大学物理机械波振动题目汇总
0318
一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它
上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：
(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？
(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在
何位置开始分离？
解：(1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a ，按牛顿第二定律有（取向下为正）
ma N mg =- 1分
)(a g m N -=
当N = 0，即a = g 时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分 A = 10 cm ，N/m 3
.060=k 有
50/==m k ω rad ·s -1 2分
系统最大加速度为 52max ==A a ω m ·s -2 1分 此值小于g ，故小物体不会离开． 1分
(2) 如使a > g ，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得
x a g 2ω-== 2分
6.19/2
-=-=ωg x cm 1分
即在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离，由g A a >=2max ω，可得
2/ωg A >=19.6 cm ． 1分
3014
一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24
cm/s ，求
(1)周期T ；
(2)当速度是12 cm/s 时的位移．
解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v
(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有
t ωcos 126=
t ωωsin 1224-=
解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分
(2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由
t A ωωsin -=v
得 2sin )3/4(1212t ω??-=，
解上式得 1875.0sin 2-=t ω
相应的位移为 8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω cm 3分 3021
一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如
果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），
当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数
μ为多少？
解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为
)cos(t A x ω=, t A x
ωωsin -=
在6=x cm 处，24=x
cm/s ∴ 6 =12|cos ω t |， 24=|-12 ω sin ω t |，
解以上二式得
3/4=ωrad/s 3分
t A x
ωωcos 2-= ， 木板在最大位移处x 最大，为 2ωA x = ① 2分 若mA ω2稍稍大于μmg ，则m 开始在木板上滑动，取
2ωμmA mg = ② 2分
∴ 0653.0/2≈=g A ωμ ③ 1分 3022
一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，
经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B
点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：
(1) 质点的振动方程；
(2) 质点在A 点处的速率．
解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，
∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1， ω = 2πν = (π /4) s -1 3分 (1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．
t = 0时， 5-=x cm φcos A =
t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=
由上二式解得 tg φ = 1
因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分
25cos /==φx A cm 1分
∴ 振动方程 )4
34c o s (10252π-π?=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )4
34sin(41025d d 2π-π?π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点
221093.3)4
3sin(10425d d --?=π-?π-==t x v m/s 1分 3027
在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T
= 2
1s ，振幅A = 4 cm ，求 (1) 物体对平板的压力的表达式．
(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为
t A x π=4cos (SI)
t A x π4cos π162-= (SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg
=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162 (SI) ② 物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)
t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分 x
(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分
04cos 162=ππ+t A mg (SI)
A q t 2164cos π-
=π 1分 若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)
即 221021.6)16/(-?=π≥g A m 2分
3264 一质点作简谐振动，其振动方程为 )4131cos(100.62
π-π?=-t x (SI) (1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？
解：(1) 势能 221kx W P = 总能量 22
1kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42
-?±=±=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2A
x ±=最短时间 ?t 为 T /8．
∴ ?t = 0.75 s ． 3分
3265
在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250
g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速
度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．
解： k = m 0g / ?l 25.12N/m 08
.08.91.0=?= N/m
11s 7s 25
.025.12/--===m k ω 2分 5cm )721(4/2222020=+=+=ωv x A cm 2分 4/3)74/()21()/(tg 00=?--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad 3分
)64.07cos(05.0+=t x (SI) 1分
3273
一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振
动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t =
0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．
(1) 求振动能量；
(2) 求此振动的表达式．
解：(1) 由题意 kA F m =，m x A =，m m x F k /=．
16.02
1212===m m m x F kx E J 3分 (2) π===2m
m m x A v v ω rad /s 2分
由 t = 0， φc o s 0A x ==0.2 m ， 0sin 0<-=φωA v
可得 π=3
1φ 2分 则振动方程为 )3
12cos(4.0π+π=t x 1分 3391
在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小
球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处
开始计时，写出此振动的数值表达式．
解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得 220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得 0//d d 022=+l gx t x
∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分
π===1.958.28/0l g ω 2分
设振动表达式为 )cos(φω+=t A x 由题意： t = 0时，x 0 = A=2
102-?m ，v 0 = 0，
解得 φ = 0 1分 ∴ )1.9cos(1022t x π?=- 2分
3827
质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)3
18cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求
(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；
(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；
(3) 振动的能量E ；
(4) 平均动能和平均势能．
解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分
(2) )3
18sin(1042
π+π?π-==-t x v (SI) )3
18cos(103222π+π?π-==-t x a (SI) 2分 (3) 2222
121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ?=T K t m T E 02d 21)/1(v ?π+π?π-=-T
t t m T 0
222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 21
+x )
同理 E E P 2
1== 3.95×10-5 J 3分 3828
一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲
度系数k = 25 N ·m -1．
(1) 求振动的周期T 和角频率ω．
(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初
速v 0及初相φ．
(3) 写出振动的数值表达式．
解：(1) 1s 10/-==m k ω 1分
63.0/2=π=ωT s 1分
(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v 0 < 0
由 2
020)/(ωv +=x A 得 3.12020-=--=x A ωv m/s 2分
π=
-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2分 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=3
1φ (3) )3
110cos(10152π+?=-t x (SI) 2分 3834
一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1，
如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求
(1) 振幅；
(2) 动能恰等于势能时的位移；
(3) 经过平衡位置时物体的速度．
解：(1) 22
1kA E E E p K =+= 2/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m 3分
(2)
222
121v m kx = )(sin 22222φωωω+=t A m x m )(sin 222φω+=t A x 2222)](cos 1[x A t A -=+-=φω
222A x =， 0566.02/±=±=A x m 3分
(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量
22
1v m E E E p K =+= 8.0]/)(2[2/1±=+=m E E p K v m/s 2分
3835
在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体
加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振
幅为5 cm ．
(1) 上述的外加拉力是多大？
(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？
解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l ，
则有l k mg ?=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则
0)(0=+-+?x l k mg F
解得 F = kx 0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x
0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分 又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 T
π=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分
(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分
221007.121-?==
v m E K J 2分 2222)/4(2
121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分 解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ）， kA F = 2分 2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分
∴ F = 0.444 N 1分
(2) 总能量 221011.12
121-?===FA kA E J 2分 当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分 ∴ 21007.1)25/24(-?==E E K J ，
4
1044.425/-?==E E p J 1分
5191
一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，
物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：
(1) 振动周期T ；
(2) 加速度的最大值a m ；
(3) 振动方程的数值式．
解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1
∴ T = 2π/ω = 4.19 s 3分
(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 2分 (3) π=2
1φ 5511
如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒
力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置
向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．
解：设物体的运动方程为 )c o s
(φω+=t A x ． 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．
2分
当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：
5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． 2分 A 即振幅． 4/2==m k ω (rad/s)2
ω = 2 rad/s ． 2分
按题目所述时刻计时，初相为φ = π．∴ 物体运动方程为 2分
)2c o s (204.0π+=t x (SI)． 2分
x = 0.02)2
15.1cos(π+t (SI) 3分 3078
一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求
(1) x = 0处质点振动方程；
(2) 该波的表达式． 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2c o s
(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+'π=φνt A y 1分
0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 1分
所以 2/2π=+'πφνt ， t 'π-π=νφ22
1 2分 x = 0处的振动方程为 ]2
1)(2cos[π+'-π=t t A y ν 1分 (2) 该波的表达式为 ]2
1)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν 3分 3082
如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为
t y π?=-4c o s 1032 (SI)．
(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式． 解：(1) 坐标为x 点的振动相位为
)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π= 2分
波的表达式为 )]20/([4cos 1032
x t y +π?=- (SI) 2分
(2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为 ]20
5[4-+
π='+x t t φω (SI) 2分 波的表达式为 ])20(4cos[1032π-+π?=-x t y (SI) 2分 3083
一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播．设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为
3.0 cm ，振动频率为25 Hz ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24 cm ．当t = 0时，在x = 0
处质元的位移为零并向x 轴正向运动．试写出该波的表达式．
解：由题 λ = 24 cm, u = λν = 24×25 cm/s ＝600 cm/s 2分
A = 3.0 cm ， ω = 2πν = 50 π/s 2分
y 0 = A cos φ = 0， 0s i n 0>-=φωA y
x u O t =t ′y
A B x u
π-=2
1φ 2分 ]2
1)6/(50cos[100.32π--π?=-x t y (SI) 2分 3084
一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A 和ω ，波速为u ，设t = 0时的波形曲线如图所示．
(1) 写出此波的表达式．
(2) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点的振动方程． (3) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点在t = 0时的振动速度．
解：(1) 以O 点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为
0c o s 0==φA y ， 0s i n 0<-=φωA v
所以 π=21
φ
波的表达式为 ]21
)/(c o s [π+-=u x t A y ωω
4分 (2) 8/λ=x 处振动方程为
]21
)8/2(cos[π+π-=λλωt A y )4/cos(π+=t A ω
1分 8/3λ=x 的振动方程为
]21
8
/32cos[π+-=λλπωt A y )4/cos(π-=t A ω
1分 (3) )21
/2sin(/d d π+π--=λωωx t A t y
t = 0，8/λ=x 处质点振动速度
]21
)8/2sin[(/d d π+π--=λλωA t y 2/2ωA -=
1分 t = 0，8/3λ=x 处质点振动速度
]21
)8/32sin[(/d d π+?π--=λλωA t y 2/2ωA =
1分 3108
两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：
)244(31
cos 1000.421t x y -π?=- (SI)
)244(31
cos 1000.42
2t x y +π?=- (SI)
求： (1) 两波的频率、波长、波速；
(2) 两波叠加后的节点位置；
(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．
解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：
ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ，
各1分 波速 u = λν = 6.00 m/s
1分 (2) 节点位置 )21
(3/4π+π±=πn x x u O
y
)2
1(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, … 3分 (3) 波腹位置 π±=πn x 3/4
4/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, … 2分
3109
设入射波的表达式为 )(2cos 1T
t x
A y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求
(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式；
(3) 波腹和波节的位置．
解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反
射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ 3分
(2) 驻波的表达式是 21y y y +=
)21/2cos()21/2cos(2π-ππ+
π=T t x A λ 3分 (3) 波腹位置： π=π+
πn x 21/2λ, 2分 λ)2
1(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2
121/2n x λ 2分 λn x 2
1= , n = 1, 2, 3, 4, (3110)
一弦上的驻波表达式为 t x y ππ?=-550c o s )6.1(c o s 1000.32 (SI)．
(1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速；
(2) 求相邻波节之间的距离；
(3) 求t = t 0 = 3.00×10-3 s 时，位于x = x 0 = 0.625 m 处质点的振动速度．
解：(1) 将 t x y ππ?=-550cos 6.1cos 1000.32
与驻波表达式 )2cos()/2cos(2t x A y νλππ= 相对比可知：
A = 1.50×10-2 m, λ = 1.25 m ， ν = 275 Hz
波速 u = λν = 343.8 m/s 5分
(2) 相邻波节点之间距离 λ21=
?x = 0.625 m 2分 (3) 2.460
0,-=??=t y t x v m/s 3分 3111 如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密媒质的反射面．波由P 点反射，OP = 3λ /4，DP = λ /6．在t = 0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D 点处
入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为
A ，频率为ν．）
解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为
])/(2c o s [1φλν+-π=x t A y 2分
则反射波的表达式是 ])(2cos[2π++-+-π=φλνx
DP OP t A y 2分 合成波表达式（驻波）为 )2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y 2分
在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， 0)/(0
故得 π=2
1φ 2分 因此，D 点处的合成振动方程是
)2
2cos()6
/4/32cos(2π+π-π=t A y νλλλt A νπ=2sin 3 2分 3138
某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位
移处，求
(1) 该质点的振动方程；
(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以
该质点的平衡位置为坐标原点）；
(3) 该波的波长．
解：(1) 振动方程 )2
2cos(
06.00π+π=t y )cos(06.0π+π=t (SI) 3分 (2) 波动表达式 ])/(c o s
[06.0π+-π=u x t y 3分 ])2
1(c o s [06.0π+-π=x t (SI) (3) 波长 4==uT λ m 2分 3141
图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式；
(2) P 处质点的振动方程． 解：(1) O 处质点，t = 0 时
0cos 0==φA y ， 0sin 0>-=φωA v
所以 π-
=21φ 2分 又 ==u T /λ (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分
故波动表达式为 ]2)4.05(2
c o s [04.0π--π=x t
y (SI) 4分 (2) P 处质点的振动方程为 ]2)4.02.05(2cos[04.0π--
π=t
y P )2
34.0cos(04.0π-π=t (SI) 2分 3142 (m) -
图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求
(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；
(2) 该波的波动表达式． 解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向
左传播．在t = 0时刻，O 处质点
φc o s 0A =， φωs i n 00A -= 故 π- =2 1φ 2分 又t = 2 s ，O 处质点位移为 )2 14cos(2/π-π=νA A 所以 π-π=π-2 1441ν， ν = 1/16 Hz 2分振动方程为 )218/c o s (0π-π=t A y (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波长 λ = u /ν = 160 m 2分 波动表达式 ]2 1)16016(2cos[π-+π=x t A y (SI) 3分 3143 如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求 (1) 该波的表达式； (2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式． 解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播． 原点O 处质点，t = 0 时 φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v 所以 4/π=φ O 处振动方程为 )41500cos(0π+π=t A y (SI) 3分 由图可判定波长λ = 200 m ，故波动表达式为 ]4 1)200250(2c o s [π++π=x t A y (SI) 2分 (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是 )4 5500cos(1π+ π=t A y 1分 振动速度表达式是 )45500cos(500π+ππ-=t A v (SI) 2分 3144 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点 的振动规律如图所示． (1) 求P 处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式； t (s)0 -A 1y P (m) (3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程． 解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为 ])4/2cos[(π+π=t A y P )2 1cos(π+π=t A (SI) 3分 (2) 波动表达式为 ])4(2c o s [π+-+π=λd x t A y (SI) 3分 (3) O 处质点的振动方程 )2 1cos(0t A y π= 2分 3158 在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为 )]/(2cos[1λνx t A y -π= 与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最 大与合振幅最小的那些点的位置． 解：(1) 设振幅最大的合振幅为A max ，有 φ??++=cos 22)2(222max A A A A A 式中 λφ/4x π=?， 又因为 1/4c o s c o s =π=? λφx 时，合振幅最大，故 π±=πk x 2/4λ 合振幅最大的点 λk x 21± = ( k = 0，1，2，…) 4分 (2) 设合振幅最小处的合振幅为A min φ??++=cos 22)2(222min A A A A A 因为 1cos -=?φ 时合振幅最小 且 λφ/4x π=? 故 π+±=π)12(/4k x λ 合振幅最小的点 4/)12(λ+±=k x ( k = 0，1，2，…) 4分 3335 一简谐波，振动周期2 1=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求： (1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移； (3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度． 解：(1) )1024cos(1.0x t y π- π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) 3分 (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移 )80/4/(4cos 1.01λ-π=T y m 1.0)818/1(4cos 1.0=-π= 2分 (3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t y -ππ-=??= v ． )4/1(2 12==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速 O P d 26.1)2 1sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 3分 3410 一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100c o s (05.0x t y π-π= (SI) (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长． (2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度． (3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差． 解：(1) 已知波的表达式为)2100cos(05.0x t y π-π= 与标准形式 )/22cos(λνx t A y π-π= 比较得 A = 0.05 m ， ν = 50 Hz ， λ = 1.0 m 各1分 u = λν = 50 m/s 1分 (2) 7.152)/(max max =π=??=A t y νv m /s 2分 322m a x 22m a x 1093.44)/(?=π=??=A t y a ν m/s 2 2分 (3) π=-π=?λφ/)(212x x ，二振动反相 2分 3476 一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 )/(2cos λνx t A y -π=, 而另一 平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 )/(2cos 2λνx t A y +π= 求：(1) x = λ /4 处介质质点的合振动方程； (2) x = λ /4 处介质质点的速度表达式． 解：(1) x = λ /4处 )212 c o s (1π-π=t A y ν , )2 12cos(22π+π=t A y ν 2分 ∵ y 1，y 2反相 ∴ 合振动振幅 A A A A s =-=2 , 且合振动的初相φ 和y 2的 初相一样为π2 1． 4分 合振动方程 )2 12cos(π+π=t A y ν 1分 (2) x = λ /4处质点的速度 )2 12sin(2/d d π+ππ-== v t A t y νν )2cos(2π+ππ=t A νν 3分 5199 有一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，其波速u = 400 m/s ，频率ν = 500 Hz ． (1) 某时刻t ，波线上x 1处的相位为φ 1，x 2处的相位为φ 2，试写出 x 2 - x 1与φ 2 - φ 1的关 系式，并计算出当x 2 - x 1 = 0.12 m 时φ 2 - φ 1的值． (2) 波线上某定点 x 在t 1时刻的相位为1 φ'，在t 2时刻的相位为2φ'， 试写出t 2 - t 1与12 φφ'-'的关系式，并计算出t 2 - t 1 = 10-3 s 时12φφ'-'的值． 解：该波波长 λ = u /ν = 0.8 m (1) x 2点与x 1点的相位差为 λφφ/)(2)(1212x x -π=-- λφφ/)(21212x x -π-=- 3分 当=-12x x 0.12 m 时 π-=-3.012φφ rad 1分 (2) 同一点x ，时间差12t t -，相应的相位差 T t t /)(21212-π='-'φφ)(212t t -π=ν 3分 当 31210-=-t t s 时， π=' -'12φφ rad 1分 5319 已知一平面简谐波的表达式为 )24(cos x t A y +π= (SI)． (1) 求该波的波长λ ，频率ν 和波速u 的值； (2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置； (3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ． 解：这是一个向x 轴负方向传播的波． (1) 由波数 k = 2π / λ 得波长 λ = 2π / k = 1 m 1分 由 ω = 2πν 得频率 ν = ω / 2π = 2 Hz 1分 波速 u = νλ = 2 m/s 1分 (2) 波峰的位置，即y = A 的位置． 由 1)24(cos =+πx t 有 π=+πk x t 2)24( ( k = 0，±1，±2，…) 解上式，有 t k x 2-=． 当 t = 4.2 s 时， )4.8(-=k x m ． 2分 所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰．在上式中取k = 8，可得 x = -0.4 的波峰离坐标原点最近． 2分 (3) 设该波峰由原点传播到x = -0.4 m 处所需的时间为?t ， 则 ?t = | ?x | /u = | ?x | / (ν λ ) = 0.2 s 1分 ∴ 该波峰经过原点的时刻 t = 4 s 2分 5516 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度． 解：设x = 0处质点振动的表达式为 )c o s (0φω+=t A y ， 已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π-=2 1φ ∴ )2cos(0φν+π=t A y )2 1100cos(1022π-π?=-t (SI) 2分 由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为 )/22c o s (0u x t A y νφνπ-+π=)2 121100cos(1022x t π-π-π?=- (SI) 2分 x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移 )2 1100cos(1022 π-π?=-t y (SI) 1分 该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )21200sin(1001022π-π??-=-πv 2分 = 6.28 m/s 1分 5519 在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λωx t A y π+=，入射波在x = 0处绳端反射，反 射端为自由端．设反射波不衰减，求驻波表达式． 解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ωc o s 10=，由于反射端为自由端，所以反射波在O 点的振动方程为 t A y ωc o s 20= 2分 ∴反射波为 )2cos(2λωx t A y π-= 3分 合成的驻波方程为 21y y y +=)2cos(λωx t A π +=)2cos(λωx t A π-+ t x A ωλcos )2cos(2π = 3分 5520 在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λπωx t A y +=，入射波在x = 0处反射，反射端 为固定端．设反射波不衰减，求驻波表达式． 解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ωc o s 10=，由于反射端为固定端,∴反射波在 x = 0处的振动方程为 )cos(20π+=t A y ω 或 )c o s (20π-=t A y ω 2分 ∴反射波为 )2cos(2λωx t A y π-π+= 或 )2cos(2λωx t A y π-π-= 3分 驻波表达式为 21y y y += )2cos(λωx t A π+=)2cos(λωx t A π-π-+ )21 cos()21 2cos(2π+π-π=t x A ωλ 3分 或 )21 cos()21 2cos(2π-π+π=t x A y ωλ 大学物理-机械振动习题-含答案 t （s ） v （m.s -1） 12m v m v o 1.3题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时， 加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A:1.2s B: 2.4s C:2.2s D:4.4s 解： s T t T x a x a 2.2422,2 222,22===∴== ===ππ ω πωω 2．一个弹簧振子振幅为2 210m -?, 当0t =时振子在2 1.010m x -=?处，且向 正方向运动，则振子的振动方 程是：[ A ] A ：2 210cos()m 3 x t πω-=?-； B ：2 210cos()m 6x t π ω-=?-； C ：2 210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ： 2210cos()m 6 x t π ω-=?+； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简 谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线 如图示，则振动的初相位为：[ A ] 1.2题图 x y o A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56π 解：振动速度为：max sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?=，所以06π?=或0 56 π ?= 由知1.3图，0t =时，速度的大小 是在增加，由旋转矢量图知，旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有0 6 π?=是符合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π=两侧分别对T ， 和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-==∴= 二、填空题 1．有一放置在水平面上的弹簧振子。振幅 A = 2.0×10－2m 周期 T = 0.50s , 3 4 6 5 2 1 x /1 2题图 x y 机械振动机械波 一、选择题 1．对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 （A ）物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ）物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ）物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ）物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2．质点作简谐振动，振动方程为)cos(φω+=t A x ，当时间2/T t =（T 为周期）时，质点的速度为 （A ）φωsin A v -=； （B ）φωsin A v =； （C ）φωcos A v -=； （D ）φωcos A v =。 3．一物体作简谐振动，振动方程为??? ? ? +=4cos πωt A x 。在4T t =（T 为周期）时刻，物 体的加速度为 （A ）2221ωA - ； （B ）2221 ωA ； （C ）232 1 ωA - ； （D ）2321ωA 。 4．已知两个简谐振动曲线如图所示，1x 的位相比2x 的位相 （A ）落后2π； （B ）超前2π ； （C ）落后π； （D ）超前π。 5．一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为?? ? ?? +?=-ππ312cos 10 42 t x （SI ）。从0=t 时刻 起，到质点位置在cm x 2-=处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 第题图 （A ）s 8/1； （B ）s 4/1； （C ）s 2/1； （D ）s 3/1。 6．一个质点作简谐振动，振幅为 A ，在起始时刻质点的位移为2/A ，且向x 轴的正方向运 动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 7．一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为 （A ）s 12； （B ）s 10； （C ）s 14； （D ）s 11。 8．一简谐振动在某一瞬时处于平衡位置，此时它的能量是 （A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，机械能为零； （C ）动能最大，势能最大； （D ）动能最大，势能为零。 9．一个弹簧振子做简谐振动，已知此振子势能的最大值为1600J 。当振子处于最大位移的1/4时，此时的动能大小为 （A ）250J ； （B ）750J ； （C ）1500J ； （D ） 1000J 。 10．当质点以频率ν作简谐振动时，它的动能的变化频率为 （A ）ν； （B ）ν2 ； （C ）ν4； （D ） 2 ν。 11．一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是 （A ）T ／4； （B ）T/2； （C ）T ； （D ）2T 。 x （A ） （B ）（C ） （D ） )s 2 1 - 13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2 m ，周期T=1.0s ，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析 弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A 、初相?、角频率ω是简谐运动方程 ()?ω+=t A x cos 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A 、?已知外， ω可通过关系式T π ω2= 确定。振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解 因T π ω2=，则运动方程 ()?? ? ??+=+=?π?ωt T t A t A x 2cos cos 根据题中给出的数据得 ]75.0)2cos[()100.2(12ππ+?=--t s m x 振子的速度和加速度分别为 ]75.0)2sin[()104(/112πππ+??-==---t s s m dt dx v πππ75.0)2cos[()108(/112222+??-==---t s s m dt x d a x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为?? ???? +=-4)20(cos )01.0(1ππt s m x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析 可采用比较法求解。 将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()?ω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量。 运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 解 （l ）将]25.0)20cos[()10.0(1ππ+=-t s m x 与()?ω+=t A x cos 比较后可得：振幅A= 0.10 m ，角频率120-=s πω，初相π?25.0=，则周期 s T 1.0/2==ωπ，频率Hz T 10/1==ν。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 m m x 21007.7)25.040cos()10.0(-?=+=ππ )25.040sin()2(/1πππ+?-==-s m dt dx v 大学物理单元测试 （机械振动与机械波） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 （25分） 1 一质点作周期为T 的简谐运动，质点由平衡位置正方向运动到最大位移一半处所需的最短时间为（ D ） (A ）T/2 （B ）T/4 (C)T/8 （D ）T/12 2 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的（ E ） (A ）7/16 (B ）9/16 (C ）11/16 (D ）13/16 (E ）15/16 3 一质点作简谐运动，其振动方程为 )3 2cos( 24.0π π + =t x m, 试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到 x =-0.12 m,v <0的状态所经过的最短时间。 （C ） （A ）0.24s （B ） 3 1 （C ）3 2 （D ）2 1 4 一平面简谐波的波动方程为：)(2cos λνπx t A y - =，在ν 1 = t 时刻，4 31λ= x 与 4 2λ = x 两处质点速度之比：（ B ） （A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）1/3 5 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？（ D ） (A)介质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒. (B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但两者相位不相同 (C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同. (D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大. 二、填空题（25分） 1 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为0.3 2 N/m ，重物的质量为0.02 kg ，则这个系统的固有频率为____0.64 Hz ____，相应的振动周期为___0.5π s______． 2 两个简谐振动曲线如图所示，两个简谐振动的频率之比 ν1：ν2 = _2:1__ __，加速度最大值之比a 1m ：a 2m = __4:1____，初始速率之比 v 10 ：v 20 = _2:1__ ___. 精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ）（3 cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0 振动与波动 选择题 0580.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示）， 作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量23 1 ml J =，此摆作微小振 动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π . (D) g l 3π. ［ C ］ 3001. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π． (B) π/2． (C) 0 ． (D) θ． ［ C ］ 3003.轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2 的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 (A) g m x m T 122?π= ． (B) g m x m T 212?π=． (C) g m x m T 2121?π= ． (D) g m m x m T )(2212+π=?． ［ B ］ 3004.劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 (A) 21212)(2k k k k m T +π =． (B) ) (221k k m T +π= ． (C) 2121)(2k k k k m T +π=． (D) 2 122k k m T +π=． ［ C ］ 3255.如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质 量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶2 1 ∶2 ． 第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d () d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E m v = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 2 2 211()+()22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动 · 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A = 大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ． 5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t 教学目标 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强 迫等各类简谐振动的特点和规律。 2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振 幅、相位和能量的空间分布，半波损失。 3.学会建立波动方程。 教学难点 多自由体系的小振动 第十一章 机械振动 振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等)。 物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。 一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动) 虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。 2222 22222,,0 cos():0i i t F k k F kx a x m m m d x d x a x a x dt dt x A t Ae e i ，令特征方程特征根：?ωωωωω?λωλω =-= =-==-=∴+==+=+==±A (振幅)、?(初相位)都是积分常数，k 为倔强系数。 在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶。 形如 ()()dx P t x Q x dt +=的方程为线性方程，其特点是它关于未知函数x 及其导数dx dt 都是一次的。若()0Q x =，则()0dx P t x dt +=称为齐次的线性方程。 二阶常系数齐次线性微分方程的解法： ()() 1 2 121212121,212cos sin t t t t x c e c e x c c t e i x e c t c t λλλαλλλλλαβββ≠=+==+=±=+ 由cos()sin()x A t v A t ω?ωω?=+?=-+ 按周期定义， ()()cos()cos sin()sin A t A t T A t A t T ω?ω?ωω?ωω?+=++???? -+=-++???? ，同时满足以上两方程的T 的 最小值应为 2p w ，所以2T p w =，于是1,2T n w pn ==，w 称为圆频率或角频率。不像A 、 一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度 θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单 摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π21 cos(2-+=αωt A x (C) ) π23 cos(2-+=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 (B) 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(1042π+π?=-t x (SI)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 81 (B) s 61 (C) s 41 (D) s 31 (E) s 21 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) ) 21/cos(π-=t m k A x (C) ) π21/(cos +=t k m A x (D) )21/cos(π-=t k m A x (E) t m /k A x cos = 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取 v 2 1 第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。 【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。 第四篇 振动与波动 第十二章 机械振动 § 12-1 简谐振动 1、弹簧振子运动 如图所取坐标，原点 O 在 m 平衡位置。现将 m 略向右移到 A ，然后放开，此时，由 于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用 在 m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用， m 将继续向 O 左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B （瞬时静 止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。 这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图 12-1 2、简谐振动运动方程 由上分析知， m 位移为 x （相对平衡点 O ）时，它受到弹性力为（胡克定律） ： F kx (12-1) 式中： 当 x 0 即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即 F 0 当 x 即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即 F 0 k 为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。 定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐 振动。由牛顿第二定律知， m 加速度为 a F kx m m （ m 为物体质量） a d 2 x d 2 x k x ∵ dt 2 ∴ dt 2 m k 2 ∵ k 、 m 均大于 0，∴可令 m 可有： d 2 x 2 x 0 (12-2) dt 2 式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的 解为 x Asin t ' (12-3) 或x Acos t (12-4) ' 2 式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。 3、谐振动的速度和加速度 物体位移：x Acos t dx Asin t V (12-5) 速度：dt d 2 x a 2 Acos t 2 x 加速度：dt 2 (12-6) 可知：V max A a max 2 A x t、V t 、 a t 曲线如下 图12-2 图12-3 大学物理复习题答案（振动与波动） 大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1. 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T i和T2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T i'和T2。则有（B ） A. T i' T i且T T2 B. T i' T i 且T2 T2 C. T i' T i且T2T2 D. T i' T i且T2T2 2.一?物体作简谐振动，振动方程为x A cos t-，在t T（T为周 期） 44 时刻,物体的加速度为( B ) A.i,2A2 B.i &A 2c. i、3A2D.T A2 2 2 22 3. —质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 A 的正方向 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同.第一个质点的振动 方程为 A/2，且向x轴运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为( C D X i Acos（ t ）.当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处?则第二个质点的振动方程为 （B ） A. X2 Acos( t 1 1 一冗) B. X2 Acos( t 一冗). 2 2 C. x2Acos( t 3 冗) D. x2Acos( t ). 5. 波源作简谐运动，其运动方程为y 4.0 10 3cos240 t，式中y的单位为 m，t的单位为s,它所形成的波形以30m/s的速度沿一直线传播，则该波的波 长为（A ） A. 0.25m B. 0.60m C. 0.50m D. 0.32m 6.已知某简谐振动的振动曲线如图所示,位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为：( B ) c 22 2cos 42 A. x 2cos — t B. x-t i x (cm) 3333 O严） 小22 2cos 42-1JY/ C. x 2cos — t 33D. x-t 33 -2 填空题（每空2分） 1. 简谐运动方程为y 0.1cos（20 t -）（t以s计，y以m计），则其振幅为0.1 m,周期为0.1 s ;当t=2s时位移的大小为0.05. 2 m. 2. 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长 的初相为0—，振动方程为_y 2cos（ t 一） 4 4 大学物理振动和波动 知识点总结 1．简谐振动的基本特征 （1）简谐振动的运动学方程: cos()x A t ??=+ （2）简谐振动的动力学特征: F kx =-r r 或 2220d x x d t ?+= （3）能量特征： 222111222 k p E E E mv kx KA =+= +=， k p E E = （4）旋转矢量表示: 做逆时针匀速转动的旋转矢量A r 在x 轴上的投影点的运动可用来 表示简谐振动。 旋转矢量的长度A r 等于振动的振幅,旋转矢量的角速度等于谐振动的角频率,旋转矢量在0t =时刻与坐标轴x 的夹角为谐振动的初相。 2．描述简谐振动的三个基本量 （1）简谐振动的相位：t ω?+，它决定了t 时刻简谐振动的状态；其中：00arctan(/)v x ?ω=- （2）简谐振动的振幅：A ，它取决于振动的能量。其中：A = （3）简谐振动的角频率：ω，它取决于振动系统本身的性质。 3．简谐振动的合成 (1)两个同方向同频率简谐振动的合成: 合振动的振幅：A = 合振幅最大： 212,0,1,2....k k ??π-==；合振幅最小：21(21),0,1,2....k k ??π-=+= （2）不同频率同方向简谐振动的合成：当两个分振动的频率都很大，而两个频率差很小时，产生拍现象，拍频为21ννν?=-；合振动不再是谐振动，其振动方程为 21 21 0(2cos 2)cos 222x A t t ννννππ-+= （3）相互垂直的两个简谐振动的合成：若两个分振动的频率相同，则合成运动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单的整数比，则合成运动的轨迹为李萨如图形。 （4）与振动的合成相对应，有振动的分解。 4．阻尼振动与受迫振动、共振： 13 机械振动解答 13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0 ×10 -2 m，周期T=1.0s ，初相=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t 图、v--t 图和a--t 图。 13-1 分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅 A 、初相、角频率是简谐运动方程 x A cos t 的三个特征量。求运动方程就 要设法确定这三个物理量。题中除A、已知外， 可通过关系式2 T 确定。振子运动的速度 和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。 解因2 T ，则运动方程 x A c os t A cos 2 T t t 根据题中给出的数据得 x ( 2.0 10 2 m s 1 t ) cos[( 2 ) 0.75 ] 振子的速度和加速度分别为 v dx / dt (4 10 2 m s 1 s 1 t ) sin[( 2 ) 0.75 ] a d 2 x dt2 2 2 m s 1 s 1 t / (8 10 ) cos[( 2) 0.75 x-t 、v-t 及a-t 图如图13-l 所示 13-2 若简谐运动方程为x(0 .01m) cos (20 s ) ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和 1 t 1 t 4 初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。 13-2 分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x A cos t 作比较，即可求得各特征量。运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果。 1 t 解（l ）将x (0.10m) c os[( 20 s ) 0 .25 ] 与x A cos t 比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率 1 20 s ，初相0.25 ，则周期T 2 / 0 .1s ，频率1/ T 10 H z 。 （2）t= 2s 时的位移、速度、加速度分别为 2 x ( 0. 10m) c os(40 0.25 ) 7.07 10 m 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ） （3cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ）（3 2cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的 四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻 的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－2 cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－2 cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－2 cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－2 cos (πt－3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） 振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3cos 12.0ππ-=t x （B ））（3cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） > （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) … 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] 习题 7-1. 原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 解：振动方程：x ＝Acos （ωt ＋φ）， 在本题中，kx =mg ，所以k =10 ； 101 .010 === m k ω 振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m 时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1， 当t =0时，x =-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。 所以：）（π+=t x 10cos 1.0 。 7-2. 有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m .0=t 时，小球正好经过 rad 06.0-=θ处，并以角速度rad/s 2.0=? θ向平衡位置运动。设小球的运动可看 作筒谐振动，试求： （1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 解：振动方程：x ＝Acos （ωｔ＋φ）我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：10== l g ω，频率：π πν210 21== l g ， 周期：10 22π π = =g l T （2 ）根据初始条件：A θ ?= 0cos 象限） 象限） 4,3(02,1(0{sin 0<>-=ωθ?A 可解得：32.2088.0-==?，A 所以得到振动方程：）（32.213.2cos 088.0-=t θ 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方cm 0.10处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。 解：（1）由题知 2A=10cm ，所以A=5cm ； 19610 58 .92 =?=?=-x g m K 又ω=14196==m k ,即 π πν721 == m k （2）物体在初始位置下方cm 0.8处，对应着是x=4cm 的位置，所以： 5 4cos 0== A x ? 那么此时的5 3sin 0±=- =ω?A v 那么速度的大小为42.05 3 ==ωA v大学物理-机械振动习题-含答案
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