平方差公式教案(优质课一等奖)讲课稿.docx
2024年平方差公式优秀教案
平方差公式优秀教案一、教学目标1.知识与技能目标：使学生理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，并能熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生运用平方差公式解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生主动探索、积极参与的精神，增强学生的团队合作意识。
二、教学内容1.平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的平方差可以表示为两个数的和与差的乘积。
2.平方差公式的推导：通过具体的例子，引导学生观察、分析，发现平方差公式，并运用多项式乘法进行验证。
3.平方差公式的应用：解决实际问题，如计算平方差、因式分解等，培养学生运用平方差公式解决问题的能力。
三、教学重点与难点1.教学重点：平方差公式的推导和应用。
2.教学难点：平方差公式的理解和灵活运用。
四、教学过程1.导入新课：通过实际生活中的例子，如计算土地面积、求解速度问题等，引出平方差的概念。
2.自主探究：让学生观察具体的平方差例子，如\(a^2b^2\)，引导学生发现平方差公式。
3.合作交流：分组讨论，让学生互相分享自己的发现，共同推导平方差公式。
4.课堂讲解：对学生的发现进行总结，给出平方差公式的定义，并进行推导。
5.案例分析：通过具体的例题，讲解平方差公式的应用，如计算平方差、因式分解等。
6.练习巩固：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固平方差公式的运用。
7.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调平方差公式的推导和应用。
8.课后作业：布置课后作业，让学生运用平方差公式解决实际问题。
五、教学评价1.过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、合作交流的表现，评价学生在自主探究、合作交流中的表现。
2.练习评价：检查学生在练习中的完成情况，评价学生对平方差公式的理解和运用能力。
3.课后作业评价：批改课后作业，评价学生对平方差公式的掌握程度，以及运用平方差公式解决问题的能力。
数学--平方差公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y －x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
例4：先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋ x3，其中x＝2.
(2)根据你旳猜测计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝___-6_3____； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n＋__1－__2__(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_x_1_00_－__1__；
备用复习题
例4 对于任意旳正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)旳值一定是10旳整数倍吗？
平方差公式；对于不能直接
应用公式旳，可能要经过变
形才能够应用
拓展提升 8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝ (1)观察以上各式并猜测：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn) ＝__1_－__x_n_+1_；(n为正整数)
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
(3)经过以上规律请你进行下面旳探索： ①(a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2__； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3__； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
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14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
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观察这些结 果，你发现 了什么规律 ？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)(a-b) =
相加和为0
(a+b)(a-b)=a2-b2
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两 个数的平方差，这个公式叫做平方差公式.
例1 运用平方差公式计算：
人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
难点：平方差公式的结构特征，能运 用公式进行简单的计算
目录
1 复习导入 3 课堂练习
2 课堂讲解 4 课堂小结
导入
请快速的计算98×102=？
98×102 =（100-2）（100+2） =1002-22 =10000-4 =9996
运算结果（注意符号变化）
=（-3x)2-22=9x2－4 =(-3x)2-(2y)2=9x2 - 4y2 =(-2a)2-b2=4a2－b2 =(-7m)2-(8n)2=49m2－64n2
课后小练
3.用简便方法计算: 20202-2019×2021
课堂小结
043 学而时习之，不亦说乎
一同一反=同方-反方
多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一 个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am + an + bm + bn
计算：
探索平方差公式
1）(x+1)(x-1) = 2）(m+2)(m-2) = 3）(2x+1)(2x-1) =
相加和为0 相加和为0 相加和为0
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猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
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三、归纳概括 计算(a＋b)(a－b)． 让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式． 然后，教师系统总结平方差公式． 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 语言叙述：________________． 教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两 边的结构，教给学生记忆公式的方法．
角形的外角？
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？
学生归纳得出三角形外角的性质：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析 例1 如图 ， ∠ BAE ， ∠ CBF ， ∠ ACD 是△ ABC 的三个外角 ， 它们的和是多少？
而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运
用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别 是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字
母，单项式，也可以代表多项式．
11．2
与三角形有关的角
三角形的外角
11．2.2
1．了解三角形的外角． 2 ． 知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和．
出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因 式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平
方差公式计算．
教材例2 计算：
(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；
(2)102×98. 此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，
允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简
便计算的目的．
五、巩固练习
教材第108页练习第1，2题．
第1题口述完成； 第 2 题采用大组竞赛的形式进行 ， 其中 (1)(4) 由两个大
平方差公式优质课教学设计一等奖及点评
《平方差公式》的教学设计一．教材分析本节课选自湘教版七年级下册第2章2.2乘法公式的第一课时《平方差公式》.它是继多项式乘法之后的重要教学内容，它既是对多项式乘法中出现的特殊的算式的归纳总结，又是今后学习因式分解、分式化简、根式的分母有理化、解一元二次方程等代数运算及变形的前提基础；同时，它也是初中数学系统学习的第一个乘法公式，是学生初步认识公式结构，逐步形成符号意识，开始产生模型思想，进一步强化求简意识的经典范例.二．学情分析我们主要从三个方面对学生的情况进行了分析，①年龄特点：七年级学生易从情感角度激发学习热情；②思维品质：我校学生择优录取，具有优良的思维品质；③认知基础：学生已经具备了整式加、减、乘等数式运算基础，以及小学学习过的正方形、矩形等图形基础.三．教学目标1.了解平方差公式的几何背景，理解平方差公式的推导过程；2.掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单运算；3.经历平方差公式的探索过程，领悟平方差公式的变式应用，能创作平方差公式的变式题组.四．教学重难点1.教学重点：探究平方差公式，剖析平方差公式的结构，灵活运用平方差公式.2.教学难点：掌握公式在运用中的变化规律，深层次理解公式结构，自主创作变式题组. 五．教学方法运用变式教学模式进行教学设计，运用开放式教学策略组织课堂教学.六．教学构思结合教材和学情，本节课设计了两条主线，即“问题主线”和“情境主线”.问题主线：由问题导入→新知探究→变式应用→思维拓展→问题创作→总结升华→课时检测；情境主线：由断案高手→说理大师→变式赢家→学坛霸主→创作之星→归纳之王→自主演练.两条主线交融互动，贯穿始终，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次设计出了一条条问题串，将整节课不断引导推进，一路生成.七．教学过程第一环节：问题导入问题情境：欢迎来到变式大课堂！今天我们大课堂要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！估计你也听不懂，我就画一幅图给你看，如图1、如图2所示：羊二听完一阵茫然～，对狼大说道：老爷听您的！设计说明：为初一的孩子创设了“地主狼大和佃农羊二的土地租赁事件”的小故事，激励孩子通过所学知识帮助羊二作出正确判断.设计的初衷是通过具体问题的解决温故知新，也渗透了知识就是力量的情感态度.第二环节：新知探究问题1：请你判断：羊二吃亏了？变式1：若向东增加5米，向北减少5米呢？ 变式2：若向东增加b 米，向北减少b 米呢？设计说明：通过激励学生对案情进行合情推理，引导学生从代数和几何两个角度加以推理验证，并将问题由特殊推广到一般，从而让学生发现平方差公式，并启发学生对平方差公式的结构进行深层次的剖析.公式的探究图2a-3a+3S 2 图1向北向东a图2图1向北向东a 图3a-5图4a-ba+bS 31.公式：(a ＋b)(a －b) = a 2－b 2①代数2.方法：②几何第三环节：变式应用问题2：（a+3）（a －3）系数变↓变式1：（2a+3）（2a －3）符号变↓变式2：（－2a+3）（－2a －3）位置变↓变式3：（3－2a ）（－2a －3）指数变↓变式4：（3－4a 2）（－4a 2－3）因式变↓变式5：（3b －4a 2）(－4a 2－3b)项数变↓（相对于公式而言）变式6：（a ＋b ＋c ）(a －b ＋c)设计说明：从一道基本题切入，由浅入深，进行问题变式，进而产生一系列的变式题组 通过对变式题组的解答达到两个目的，其一：学会分析式子结构，认清公式中的a 和b ，准确的运用公式进行计算；其二：能了解代数中变式的基本策略，从变化中认清变化的规律，抓住不变的本质.第四环节：思维拓展问题3：运用平方差公式进行巧算. （1）211002199⨯ （2）））（）（（12121242+++设计说明：问题2是对平方差公式的直接应用，而问题3是从拆项和添项两个角度对平积 和转化数形方差公式进行了构造应用，是对学生更高阶思维的训练，培养学生的创造性思维，是对学习者能力培养的另外一种境界.第五环节：问题创作（课时检测1）问题4：运用平方差公式编题，要求： （1）运用变式策略设计变式题； （2）重在对公式的理解和应用；设计说明：会解题不一定会编题，而会编题一定会解题.编题的目的是让学生站在更高层次来理解所学的知识和渗透的思想方法，并迁移到问题的创作中来.通过编题来检测学生对本节课内容的理解和掌握情况.公式的应用1.直接应用：（1）准确的找出公式中的,a b（2）代入平方差公式进行计算2.构造应用：（1）构造出平方差公式的结构（2）运用或多次运用公式3.拓展应用：（1）掌握代数式变式策略：系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变 （2）从正、逆两个角度创作变式题组第六环节：总结升华问题5：课堂回顾（1）对于平方差公式，你有哪些认识？ （2）本节课你印象最深的是什么？ （3）你还存在哪些疑惑？设计说明：留给学生一个思考的空间，让他们对一节课所学内容进行梳理，有利于学生自主构建知识体系，理清知识之间的联系，同时为他们提供表达的机会，锻炼他们的组织和表达能力，长此以往有利于学生的综合素质的养成.第七环节：课时检测2㈠. 基础应用：运用平方差公式计算：（1）()()5252x y x y -+ （2）()()1414x x -+--（3）2222332255x y y x ⎛⎫⎛⎫+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭㈡. 能力提升：活用平方差公式计算： （1）()()x y z x y z +--+㈢．思维拓展：巧用平方差公式计算： （1）12504933⨯ （2）()()()()24813131313++++ 设计说明：基础应用分别从位置、符号、指数等进行变式，达到熟练应用公式的目的.能力提升和拓展应用运用整体、转化等思想方法解决问题，达到灵活运用公式的目的，培养学生数学思维能力.八．板书设计九．课后延伸1-4，7-8小组创作的问题已在课堂上进行展示，其他小组创作的问题整理如下： 第5小组： （1）2200202198-⨯（2）()()()()24831313131++++第6小组： （1）()()2121x x ---（2）()()22a b c d b c d c -+-++-（3）()()3332828x x ⎡⎤+⋅-⎣⎦第9小组： （1）22)()(b a b a -+ （2））（）（）（）（2222101-141-131-121-1⨯⨯⨯⨯ （逆向使用平方差公式） （3）））（（c b a c b a 4242-++- 第10小组： （1）））（）（（22164-4b a a b b a +++ （2）22)2121(x y y x +-（） （3）321684221211211*********++++++））（）（）（）（（（4）113131313132128842++++++）（））（）（）（（成果反馈：从学生编题可以看出，学生们对平方差公式的结构和代数变式策略的理解都非常到位，而且他们还能将积的乘方等前面所学知识顺利运用到编题中来，显示出很强的融合贯通能力，所编问题涉及到平方差公式代数应用中的各种题型，包括直接应用，构造应用，逆向应用，连环应用等，可见本节课的学习效果突出，同时也能看出学生们良好的数学素养，这是教师长期培养的结果.《平方差公式》的教学点评本节课是教研教改的优秀课例。
平方差公式 (优质课)获奖课件 (优质课)获奖课件
11．2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．了解三角形的外角． 2．知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和． 3．学会运用简单的说理来计算三角形相关的角．
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
重点 三角形外角的性质． 难点 运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推 理．
一、复习引入 什么是三角形的内角？它是由什么组成的？ 三角形内角和定理的内容是什么？ 教师提出问题，学生举手回答问题． 二、探究新知 1．探究三角形外角的概念． 教师布置学生自学教材第14页最后一段话的内容，然后完 成以下问题： (1)举例说明什么是三角形的外角．(上黑板画图说明) (2)如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三 角形的外角？
2．探究三角形外角的性质． 老师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间 进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质，并提出 以下问题： 你能否用证明的方法说明你所归纳的性质？ 学生归纳得出三角形外角的性质： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三、举例分析 例1 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角， 它们的和是多少？
四、练习与小结 练习：教材练习． 教师布置练习，学生举手回答． 小结：谈谈你对三角形外角的认识． 教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和 性质两个方面入手． 五、布置作业 习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
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平方差公式教案 ( 优质课
一等奖 )
八年级数学《 15.2.1平方差公式》教学设计
桂平市西山一中覃娟娟
教学目标：
1.经历探索平方差公式的过程 , 会推导平方差公式 , 并运用公式进行简单的
运算 .
2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。
3.在计算的过程中发现规律 , 并能用符号表达 , 从而体会数学语言的简洁美 . 教学重点、难点：
重点：平方差公式的推导及应用.
难点：平方差公式的应用.
教具准备：
多媒体课件
教学过程：
一、创设情景，复习导入
回顾思考：
1、多项式乘法法则：( m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b
2、如果 m=n，且都用 x表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab
二、新课引入
1、计算下列各题 , 看谁做的又快又准确 :
(1)(x＋y)(x－y)
(2)(2a ＋b)(2a －b)
2、教师提问： 1）上述式中都有什么样的规律？
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2）能不能用字母来表现它呢？
学生活动：讨论，并回答出教师提问.
3、师生共同归纳出平方差公式(a b)(a b) a2b2
4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）.
5、师生共同分析平方差公式的结构特征.
6、练习：
判断下列式子可用平方差公式计算吗?
①(a - b)(b - a) ；② (a+2b)(2b+a) ；
③(a - b)(a+b) ；④ ( 2x+y)(y - 2x).
三、例题讲解
例 1 运用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5 - 6x) ； (2) (b+2a)(2a - b) ； (3) (-x+2y)(-x- 2y).
评析 :1 ）认清结构，找准a、b
2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
例 2：计算：
（1）102 ×98；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
评析： 1）巧妙的化为公式形式;
2）只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式
乘法法则进行运算。
四、随堂练习，巩固新知
1、指出下列计算中的错误：
(1)(1 2 x )( 1 2 x ) 1 2 x2
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谢谢 3
精品资料
(2)( 2 a 2 b 2 )( 2 a 2 b 2 ) 2 a 4 b 4
(3)(3m2n)( 3m 2n)3m22n2
学生先独立思考，然后抢答，师生共评.
2、运用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a - 3b) ； (2)(3+2a)(-3+2a)； (3)51×49；
学生独立完成，代表到黑板上板演，再让其他学生充当老师评改 , 接着再师生共评 .
五、课堂总结，发展潜能
1、平方差公式( a b)( a b) a 2 b 2
2、应用平方差公式时要注意些什么？
六、布置作业 .
课本 p.156
习题 15.2第1题（1）（3）（5）.
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