ch2光的叠加原理
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物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
光的干涉光波的叠加与干涉现象
光的干涉光波的叠加与干涉现象光的干涉是光学中的核心概念之一，它是指两个或多个光波相互叠加而产生干涉现象的过程。
干涉现象是由于光波的波动性而产生的，粒子性不能解释这种现象。
本文将对光的干涉和光波的叠加进行探讨，深入了解干涉现象。
一、光的干涉原理光的干涉基于两个重要原理：光波的叠加原理和相干光的条件。
首先我们来讨论光波的叠加原理。
1. 光波的叠加原理光波的叠加是指两个或多个光波相遇时，彼此叠加产生新的波纹。
叠加可以是两个光波同相位的相长叠加，也可以是不同相位的相消叠加。
当两个光波同相位时，它们叠加会增强光的强度，而当它们相位相差半个波长时，就会产生干涉现象。
2. 相干光的条件相干光指的是具有相同频率、相同振幅和相对稳定的相位关系的光波。
相干光的条件包括：光源是单色光源，光源稳定，光源中的各个点产生的光波具有固定的相位关系。
二、光波的叠加与干涉现象光波的叠加和干涉现象也是光的性质之一，它们同样适用于电磁波等其他波动传播的现象。
下面我们将分别对这两个概念进行详细说明。
1. 光波的叠加光波的叠加是指两个或多个光波相互叠加而产生新的波纹。
根据光波的特性，叠加可以是同相位或者异相位的，从而产生不同的干涉结果。
- 同相位叠加：当两个光波的相位相同，且幅度也相同时，它们在叠加时会增强彼此的强度，这种叠加称为同相位叠加。
在同相位叠加的情况下，光的明暗区域不会发生变化，只会改变光的强度。
- 异相位叠加：当两个光波的相位相差半个波长时，在叠加时会发生干涉现象。
干涉现象通常表现为明暗相间的干涉条纹，其中明纹对应相位差为整数倍波长，暗纹对应相位差为奇数半波长。
2. 干涉现象干涉现象是光波干涉叠加产生的结果，它包括互相干涉和自身干涉两种情况。
- 互相干涉：当两束光波相遇并叠加时，它们之间会发生互相干涉。
互相干涉主要由两束或多束光波的相位差所决定。
相位差越大，干涉条纹的明暗变化越明显。
- 自身干涉：当一束单色光通过一个光学元件（如薄膜、单缝等）后，由于不同位置的光程差不同，光波会自身干涉。
光波的叠加与分析
2.2.2 复数方法
E1 a1 exp[i(1 t)]
E2 a2 exp[i(2 t)]
E＝E1＋E2＝a1 exp[i(1 t)]＋a2 exp[i(2 t)]
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )
得合振动: E Acos( t)
A2 a12 a22 2a1a2 cos(1 2) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos1 a2 cos2
合成的光强: I＝A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2)
合成的光强取决于相位差=α1-α2
1
2
k1r1
k2r2
2
n(r1
r2 )
2
Δ=n(r1-r2)为光程差
＝(22mm 1)
I Imax m 0,1,2 I Imin
＝
m
(2m
1)
2
I Imax m 0,1,2
I Imin
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
2.介质对光波电磁场作用的线性(入射光强较弱时成立) 注意几个概念：
1.叠加结果为光波振幅的矢量和,而不是光强的和.
2.光波传播的独立性:两个光波相遇后又分开,每个光 波仍然保持原有的特性(频率、波长、振动方向、传 播方向等).
3.叠加的合矢量仍然满足波动方程,一个实际的光场是 许多个简谐波叠加的结果. 2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
2.1.1 代数加法 E1 a1 cos(k1r t) E2 a2 cos(k2r t)
自动控制原理ch2
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 二 非线性微分方程的线性化 1 非线性问题的提出 这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为 线性微分方程的方法，称为非线性微分方程线性化。 尽管经过线性化得到的线性微分方程只是有条件、 近似的描述系统的动态特性，但却能使系统动态特性 的分析工作大为简化。
数值亦增大同样的倍数。因此可以采用单位典型外作用(例如 1-单位阶跃函数2-单位脉冲函数)对系统进行分析研究，既简 化了问题又不影响结果的正确性。
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 二 非线性微分方程的线性化
1 2
非线性问题的提出 非线性线性化方法
第二章 控制系统的数学模型
平衡点附近展开泰勒级数。
2 dy 1d y ( x − x0 ) +L y = f ( x ) = y0 + x0 ( x − x0 )+ 2 x0 dx 2! dx 2
忽略二次以上的各项，上式可写成：
dy y = f ( x ) = y0 + x0 ( x − x0 ) dx
Δy
y
y0
y
Δy
A
Δx
第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言
输入量
θr
输出量
工作机械
ur
uc
放 大
θc
Ri
Li
θm
us
器
ur
ia
自动控制系统加上输入信号以后，输出量的运动 方程可以用联系输入量和输出量的微分方程加以描 述。因为它既能定性又能定量地描述整个系统的运 动方程，所以微分方程是系统的一种数学模型。
第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言
33光的干涉习题课
白光入射 肥皂膜的等厚干涉条纹 单色光入射
这也可以通过肥皂液薄膜来观察。取一洁净的线 框，浸入肥皂溶液中，取出时，使框面竖直。肥 皂膜由于重力作用，而逐渐变薄。
起初看见彩色条纹之间的距离逐渐增加，最后彩 色条纹消失。在反射光中，已看不见薄膜，在透 射光中由于没有额外光程差，所以看起来薄膜透 明无色。
9
牛顿环： 同心圆形干涉条纹， 级次“内低外高” 间距 “内疏外密”
2n2 d
2
k
(2k
明环
1)
2
明环半径
rk
R (2k 1)
n2
2
暗环
暗环半径
rk
R (k 1)
n2
10
6．干涉条纹的变化和移动
（1） 干涉场中某一固定点P的光程差，每增加或减少一个波 长，就有一个条纹移过该点，故有：
2
b
n1 n
L
n n / 2 D
n1
b
劈尖干涉
讨论
1）劈尖 d 0
Δ 为暗纹.
2
(k 1) （明纹）
d 2 2n k 2n （暗纹）
2）相邻明纹（暗纹）间的厚度差
di1
di
2n
n
2
D L n 2
b
3）条纹间距（明纹或暗纹）
b D n L L
2）属于等厚干涉，条纹间距不等，为什么？
3）将牛顿环置于 n 1 的液体中，条纹如何变？
4）应用例子:可以用来测 量光波波长，用于检测透镜质 量，曲率半径等.
工件 标准件
测量透镜的曲率半径
第二章-光波的叠加与分析
2 A 2 a 1 a 2 2 a 1a 2 cosα 2 α 1 2
I I1 I 2 2 I1I 2 cosδ , δ α 2 α 1 a 1s inα 1 a 2s inα 2 tgα a 1cosα 1 a 2 cosα 2
2-1
特别地，若a1=a2=a
2-4 两个传播方向、振动方向、振幅相同， 频率不同的单色波的叠加
频率虽有差别，但差别很小，ω ωm , k k m
E1 acosk1z ω1t E 2 acosk 2 z ω 2 t
E E1 E 2 Acoskz ω t A 2 acosk m z ω m t
2-1
复数加法
E1 a 1exp iα1 ωt
E 2 a 2 exp iα 2 ωt
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相同
2-1
相幅矢量加法
A
a2 a1 1 x
1
2-2 两个频率相同、振动方向相同、
(2 - 45)
k m k1 k 2 2 , ω m ω1 ω 2 2
k k1 k 2 2 , ω ω1 ω 2 2
合成波波数为 k 、频率为 ω ，振幅为A 光学拍演示课件
2-4
群速度vg，对应能量的传递
（2-45）中振幅A的移动速度vg=m/km 相速度v （2-45）中相位的移动速度v= ω / k vg和v的关系
vg dω dk v kdv dk v λ dv dλ
正常色散：dv/d>0，vg<v 反常色散：dv/d<0，vg>v 无色散：dv/d=0，vg=v
I I1 I 2 2 I1I 2 cosδ , δ α 2 α 1 a 1s inα 1 a 2s inα 2 tgα a 1cosα 1 a 2 cosα 2
2-1
特别地，若a1=a2=a
2-4 两个传播方向、振动方向、振幅相同， 频率不同的单色波的叠加
频率虽有差别，但差别很小，ω ωm , k k m
E1 acosk1z ω1t E 2 acosk 2 z ω 2 t
E E1 E 2 Acoskz ω t A 2 acosk m z ω m t
2-1
复数加法
E1 a 1exp iα1 ωt
E 2 a 2 exp iα 2 ωt
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相同
2-1
相幅矢量加法
A
a2 a1 1 x
1
2-2 两个频率相同、振动方向相同、
(2 - 45)
k m k1 k 2 2 , ω m ω1 ω 2 2
k k1 k 2 2 , ω ω1 ω 2 2
合成波波数为 k 、频率为 ω ，振幅为A 光学拍演示课件
2-4
群速度vg，对应能量的传递
（2-45）中振幅A的移动速度vg=m/km 相速度v （2-45）中相位的移动速度v= ω / k vg和v的关系
vg dω dk v kdv dk v λ dv dλ
正常色散：dv/d>0，vg<v 反常色散：dv/d<0，vg>v 无色散：dv/d=0，vg=v
光线叠加的原理和应用
光线叠加的原理和应用1. 原理光线叠加是一种物理现象，可以用于解释光的传播和干涉现象。
它基于光的波动性，当两条或多条光线相遇时，它们会互相干涉，导致合成光的特性发生变化。
光线叠加的原理可以通过以下几个方面来解释：1.1 波动性光是一种电磁波，具有波动性质。
当光通过空间传播时，它由电场和磁场的振荡组成。
这些振荡以波的形式传播，并且能够相互干涉和叠加。
1.2 干涉当两条或多条光线相遇时，它们会产生干涉现象。
干涉是指两个或多个波的相遇相叠，形成合成波的过程。
干涉可以是增强的，即合成波的振幅增大；也可以是衰减的，即合成波的振幅减小。
1.3 相位干涉现象的产生与光的相位有关。
光的相位是指光的振荡状态的时间和空间特性。
当两条光线相遇时，它们具有不同的相位，相位的差异决定了干涉现象的性质。
1.4 叠加光线叠加是指两条或多条光线相遇后，它们的光强进行相加形成一个新的光强分布。
根据干涉的特性，叠加光的光强可以是增强的或衰减的，取决于相位差的大小。
2. 应用光线叠加在许多领域都有重要的应用，以下是几个常见的应用：2.1 干涉纹干涉纹是光线叠加的一种常见现象，可以在实验室中观察到。
当一束光通过一个缝隙或通过多个缝隙后，不同的光线会相互干涉，形成一系列明暗交替的光条纹。
这些光条纹可以用来测量光的波长、检测光的相位等。
2.2 光学薄膜光学薄膜是利用光线叠加的原理来制造的一种光学器件。
它由多层反射膜或透射膜组成，利用不同膜层之间的干涉现象来实现特定的光学功能。
光学薄膜广泛应用于光学器件、激光技术、光通信等领域。
2.3 全息术全息术是一种记录和再现光场的技术，它利用光线叠加的原理来实现三维影像的显示。
通过将物体的光场信息记录在光敏感材料上，并用激光束照射记录材料，可以再现出物体的三维影像。
全息术在全息显微术、全息存储等方面有广泛的应用。
2.4 光学干涉仪光学干涉仪是一种利用光线叠加原理来测量光学参数的仪器。
它包括波长分束器、反射镜、相位平面等组成部分，通过光的干涉现象来测量光的相位差、折射率、膜厚等参数。
《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
几束简单的光波复杂的光波叠加分解一标量波和矢量波光波是横波选择传播方向为直角坐标系的z方向则矢量就变成了二维矢量可将之分解为xy方向的分量是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质则这两个分量有相同的传播规律于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波则矢量波的处理变为标量波处理
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成立的条件
• 传播介质为线性介质。 • 振动不十分强。在振动很强烈时，线性介质会变为非线
性的。 • 注意要点：不是强度的叠加，也不是振幅的简单相加，
而是振动矢量（瞬时值）的叠加。
§2-2 光波的叠加方法
• 同频率、同振动方向的单色光。
1．代数法（瞬时值法）
ψ1 = A1 cos(ωt −ϕ1) ψ 2 = A2 cos(ωt −ϕ2 )
P点光强
I
=
E% (
p) ⋅
E% *(
p)
=
E021 (
p)
+
E022
+
r 2E01
⋅
r E02
cos δ
(
p)
= I1 + I2 + 2 I1I2 cosθ cosδ ( p)
光强分布 普遍公式
两列光波的振动方向成一定夹角，可以把它们分解
为相互平行和相互垂直的分量，平行分量之间可以
发生干涉，垂直分量之间不会干涉。
波节之间。波的强度为零。
如果把两波节之间的驻波视为“波包”，驻波能量 只能是波包能量的整数倍而不能连续变化。
3、频率相同、振动方向不同（夹角θ)的二列单色光波的叠加
E% (
p)
=
E%1 (
p)
+
E%2 (
p)
=
r E01 (
p)ei(kr1+φ01 )
+
r E02 (
p)ei(kr2 +φ02 )
当波包通过有色散的介质时,它的各个单色分量将以不同的相速 度前进,整个波包在向前传播的同时,形状亦随之改变
群速度和相速度
相速度 VP = ω k = c n
群速度 Vp,λ, n取中心值或平均值
Vg
=
dω
dk
= VP
+k
dVp dk
= VP
−λ
dVp
dλ
=
c (1+ n
λ
n
dn )
dλ
正常色散,dn < 0 ↔ dVp > 0 ↔ dVp < 0
P点光强
I = E~( p)E~*( p) = E021( p) + E022 + 2E01E02 cosδ ( p) = I1 + I2 + 2 I1I2 cosδ ( p)
光强分布 基本公式
波的叠加引起强度的重新分布，第三项（干涉项）是产生干涉的根本原因。
δ ( p) = (kr2 + φ02 ) − (kr1 + φ01) = k(r2 − r1) + (φ02 −φ01)
ϕ2 − ϕ1
§2-3 光波的叠加强度
一、光波叠加的特点
当两束或两束以上的光波在一定条件下相遇而叠加，引 起光强的重新分布，从而在叠加区域形成稳定的、不均 匀的光强分布，出现了明暗相间或彩色的条纹，这种现 象称为光的干涉。
单色光照明
牛顿环干涉图样
杨氏双孔干涉图样
白光照明
杨氏双缝干涉图样
二、光的叠加强度
光强随时间变化，没有稳定的光强分布。
形成光学拍，拍频为Δω=2ωm，强度分布随时 间和空间变化。 1、不同频率单色光叠加形成光学拍； 2、不同频率的定态光波叠加形成非定态光。
四、相干条件
¾ 稳态干涉条件
（1）频率相同； （2）存在相互平行的振动分量； （3）相位差δ(p)恒定。
¾ 暂态干涉条
（1）振动方向不相互正交； （2）在观测时间τ中<cosδ(p)>≠0。
第二章 光的叠加原理
§2-1 波的独立传播和线性叠加原理
两列波在空间相遇
1．波的独立传播定律
• 从不同振源发出的波 在空间相遇时，如振 动不十分强，各个波 将保持各自的特性不 变，继续传播，相互 之间没有影响。
2．波的叠加原理
• 几列波在相遇点的合 振动是各个波独自在 该点振动的矢量叠加 （矢量和）。
傅科（Jean Bernard Leon Foucault
1819～1868）法国实 验物理学家
1927年，迈克耳逊继 承了傅科的实验思想，用 旋转八面棱镜法测得光速 为299796千米/秒。
迈克耳孙，阿尔伯特·亚 伯拉罕 (A.Michelson1852—1931)， 德国出生的美国物理学家
光速的测量与长度单位“米”的定义
合振动 ψ = ψ 1 + ψ 2 = A cos(ω t − ϕ ) A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
tgϕ = ( A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 ) /( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 )
2．复振幅法
~ U1
=
A1eiϕ1
U向相互垂直，总光
强是两列波的光强之和，无干涉。
~
I = I1 + I2
E2
4、两列不同频率单色波的叠加
振动方向相同、传播方向相同、频率不同的两列光波
ψ1 = A0 cos(ω1t − k1z)
ψ 2 = A0 cos(ω2t − k2 z)
ψ =ψ 2 +ψ 2
=
2
A0
cos
2、频率相同、振动方向相同、传播方向相反
的二列单色光波的叠加
⎧ ⎨ ⎩
E
E1 2=
= A
A cos(kz cos(kz +
−
ω
ωt) t +δ
)
合成振动是一种波形不随时间变化的波，称为驻波。
E
=
E1
+
E2
=
2 A cos(kz
+
δ ) cos(ωt
2
+
δ)
2
对于Z方向上的每一点，随时间的振动是频率为
2A1 A2 cos Δϕ 干涉项
三、光波的叠加
1、频率相同、振动方向相同的二列单色光波的叠加
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
E%1( p) E%2 ( p)
= =
E01( p)ei(kr1+φ01) E02 ( p)ei(kr2 +φ02
)
S1
rr1
二者在P点叠加复振幅
S2
rr2
P
E% ( p) = E%1( p) + E%2 ( p) = E01( p)ei(kr1+φ01) + E02 ( p)ei(kr2 +φ02 )
2、在观察时间内不随时间改变
∫1 τ cos Δϕdt = cos Δϕ
τ0
I = A12 + A22 + 2 A1A2 cos Δϕ ≠ I1 + I2
Δφ只与空间位置有关，即不同的空间点具有不
同的位相差，因而有不同的数值。
即两列波在空间不同的地点有不同的位相差，叠加 后有不同的强度，出现干涉现象。
斐索（1819-1896）法国物 理学家
法国科学家傅科用一只旋转的 镜子测定光速。他让镜子以一定的 速度转动，使它在光线发出并从一 面静止镜子反射回来这段时间内， 恰好旋转一周。傅科在物理学史上 以其“傅科摆”的实验著名于世。
在光速测定的研究中，他是采 用旋转平面镜的方法来测量光速的 。其测得的光速为29.8×107米/秒， 并分析实验误差不可能超过5×105 米/秒。
dλ
dλ
dk
Vg < Vp
反常色散,dn > 0 ↔ dVp < 0 ↔ dVp > 0
dλ
dλ
dk
无色散
Vg > Vp
Vg = Vp
0
§2-5 光速的测量
世界上最早用实验方法测定 光速的是伽利略。他在1607年做 了一个实验。甲乙两个人在夜间 各带一只灯，分立在两个山顶上 ，甲先迅速取去灯罩对乙发出信 号，乙在看到信号后，立即取去 灯罩，对甲发出信号。两山的距 离和光往返的时间来计算光速。 由于当时的技术条件限制，测得 的光速很不精确。
1
τ
τ cos Δϕdt
0
两列波在空间P点的相位差 Δϕ = ϕ 2 −ϕ1
1、在观察时间内不是定值，而是随时间随机改变
Δϕ = ϕ2 −ϕ1 = Δϕ(t)
τ
∫0 cos Δϕdt = 0
∫ I
=
A12
+
A22
+
2 A1 A2
1
τ
τ 0
cos Δϕdt
=
A12
+
A22
I = I1 + I2
光强是两列光的强度简单相加，没有干涉现象。 或者说它们是非相干的光。
光程差判据
Δl(
p)
=
⎪⎧mλ0
⎨ ⎪⎩(m
+
1 2
)λ0
(m = 0,±1,L) (m = 0,±1,L)
P 为光强极大处 P为光强极小处
§2-4 波包与群速度
非单色波相当于许多单色波的迭加 ↔（有限波列） ——波包
振动方向相同、传播方向相同、频率不同的两列光波
ψ = 2 A0 cos(ωmt − km z) cos(ωt − kz)
• 光的频率是1014 Hz，其变化周期比仪器的响应时间 小得多；
• 光强的测量值只能是一定时间内的平均值； • 定态光波的光强，就是电场强度振幅平方的平均值。
∫ ∫ I
=
1
τ
τ A2dt = 1
0
τ
τ 0
[ A12
+
A22
+
2 A1 A2
cos(ϕ2
− ϕ1)]dt