2020年江西省南昌市高三二模文科数学试题(含答案和解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。
【精准解析】江西省南昌市四校联盟2020届高三第二次联考数学(文)试题
运算结果为纯虚数的是 1 i ． 1 i
故选：A． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我 国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自 2015 年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是 2015—2019 年，我国对“一带一路”沿线国家 进出口情况统计图，下列描述错．误．的是( )
，即可得解；
【详解】解：依题意可得 e c 1 a cos 50
所以 e2
c2 a2
1
b2 a2
1 cos2 50
-3-
b2 a2
1 cos2 50
1
b2 sin2 50 a2 cos2 50
b a
sin 50 cos 50
tan 50
因为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的渐近线为
A. 这五年，出口总．额．之．和．比进口总．额．之．和．大 B. 这五年，2015 年出口额最少
C. 这五年，2019 年进口增速最快
D. 这五年，出口增速前四年逐年下降
【答案】D
【解析】
【分析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.
【详解】对 A 项，由统计图可得，2015 年出口额和进口额基本相等，而 2016 年到 2019 年出
2 3
2x
3sin
2
6
2x
3cos
6
2x
3
cos
2x
6
，
令 2k
2x
6
2k
，k Z
2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷(文科)(7月份) (解析版)
2020年江西省南昌二中高考数学质检试卷（文科）（7月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．∅C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值＝（）A．B．C．2D．34．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．1375．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．96．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．312．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y2325302616（颗）（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n 均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x．（参考公式：回归直线方程为＝x ，其中＝，＝x）19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；BCD间的体积．（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB的面积最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||2x﹣1|≥3}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}，则∁R A∩B＝（）A．（﹣1，3）B．∅C．（2，3）D．（﹣2，﹣1）解：因为A＝{x||2x﹣1|≥3}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，所以∁R A＝（﹣1，5），B＝{x|y＝lg（x2﹣x﹣6）}＝{x|x＞3或x＜﹣4}，故选：B．2．复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：∵复数z＝（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ＝2．故选：C．3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n 的比值＝（）A．B．C．2D．3解：根据茎叶图知，乙的中位数是31，∴甲的中位数也是31，即＝31，又甲的平均数是×（24+29+33+42）＝32，∴n＝9；故选：A．4．在等差数列{a n}中，a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，则S15＝（）A．134B．135C．136D．137解：在等差数列{a n}中，∵a3+a8+a13＝27，S n表示数列{a n}的前n项和，故选：B．5．已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l2：x+2by+1＝0且l1⊥l2，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．9解：∵a＞0，b＞0，两直线l1：（a﹣3）x+y﹣1＝0，l2：x+6by+1＝0，且l1⊥l2，∴（a﹣6）+2b＝0，即a+2b＝1≥2∴ab≤，≥8，当且仅当a＝2b＝时，等号成立．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0B．C．D．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝tan+tan+…+tan的值，由于tan的取值周期为6，且2017＝336×6+2，故选：C．7．圆柱的底面半径为r，侧面积是底面积的4倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．解：根据题意，设圆柱的高为h，圆柱的底面半径为r，其底面面积S＝πr2，侧面积S侧＝2πr•h，若侧面积是底面积的3倍，即2πr•h＝4πr2，则有h＝3r，若|PO|≤r，则P在以O为球心，半径为r的球内，其体积V′＝，故选：C．8．下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．A．0 个B．1 个C．2 个D．3个解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x7+x+1≥0”，故②错误；对于④：f'（x）＝3x2+6ax+b，因为f（x）在x＝﹣1有极值0，故，解得当a＝1，b＝3时，f'（x）＝3x7+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；故选：A．9．已知x，y满足区域D：，则的取值范围是（）A．[1，+∞）B．C．D．解：作出不等式表示的平面区域如图所示，令t＝，则t∈[0，8]，t+1∈[1，3]，＝＝．而当1+t＝1时，1+t+﹣3＝1，当1+t＝3时，1+t+﹣3＝1，∴的取值范围是[，1]．故选：C．10．函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，f（x）＝＝，当x→+∞时，f（x）→0，函数图象向x轴靠近，排除C；故选：D．11．已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，圆M：x2﹣2x+y2+4y+a2＝0（a＞0），过F的直线l与C交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线l与圆M相切，则a＝（）A．0B．C．D．3解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，解得x1＝1．∴，则直线l的方程为y＝，即3x+4y﹣6＝0．则圆M的圆心坐标为（1，﹣2），半径为．故选：B．12．若函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x﹣lnx（a∈R）在其定义域上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（4（ln2+1），+∞）B．（0，4（1+ln2）]C．（﹣∞，0）∪{4（1+ln2）}D．（0，4（ln2+1））解：函数定义域为（0，+∞），由f（x）＝0有两个根，而f（1）＝2，所以x＝1不是方程的根，即直线y＝a与函数y＝有两个交点，，．由图可知，a的取值范围是（4（1+ln4），+∞）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为．解：由三视图还原原几何体如图，PA⊥底面ABC，且AB＝PA＝2，∴BC⊥平面PAC，得BC⊥PC，取PB中点O，则O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，∴这个几何体的外接球的体积为．故答案为：．14．已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝4，E、F分别为BC边上三等分点，则＝．解：根据题意，作出如下所示的图形：同理可得，＝+，＝++＝．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2，记，则数列的前50项的和为．解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有3S n+a n＝2①，当n＝1时，．①﹣②得3（S n﹣S n﹣1）+（a n﹣a n﹣1）＝0，所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．所以．所以T50＝c1+c2+…+c50＝＝．故答案为：．16．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则＝．解：根据题意知，大正方形的边长为，面积为a2+b2，小正方形的面积为（a2+b6）﹣4×ab＝a4+b2﹣2ab；∴﹣3（）+1＝0，又a＞b，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a4•a6，即＝a1•（a1+5d）②，∴a n＝a2+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵A（﹣1，），B（5，﹣），在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，又5＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3 日3月4日3月5日温差x（℃）101113128发芽数y（颗）2325302616（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m ，n 均小于25”的概率；（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x．（参考公式：回归直线方程为＝x，其中＝，＝x）解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．（2），故所求线性回归方程为．19．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB ＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积．解：（Ⅰ）证明：由已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，得DC⊥BC，AB⊥AD，∴AB⊥平面BCD，得AB⊥DC，∴DC⊥平面ABC；∵CD＝2，∴BD＝AB＝4，BC＝2，则．由（Ⅰ）知DC⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC．∴．∴三棱锥A﹣BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积为．20．已知点M为椭圆上一个动点，且点M到两焦点的距离之和为4，离心率为，且点M与点N关于原点O对称．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M作椭圆的切线l与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△NAB的面积最大时，求直线l的方程．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a＝4，即a＝2，又e＝＝，可得c＝，b＝＝1，（Ⅱ）设M（m，n），由题意可得N（﹣m，﹣n），可得过M的切线的斜率为﹣，化为mx+4ny＝4，圆C的圆心为（7，0），半径为2，可得圆心到切线的距离为，故S△NAB＝•2•＝•2|n|＝≤＝4，则当△NAB的面积最大时，直线l的方程为x+8y﹣12＝0，或x﹣8y﹣12＝0，或x+8y+12＝0，或x﹣8y+12＝0．21．已知函数f（x）＝x+xlnx，h（x）＝（a﹣1）x+xlnx+2ln（1+x）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈（0，2）时，求函数g（x）＝f（x）﹣h（x）在区间[0，3]上的最小值．解：（Ⅰ）依题意，f′（x）＝1+lnx+1＝lnx+2，故k＝f′（1）＝2，又f（1）＝3，（Ⅱ）由题意可知，g（x）＝（2﹣a）x﹣2ln（x+1）（x＞﹣1），则，∴6﹣a＞0，∴函数g（x）在上单调递减，在单调递增，①当，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，∴；②当，即时，g（x）在[0，3]单调递减，∴g（x）min＝g（3）＝8﹣3a﹣2ln4；综上，当时，；当时，g（x）min＝6﹣3a﹣4ln2．请考生在第22-23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab＝1，或a+b＝0，①ab＝6时，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，②a+b＝0时，a，b异号，ab＜0，（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥7，a＝1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥8恒成立，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥4得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．。
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2-x-2＞0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B等于（）A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）D. （2，3）2.已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2=（）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b23.已知函数，命题，若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4.己知角的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点P(2,－1)，则cos2等于（）A. -B. -C.D.5.已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l：r=4：3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③7.某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）A. 样本中男生人数少于女生人数B. 样本中B层次身高人数最多C. 样本中D层次身高的男生多于女生D. 样本中E层次身高的女生有3人8.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（）A. [kπ-，kπ-]（k∈Z）B. [kπ-，kπ]（k∈Z）C. [kπ-，kπ]（k∈Z）D. [kπ-，kπ]（k∈Z）9.已知正实数a，b，c满足log a2=2，log3b=，c6=，则a，b，c的大小关系是（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜b＜aD. b＜a＜c10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. -1B. 2C. 2D.11.已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为1），则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，圆C1：（x-c）2+y2=r2（r＞0）与圆C2：x2+（y-m）2=4r2（m∈R）外切，且E的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知平面向量与的夹角为，||=2，||=1，则•（）=______．14.已知实x，y满足，则2x+y的最小值是______．15.已知函数f（x）对于任意实数x都有f（-x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=e x-sin x，若实数a满足f（log2a）＜f（1），则a的取值范围是______．16.已知平行四边形ABCD中，AB=AC，BD=6，则此平行四边形面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2a n+1=λa n+4，n∈N+．（1）求λ的值及通项a n；（2）求数列{a}的前n项和S n．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，E、F是边DC的三等分点．现将△DAE、△CBF分别沿AE、BF折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直．（1）若G为线段AB上一点，且AG=1，求证：DG∥平面CBF；（2）求多面体CDABFE的体积．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点M是C长轴上的一个动点，过点M的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于点N，弦PQ的中点为R．当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）当M，N均与原点O不重合时，过点N且垂直于OR的直线l′与x轴交于点H．求证：为定值．20.某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额y （万元）的数据如下：加盟店个数x（个）12345单店日平均营业额y（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数m的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率．（参考数据及公式：x i y i=125，=55，线性回归方程=bx+a，其中b=，a=-b．）21.已知函数f(x)＝ln x＋ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当时，证明：x3＞f(x)．22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2=0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．23.已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为1，求的最小值.-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|x＜-1，或x＞2}；∴A∩B=（2，3）．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：因为复数z=a-bi，所以|z|=，故|z|2=a2+b2，故选：D．根据复数z=a-bi，先求出|z|，然后再求出|z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对|z|2的正确理解．本题属于基础题．3.答案：C解析：解：因为p为假命题，所以￢p为真命题，即不存在x0∈R，使f（x0）=0，故△=1-4a2＜0，解得：，故选：C．直接利用命题p为假命题，即不存在x0∈R，使f（x0）=0，根据这个条件得出实数a的取值范围．本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4.答案：C解析：解：由题得点P到原点的距离为=，所以cosα==，所以cos2α=2cos2α-1=2×=．故选：C．先求出点P到原点的距离为，再利用三角函数的坐标定义求出cosα，再利用二倍角的余弦求cos2α的值．本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．5.答案：B解析：解：因为抛物线y2=8x，所以抛物线的准线方程为x=-2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x=-2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，故点P到x=-2的距离等于|PF|，所以，|PE|=|PF|-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．6.答案：A解析：解：①，由题意得=，可得l：r=4：3，所以该结论正确；②，由题意得===，所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3，所以该结论正确；③，由题得轴截面的三角形的三边长分别为，，2r，顶角最大，其余弦为=-＜0，所以顶角为钝角，所以轴截面三角形是钝角三角形，所以该结论错误．故选：A．利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①；由圆锥的侧面积和底面积计算可判断②；由余弦定理计算可判断③．本题主要考查圆锥的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7.答案：C解析：解：A．样本中男生人数为4+12+10+8+6=40，女生人数为100-40=60，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B．因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的比例最大，所以样本中B层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C．样本中D层次身高的男生有8人，女生D层次的有60×15%=9，所以样本中D层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D．样本中E层次身高的女生有60×5%=3人，所以该选项是正确的．故选：C．结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解．本题主要考查统计图表，考查比例和样本频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.答案：A解析：【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得故，解得ω=2，将点代入函数f（x）=A sin（2x+φ），即，因为|φ|＜，所以φ=，故函数f（x）=A sin（2x+），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z），故当x∈[]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．9.答案：B解析：解：由题得a2=2，；∴a6=8，b6=9，且；∵，a，b，c都是正数；∴a＜c＜b．故选：B．先求出a6=8，b6=9，从而得出a6＜c6＜b6，根据a，b，c为正数即可得出a，b，c的大小关系．考查对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算，幂函数的单调性．10.答案：A解析：解：设点A关于直线x+y=3的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．11.答案：C解析：解：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD，在四个侧面中，有∠PBA=∠PCD=∠CPB=90°，△PAD是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为：3．故选：C．先找到几何体原图，再确定侧面直角三角形的个数得解．本题主要考查三视图还原几何体，考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM⊥C1C2，故Rt△OMC1∽Rt△C2OC1，于是=，即，故c=r，∴a=r，∴双曲线的离心率e===．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．13.答案：3解析：解：由题平面向量与的夹角为，||=2，||=1，得•（）==4-2×=3．故答案为：3．直接利用数量积的运算法则求解．本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．14.答案：-4解析：解：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y，所以y=-2x+z，当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小，联立得A（-2，0），所以z最小=2×（-2）+0=-4．故答案为：-4．先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y的最小值．本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.答案：（，2）解析：解：∵任意实数x都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=e x-sin x，即f′（x）=e x-cos x＞0，即f（x）为增函数，则f（log2a）＜f（1），等价为f（|log2a|）＜f（1），即|log2a|＜1，即-1＜log2a＜1，得＜a＜2，即实数a的取值范围是（，2），故答案为：（，2）根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.答案：3解析：解：平行四边形ABCD中，AB=AC，BD=6，如图所示；则OB=3，设AB=2x，∠BAC=θ，θ∈（0，π），则AO=x；△AOB中，由余弦定理得32=4x2+x2-2•2x•x•cosθ，∴x2=，∴平行四边形的面积为：S=2S△ABC=2••2x•2x sinθ=4x2sinθ=4••sinθ====≤=3，当且仅当tanθ=时取“=”，∴平面四边形ABCD面积的最大值为3．故答案为：3．根据题意设AB=2x，∠BAC=θ，利用余弦定理求得x2，再计算平行四边形的面积与它的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ=2代入①可得：a n+1-a n=2，即d=2，又因为a1=1，所以a n=2n-1．（2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1），所以：，=，=2n+2-n2-2n-4解析：（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a}的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM⊥AE，且DM=．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN=．因为面DAE、面CBF均与面ABFE垂直，所以DM⊥面ABFE，CN⊥面ABFE，所以DM∥CN，且DM=CN．因为AM=AG cos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA=45°，而∠FBA=45°，则MG∥FB，故面DMG∥面CBF，则DG∥面CBF．解：（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DM∥CN，且DM=CN，则四边形DMNC为平行四边形，故DC=MN==2．因为V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF．所以V=+3×（）×1=．解析：（1）分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，先证明DM∥CN，再证明面DMG∥面CBF，即证DG∥面CBF．（2）连接BE，DF，利用割补法和体积变换V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF．求多面体CDABFE 的体积．本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19.答案：（1）解：∵当M为C的右焦点，且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2．∴，又a2=b2+c2，解得b=1，c=，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线l：y=kx+m（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx+m代入得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∴，，∴R（），则．∴直线l′的方程为y=4kx+m，点H的坐标为（-，0），又∵点M（，0），∴为定值．解析：（1）根据题意得到关于a，b，c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线和椭圆的方程得到R（），点H的坐标为（），再求为定值．本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．20.答案：解（1）由题可得，=3，=9，设所求线性回归方程为=x+a，则==-1，将=3，=9代入，得a=9-（-3）=12，故所求线性回归方程为=-x+12．（2）根据题意，m（12-m）≥35，解得：5≤m≤7，又m∈Z+，所以m的所有可能取值为5，6，7．（3）设其他5个地区分别为A，B，C，D，E，他们选择结果共有25种，具体如下：AA，AB，AC，AD，AE，BA，BB，BC，BD，BE，CA，CB，CC，CD，CE，DA，DB，DC，DD，DE，EA，EB．EC．ED，EE，其中他们在同一个地区的有5种，所以他们选取的地区相同的概率P==．解析：（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）解不等式m（12-m）≥35得一个地区开设加盟店个数m的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率．本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．21.答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由已知，f′（x）==，①当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）．上单调递增；②当a＜0时，令f′（x）＞0恒，得x，所以f（x）在（0，-）上单调递增，在（-）上单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，-），单调递减区间为（-）．（2）考虑到x＞0时x-1≥ln x，欲证x3＞ln x+，只要证明-1，令g（x）=，x＞0，则g′（x）=，令则g′（x）=0，可得x0=，且当x∈（0，x0）时g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时g′（x）＞0，所以g（x）在∈（0，x0）上单调递减，在x∈（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0）==1-，因为，所以，所以g（x）≥g（x0）＞0，即x3＞（x-1）+只恒成立，所以x3＞ln x+恒成立，即x3＞f（x）．解析：（1）对a分a≥0和a＜0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）x＞0时，x-1≥ln x，欲证：x3＞ln x+只需证明-1，再构造函数g（x）=，x＞0，利用导数求函数的最小值g（x0），即得证．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22.答案：解（1）由消去t，得到y=，则ρsinθ=ρcosθ，∴θ=，所以直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．点P（，）到直线l的距离为d=×sin（-）=×=．（2）由，得，ρ2-ρ-2=0所以ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=-2所以，|MN|=|ρ1-ρ2|==3则△PMN的面积为．S△PMN=|MN|×d=×=．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23.答案：解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b|≤|（x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b=时取“=”，所以a2+4b2的最小值为．解析：本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。
2020届南昌市四校联盟高三第二次联考文科数学试题
2020届江西省南昌市四校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．集合{|A y y ==，集合{|B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}2|x x ≤C ．{}|02x x ≤≤D ．∅【答案】C【解析】根据题意，分析可得集合A 为函数y =B 为函数y =A 、B ，进而由交集的定义计算可得答案．【详解】解：根据题意，集合{|A y y ==，为函数y =则{}|0A y y =≥，集合{|B x y ==，为函数y ={}|2=≤B x x ，{}|02A B x x ∴=≤≤I ； 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，关键是利用集合的表示法分析求出集合A 、B ，属于基础题． 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．11ii-+ B ．1ii+ C ．()21i i +D ．()21i i +【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：因为()()()211111i i i i i i --==-++-，()2111i i i i i i++==- ()2122i i i i +=⨯=-，()211ii i +=--，∴运算结果为纯虚数的是11ii-+． 故选：A ． 【点睛】3．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D【解析】根据统计图中数据的含义进行判断即可. 【详解】对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 4．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（ ） A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得()f x 的一个减区间．解：对于函数2()3sin 23sin 23cos 23cos 232666f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2226k x k ππππ-+剟，k Z ∈，解得71212k x k ππππ++剟，k Z ∈，可得函数的单调递减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令0k =，可得选项B 正确， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．5．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为1cos50︒，则一条渐近线的倾斜角为（ ） A ．40︒ B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】依题意可得22222211cos 50c b e a a ==+=︒，根据同角三角函数的基本关系可得sin 50tan 50cos50b a ︒==︒︒，即可得解； 【详解】解：依题意可得1cos50c e a ==︒所以22222211cos 50c b e a a ==+=︒ 22211cos 50b a ∴=-︒2222sin 50cos 50b a ︒∴=︒ sin 50tan 50cos50b a ︒∴==︒︒因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，故其中一条渐近线的倾斜角为50︒，【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 6．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 成等比数列，且3a c +=，3cos 4B =，则AB CB ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】A【解析】先求a c +的平方，利用a 、b 、c 成等比数列，结合余弦定理，求解ac 的值，然后求解·AB CB u u u r u u u r．【详解】解：因为3a c +=，所以2229a c ac ++=， 又a 、b 、c 成等比数列：2b ac =， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-， 又因为3cos 4B =， 解得2ac =， 3cos 2AB CB ac B ==u u u r u u u r g故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．7．已知)*n a n N =∈，则在数列{}n a 的前40项中最大项和最小项分别是（ ） A ．1a ，30a B ．1a ，9aC ．10a ，9aD ．12a ，11a【答案】D【解析】把给出的数列的通项公式变形，把n a 看作n 的函数，分析其单调性，即可得出结论． 【详解】解：1n a ==，故当123n <时，1n a <，且单调递减， 当123n >时，1n a >，且单调递减， 1112312<<Q ．∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是12a ，11a ．故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．8．已知函数2()|ln |1||f x x x =-+与()2g x x =，则它们所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】作函数2ln 1||,2y x y x x =-=-图像，由图可知所有交点的横坐标之和为224⨯=，选C.点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a ，b ]上是否有f (a )·f (b )<0，还需考虑函数的单调性． 9．若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义域，可排除C 、D 选项，再根据对数函数的运算性质，可排除A 选项，得道答案. 【详解】 由题意，满足，可排除选项C 、D ；又因为，所以，即且，排除选项A ，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用对数函数的基本性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ） A ．5B ．26C ．45D ．6【答案】B【解析】取BC 中点F ，11A D 中点G ，连结DF 、1B F 、1DB 、DG 、1GB ，GF ，则//BE DF ，1//A E GD ，从而过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面为四边形1DFB G ，由此能求出过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积．【详解】解：取BC 中点F ，11A D 中点G ，连结DF 、1B F 、1DB 、DG 、1GB ，GF ，Q 棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，//BE DF ∴，1//A E GD ，又1A E BE E =I ，DG DFD ?，1AE 、BE ⊂平面1A BE ，DG 、DF ⊂平面1DFBG ，∴过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面为四边形1DFB G ，144423DB =++=， 25322GF =-=，∴过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为：111123222622FB GD S DB GF =⨯⨯=⨯⨯=菱形．故选：B ．【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．11．过直线l ：2y x a =+上的点作圆C ：221x y +=的切线，若在直线l 上存在点M ，使得过点M 的圆C 的切线MP ，MQ （P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．[]22-,C ．(][),11,-∞-+∞UD ．(][),22,-∞-+∞U【答案】A【解析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为(0,0)C 到直线l 的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a 的不等式求解．【详解】解：圆22:1C x y +=，圆心为：(0,0)，半径为1，Q 在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，(MQ P ，Q 为切点）满足90PMQ ∠=︒，∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到(0,0)C 2，∴只需(0,0)C 到直线:2l y x a =+，，解得11a -剟，即[]1,1a ∈-故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，是解决问题的关键，属于中档题．12．若关于x 的不等式1181xx λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数λ的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【解析】原不等式转化为33273344lnx ln ln x λλ=…，令()lnx f x x =，利用导数和函数的单调性即可求出． 【详解】解：1181x x λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q ，∴1118ln ln x x λ⎛⎫ ⎪⎝⎭„， Q 不等式1181xx λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，0λ∴>，∴33273344lnx ln ln x λλ=…，令()lnx f x x=，则21()lnx f x x -'=，∴当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 23e <<Q ，216327(2),(3)2839ln ln ln ln f f ====， ()()23f f ∴<，∴只需27(3)34ln f λ…，即394λ…，12λ…，即实数λ的最小值为12， 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想，属于中档题．二、填空题13．已知函数()xf x e b =+的一条切线为1y x =+，则b =______.【答案】0【解析】设切点为()00,xe b P x +，利用导数的几何意义可得01x e =，与001x e b x +=+联立即可求得b 的值． 【详解】解：设切点为()00,xe b P x +，则00()1x f x e '==① 又001x e b x +=+②， 由①②得：00x =，0b =． 故答案为：0． 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算能力，属于基础题． 14．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S 有最大值，且202020191a a <-，则使得0n S >的n 的最大值为______. 【答案】4037【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】解：由题意知0d <，因为202020191a a <- 所以20190a >，201920200a a +<，因此()403714037201914037403702S a a a =⨯+⨯=>，()()403814038201920201140384038022S a a a a =⨯+⨯=⨯+⨯<，故使得0n S >的n 的最大值为4037 故答案为：4037．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知向量1a b ==r r ，且12a b ⋅=r r ，若c xa yb =+r r r，其中0x >、0y >且4x y +=，则c r 的最小值为______.【答案】23【解析】由平面向量的数量积求出2c r ，再利用基本不等式求出2c r 的最小值，即可得到cr 的最小值； 【详解】解：因为1a b ==r r ，且12a b ⋅=r r ，且c xa yb =+r r r，()222222222c x a y b xya b x y xy x y xy ∴=++=++=+-r r r r r g 又0x >、0y >且4x y +=242x y xy +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，()222244122x y c x y +⎛⎫∴≥+-=-= ⎪⎝⎭rc ∴r的最小值为23， 故答案为：23 【点睛】本题考查平面向量的数量积及基本不等式的应用，属于中档题.16．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()3,6，圆2C ：22680x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则2PN QM +的最小值为______.【答案】1262+【解析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得112||||PF QF p+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案． 【详解】解：设抛物线的方程：22(0)y px p =>， 则3623p =⨯，则212p =，∴抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标(3,0)F ，准线方程为3x =-，圆222:680C x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过抛物线的焦点，可设()1,P ρθ，()2,Q ρπθ+，由1cos pρθ=-，可得1121||||3PF QF p +==． ()||2||||12||1PN QM PF QF ∴+=+++()()211||2||33||2||3333332231262QF PF PF QF PF QF PF QF PF QF ⎛⎫⎛⎫=++=+++=+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当2PF QF =时取等号， 故答案为：1262+．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题． 17．如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设5,sin BAD αα∠==（1）求sin C ；（2）若·28BA BC =u u u r u u u r ，求AC 的长.【答案】（172（2）5AC = 【解析】试题分析：（1）由α为三角形BAD 中的角，根据s inα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin ∠BAC 与cos ∠BAC 的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC 变形为sin sin 24C ππα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC 的值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC 与sin ∠BAC 的值代入得出28AB BC =，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB 代入求出BC 的长，再利用正弦定理即可求出AC 的长． 试题解析： 解：（1）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5sin 55α==， ∴2cos 1sin 5αα=-=， 则4sin sin22sin cos 2555BAC ααα∠====， ∴243cos 2cos 12155BAC α∠=-=⨯-=， ∴22232472sin sin 2sin 24455C πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+===⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）由正弦定理，得sin sin AB BCC BAC =∠472510BC=，∴28AB BC =，又·28BA BC =u u u r uu u r ，∴2282AB BC ⨯=，由上两式解得42BC =， 又由sin sin AC BCB BAC=∠得425BC=，∴5AC =．三、解答题18．如图所示，等腰梯形ABCD 的底角 A 等于60o ，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ，90EDA ∠=o ，且22ED AD AB AF ===.（1）证明：平面ABE ⊥平面EBD ； （2）若三棱锥 A BDE -的外接球的体积为823π，求三棱锥 A BEF - 的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）36.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得AB ⊥平面EBD ，由面面垂直的判断定理可得平面ABE ⊥平面EBD .(2)将三棱锥中点A 看作顶点，BEF 3试题解析：(1) 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,,ABCD AD ED AD ED ≠=⊥⊂平面ADEF ，ED ∴⊥平面ABCD ，AB ≠⊂Q 平面ABCD ，AB ED ∴⊥，又2,1,60,AD AB A AB BD ===∴⊥o Q .又,,BD ED D BD ED ≠⋂=⊂平面,EBD AB ∴⊥平面EBD ，又AB ≠⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面EBD .(2)由（1）得,AD DE AB BE ⊥⊥，所以三棱锥A BDE -的外接球的球心为线段AE 的中点34323AE π⎛⎫∴⋅⋅=⎪⎝⎭，解得2,1AE AD ED AB AF =====，111232A BEF B AEF V V --∴==⨯⨯⨯=. 19．某市为了调查小区成年居民对环境治理情况的满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表表3：（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？（3）从表3的六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）150；（2）没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）7 10.【解析】（1）根据抽样比例求得抽取满意度不少于80的人数；（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样方法抽取样本，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】解：（1）根据表中数据知，20人中满意度不少于80的人数为6人，该小区中青年人500人中，满意度不少于80的人数为6 50015020⨯=；（2）完成表3的22⨯列联表如下，由表中数据，计算2240(126148)0.440 2.70620202614K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯；∴没有90%的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）从表3知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，满意度小于80的抽取3人，记为A、B、C，满意度不小于80的抽取2人，记为d、e；从这5人中任取3人，基本事件是ABC、ABd、ABe、ACd、ACe、Ade、BCd、BCe 、Bde 、Cde 共10种；至少有两人满意小于80的是ABC 、ABd 、ABe 、ACd 、ACe 、BCd 、BCe 共7种；故所求的概率是710P =． 【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，属于中档题．20．已知定直线:3l y x =+，定点(2,1)A ，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点A 且与l 相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦,AP AQ 的中点分别为,M N ，若MN 平行于l ，则,OM ON 斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（1）22163x y +=（2）,OM ON 斜率之和为定值0【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，由题意构建关于a b ，的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可知PQ ∥MN ，所以k PQ =k MN =1，设直线PQ 的方程为y=x+t ，代入椭圆方程并化简得：3x 2+4tx+2t 2﹣6=0，利用韦达定理可计算0OM ON k k += 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠椭圆C 过点A ，所以41m n +=①，将3y x =+代入椭圆方程化简得：()26910m n x nx n +++-=，因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()()264910n m n n ∆=-+-=②，解①②可得，11,63m n ==，所以椭圆方程为22163x y +=；（Ⅱ）设点()()1122,,,P x y Q x y ，则有11222121,,,2222x y x y M N ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意可知PQ MN P ，所以1PQ MN k k ==，设直线PQ 的方程为y x t =+， 代入椭圆方程并化简得：2234260x tx t ++-=由题意可知1221243263t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩③ 1212121211112222OM ON y y x t x t k k x x x x +++++++=+=+++++， 通分后可变形得到()()()12121212234424OM ON x x t x x t k k x x x x ++++++=+++将③式代入分子()()()()()212121212226341212036123612OM ON t t t t k k x x x x x x x x -++-+++===++++++，所以,OM ON 斜率之和为定值0.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．已知函数()()1ln a f x a x x a R x+=--∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当e a <<x 的方程()1a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ，2x ，求证：12124x x x x +<.【答案】（1）当1a >-时，()f x 在(0,1)a +单调递增，在(1,)a ++∞单调递减； 当1a -…时，()f x 在(0,)+∞单调递减．（2）证明见解析；【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性证明即可． 【详解】解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞，222211(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x+-+++-+-+'=--==， ①当10a +>，即1a >-时，()f x 在(0,1)a +单调递增，在(1,)a ++∞单调递减， ②当10a +„，即1a -„时，()f x 在(0,)+∞单调递减． （2）证明：设1()()()a g x f ax a lna lnx x ax+=+=+-， 所以(1)()(0)a x g x x x-'=>， 当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 在区间(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0g x '<，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递减； 所以()g x 在1x =处取得最大值．当e a <<1()a f ax ax+=-有两个不同的实数解1x ，2x 所以函数()g x 的两个不同的零点1x ，2x ，一个零点比1小，一个零点比1大． 不妨设1201x x <<<，由1()0g x =，且2()0g x =，得11()x ln ax =，且22()x ln ax =， 则121211,x x x e x e a a ==，所以121221x xx x e a+=，所以1212212121x x x x e x x a x x +=++g ，令12x x t +=，()te h t t=， 22(1)()t t t e t e e t h t t t --'==g ．12t x x =+Q ，1201x x <<<，1t ∴>，所以()0h t '>，所以函数()h t 在区间(1,)+∞上单调递增，()()1h t h e >=，所以12()122212121144x x x x e e e x x a x x a e +=>>=++， 又因为121x x +>，所以12124x x x x +<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=.(1)求曲线2C 的参数方程；(2)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A C 、和B D 、，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 周长最大时，求直线1l 的普通方程.【答案】（1）2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)；（2）14y x =【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得2C 的普通方程，由此可求得2C 的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，点(2cos ,sin )A θθ，然后得到l 与θ的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得1l 的普通方程．试题解析：（Ⅰ）2214x y +=，2{x cos y sin θθ==（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点()2cos ,sin A q q ，8cos 4sin l θθ=+ ()θθθϕ⎫==+⎪⎭， 且cosϕ=，sin ϕ=所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sinθϕ==，sin cos θϕ== 此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的,x y (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．23．已知函数()|21|f x x =-． （1）解不等式()||3f x x <+；（2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用零点分段讨论法解绝对值不等式. (2)利用绝对值三角不等式即可证明结论. 【详解】（1）由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩， 解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤，即24x -<<， 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. （2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解与证明，利用零点分段讨论法解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式证明不等式.。
2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷(文科)(三)(有解析)
2020年江西省南昌二中高考数学校测试卷(文科)(三)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−2<2x −1<5}，B ={x ∈N|−1<x <8}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {1,2，3，4}2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 某公司一种型号的产品近期销售情况如表：月份x 2 3 4 5 6 销售额y(万元)15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程y ̂=0.75x +a ̂，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( )A. 19.5万元B. 19.25万元C. 19.15万元D. 19.05万元4. 设a =log 30.5，b =log 0.20.3，c =20.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a5. 已知a >0，x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y ≤3y ≥a(x −3)，若z =2x +y 的最小值为1，则a 等于( )A. 14B. 12C. 1D. 26. 下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n( )A. 50B. 53C. 59D. 627. 若函数f(x)对一切x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，若f(−3)=a ，用a 表示f(12)= ______ ．A. 1B. 1C. 1D. 18.已知▵ABC中，AB=2，B=π4，C=π6，AD为BC边的中线，P为AD的中点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 0B. 1C. 3D. 49.函数y=lncosx在(−π2,π2)上的图象大致为()A. B.C. D.10.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 111011.已知斜率为3的直线l与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，若点P(6,2)是AB的中点，则双曲线C的离心率等于()A. √2B. √3C. 2D. 2√212.已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)，若不等式f(ax2+ax+1)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A. [0,4)B. (−4,0]C. (0,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a⃗=(cos60°,sin60°)，b⃗ =(cos15°,sin15°)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.某学校要对如图所示的5个区域进行绿化(种花)，现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有______种不同的种花方法．15.已知体积为3√3的正三棱柱ABC−A1B1C1各顶点都在同一球面上，若AB=√3，则此球的表面积等于______ ．16.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，求(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立的实数k的取值范围．18.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2√3，∠DAC=30°，M为PB中点．(1)证明：AM//平面PCD；(2)若三棱锥M−PCD的体积为√3，求M到平面PCD的距离．619.某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与不参与总计男大学生30女大学生50总计45100(1)根据已知数据，把表格数据填写完整；(2)能否有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.设抛物线E：y2=2px(p>0)上的点M(x0,4)到焦点F的距离|MF|=5x0．4(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)如图，直线l：y=k(x+2)与抛物线E交于A，B两点，点A 关于x轴的对称点是C，求证：直线BC恒过一定点．+klnx,k≠0．21.已知函数f(x)=1x(Ⅰ)当k=1时，求函数f(x)单调区间和极值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=k有解，求实数k的取值范围．22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合，长度单位相同，直线l 的参数方程为：{x =t −1y =t +1(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ=2√2sin(θ−π4). (Ⅰ)判断曲线C 的形状，简述理由；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于M ，N ，O 是坐标原点，求三角形MON 的面积．23. 已知函数f(x)=|x +1|−2|x −1|．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)求函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的面积S ．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查交集的运算，属于基础题． 可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：由题意得A ={x|−12<x <3}，B ={0,1，2，3，4，5，6，7}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z=4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ．故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．由题意求出x ，y 代入到回归直线方程，即可求解a ，代入x =7即可结论． 解：由题意，x =2+3+4+5+65=4，y =15.1+16.3+17+17.2+18.45=16.8，将样本中心点代入回归直线方程ŷ=0.75x +a ̂，可得：a ̂=13.8． 当x =7时，可得y =0.75×7+13.8=19.05． 故选：D ．4.答案：A解析：本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．利用对数函数和指数函数的性质求解． 解：∵log 30.5<log 31=0，∴a <0，∵log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=1，∴0<b <1， ∵20.3>20=1，∴c >1， ∴a <b <c ， 故选：A ．5.答案：B解析：解：先根据约束条件画出可行域，如图示： z =2x +y ，将最大值转化为y 轴上的截距的最大值， 当直线z =2x +y 经过点B 时，z 最小， 由{x =12x +y =1得：{x =1y =−1，代入直线y =a(x −3)得，a =12； 故选：B ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移先确定z 的最优解，然后确定a 的值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6.答案：B解析：本题考查了程序框图的应用问题，也考查了古代数学的应用问题，是基础题． 方法一根据正整数n 被3除余2，被8除余5，被7除余4，求出n 的最小值． 方法二按程序框图知n 的初值，代入循环结构求得n 的值． 解：方法一：正整数n 被3除余2，得n =3k +2，k ∈N ；被8除余5，得n =8l +5，l ∈N ； 被7除余4，得n =7m +4，m ∈N ； 求得n 的最小值是53． 方法二：按此歌诀得算法如图，按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得n =1229−168−168−168−168−168−168−168=53， 即输出n 值为53． 故选B ．7.答案：B解析：解：∵函数f(x)对一切x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，令x =y =0，可得f(0)=0． 再令y =−x ，可得0=f(x)+f(−x)，即f(−x)=−f(x)，故函数f(x)为奇函数． 由题意可得f(12)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3)=−4f(−3)=−4a ， 故答案为：−4a ．由题意得到函数f(x)为奇函数，从而求得可得f(12)=4f(3)=−4f(−3)的值．本题主要考查抽象函数的应用，函数的奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求函数的值，属于中档题．8.答案：B解析： 【试题解析】本题考查正弦定理，向量的数量积的应用，考查计算能力．属于基础题．利用正弦定理求得AC 的长，然后利用向量的数量积可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)，求解即可．解：由正弦定理得AC sinB =AB sinC ，∵AB =2，B =π4，C =π6，∴AC =2sinπ4sin π6=2√2，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=1，故选B ． 9.答案：A解析：本题考查函数图象的应用，属于基础题．利研究函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得出结论．解：由所以，所以函数是偶函数，排除B，D，又函数在(0,π2)上单调递减，排除C．故选A．10.答案：A解析：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a3=3，∴1+2d=3，解得d=1，∴a n=1+(n−1)=n，∴1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴数列{1a n a n+1}的前10项和=(1−12)+(12−13)+⋯+(110−111)=1−111=1011．故选：A．11.答案：A解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则代入双曲线方程，相减可得−(x1−x2)(x1+x2)a =(y1−y2)(y1+y2)b，∵点P(6,2)是AB的中点，∴x1+x2=12，y1+y2=4，∵直线l的斜率为3，∴y1−y2x1−x2=3，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=√2．故选A．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．12.答案：A解析：根据函数的单调性得到ax2+ax+1>0恒成立，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及转化思想，是一道中档题．解：∵f(x)=2+1+x)，∴f(x)的定义域是R，f(x)在R递增，若不等式f(ax2+ax+1)>0=f(0)恒成立，则ax2+ax+1>0恒成立，a=0时，1>0恒成立，a≠0时，只需{a>0Δ=a2−4a<0，解得：0<a<4，综上，a∈[0,4)，故选A．13.答案：√22解析：解：∵a⃗=(cos60°,sin60°)，b⃗ =(cos15°,sin15°)，∴a⃗⋅b⃗ =cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°−15°)=cos45°=√2．2．故答案为：√22根据向量的数量积的坐标运算，以及两角差的余弦公式计算可得．本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及两角差的余弦公式，属于基础题．14.答案：72解析：解：根据题意，分4步进行分析：①，对于区域3，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②，对于区域2，与区域3相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法， ③，对于区域1，与区域3、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法， ④，对于区域5，若其颜色与区域3的相同，区域4有2种颜色可选， 若其颜色与区域3的不同，区域4有1种颜色可选，区域4有1种颜色可选， 则区域4、5共有2+1=3种着色方法； 则一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法； 故答案为：72根据题意，分4步进行分析：依次分析各个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列、组合的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色．15.答案：52π3解析：解：由题意可知：√34⋅3⋅AA 1=3√3，∴AA 1=4正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：√33；所以外接球的半径为：√13+4=√133．所以外接球的表面积为：4π(√133)2=52π3．故答案为：52π3．正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．16.答案：(0,√22)解析： 【试题解析】本题主要考查的是椭圆的离心率的范围的求法，属于基础题． 利用椭圆的几何性质求解，进而即可得结果． 解：设椭圆方程为，焦距为2 c ，设M(x,y)，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以M的轨迹方程为x2+y2=c2，其中F1F2为圆直径，由题意知椭圆上的点在圆x2+y2=c2外部，设P为椭圆上任一点，则OP>c恒成立，而OP≥b，所以b>c，所以c2<b2=a2−c2，所以a2>2c2，所以(ca )2<12，又，所以0<e<√22．17.答案：解：(1)由S n=2a n−2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，所以：a na n−1=2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：a n=2⋅2n−1=2n．(2)已知：b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，由于(n−8)b n≥nk对任意n∈N∗恒成立，所以(n−8)(n+1)2≥k对任意的n∈N∗恒成立．设c n=(n−8)(n+1)2，则当n=3或4时，c n取最小值为−10．所以：k≤−10．解析：(1)首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和及恒成立问题的应用．18.答案：(本小题满分12分)解：取PC的中点为N，连结MN，DN(1)∵M是PB的中点，∴MN//BC,MN=12BC∵AD//BC，且BC=2AD，∴NM//AD且NM=AD，∴四边形AMND为平行四边形，∴AM//ND，又∵AM⊄平面PCD，ND⊂平面PCD所以AM//平面PCD(6分)(2)∵M是PB的中点，∴V三棱锥M−PCD =12V三棱锥B−PCD=√36∵V三棱锥B−PCD=V三棱锥P−BCD=13⋅S△BCD⋅PA=13×12×2√3×1×PA=√33PA=√33所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD 又∵PA=1,AD=√3，∴PD=2，∴S△PCD=1设点M到平面PCD的距离为h，则V三棱锥M−PCD =13⋅S△PCD⋅ℎ=13×1×ℎ=√36，∴ℎ=√32，故M到平面PCD的距离为√32(12分)解析：(1)取PC的中点为N，连结MN，DN，利用AD//BC，通过证明NM//AD，推出AM//ND，即可证明AM//平面PCD．(2)利用三棱锥M−PCD的体积为√36，转化求解V B−PCD，设点M到平面PCD的距离为h，通过体积，求解M到平面PCD的距离．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．19.答案：解：(1)表格如下参与不参与总计男大学生302050女大学生153550总计4555100(2)K2=100×(30×35−15×20)245×55×50×50=10011≈9.09>7.879，所以有99.5％的把握认为参与校健身房运动与性别有关．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．20.答案：(Ⅰ)解：∵|MF|=x0+p2=54x0，∴x0=2p.即M(2p,4)．把M(2p,4)代入抛物线方程得4p2=16，解得p=2．∴抛物线Γ的方程为y2=4x．(Ⅱ)证明：由题意，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x1,−y1)(x1≠x2).由直线代入抛物线方程，消y整理得ky2−4y+8k=0，则y1y2=8．直线BC：y+y1=y2+y1x2−x1(x−x1)=4y2−y1(x−x1)，所以y=4y2−y1(x−x1y2y1−y124)−，所以y=4y2−y1(x−2)．∴直线BC恒过定点(2,0)．解析：(Ⅰ)根据抛物线的性质得出x0+p2=54x0，得出M的坐标，代入抛物线方程求出p即可；(Ⅱ)直线方程与抛物线方程联立，求出直线BC方程，即可得出结论．本题考查抛物线的方程，考查抛物线的简单几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=1x+klnx的定义域为(0,+∞)．f′(x)=−1x2+kx．当k=1时，f′(x)=−1x2+1x=x−1x2，令f′(x)=0，得x=1，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=1，无极大值．f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(Ⅱ)因为关于x的方程f(x)=k有解，令g(x)=f(x)−k，则问题等价于函数g(x)存在零点，所以g′(x)=−1x +kx=kx−1x，令g′(x)=0，得x=1k．当k<0时，g′(x)<0对(0,+∞)成立，函数g(x)在(0,+∞)上单调递减，而g(1)=1−k>0，g(e1−1k)=1e1−1k+k(1−1k)−k=1e1−1k−1<1e−1<0，所以函数g(x)存在零点．当k>0时，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以g(1k )=k−k+kln1k=−klnk为函数g(x)的最小值，当g(1k)>0时，即0<k<1时，函数g(x)没有零点，当g(1k )≤0时，即k≥1时，注意到g(e)=1e+k−k>0，所以函数g(x)存在零点．综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f(x)=k有解．法二：因为关于x的方程f(x)=k有解，所以问题等价于方程1+kx(lnx−1)=0有解，令g(x)=kx(lnx−1)+1，所以g′(x)=klnx，令g′(x)=0，得x=1当k<0时，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以函数g(x)在x=1处取得最大值，而g(1)=k(−1)+1>0．g(e1−1k)=1+ke1−1k(1−1k−1)=1−e1−1k<0，所以函数g(x)存在零点．当k>0时，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以函数g(x)在x=1处取得最小值，而g(1)=k(−1)+1=1−k．当g(1)=k(−1)+1=1−k>0时，即0<k<1时，函数g(x)不存在零点．当g(1)=k(−1)+1=1−k≤0，即k≥1时，g(e)=ke(lne−1)+1=1>0所以函数g(x)存在零点．综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f(x)=k有解．法三：因为关于x的方程f(x)=k有解，所以问题等价于方程1k=x(1−lnx)有解，设函数g(x)=x(1−lnx)，所以g′(x)=−lnx．令g′(x)=0，得x=1，g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：所以函数g(x)在x=1处取得最大值，而g(1)=1，又当x>1时，1−lnx<0，所以x(1−lnx)<1−lnx，所以函数g(x)的值域为(−∞,1]，所以当1k∈(−∞,1]时，关于x的方程f(x)=k有解，所以k ∈(−∞,0)∪[1，+∞)．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)(法一)令g(x)=f(x)−k ，则问题等价于函数g(x)存在零点，根据函数的单调性解出即可；(法二)问题等价于方程1+kx(lnx −1)=0有解，令g(x)=kx(lnx −1)+1，根据函数的单调性解出即可；(法三)问题等价于方程1k =x(1−lnx)有解，设函数g(x)=x(1−lnx)，根据函数的单调性解出即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．22.答案：解：(Ⅰ)ρ=2√2sin(θ−π4)即为ρ=2√2(√22sinθ−√22cosθ) =2sinθ−2cosθ，即ρ2=2ρsinθ−2ρcosθ，即有x 2+y 2+2x −2y =0，即为(x +1)2+(y −1)2=2， 则曲线C 的形状为以(−1,1)为圆心，√2为半径的圆； (Ⅱ)将直线l 的参数方程为：{x =t −1y =t +1(t 为参数)，代入圆(x +1)2+(y −1)2=2，可得2t 2=2， 解得t =±1，可得M(0,2)，N(−2,0)，则三角形MON 的面积为S =12×2×2=2．解析：(Ⅰ)运用两角差的正弦公式和ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，即可得到曲线C 的普通方程，即可判断形状；(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入圆的普通方程，可得M ，N 的坐标，再由三角形的面积公式计算即可得到．本题考查极坐标方程和普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于基础题．23.答案：解：(1)x ≥1时：x +1−2(x −1)≥1，解得：1≤x ≤2，−1<x <1时：x +1+2(x −1)≥1， 解得：23≤x <1，x≤−1时：−(x+1)+2(x−1)≥1，解得：x≥4，不合题意，综上，不等式的解集是[23,2]；(2)f(x)={−x+3,x≥33x−1,−1<x<1x−3,x≤−1，如图示：显然A(1,2)，B(13,0)，C(3,0)，故S△ABC=12×83×2=83．解析：(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)画出函数的图象，从而求出三角形的面积即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，是一道中档题．．。
2020年南昌市二中高三数学(文)5月高考模拟试卷附答案解析
2020年南昌市二中高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或22．若复数2i2a z -=，a R ∈在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ） A ．2B ．2C ．1D ．223．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．10-D ．10 4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64B ．32C ．16D ．45．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．126．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．[]1,10x ∈x 4913253109．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x f x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．212．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A ．51-B ．152+ C ．352+ D ．5二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n}的前9项之和等于_____14．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[)1000,1500)试根据频率分布直方图求出样本数据的中位数为__________．15.如图，在ABC ∆中，,AC BC D ⊥为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1,CD CAB MBD DMB =∠=∠=∠，则AM =__________.16. 设M ，N 分别是曲线f (x )＝－x 3＋x 2(x <e)与g (x )＝a ln x (x ≥e)上一点，△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题（共60分） 17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，b ，c，且sin sin sin a b cC B A+-=-． （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．四、选做题（10分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程； （2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.23.设函数()|21|2|1|f x x x =-++.（1）若存在0x R ∈，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是()I 中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤.数学文科试卷参考答案一、单选题1．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2 【答案】C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项. 2．若复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2BC ．1D ．【答案】B 【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果. 详解：因为复数2i 22a az i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，可得10212aa z i -=⇒==-，,z ==,故选B. 3．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A ．-1B ．1C ．20-D ．2【答案】A【解析】双曲线223mx my -=3的标准方程为22113x y m m-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m+=,且0m <,∴ 1.m =-故选A ． 4．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B【解析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.5．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．12【答案】C【解析】由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u ru u u r u u u r u u u r，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+. 【详解】解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r，2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩，则12λμ+=-.故选：C.6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断.【详解】当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 7．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4yx m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U【答案】D【解析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min ym m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=， 则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+⨯=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当28x y y x=，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24min yx +=，则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D ．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键． 8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于63的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B试题分析：运行该程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；推出循环输出，由得，由几何概型概率公式[]1,10x ∈x 49132531021,2x x n =+=()221+1=43,3x x x n =++=2187,4x x x n =+=+=87x +8763x +≥7x ≥可得输出的不小于的概率为，故选B. 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 9．已知定义域为R 的函数()f x 满足：当0x ≤时，()x f x xe =，0x >时，()()1f x f x =-．若()()1g x k x =+，且方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎤--⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A【解析】求出0x ≤时()x f x xe =的导数，可得单调区间和极值，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位可得0x >时()f x 的图象，由题意可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．将直线()y g x =绕着()10-，旋转考虑经过点10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，11e⎛⎫- ⎪⎝⎭，，可得此时的斜率k ，结合图象可得所求范围． 【详解】当0x ≤时，()x f x xe =的导数为()()1x f x x e '=+，当10x -<<时，()0f x >′，()f x 递增；当1x <-时，()0f x <′，()f x 递减，则1x =-处()f x 取得极小值()11f e-=-，由0x >时，()()1fx f x =-，可将()y f x =在(]10-，的图象每向右平移一个单位，可得()f x 在0x >时的图象，如图：由方程()()0f x g x -=有两个不同的实根，可得()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．又()()1y gx k x ==+的图象为恒过定点()10-，的直线，当该直线经过点10e⎛⎫- ⎪⎝⎭，时， 1k e=-；当该直线经过点11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，k 12e =-． 由图象可得当112k e e-<<-时，()y f x =和()y g x =的图象有两个交点．故选：A ． x 631071103-=【点睛】本题考查函数方程的转化思想，考查导数的运用，以及图象平移，考查运算能力和数形结合思想的运用，属于中档题． 10．已知函数()()231cos sin 0,R 22xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【答案】D 【解析】1cos 3131()sin sin cos 222x f x x x x ωωωω+=+-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+Q , 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点(1) (,2)(2,2),66k k k Z ππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω>Q 5012k ∴<≤ ；（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k = ，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k 的取值范围是5511(0,][,]12612U ，选D . 【点睛】有关函数sin()y A x ωϕ=+求ωϕ、的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准sin()y A x ωϕ=+型，函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点，根据x 的范围求出3x πω+的范围，使其在(2,2)k k πππ+或在(2,22)k k ππππ++内，恰好函数无零点，求出ω的范围.11.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11C D 上任意一点，则2PM MN +的最小值为（ ）A．4 B．2C ．1 D．【答案】C【解析】首先连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.根据面面垂直的性质得到AD ⊥平面11CC D D ，即//MH AD .再根据相似三角形得到11C H MH AD C D =，1111HH C HDD C D=，即1MH HH =.再将2PM MN +转化为PM MH +，求其最小值即可. 【详解】连接1C D ，过M 作1MH C D ⊥，连接HN ，过H 作111HH C D ⊥.因为平面1AC D ⊥平面111CC D D C D =，1MH C D ⊥ 所以MH⊥平面11CC D D . 因为AD ⊥平面11CC D D ，所以//MH AD .所以11C HMH AD C D =. 又因为11//HH DD ，所以1111HH C H DD C D=. 即11HH MH AD DD =. 因为1AD DD =，所以1MH HH =. 在RT MHN V 中，222MN MH HN =+.因为1HN HH ≥，所以2222212MH HN MH HH MH +≥+=.即222MN MH ≥，MN ≥.所以12PM MN PM MH +≥+≥.即PM 的最小值为1 故选：C 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =( ) A1B．12C．32+ D【答案】C【解析】先利用角平分线及12AF c =得到三角形相似，进而得到AB ，再根据角平分线定理也可得到AB ，列方程即可求出离心率． 【详解】 如图：由题意得：112AF F F =，所以1212F AF F F A ∠=∠，又12F B F B =，所以1221BF F BF F ∠=∠，又2F B 是21AF F ∠的平分线，所以122BF F AF B ∠=∠， 所以221~BAF AF F V V ，所以2212||AF AB F F =⋅，即2(22)||2c a AB c -=⋅，所以22()||c a AB c-=，由角平分线定理知，2112||AF AB BF F F =，则112211||BF F F AB AF +=+， 所以21122||AF AB AF F F AF =+，所以2222()2()||22222c a c c a c a AB c c a c c a c---=⋅==-+-，故22230310c ac a e e e -+=⇒-+=⇒=．故选：C ． 二、填空题 13.在等差数列{}n a 中,公差16250,14,40,d a a a a >+==则数列{a n}的前9项之和等于_____【答案】90 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质列方程组求出2a 和5a 的值，并求出1a 和公差d 的值，再利用等差数列前n 项和公式可求出数列{}n a 的前9项之和。
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={12,a 2+4a,a −2}，且−3∈A ，则a =( )A. −1B. −3或−1C. 3D. −32. 复数z =1−2i 1+i+i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 1D. √223. 双曲线x 2m−y 23+m =1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A. 12B. 1或3C. 1+√22D. √2−124. 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2+a 3=3，则a 4=( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. −56B. −16C. 16D. 566. 如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记∠ABP =x(x ∈[0,π2])，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y =f(x)，则函数f(x)的图象是( )A.B.C.D.7.若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4<m2−m有解，则实数m的取值范围是()A. (−1,2)B.C. (−2,1)D.8.已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()A. 514B. 914C. 59D. 499.已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)10.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π,2π)内有零点，则ω的取值范围是()A. (14,58)∪(54,+∞) B. (0,14]∪[58,1)C. (18,14)∪(58,54) D. (18,14)∪(58,+∞)11.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则平面B1CD1到平面A1BD的距离是()A. √32B. √22C. 2√23D. 2√3312.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=10，S4=36，则公差d为______ ．14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为______元．15.如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=√63，AB=6，BD=√6，则ADsin∠BAD=______ ．16.已知函数f(x)=x|x2−3|，若存在实数m，m∈(0,√5]，使得当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围是[0,am]，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinC =√3b−csinB−sinA．(1)求角A的大小；(2)若等差数列{a n}的公差不为零，a1sinA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{4a n a n+1}的前n项和S n．18.某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷)2040506080y(°C)34445(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =1，AA 1=2，点D 是侧棱AA 1的中点． (1)证明：DC 1⊥平面BCD ； (2)求三棱锥B 1−BCD 的体积．20. 已知抛物线的方程为y 2=−8x ，设过点N(2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线相交于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，求点E 的横坐标的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +2ax+1+bx(a ∈R,b ∈R)．(1)当a =0时，若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求b 的取值范围；(2)当b =0时，是否存在a ∈R ，使得不等式f(x)≤a2(x +1)恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y −2=0，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ，(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t >0，0<α<π2)，分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x−2m|−|x|，m∈N∗，且f(x)<4恒成立．(1)解关于x的不等式f(x)>1−3x；(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证：4α+1β≥18．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了元素与集合的关系及元素的性质，属于基础题．由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a，再根据集合中元素的互异性确定a的值即可．解：由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1或−3，当a=−1时，A={12,−3,−3}，不符合元素的互异性，舍去；当a=−3时，A={12,−3,−5}，符合题意，即a=−3．故选D．2.答案：D解析：解：∵z=1−2i1+i +i=(1−2i)⋅(1−i)(1+i)(1−i)+i=−12−32i+i=−12−12i，∴|z|=√22．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．根据双曲线的焦点且c=2，可知m+3+m=4，进而得出m的值．解：∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c=2，∴m+3+m=c2=4．。
2020届江西省南昌二中高三校测数学(文)试题(三)(解析版)
2020届江西省南昌二中高三校测试数学（文）题（三）一、单选题1．已知集合4{|log 1}M x x =<，{}2M N =，则集合N 可以是（ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{2，3，4}【答案】C【解析】先利用对数函数的单调性化简集合M ，然后再根据交集的运算求解. 【详解】{|04}M x x =<<，{}2M N =，∴集合N 可以是{2，4}.故选：C 【点睛】本题主要考查交集的运算以及对数函数的单调性应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.2．若复数z 的其共轭复数z 满足131zi i=++，则复数z 为（ ） A ．24i -- B ．24i -+C ．44i -D ．44i +【答案】A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案. 【详解】 解：由131zi i=++，得(13)(1)24z i i i =++=-+， 24z i ∴=--.故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9y x =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ）A ．36.5B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】利用点(,)x y 满足回归直线方程，求出x ，进而得到y ，即可求解. 【详解】回归方程1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =． 故选：D . 【点睛】本题考查线性回归方程，样本中心点在回归直线上是解题的关键，属于基础题. 4．设52a -=，5log 2b =，3log 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】 解：521log 2log 5b ==，321log 2log 3c ==，22log 5log 31>>，2210log 511log 3∴<<<， 则53log 2log 21<<， 又1135355log 2log log 1853>==， 531log 2log 213∴<<<， 又51232a -==， 故a b c <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A ．25B．5C ．49D ．23【答案】A【解析】画出约束条件的可行域,转化m 2+n 2为x ,y 的关系,利用目标函数的几何意义转化求解即可． 【详解】0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域如图阴影部分, 点(m +n ,m -n )在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内,设x m n y m n =+⎧⎨=-⎩,即(,)x y 在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内, 且,22x y x ym n +-==, 所以()2222221222x y x y m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则m 2+n 2的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为P 到原点的距离, 即原点到直线2x -y -2=0的距离,所以距离的最小值为所以m 2+n 2的最小值为:21225⨯=, 故选：A ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题． 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A ．53B ．54C ．158D ．263【答案】A【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n =，第二次循环53,53105n =<，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.7．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+．设()()sin g x f x x x =+-，若(10)2020g =，则()10g -=（ ）A ．2020-B ．2020C ．0D ．1010【答案】A【解析】利用抽象函数关系，判断函数()f x 是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可． 【详解】 解：有()()()f x y f x f y +=+，(00)(0)(0)(0)f f f f ∴+=+=，即(0)0f =，令y x =-，则有()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，即()()f x f x -=-，即()f x 是奇函数，若()()sin g x f x x x =+-，(10)2020g =，则(10)(10)sin10102020g f =+-=， 则(10)(10)sin1010(10)sin1010g f f -=--+=--+，两式相加得：02020(10)g =+-，得(10)2020g -=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，属于中档题．8．已知ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，则AD BC =（ ） A ．20 B ．102C ．10D ．103【答案】C【解析】先由正弦定理求得2220b c -=，再将,AD BC 均用,AB AC 表示，再结合向量的数量积的运算律即可求解结论． 【详解】解：因为ABC 的外接圆直径为1，D 是BC 的中点，且sin sin 20AC B AB c -=，21R ∴=且··2022b cb c R R-=； 故2220b c -=；∴2222111·()()()()10222AD BC AB AC AC AB AC AB b c =+⋅-=-=-=； 故选：C ． 【点睛】本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由21n m T +>恒成立求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，所以115545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故32(1)21n a n n =+-=+，所以111111()·(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立， 所以1216+m ，解得512≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.11．已知双曲线22:1x C y m -=(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．2(,0)(0,)22-B ．(，0)(0⋃C ．2(,(,)-∞+∞ D ．5(,(,)-∞+∞ 【答案】A【解析】利用双曲线的离心率求出m ，得到双曲线方程，设出直线方程，设出AB 坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k 的范围即可． 【详解】解：由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2=2m =， 双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=， 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12222y y t =-，12224y y t t =--+ 221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-， 又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >， 所以直线l 的斜率22112k t =<， 又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是2(,0)(0,)22-， 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 12．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（ ）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】由已知条件可得2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，结合一次函数的单调性，可得1b lnx x≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，求得导数和单调性，可得()h x 的最大值，进而得到b 的范围． 【详解】解：不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，即2(1)1b lnx ax a x ≥--++对于任意的非负实数a 都成立，令()2()1g a x x a lnx x =-+++-，0a ≥，因为2()0x x -+<，所以()g a 在[0，)+∞上递减，所以()(0)1max g a g lnx x ==+-，所以问题转化为1b lnx x ≥+-恒成立，令()1h x lnx x =+-，则'1()1h x x=-，由'()0h x >，可得01x <<；'()0h x <，可得1x >．所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减．所以()max h x h =（1）0=，所以0b ≥． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意构造法的运用，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、填空题13．若向量1(tan15,)cos75a =，(1,sin 75)b =，则·a b =__．【答案】4【解析】进行数量积的坐标运算即可得出sin15cos15·cos15sin15a b =+，然后通分，根据二倍角的正弦公式和22sin cos1αα+=即可求出答案．【详解】解：22sin75sin15cos15sin15cos151·tan1541cos75cos15sin15sin15cos15sin302a b+=+=+===⋅．故答案为：4．【点睛】本题考查了切化弦公式，二倍角的正弦公式，向量坐标的数量积的运算，22sin cos1x x+=，考查了计算能力，属于基础题．14．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两侧划分5块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有__种．【答案】288【解析】根据题意，分两步讨论区域①②和区域③④⑤的摆放方式数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有2412A=种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有3424A=种选法，则不同的摆放方式有1224288⨯=种．故答案为：288.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15．三棱柱111ABC A B C-的各顶点都在同一球面上，且球的表面积等于20π．若2AB AC==，120BAC∠=︒，则此棱柱高为__．【答案】2【解析】设球的半径为R，由球的表面积公式可求出R的值；在ABC中，结合余弦定理和正弦定理，可求得ABC的外接圆半径r，而棱柱的高为222R r-解． 【详解】解：设球的半径为R ，则2420S R ππ==球，5R ∴=．在ABC 中，由余弦定理知，22212cos12044222()122BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-=，23BC ∴=．由正弦定理知，ABC 的外接圆半径r 满足232sin120r =︒，2r ∴=．∴球心到平面ABC 的距离为22541d R r =-=-=．∴此棱柱的高为2．故答案为：2．【点睛】本题考查棱柱与球中的简单计算问题，熟悉棱柱与球的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．已知椭圆()22210x y m m+=>的焦点为1F ，2F ，若在长轴12A A 上任取一点M ，过点M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，若使得12·0PF PF <的点M 的概率为，则m 的值为__． 【答案】2或12【解析】根据12·0PF PF =，得到P 的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在x 或y 轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可． 【详解】当12·0PF PF =时，点P 在圆222x y c +=上， 联立椭圆()22210x y m m+=>，222x y c +=，当1m 时，()222211m c x m -=-，解得x c=±，所以当x c=±12·0PF PF =. 若使得12·0PF PF <的点M，可得2c m =，解得23c =，2m =． 当01m <<时，解得y =3=， 得到2232c m =+，又因为221c m =-，解得12m =． 故答案为：2或12【点睛】本题主要考查几何概型的应用，同时考查椭圆的简单性质以及向量的数量积，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(3)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【详解】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，*)()n S n N ∈在函数2yx 的图象上，所以2n S n =，①当1n =时，111a S ==，当2n 时，21(1)n S n -=-，②，①-②得221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-（首项符合通项）．故21n a n =-． （2）数列{}n b 满足1110,363n n b b b +==+，整理得13(3)3n nb b +-=-，即13133n n b b +-=-， 所以数列{}3n b -是以1133b -=为首项，13为公比的等比数列． 所以11113()333n n n b --=⨯=，故1(21)3n n c n =-⨯．211113(21)333n n T n =⨯+⨯+⋯+-⨯①，231111113(21)3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯②， ①-②得：2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋯+--⨯，整理得113n nn T +=-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的递推关系式，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）若点M 为PC 的中点，4PA =，求点D 到平面MAB 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）4217. 【解析】（1）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，只需证明BCEF 是平行四边形，即可得到//CE BF ，然后得到直线//CE 平面PAB ；（2） 取AD 的中点O ，M 在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点，取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ，可得AB MQ ⊥，设点D 到平面MAB 的距离为h ，利用等体积法M ABD D MAB V V --=，得11 (33)ABD MAB MN S h S ∆∆=，即可求得结论．【详解】解：（1）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ． 因为E 是PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =， 由，90BAD ABC ∠=∠=︒，得//BC AD ， 又12BC AD =， 所以//EF BC 且EF BC =，四边形BCEF 是平行四边形，//CE BF ∴，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊂平面PAB ，故//CE 平面PAB ；（2）解：取AD 的中点O ，连接,OC OP ， 侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，PO ∴⊥底面ABCD ，点M 为PC 的中点，M ∴在底面ABCD 上的射影N 为OC 的中点．12MN PO ∴=， 取AB 的中点Q ，连接MQ ，NQ ， 则NQ AB ⊥，又MN AB ⊥，NQMN N =，AB ∴⊥平面MNQ ，AB MQ ∴⊥，4PA =，23PO ∴=，2AB =，由在Rt MNQ ∆中，132MN PO ==，2NQ =，222(3)7MQ =+=， 11··27722MABS AB MQ ∆∴==⨯⨯=，11··24422ABD S AB AD ∆==⨯⨯=， 设点D 到平面MAB 的距离为h ，由M ABD D MAB V V --=得11····33ABD MAB MN S h S ∆∆=，即1134733h ⨯⨯=⋅⋅ 421h ∴=， 即点D 到平面MAB 的距离为4217．【点睛】本题考查了线面平行的判定，点到平面的距离的求法，其中，利用体积法是解决点面距离的常用方法，属于中档题．19．某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．如表是家长所打分数X的频数统计．（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？（3）在评分为10分的学生中有7名女同学，小雯同学也在其中，学校团委随机抽选这七名女同学中的两名同学座谈，则小雯同学被选中的概率是多少？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）395；（2）有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）27.【解析】（1）利用平均数公式计算平均值即可；（2）填写列联表，计算2K，对照附表得出结论；（3）利用古典概型的概率公式，计算即可．【详解】解：（1）家长所打分数的平均值为139 (5468720824916108) 805X=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）填写列联表如下：计算2280(1882430)10.8277.87942384832K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关；（3）总共基本事件为2721C =种，有小雯同学的选法为1116·6C C =种， 故所求的概率值为62217P ==． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均值与古典概型的概率计算问题，是基础题．20．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=， 1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养. 21．设函数()()ln 0k x f x x x k x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭. （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若()()2312g x x k x =-+，求证：方程()()f x g x =有唯一零点. 【答案】（1）函数()y f x =在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增（2）证明见解析；【解析】（1）当1k =时，()2x x f x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=，即可得出其单调区间（2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，则()()()1x x k F x x--'=-，然后分1k =，1k >，01k <<三种情况讨论即可.【详解】（1）当1k =时，()2ln f x x x =-，所以()12f x x x'=-，即()2x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=，当0x <<0f x，函数()f x 单调递减；当2x >时，0f x，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）令()()()()211ln 2F x f x g x x k x k x =-=-++-，0x >，()()()1x x k F x x--'=-①当1k =时，()0F x '≤，当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数. 因为()3102F =>，()4ln 40F =-<，所以()F x 在()1,4内有唯一零点； ②当1k >时，当01x <<或x k >时，()0F x '<；当1x k <<时，()0F x '>， 所以()F x 在0,1和(),k +∞上单调递减，在()1,k 上单调递增. 因为()1102F k =+>，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在()1,22k +内有唯一零点；③当01k <<时，当0x k <<或1x >时，()0F x '<；当1k x <<时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,k 和1,上单调递减，在(),1k 上单调递增.因为()()22ln 02kF k k k =+->，()()22ln 220F k k k +=-+<， 所以()F x 在(),22k k +内有唯一零点. 综上可得方程()()f x g x =有唯一零点.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的直角坐标方程为()()22113x y -++=，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标系方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）判断：直线l 与曲线C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.【答案】（1）22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=（2）直线l 与曲线C 相交，公共弦的长【解析】（1）化圆的方程为一般方程，结合222x y ρ=+及cos x ρθ=，sin y ρθ=即可得到曲线的极坐标方程； （2）把()3R πθρ=∈代入圆的极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，由判别式大于0可知直线l 与曲线C 相交，再由根与系数的关系求解弦长. 【详解】（1）将22(1)(1)3x y -++=改称为222210x y x y +-+-=，化为极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=；（2）将3πθ=代入22cos 2sin 10ρρθρθ-+-=得，21)10ρρ+--=，21)480∆=+=->，所以方程21)10ρρ+-=有2个不同的根1ρ，2ρ，所以直线l 与曲线C 相交，公共弦的长为12ρρ-==【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题. 23．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 【答案】（1）53[,]22-；（2）2a =-.【解析】（1）将1a =代入()f x 中，然后根据()4f x ，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据条件，求出()f x 的图象与x 轴围成的三角形底边长和高，然后根据面积为6得到关于a 的方程，再求出a 的值.【详解】解：（1）当1a =时，21,1()123,2121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-++=-<<⎨⎪---⎩.()4f x ，∴2141x x +⎧⎨⎩或21x -<<或2142x x --⎧⎨-⎩， ∴312x 或21x -<<或522x --，∴5322x -， ∴不等式的解集为53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当1a <-时，(1)(12),2()(1)21,21(1)(21),1a x a x f x a x a x a x a x -++--⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-⎩，当1a <-时，令()0f x =，则121a x a -=+或211a x a+=-， 又由(1)(12)(1)21y a x a y a x a =-++-⎧⎨=-++⎩，得3y =， ()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，∴1211236211a a a a +-⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭， 解得2a =-或12a =（舍).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。
江西省南昌市2020届高三下学期二模(文科)数学试卷
等高线
等高线：指的是地形图上 海拔高度相等的相邻各点 所连成的封闭曲线
的仰角为 37 度，在 A 处测得 C 处的仰角为 45 度，在 B 处测得
C 处的仰角为 53 度，A 点所在等高线值为 20 米，若 BC 管道长
为 50 米，则 B 点所在等高线值为(参考数据 sin 37 3 ) 5
A. 30 米
1. 复数 z1 1 3i ， z2 3 i ， z z1 z2 ，则| z |
A. 3
B. 2
C. 2 3
D. 4
2. 集合 A {x | y 4 x2 }, B {y | y 4 x2 } ，则 A B
A.
B.[2, 2]
C.[0, 2]
D.2
3. 已知空间内两条不同的直线 a, b ，则“ a / / b ”是“ a 与 b 没有公共点”的
=
1 2n
，求数列{anbn}的前 n
项和 Tn
．
19.（12 分）如图所示，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是以 AB, CD 为底边的等腰梯
形，且 AB 2AD 4 ， DAB 60o ， AD D1D ．
D1
C1
（Ⅰ）求证：平面 D1DBB1 平面 ABCD ； （Ⅱ）若 D1D D1B 2 ,求三棱锥 D CC1B 的体积．
个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.（12 分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练.从若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数； （Ⅱ）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑， 你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由.