海浪 地形 侵蚀
中上游流 速与侵蚀 能力
流域内植 被覆盖率
？思考：该类原因分析类问题
有何特征？
从沿海向内陆的地域分异 （经度地带性）
山地垂直地域分异 （垂直地带性）
形成基 础
热量
水分
水热状 况
影响因素
分布规律
太阳辐射 纬线延伸，纬度更替。低、高纬度 明显（东西延伸，南北更替）
海陆位置 经线延伸，经度更替，中纬度明显。 （南北延伸，东西更替）
海拔高度 从山麓到山顶更替，高山、高原地 区明显（水平延伸，南 丘陵
①地夏季气温比······低
①
冬季气温比······高
地势（海 从气候的成因模式找气温高低的原因： 拔）高 只有大气环流和地形原因；（排除纬度、 海陆位置、洋流）
地形阻挡冬 季风的影响
11
继雨命导学22变涝题考习051．”成意生能1年（了图能力问夏2：从的“题0季分地要水，以，）理求城突热在阅视。”然点一读角。变为场图观成 切由场文察了口此暴资社人，，雨料会们以在的，现目原中洗完实光理国礼成问的图长下下题焦、久，列。点统以武各体。计来汉题现图被、。新等忽杭课为视州标载的、对体城北地，市京理引“相
背景分析：在云南西北部，河流自北垂向直南地流域，分山异河规（律岭谷）南北延伸，相间分
布，海拔高，形成地势高，自北向南倾斜的地势特点和地形山地为主，崎岖不
平，起伏大，山河相间的地形特征。 （注意：地势强调高低及变化趋势，地
形关注地形区和地貌） 自然环境垂直变化明显
相关知识结构搭建：
世界自然带分异规律
从赤道到两极的地域分异 （纬度地带性）
熟悉试题指导用语 简述——简单扼要叙述，须把握要点 简析——简单分析，提出论点即可 描述——对事物的外部特征予以描述 综述——对事物的总体特征予以概括叙述 说明——对原理、成因、规律进行说明 写出——对图像或事实的主要内容予以呈现
熟悉试题指导用语
分析——对地理事物或现象予以剖析、分解，分析原因、 分析局部事物在全局中的地位或作用，分析事物间的联 系等 对比（比较）——列表比较相同、相异、相反、相似， 可先后对比或并列对比；分析相同事物间的差别、不同 事物间的联系 评价——对地理环境、措施、对策、布局进行实施可行 性评价或优势与不足评价 概括——对文字材料或图像内容予以概括要点等
分布规律: 由南向北递减（或由西南向东北递减）。（2分） 原因: 南部（或西南部）受盛行西风和副极地低压带的影响，多锋面、气旋 活动，降水相对较多；北部受极地高压带和极地东风控制，降水少。（每点3 分，共6分） （该岛轮廓北宽南窄），南部受海洋影响相对较大；南部西侧受沿岸暖流的 增湿作用，降水较多（任答一点，得2分）
（背景分析关注：在哪里，什么原因形成了什么现象？）
相关知识结构搭建：
信息提取、概括甲表：述石：林
乙：腾冲火山热泉
图2
（2）读图，指出云南省西北部地势、地形特征以及B线路沿线自然环境地域分异
规律。 定位：云南西北部
提取信息、概括表术：地势高，由北向 南倾斜；地形以山地为主（起伏大），
岭谷南北延伸、相间分布。
关键词
90°
设问中心1
提取信息
36、(2)简述M岛
图例
多年平均年降水
500
西北航道
量分布特征，并 分析其原因。 （1设0分问）中心2
250
M
500 年降水量(mm)
调动知识
0°
图5 世界某区域略图
180° 规范答题
影响降水的因素：大气环流（气压带、风带和季风环流）；天气系统(锋面、 气压）； 海陆；地形（迎风坡、背风坡）； 洋流等
通常要求找到根本原因
什么情况下应用这种模式。 10
二、2014年四川高考地理复习策略
☆剖析解题过程
突出过程
例．读我国某区域气温年较差（单位： ℃）分布图，分析①地气温年较差小 于图中同纬度地区的原因。（11二诊）
贵州（云 贵高原）
？弄清这是属于哪一类原 因分析问题。
请用较准确的语言 叙述分析过程：