二阶非齐次方程的解法.
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题讲解
>>>
2b0x2b0b1=x
比较系数
得
b0
=
1 2
b1=1
故 y*= x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b0=1 齐2次b0方b程1=y05y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为
y*=Q(x)ex
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则
则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
(1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则
y*=Qm(x)ex
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
y*=x2Qm(x)ex
提示 此时2pq=0 2p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Q下页
结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=Qm(x)ex y*=xQm(x)ex
提示 此时2pq=0 但2p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x)
其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
二阶非齐次线性微分方程的通解
二阶非齐次线性微分方程的通解
二阶非齐次线性微分方程是指非齐次线性微分方程中右边的函数未知，而其解须满足一定的非齐次条件,此时二阶非齐次线性微分方程就可以用来描述。
二阶非齐次线性微分方程的解法通常有两种方法，一种是积分因子法，一种是拉普拉斯变换法。
积分因子法是确定积分因子的方法。
由于其式，解的形式是行列式形式，是一种直观的、简单的方法，当方程实质上是可以进行积分的时候，可以采用这种方法。
例如：y''+ p(t) y'+ q(t) y = f(t) ，其积分因子为 M(t) = exp {- ∫ p (t) dt} 。
用这种方法，就可以「加以积分因子后」转化为方程： (My')' + qM y = fM，解此方程常常较为
容易。
拉普拉斯变换法通过拉普拉斯变换把二阶非齐次线性微分方程转换为一阶线性微分方程组。
拉普拉斯变换可将一个新函数 Y (p) 与变量 y 定义进行变换。
对待一
般非齐次线性微分方程ay″ + by′ + cy = f(t)，其变换的具体表达是：Y (p) = {y' +
(b/a)y} + (b/a) * L(y)，其中 L(y) 为微分人变量内涵的拉普拉斯变换表达式。
这种拉普拉斯变换的方法的好处在于可以大大减少二阶非齐次线性方程的复杂性，大大方便其解法的求解。
通过积分因子法和拉普拉斯变换法对二阶非齐次线性方程求解，可满足其特殊性质，也为数值计算提供了有力的解法。
这些方法不仅可以用于二阶非齐次线性微分方程的求解，而且也可以用于多元系统的解决。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
下页
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2pq0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
下页
例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
下页
例1 求微分征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解形式
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x1)e2x 2
提示
此时2pq0 2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
4.5二阶非齐次线性方程
* 1 * 2
设 y 4 y 4 y 8e
*
2x
的特解为 y
* 则所求特解为 y y y 2
* 1
r 2 4r 4 0
特征根 r1, 2 2
* y2 Dx 2 e 2 x
* y1 Ax 2 Bx C
* * y * y1 y 2 Ax 2 Bx C Dx 2 e 2 x .
*
*
10ax 10b bc cos 3 x 10cx 6a 10d sin 3 x x cos 3 x .
1 a 10 10a 1, 10b bc 0, b 0, 解得 比较系数可得 10c 0, c 0, 6a 10d 0. 3 d . 50 x 3 * 2x y e cos 3 x sin 3 x . 50 10
2
2 p 0,
y* x 2Qm ( x )e x .
可设 Q ( x ) x 2 Qm ( x ),
综上讨论
y py qy e x Pm ( x )
0 不是根 * k x 设 y x e Qm ( x ) , k 1 是单根, 2 是定理5 设非齐次方程 2 的右端 f x 是几个函数
之和，如 y P x y Q x y f1 x f 2 x
而 y1与 y2分别是方程
y P x y Q x y f1 x y P x y Q x y f 2 x
* y2 C cos 2 x D sin 2 x;
原方程y y sin x cos 2 x的特解为：
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
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1 10 所求非齐方程特解为 y* e ( cos 2 x sin2 x ) 101 101
例4 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 特征方程
r 1 0, r1, 2 0 i ,
2
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C 2 sin x , 0 x 这里f ( x) e (0 cos x 4 sinx), 0, 1
. 例3 求方程 y 3 y y e x cos 2 x 的一个特解
解 特征方程为 r 2 3r 1 0, 有实根. x f ( x ) e (cos2 x 0 sin2 x ) 1, 2 这里
i 1 2i不是特征根 ,
难点：如何求特解y*？ 方法：待定系数法.
一、 f ( x ) e Pm ( x )型
x
设非齐方程特解为
y* Q( x )e
x
代入原方程
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
故设 y* e (C cos2 x D sin2 x),
x
将y*, y*, y * 代入原方程，得 x x e [(10D C ) cos2 x ( D 10C ) sin2 x] e cos2 x
1 10 10D C 1 ,D C 101 101 D 10C 0
x
y* 2Be Bxe ,
x x
将y*代入原方程, 得
2Be x Bxe x 2Be x 2Bxe x 3Bxe x e x x x x e 0 1 4Be e B . 4 1 x
于是 y*
4
xe .
二、 f ( x ) e [ A cos x B sin x] 型
对应齐次方程 y py qy 0,
r pr q 0
2
通解结构 y Y y * 即y C1 y1 C 2 y 2 y*,
f(x)常见类型
x
Pm ( x ),
Pm ( x )e x , Pm ( x )e sin x ,
x
Pm ( x )e cos x ,
2
0 x
, 0不 是特征根，
设 y* Ax Bx C ,
2
代入方程, 得 Ax 2 (4 A B) x (2 A 2B C ) x 2
A 1 4 A B 0 2 A 2B C 0
A 1 Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4 C 6
A,B,λω是常数
x
y py qy f ( x ) 的特解y*可设为：
设y* x e [C cos x D sin x],
k
x
0 i不 是 特 征 根 k ,C,D是待定常数. 1 i是 特 征 根
以上的推导过程省略,只要求我们会用它.
于是 y* x 4 x 6.
2
例2 求方程 y 2 y 3 y e x 的一个特解 . 解 特征方程 r 2 2r 3 0,
x
r1 1, r2 3，
x x
这里f ( x) e , 1, 而 1 是特征单根，
设 y* Bxe , y* Be Bxe ,
★特别地 y py qy Pm ( x )
y* x k Qm ( x )
2
r pr q 0
例1 求方程 y 2 y y x 2 的一个特解 . 解 特征方程 r 2 2r 1 0,
r1 r2 1，
这里f ( x) x e
复习
y p( x ) y q( x ) y 0
通解为：y C1 y1 C 2 y 2 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) 通解为：y C1 y1 C 2 y 2 y *
y py qy 0( p, q为常数) r 2 pr q 0
x y p y qy Ae ★特别地 （A是常数）
y* Bx k e x
0 不 是 特 征 根 k 1 是 特 征 单 根 , B是待定常数 2 是 特 征 重 根
即q 0 0 0不 是 根 k 1 0是 单 根 , 即 q 0, p 0 2 0是 重 根 即p q 0
2
2
2 p 0,
2 x y * x Q ( x ) e . 可设 Q( x ) x Qm ( x ), m
x 综上讨论：非齐次方程 y py qy e Pm ( x )
的通解y*可以设为：
0 不 是 特 征 根 k x , y* x e Qm ( x ) , k 1 是 特 征 单 根 2 是 特 征 重 根
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y* Qm ( x )e ;
2 p 0,
x
( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
可设 Q( x ) xQm ( x ),
y* xQm ( x )e ;
x
( 3) 若是特征方程的重根，
p q 0,
特征根的情况 通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
二阶常系数非齐次线性方程的解法
y py qy f ( x ) (P,q为常数)