三角函数题型分类总结材料

专题 三角函数题型分类总结三角函数公式一览表 ........................................................ 错误!未定义书签。

一 求值问题 ........................................................................... - 1 -练习 .............................................................................. - 2 - 二 最值问题 ........................................................................... - 3 -练习 .............................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ......................................................................... - 4 -练习 .............................................................................. - 4 - 四.周期性问题 ......................................................................... - 5 -练习 .............................................................................. - 5 - 五 对称性问题 ......................................................................... - 6 -练习 .............................................................................. - 6 - 六.图象变换问题 ....................................................................... - 7 -练习 .............................................................................. - 8 - 七．识图问题 .......................................................................... - 9 -练习 ............................................................................. - 10 -一 求值问题类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的围（象限），确定符号；例 4sin 5θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 解：4sin 5y r θ==，因为θ是第二象限角，所以取4,5y r ==，于是34cos ,tan 53x y r x θθ==-==-类型2 给值求值例1 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ= 本题也可以利用“知一求二”的方法，求出sin ,cos θθ常见的几个结构：（1） 角的关系：()()2αβαβα++-=等；（2） 式的关系：2(sin cos )1sin 2θθθ±=±练习1、sin330︒= tan690° = o585sin =2、（1）α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+= 3、(1) 已知5sin ,α=则44sin cos αα-= . (2)设(0,)2πα∈，若3sin 5α=，则2cos()4πα+= . （3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+= 4、下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1)sin15cos75cos15sin105+= (2)cos 43cos77sin 43cos167oooo+= 。

6.(1) 若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ= （2）已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为(3) 若2tan =α ,则ααααcos sin cos sin -+=7. 若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = =8．已知3cos()2πϕ+=，且||2πϕ<，则tan ϕ＝9.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+= 10.已知53)2cos(=-πα，则αα22cos sin -的值为 （ ）A ．257B ．2516-C ．259D ．257-11．已知sin θ=－1312，θ∈（－2π，0），则cos （θ－4π）的值为 （ ） A ．－2627 B ．2627 C ．－26217 D ．26217二 最值问题 相关公式两角和差公式；二倍角公式；化一公式例 求函数3sin 4cos y x x =+的最大值与最小值 例 求函数23sin 4sin 4y x x =+-的最大值与最小值 例．求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4πt x x x =+=+∈，则原函数可化为22131()24y t t t =++=++，因为[t ∈，所以当t =时，max 3y =12t =-时，min 34y =，所以，函数的值域为3[34y ∈，。

练习1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。

2.函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。

4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．6．动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B CD ．27.函数2()sin cos f x x x x=+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C.32三 单调性问题相关公式：（1） 正余弦函数的单调性； （2）化一公式例 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求函数()f x 的单调增区间． 解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=．当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x =是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．练习1.函数]),0[()26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππ D. ],65[ππ2.函数sin y x =的一个单调增区间是 （ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 （ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 4． 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数C ．在区间34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数四.周期性问题相关公式：二倍角公式；化一公式；两角和差公式 公式：（1） 正（余）弦型函数sin()(,0)y A x A ωϕω=+>的最小正周期2T πω=，（2）正切型函数tan()(0)y A x ωφω=+>的最小正周期T πω=， 例1 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=． 函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==； 例2 函数()|sin |f x x =的周期是 。

解：画出图像，观察可知周期为π结论：一般情况，函数|()|f x 的周期将减半。

方法总结：求函数的周期，必须将函数化为sin()y A x k ωφ=++的形式才可以练习1．下列函数中，周期为2π的是 （ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= 3.函数|2sin |x y =的最小正周期是 .4.（1）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 .（2）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为 . 5.（1）函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是(2)函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为(3). 函数()(sin cos )sin f x x x x =-的最小正周期是 ．(4)函数x x x x f cos sin 322cos )(-=的最小正周期是 . 6.函数1)4(cos 22--=πx y 是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数7.函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 . 五 对称性问题 以正弦型函数sin()(,0)y A x A ωϕω=+>为例，说明对称问题的解法：（1）求对称中心，令x k ωφπ+=，解得x ，写为(,0)x 的形式，即对称中心； （2）求对称轴，令2x k πωφπ+=+，解得0x ，则直线0x x =即为对称轴；（3）若函数是奇函数，则必有(0)0f =，即sin 0φ=，故k φπ=； 若函数是偶函数，则必有(0)f A =±，即sin 1φ=±，故2k πφπ=+；例 2sin(2)3y x π=+的对称中心是 ，对称轴方程是 .练习1.函数4sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是 （ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2．下列函数中，图象关于直线3π=x 对称的是 （ ）A )32sin(π-=x y B )62sin(π-=x y C )62sin(π+=x y D )62sin(π+=x y 3．函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 （ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫⎪⎝⎭，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 4.如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 （ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π5．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，则下列判断正确的是 ( ) A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 B ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π12，0C ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0D ．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 六.图象变换问题函数sin()(,0)y A x A ωϕω=+>中，A 叫振幅，周期2T πω=，φ叫初相，它的图象可以经过函数sin y x =的图象经过平移，伸缩变形得到，具体方法是：(1)纵向伸缩：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短．(2)横向伸缩：是由ω的变化引起的．ω＞1，周期变小，故横坐标缩短；ω＜1,周期变大，故横坐标伸长． (3)横向平移：是由φ的变化引起的．ϕ＞0,左移；ϕ＜0，右移． （法则：左+右-）说明：上述3种变换的顺序可以是任意的，特别注意，在进行横向平移时考虑x 前的系数，比如cos 2y x =向右平移3π个单位，应得到2cos 2()cos(2)33y x x ππ=-=-的图象 例 描述如何由sin y x =的图像得到3sin(2)4y x π=-的图像。