专题2.2 函数的基本性质-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(解析版)
§2.2 函数的基本性质(1)
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A 本题考查指数函数的奇偶性和单调性.
易知函数f(x)的定义域关于原点对称.
∵f(-x)=3-x-
1 3
x
=
1 3
x
-3x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
又∵y=3x在R上是增函数,y=-
1 3
x
在R上是增函数,
∴f(x)=3x-
∴f(x)的最小正周期为4. 由于f(1-x)=f(1+x), f(1)=2, 故令x=1,得f(0)=f(2)=0, 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。11:25:0711:25:0711:259/13/2021 11:25:07 AM
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11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1311:25:0711:25Sep-2113-Sep-21
方法总结 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有 (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期. (2)f(x+a)= 1 (a≠0, f(x)≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期.
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-6函数的性质及图像 精品
[函数的周期性、对称性] (1)(2016·马鞍山质检)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝1，其 对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则 f(2 015)＋f(2 016) ＝________．
【解析】 令 x＝－3，故 f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又 f(－ 3)＝－f(3)，故 f(3)＝0，故 f(x＋6)＝f(x)，故 f(2 015)＝f(5)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－1，f(2 016)＝f(0)＝0，故 f(2 015)＋f(2 016)＝－1.
【答案】 C
(5)(2016·郑州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，g(x)＝2x＋a，若∀x1
∈[12，1]，∃x2∈[2，3]，使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 a 的取值范围
为( )
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【审题】 对∀x1，∃x2 使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.
【解析】 由题意知，mx2－6mx＋m＋8≠0 对一切实数 x 都成立，即 mx2－6mx＋m＋8＝0 在实数集上无解．当 m＝0 时， 定义域为 R，满足题意；当 m≠0 时，由 Δ＝(－6m)2－4m(m＋8)<0， 解得 0<m<1.综上，实数 m 的取值范围是[0，1)．
【答案】 [0，1)
【答案】 A
【回顾】 (1)①若 f(x＋T)＝f(x)，则 T 为周期；②若 f(x＋ a)＝－f(x)，则 T＝2a；③若 f(x＋a)＝f（1x），则 T＝2a；④若 f(x ＋a)＝－f（1x），则 T＝2a.
(2)①若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，即 f(x)＋f(2a －x)＝2b，则 y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称；②若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)成轴对称；③若 y＝f(x＋a)是偶函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于直线 x＝a 对称，若 y＝f(x＋a)是奇函数， 则函数 y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称．
专题04 函数的性质、函数的图象基础篇-2018年高考数学
专题四 函数的性质、函数的图象函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示. 求定义域的基本原则有以下几条： 1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：0x 及()n x n N -*∈中底数0x ≠；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于1；5.三角函数：正弦函数sin y x =的定义域为R ，余弦函数cos y x =的定义域为R ，正切函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 典型例题例1【2018届全国名校大联考高三第四次联考】函数()f x = ）A. (]0,1000B. []3,1000C. 10,1000⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,31000⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【练一练趁热打铁】1. 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D. ),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C .2. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)【答案】B【解析】 因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠，故[0,1)x ∈.故选B ．分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如(){}{}f f f f a ⎡⎤⎣⎦的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． （5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 典型例题例1【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】已知函数()1212,0{ ,0x x f x x x -≤=>，则()()1f f -=__________．【解析】由题()()()111122ff f f -⎛⎫-=-==⎪⎝⎭. 例2【2018届河南省南阳市第一中学高三第七次考】已知函数()()2142,1{1log ,1a x a x f x x x -+-<=+≥，若()fx 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 （ ）A. (]1,2B. (],2-∞C. (]0,2D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】因为当1x ≥时2101log 1{121421a x a a a ->+≥∴⇒<≤-+-≥ ，选A.【练一练趁热打铁】1.已知函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，且()3-=a f ，则()6f a -= .【答案】32-2.【2018届新疆乌鲁木齐地区高三第一次诊断】函数()()()()132{log 12x e x f x x x -<=--≥，则不等式()1f x >的解集为( ) A. ()1,2 B. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. [)2,+∞ 【答案】A【解析】分类讨论： 当2x <时，不等式为： 11,10,1x ex x ->∴->>，此时12x <<；当2x ≥时，不等式为： ()314log 11,01,133x x x -->∴<-<<<，此时不等式无解； 综上可得，不等式的解集为： 12x <<， 表示为区间形式即： ()1,2. 本题选择A 选项.函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数.3.基本初等函数的单调性：【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1【2016高考新课标3理数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 例2【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【练一练趁热打铁】1.【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B 【解析】2.32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大.函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -=()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）；2.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；3.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．4．函数的奇偶性和周期性是函数在其定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y 轴对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.5.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f (0)=0”“偶函数一定有f (|x|)=f (x )”在解题中的应用. 典型例题例1【2018届北京市东城区高三上学期期末】下列函数中为偶函数的是 A. ()22y x =- B. ln y x = C. cos y x x =⋅ D. xy e -=【答案】D例2【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月】奇函数()f x 在()-∞+∞，单调递增，若()11f =，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是A. []2,2-B. []1,1-C. []0,4D. []1,3 【答案】D【解析】根据奇函数的性质有()()111f f -=-=-，故原不等式等价与121x -≤-≤，解得13x ≤≤.【练一练趁热打铁】1.下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C【解析】对于A 选项，结合二次函数2y x =的图象可知，函数2y x =为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增；对于B 选项，函数3y x =-为奇函数，230y x '=-<在()0,+∞上恒成立，则函数3y x =-在区间()0,+∞上单调递减；对于C 选项，函数lg y x =-的定义域为()(),00,-∞+∞，且lg lg xx --=-，故函数lg y x =-为偶函数；对于D 选项，结合对数函数2xy =的图象可知，函数2xy =为非奇非偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增.故选C.2.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B.()()13f f f ππ⎛⎫>->-⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由于函数()y f x =为偶函数，故()()f x f x -=，因此()()11f f -=，()()f f ππ-=，由于函数()f x 在区间[]0,4上单调递减，且0143ππ<<<<，所以()()143f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即()1f ->()3f f ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故选C.函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．关于函数周期性常用的结论（1）若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； （2）若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； （3）若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （5）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．（7）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． 2.典型例题例1【2017山东，文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= . 【答案】6 【解析】例2. 【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+错误！未找到引用源。
高考数学一轮复习： 第二章 函数 2.2 函数的基本性质
换元法:若f(x+2)=f(x-2),令x+2=t,则x=t-2,
∴f(t)=f(t-4),∴周期T=4.
例4 (1)(2016江苏泰州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3
≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)等
在(0,1)上递减;∵2>1,∴y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减 的函数序号是②③.
答案 ②③
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
10
方法 2 函数单调性的应用
函数的单调性有如下几个方面的基本应用:
(1)利用函数的单调性解不等式;
(2)在已知函数单调性的条件下,求参数的取值范围.
例2
已知函数f(x)=
ax (a
(x 0), 3)x
4a(
x
0)
满足对任意x1≠x2,都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,则a的取值范围是
.
x1 x2
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
11
解析
由对任意x1≠x2都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,知f(x)是减函数,于是
(5)利用导数判断单调性.
1
例1 给定函数①y= x 2 ,②y=lo g1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,
2
1)上单调递减的函数序号是
.
2019年5月18日
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
高考数学 专题二 函数 2 函数的基本性质课件 文
方法总结 复合函数的单调性符合同增异减的原则.
12/10/2021
考向二 单调性的应用
例2 (1)(2019河南郑州第一次质量预测,8)设函数f(x)=2ln(x+ x)+2 3x13
(-2<x<2),则使得f(2x)+f(4x-3)>0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.
1 2
x
(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).
12/10/2021
的单调减区间为
2.函数的最值
前提 条件
结论
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; 存在x0∈I,使得f(x0)=M
对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; 存在x0∈I,使得f(x0)=M
对于B, f(x)=ln e - x的定义域为(-e,e),关于原点对称,且f(-x)=ln e=-lxn e - x
e x
e -x
e x
=-f(x),故为奇函数,
设t= e - x=-1+ ,2xe∈(-e,e),在(-e,e)上为减函数,而y=ln t为增函数,则f(x)=
e x
xe
ln e - x在(-e,e)上为减函数,不符合题意;
12/10/2021
考向基础 1.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
考点二 函数的奇偶性
定义
一般地,如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有f(-x)=f (x),那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特点 关于y轴对称
奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有f(-x)=-f (x),那么函数f(x)就叫做奇函数
函数的概念和性质高考真题
函数的概念和性质高考真题1.函数的概念和性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
通常用符号f(x)表示函数，其中x是定义域中的元素，f(x)是值域中的元素。
1.2 函数的性质函数有很多性质，其中一些比较重要的包括：1）定义域和值域：函数的定义域是所有可能输入的集合，值域是所有可能输出的集合。
2）奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。
3）单调性：如果对于函数f(x)，当x1f(x2)，则称f(x)在区间(x1,x2)上单调递减。
4）零点和极值：函数的零点是函数图像与x轴的交点，极值是函数在某一区间内的最大值或最小值。
2.例题解答2.1（2019江苏4）函数y=7+6x-x^2的定义域是所有实数。
函数f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-eax。
若f(ln2)=8，则a=ln(1/4)。
2.2（2019全国Ⅱ理14）已知。
2.3（2019全国Ⅲ理11）设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则正确的不等式是B。
2.4（2019北京理13）设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数)，若f(x)为奇函数，则a=0；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是(-∞,0)。
2.5（2019全国Ⅰ理11）关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(π/2,π)单调递增；③f(x)在[-π,π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是B。
2.6（2019全国Ⅰ理5）函数f(x)=sinx+x/cosx+x^2在[-π,π]的图像大致为D。
2.7（2019全国Ⅲ理7）函数y=2x+2-x在[-6,6]的图像大致为A。
2.8（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y=11/x^2，y=loga(x+2)(a>0且a≠1)的图像可能是B。
高中数学专题：函数的基本性质
1 / 11高中数学专题：函数的基本性质探考情 悟真题【考情探究】分析解读 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的常考内容,例如判断或证明函数的单调性,求单调区间,利用单调性求参数的取值范围,利用单调性解不等式.考题既有选择题与填空题,又有解答题,既有容易题和中等难度题,也有难题.2.函数的奇偶性在高考中也时有出现,主要考查奇偶性的判定以及与周期性、单调性相结合的题目,这类题目常常结合函数的图象进行考查.3.函数的周期性,单独考查较少,一般与奇偶性综合在一起考查,主要考查函数的求值问题,以及三角函数的最小正周期等.4.预计高考试题中,仍会对函数的性质进行重点考查,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点一 函数的单调性与最值1.下列函数中,在(0,+∞)上是增函数的是( )A.y=(12)|x|B.y=|ln x|C.y=x 2+2|x|D.y=|x -1x |答案 C2 / 112.若函数f(x)=lo g 12(x 2+ax+6)在[-2,+∞)上是减函数,则a 的取值范围为( ) A.[4,+∞) B.[4,5) C.[4,8) D.[8,+∞)答案 B3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12B.y=2-xC.y=lo g 12xD.y=1x答案 A考点二 函数的奇偶性与周期性1.已知函数y=f(x)+cos x 是奇函数,且f (π3)=1,则f (-π3)=( )A.-2B.-1C.1D.2答案 A2.已知a,b ∈R,则“a>|b|”是“a ·2a -12a +1>b ·2b -12b +1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A炼技法 提能力【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)·[f(x 2)-f(x 1)]>0.则当n ∈N *时,有()A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)答案C2.对于函数y=f(x),若存在区间[a,b],当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称y=f(x)为k倍值函数,若f(x)=ln x+x 是k倍值函数,则实数k的取值范围是.答案(1,1+1)e方法2判断函数奇偶性的方法1.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=√1+x2B.y=x+1xD.y=x+e xC.y=2x+12x答案D2.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,且f(x)为奇函数,g(x)的图象关于直线x=1对称,则下列四个命题中,错误的是()A.y=g(f(x)+1)为偶函数B.y=g(f(x))为奇函数C.函数y=f(g(x))的图象关于直线x=1对称D.y=f(g(x+1))为偶函数答案B3 / 113.设函数f(x)=2+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性()a-1A.与a无关,且与b无关B.与a有关,且与b有关C.与a有关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案D方法3函数周期性的解题方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)且f(1)=2,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=()A.-2B.0C.2D.2018答案C2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且f(x-2)=f(-x),当x∈(-1,1)时,f(x)=x2+1,则f(2020)=()A.-1B.0C.1D.2答案A【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组已知a∈R,函数f(x)=|x+4-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.x答案(-∞,9]2B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性与最值4 / 111.下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案A2.设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A.f(log314)>f(2-32)>f(2-23)B.f(log314)>f(2-23)>f(2-32)C.f(2-32)>f(2-23)>f(log314)D.f(2-23)>f(2-32)>f(log314)答案C3.设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.答案-1;(-∞,0]4.能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.5 / 11答案(12,3 2 )考点二函数的奇偶性与周期性1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1答案D2.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C3.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,f(x+12)=f(x-12),则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D4.下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=|sin x|C.y=cos xD.y=e x-e-x答案D5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.6 / 116.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)={x+a,-1≤x<0,|25-x|,0≤x<1,其中a∈R.若f(-52)=f(92),则f(5a)的值是.答案-25C组教师专用题组1.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C3.已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-24.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案125.若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=.7 / 116.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共32分)1.设不为1的实数a,b,c满足a>b>c>0,则()A.log c b>log a bB.log a b>log a cC.b a>b cD.a b>c b答案D2.下列函数中,既是奇函数又在R上具有单调性的是()A.y=x3B.y=cos xC.y=2|x|D.y=1x答案A3.已知函数f(x)=x|x|-2x,则有()A.f(x)是偶函数,递增区间为(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间为(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间为(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间为(-∞,0)8 / 119 / 114.若∀m,n ∈N,有g(m+n)=g(m)+g(n)-3,则f(x)=x √1−x 2x 2+1+g(x)的最大值与最小值之和是( )A.4B.6C.8D.10答案 B5.函数f(x)=3x-x 3在区间(a 2-12,a)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,√11)B.(-1,2]C.(-1,4)D.(-1,4]答案 B6.设f(x)=2x 2x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对任意x 1∈[0,1],总存在x 0∈[0,1],使得g(x 0)=f(x 1)成立,则a 的取值范围是( )A.[52,4]B.[4,+∞)C.(0,52]D.[52,+∞)答案 A7.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足如下条件:(1)对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0;(2)对一切x>0,有f(x)+1x >0;(3)对任意的x ∈(0,+∞),有f(x)·f (f(x)+1x )=1.则f(1)的值是( )10 / 11A.1+√52B.1−√52C.1±√52D.-1+√52答案 B8.函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数,且对任意x,y ∈(-1,1)均有f(x)-f(y)=f (x -y 1−xy ),f (12)=-1,且对任意x>0均有f(x)<0,则下列选项正确的是( )A.存在x 1x 2<0,使得f(x 1)f(x 2)>0B.f(x)为偶函数C.f (-18)>14D.对任意的ε>0,总存在x ∈(-1,1)使得|f(x)|>ε答案 D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)9.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x 2+x 为奇函数,则a= .答案 210.若函数f(x)=x (x+2)(x -a)为奇函数,则实数a 的值为 ;且当x ≥4时, f(x)的最大值为 .答案 2;1311.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,则f (0)= ; 若当x>0时,f(x)=x 3+5,则f(-2)= . 答案 0;-1312.已知f(x)=ax x -x+1,若对任意的x ∈R,都有f(x)≤1恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案[-3,1]13.已知函数f(x)=|√1−x2-ax-b|(a,b∈R),当x∈[0,1]时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案√2-1211 / 11。
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第二章 函数概念与基本初等函数
专题2 函数的基本性质（理科）
【三年高考】
1. 【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D
2.【2017北京，理5】已知函数1
()3()3
x x f x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数
（B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数
（D ）是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】A 【解析】()()113333x x x x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.
3.【2017山东，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e = 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .
①()2x f x -=
②()3x f x -= ③()3f x x = ④()22f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①()22x
x x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33x
x x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③()3x x e f x e x =⋅，令()3x g x e x =⋅，则()()32232x x x g x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，
()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3
f x x =不具有M 性质； ④()()22x x e f x e x =+，令()()22x
g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．
4.【2017江苏，11】已知函数31()2e e x x f x x x =-+-
, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 .学。
科网 【答案】1[1,]2
-
5.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y ->
B.sin sin 0x y ->
C.11()()022x y -<
D.ln ln 0x y +> 【答案】C
6.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3
()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >
时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2
（B ）−1 （C ）0 （D ）2 【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12
x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦
，故选D. 7．【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______. 【答案】13
(,)22
【解析】由题意()f x 在(0,)+∞上递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-或化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<，即答案为13(,)22
． 8．【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，。