2017-2018学年高中数学浙江专版必修1：课时跟踪检测十三指数函数及其性质 含解析 精品
学业水平考试2018学年高一数学必修1浙江专用课件：第二章 习题课 指数函数及其基本性质 精品
∵a＞0，∴x≤0，故 －ax3＝－x －ax.
答案 C
2.已知函数 f(x)＝2x＋x，1x，＞x0≤，0.若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( )
A.－3 B.－1 C.1
D.3
解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2， ∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，选A. 答案 A
规律方法 1.由于f(x)在R上为奇函数，法一利用f(0)＝0求得k， 但一定要进行验证，涉及函数的奇偶性，坚持“定义域优先” 的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既 不是奇函数也不是偶函数. 2.在复杂的函数解析式、方程、不等式中，常出现ax的形式， 此时，利用整体思想，可以把复杂的问题化归为简单的一次、 二次函数、方程、不等式的问题.但要注意ax隐含着ax>0这一 限制条件，必要时要进行检验.
【训练 1】 (1)已知 2x＋2－x＝a(常数)，求 8x＋8－x 的值； (2)已知 x＋y＝12，xy＝9，且 x＜y，求xx1212－＋yy1212的值.
解 (1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3 ＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2] ＝(2x＋2－x)[(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－3·2x·2－x] ＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3] ＝(2x＋2－x)3－3(2x＋2－x)＝a3－3a.
6.若函数 f(x)＝a－2x＋1 1为奇函数，则实数 a＝________.
解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，
即 a－20＋1 1＝0，解得 a＝12.
答案
1 2
(浙江专版)2017-2018学年高中数学 课时跟踪检测(一)任意角 新人教A版必修4
课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是( ）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是（)A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°,750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析:选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( ）A．｛α|90°<α<180°｝B．{α｜90°＋k·180°〈α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．{α|－270°＋k·360°〈α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析:选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为｛α｜90°＋k·360°〈α〈180°＋k·360°，k∈Z｝，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是（)A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋（－2）×360° D．165°＋（－3）×360°解析：选B －885°＝195°＋（－3）×360°，0°≤195°<360°,故选B。
2017-2018学年高中数学浙江专版必修1：课时跟踪检测十
课时跟踪检测（十六） 对数的运算层级一 学业水平达标1.log 29log 23＝( ) A.12 B ．2 C.32 D.92 解析：选B 原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.2．2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 4 解析：选C 原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．若a ＞0，且a ≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝ND ．.若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2解析：选B 在A 中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1解析：选A ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 5．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5 D.6解析：选D 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.6．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________.解析：由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫23 2＝2. 答案：27．lg 5＋lg 20的值是________． 解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 答案：18．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________． 解析：log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4， 所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案：819．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )； (2)lg xy 2z ； (3)lg xy 3z；(4)lgx y 2z. 解：(1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z . (2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg xy 3z ＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z .(4)lgxy 2z＝lg x －lg (y 2z ) ＝12lg x －2lg y －lg z . 10．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.解：(1)∵2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， ∴2log 525＋3log 264＝4＋18＝22. (2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg 10＝12. (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2 ＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.层级二 应试能力达标1．若log 5 13·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.125解析：选D 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 2．若ab ＞0，给出下列四个等式： ①lg(ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ；④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( ) A ．①②③④ B ．①② C ．③④D ．③解析：选D ∵ab ＞0，∴a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab ＞0，∴a b ＞0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b ，∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab )＝0，但log ab 10无意义，∴④中等式不成立．故选D.3．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 2 3－lg ⎝⎛⎭⎫y2 3＝( ) A ．3t B.32t C ．tD.t 2解析：选A lg ⎝⎛⎭⎫x 2 3－lg ⎝⎛⎭⎫y 2 3＝3lg x 2－3lg y 2＝3lg xy ＝3(lg x －lg y )＝3t .4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y ＝( )A. 13 B ．3 C ．－13D ．－3解析：选A ∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， ∴1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5，同理1y＝log 1 0000.25，∴1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000＝13.5.lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________.解析：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝lg 3＋lg 22－1lg 1.2＝lg 12－1lg 1.2＝lg1210lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1.答案：16．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________. 解析：因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0， 所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则xy ＝4.答案：47．计算下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.8．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
2017-2018学年高中数学浙江专版必修1：课时跟踪检测十
课时跟踪检测（十八） 对数函数及其性质的应用（习题课）层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 0，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 0＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. 答案：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.答案：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. 答案：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C.4．若函数f (x )＝log a (2x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选B 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，2x ＋1∈(0,1)， 所以0＜a ＜1.又因为f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，y ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. 答案：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 做出函数图象如图所示． 由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2.设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]， 则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]，因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12，∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98.当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2. ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1. (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(十三)指数函数及其性质新人教A版必修1
课时跟踪检测(十三)指数函数及其性质层级一学业水平达标1 •下列函数中，指数函数的个数为( )x — 11①y = — :②y = a x (a >0,且 a * 1):③ y = 1x ;④y =宁 2x — 1. A. 0个 B. 1个 C. 3个D. 4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确. 2.函数y = _2x — 1的定义域是( )A. ( — a, 0)B. ( —a, 0]C. [0，+a )D. (0,+a)解析：选 C 由 2x — 1>0,得 2x >2°,A x >0.3.当a > 0，且a *1时，函数f (x ) = a x +1— 1的图象一定过点( )A. (0,1)B. (0 ，— 1)C. ( —1,0)指数函数y = a x 与y = b x 的图象如图，贝U ( )解析：选C 由图象知，函数y = a x 在R 上单调递减，故 0v a v 1 ；函数y = b x 在R 上单 调递增，故b > 1.D. (1,0)5.A. a v 0, b v 0C. 0v a v 1, b > 1D.0 v a v 1,0 v b v 1 解析：选C 当x =— 1时，显然f (x ) = 0,因此图象必过点(一1,0). 4. 解析：选A 当a > 1时，函数f (x ) = a x 单调递增，当x = 0时，g (0) = a > 1，此时两函 数的图象大致为选项 A.6.若函数f(x) = (a2—2a+ 2)( a+ 1)x是指数函数，则a=22a 2— 2a + 2= 1,解析：由指数函数的定义得a + 1 > 0, a + 1工 1,答案：17.已知函数 f (x ) = a x + b (a > 0,且 a ^ 1)，经过点(一1,5) , (0,4)，则 f ( — 2)的值为1_/口a="5,解得2b = 3,+ 3,所以 f ( — 2) = 2 — 2+ 3= 4+ 3= 7.答案：72x 2 — 2W 9,所以函数y = 1 2x 2— 2y的值域为(0,9].__x _ 1. ,10.已知函数f (x ) = a (x >0)的图象经过点 2, (1)求a 的值.(2)求函数y = f (x )( x >0)的值域.1 2— 112, 2，所以 a 2—1 = 2 则1I I I x 1(X 》0)，由x 》0,得x — 1》一1.于是0v2 w&若函数 f (x )=x2 , x v 0,—2 —x , x >0,则函数f (x )的值域是解析：由 x v 0，得 0v 2x v 1 ;由 x > 0,二一x v 0,0 v 2 v 1, •— 1 v — 2 v 0. •••函数 f (x )的值域为(一1,0) U (0,1).答案：(—1,0) U (0,1)9•求下列函数的定义域和值域:1 x(1) y =2 —1.(2) y =1_ 2x 2— 232x 2— 2.1 x解：(1)要使y = 2 — 1有意义，1x1Z 0,故函数y = 2 — 1的定义域为 1x 需x z 0,则2>0且2 工1,故2 — 1>— 1且2{x |x 丰0}，函数的值域为(一1,0) U (0,+^).1⑵函数y =—2x 2 —2的定义域为实数集 R,由于12 22x >0,则 2x — 2>— 2，故 0v 二3解得a = 1.解析：由已知得a 1+ b = 5,a 0+b = 4,所以f (x ) 1，其中a >0且a z 1.1 a= 2.⑵由(1)知函数为f (x ) =1=2，所以函数的值域为(0,2]22层级二应试能力达标■16— 4x 的值域为[0,4).x-1 x函数y = 2— 1的定义域、值域分别是(x解析：设 f (x ) = a (a >0,且 a^l ),3J 5 -3 1 由 f —=亦得，a 2 = 52 — 2 = 5 2, • a = 5,「. f (x ) = 5.A. R, (0，+m )B. {x |x 丰 0}, {y | y >— 1}{x |x 工0}, {y | y >— 1,且 y M 1} x-1x 解析：选C 要使y = 2 — 1有意义, C. .{X |X M 0}, {y |y >— 1，且 沪0} x-1! x 则可知 U M 1, • y M 2 — 1 = 1.又••• y = 2 X ——1 x ——1 1 只需——有意义，即XM 0.若令U = —— =1 —-, x X Xx-1X —1 > 0 — 1 = — 1, •函数y = 2 — 1的定义域为{x | x 丰0}，值域为{y | y >— 1,且 y 丰 1}. 1 3.函数f ( x ) = n x 与g ( x ) = x 的图象关于( ) n A.原点对称 B. x 轴对称 D..直线y =— x 对称 解析：选C 设点(x , y )为函数f (x ) = n x的图象上任意一点，则点C. y 轴对称 (—x , y )为 g (x )=— 1 n x = x 的图象上的点.因为点(x , y )与点(一x , y )关于y 轴对称, n所以函数 f ( x ) = n %1与g ( x ) = x 的图象关于y 轴对称，选C. n 4.已知1 > n >m >0,则指数函数①y = m i ,②y = n x的图象为( y解析：选C 由于0v n K n v 1，所以x = 1与两个曲线相交，交点在下面的是函数5.已知函数f (x )是指数函数，且fy = m 与y = n x 都是减函数，故排除 A 、 y =m 的图象，故选C.廟5，则 f (x ) = ________ .25B,作直线1. A. 函数y = 16 — 4x 的值域是([0，+m) B. [0,4] C. [0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则D. (0,4)16— 4x >0.又因为 4x >0 ,••• 0< 16— 4x v 16,即函 数y =2.答案：5x6•方程|2x — 1| = a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是解析：作出y =|2x —1|的图象，如图，要使直线 y = a 与图象的交点只有一个，二 a >l或 a = 0.答案：［1 ,+^) U {0}1⑵作出直线y = 3m ,当一1 < 3m< 0时，即一3< m< 0时，函数y = f (x )与y = 3m 有两个3交点，即关于x 的方程f (x )= 3m 有两个解.&已知一1w x w 2,求函数f (x ) = 3+ 2X3x +1— 9x 的最大值和最小值.1X'2解：设 t = 3 ,•••— K x w 2,「. t w 9,贝 U f (x ) = g (t ) =- (t — 3) + 12,故当 t = 3, 即x = 1时，f (x )取得最大值12;当t = 9，即x = 2时，f (x )取得最小值一24.解：(1)函数图象经过点7.已知函数 f (x ) = 3 11 — 1. i xi⑴作出f (x )的简图;⑵ 若关于x 的方程f (x ) = 3m 有两个解，求 m 的取值范围.1 x3 — 1, x >0,解：(1) f (x ) =3如图所示.。
2017-2018学年高中数学浙江专版必修1讲义：第一章 1.3
函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性[新知初探]1．定义域为I的函数f(x)的增减性[点睛]定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．[点睛]一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在R上是增函数．()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．()答案：(1)×(2)×(3)×2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]答案：C3．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1 答案：B4．函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．答案：(－∞，－1][例1]求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.函数单调性的判定与证明∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有 f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．利用定义证明函数单调性的4个步骤[活学活用]1．证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数.求函数的单调区间[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．[解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．2．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6] 3．求函数f (x )＝1x －1的单调减区间． 解：函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1). 因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).题点一：利用单调性比较大小1．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )函数单调性的应用C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)解析：选D 因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.题点二：利用单调性解不等式2．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围．解：∵函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，∴2x －3>5x ＋6，解得x <－3.∴x 的取值范围为(－∞，－3)．题点三：已知单调性求参数范围3．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．层级一 学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x 的单调递减区间是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12解析：选D 函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)． 解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>7．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数， ∴a －12≤12，即a ≤2. 答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－1x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间． 解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二 应试能力达标1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x 在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x ＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数． 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，(a －3)＋5≥2a ，解得0<a ≤2.4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.5．若函数y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0<x 1<x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b (x 1－x 2)x 1x 2>0.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. 答案：⎣⎡⎦⎤0，32 7．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23，②由①②可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23.8．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2＋a )(x 1＋b )－(x 2＋b )(x 1＋a )(x 1＋b )(x 2＋b )＝(b －a )(x 2－x 1)(x 1＋b )(x 2＋b ).∵a >b >0，x 1<x 2，∴b －a <0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． ∴y ＝f (x )的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)，无单调增区间．第二课时 函数的最大(小)值[新知初探]函数的最大(小)值 小值是0，有f (0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．( ) (2)函数的最小值一定比最大值小．( )答案：(1)× (2)√2．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 答案：C3．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．既有最大值又有最小值D ．既无最大值又无最小值 答案：D4．函数f (x )＝2x ，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 答案：112[例1] 如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[解] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)， 所以当x ＝3时，函数y ＝f (x )取得最大值，即y max ＝3；当x ＝－1.5时，函数y ＝f (x )取得最小值，即y min ＝－2.用图象法求最值的3个步骤图象法求函数的最值1．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<x <1，x ，1≤x ≤2的最值．解：函数f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )的最小值为f (1)＝1，无最大值．[例2] 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)证明：f (x )在(1，＋∞)内是增函数； (2)求f (x )在[2,4]上的最值．[解] (1)证明：设对于任意x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2. ∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2<0， 又∵x 1x 2>1，∴x 1x 2－1>0，故(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数． (2)由(1)可知f (x )在[2,4]上是增函数， ∴当x ∈[2,4]时，f (2)≤f (x )≤f (4)． 又f (2)＝2＋12＝52，f (4)＝4＋14＝174，∴f (x )在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.利用单调性求函数的最值2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值． 解：设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以函数f (x )＝2x －1是区间[2,6]上的减函数． 因此，函数f (x )＝2x －1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.[例3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[解] (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000. 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，[f (x )]max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．实际应用中的最值[活学活用]3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解：设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000.故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元.[例4] 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． [解] ∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求f (x )的最大值． 解：∵函数图象的对称轴是x ＝a ， ∴当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， 当a >3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .∴f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a >3.二次函数的最大值，最小值2．[变设问]在本例条件下，若f (x )的最小值为2，求a 的值． 解：由本例解析知f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.当a ＜2时，6－4a ＝2，a ＝1； 当2≤a ≤4时，2－a 2＝2，a ＝0(舍去)； 当a ＞4时，若18－8a ＝4，a ＝74(舍去)．∴a 的值为1.3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：在[2,4]内，f (x )≤a 恒成立， 即a ≥x 2－2ax ＋2在[2,4]内恒成立， 即a ≥f (x )max ，x ∈[2,4]．由本例探究1知f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧18－8a ，a ≤3，6－4a ，a ＞3.(1)当a ≤3时，a ≥18－8a ，解得a ≥2，此时有2≤a ≤3. (2)当a ＞3时，a ≥6－4a ，解得a ≥65，此时有a ＞3.综上有实数a 的取值范围是[2，＋∞)．层级一 学业水平达标1.函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (－1)C ．f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (0)解析：选C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x ＝－32时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－32；当x ＝12时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫12. 2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1D ．以上都不对解析：选B 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值、最小值分别是( ) A.37，0 B.32，0 C.32，37D ．最小值为－14，无最大值解析：选C 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减，所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.故选C.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．0解析：选C 由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2.综上知a ＝±2.5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：选C 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0.6．函数y ＝－1x ，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________． 解析：易证函数y ＝－1x 在[－3，－1]上为增函数，所以y min ＝13，y max ＝1，所以y max －y min ＝1－13＝23.答案：237．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值， 当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1. 答案：18．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 答案：f (－2) f (6) 9．求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值． 解：任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1). 因为2≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1.层级二 应试能力达标1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )A ．y ＝1x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：选A B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：选A ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8；x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6， ∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，2]D ．[1,2]解析：选D f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析：选C 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在x ∈[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：法一：－x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在x ∈[0,1]的最大值为0，∴a ≥0.法二：设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ≥0，f (1)＝－1＋4＋a ≥0，解得a ≥0.答案：[0，＋∞)6．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：如图可知f (x )在[1，a ]内是单调递减的， 又∵f (x )的单调递减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.答案：(1,3]7．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y (2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x ) ＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．8．已知f (x )＝3x 2－12x ＋5，当f (x )的定义域为[0，a ]时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：由于f (x )的对称轴是x ＝2，因此要确定f (x )在[0，a ]上的单调性，就需要确定对称轴是否落在该区间上，这就需要对a 进行讨论：(1)当0<a ≤2时，f (x )在[0，a ]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (a )＝3a 2－12a ＋5， f (x )max ＝f (0)＝5.(2)当a >2时，f (x )在[0,2]上单调递减，在[2，a ]上单调递增，因此其最大值为f (0)和f (a )中的较大者，而f (a )－f (0)＝3a 2－12a .∴①当2<a ≤4时，f (x )max ＝f (0)＝5， f (x )min ＝f (2)＝－7.②当a >4时，f (x )max ＝f (a )＝3a 2－12a ＋5， f (x )min ＝f (2)＝－7.1．3.2 奇偶性[新知初探]函数奇偶性的概念数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数的图象一定与y 轴相交．( ) (2)奇函数的图象一定通过原点．( ) (3)函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,2]是偶函数．( )(4)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．无法确定答案：C3．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3 C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1] 答案：B4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，若f (2)＝4，则f (－2)＝____________. 答案：4[例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |； (2)f (x )＝ x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝x x －1； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.[解] (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，判断函数的奇偶性∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2 x.解：(1)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f (x )为偶函数．(2)∵x ∈R ，关于原点对称， 又∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1| ＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|) ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称， 又∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数.[例2] (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. [答案] (1)13 0 (2)0[活学活用] 2．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x .显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.利用函数的奇偶性求参数答案：－ 1[例3] 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，求f (x )的解析式． [解] 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3＝x 2＋2x ＋3，由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝－x 2－2x －3.即当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求f (－2)的值．解：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22－2×2＋3)＝－3. 2．[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x <0时，f (x )的解析式．解：当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3＝x 2＋2x ＋3，由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (－x )，所以f (x )＝x 2＋2x ＋3，即当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＋3.题点一：比较大小问题1．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (1)和f (－10)的大小关系为( ) A ．f (1)>f (－10) B ．f (1)<f (－10)C ．f (1)＝f (－10)D．f (1)和f (－10)关系不定解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (－10)＝f (10)．又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f (1)>f (10)，即f (1)>f (－10)．利用函数的奇偶性求解析式函数单调性与奇偶性的综合题点二：区间内的最值问题2．若奇函数f (x )在区间[2,5]上的最小值是6，那么f (x )在区间[－5，－2]上有( ) A ．最小值6 B ．最小值－6 C ．最大值－6D ．最大值6解：选C 因为奇函数f (x )在[2,5]上有最小值6，所以可设a ∈[2,5]，有f (a )＝6.由奇函数的性质，f (x )在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f (－a )＝－f (a )＝－6.题点三：解不等式问题3．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解析：因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.所以实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，12 .层级一 学业水平达标1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )解析：选B 选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称，故排除；选项C 、D 中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B 中的图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.2．已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选B F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )． 又x ∈(－a ，a )关于原点对称， ∴F (x )是偶函数．3．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：选C ∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．4．如果奇函数f (x )的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f (x )在区间[3,7]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5解析：选C f (x )为奇函数，∴f (x )在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f (7)为最小值．又已知f (－7)＝5，∴f (7)＝－f (－7)＝－5，选C.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)解析：选A ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)， 即f (－π)>f (3)>f (－2)．6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________. 解析：由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5. 答案：－57．已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，f (x )＝________.解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.答案：－x＋18．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.答案：59．已知函数f(x)＝x＋mx，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解：(1)由题意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋2x，x≠0.∵f(－x)＝(－x)＋2－x＝－⎝⎛⎭⎫x＋2x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．层级二 应试能力达标1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝1x C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 易判断A 、C 为偶函数，B 、D 为奇函数，但函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.2．若f (x )＝(x －a )(x ＋3)为R 上的偶函数，则实数a 的值为( ) A ．－3B ．3C ．－6D ．6解析：选B 因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －a )(－x ＋3)＝(x －a )(x ＋3)，化简得(6－2a )x ＝0.因为x ∈R ，所以6－2a ＝0，即a ＝3.3．若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( ) A ．f (x )f (－x )>0 B ．f (x )f (－x )<0 C ．f (x )<f (－x )D ．f (x )>f (－x )解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 又f (x )≠0，∴f (x )f (－x )＝－[f (x )]2<0.4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 的x 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.5.设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．解析：由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．答案：[－6，－3)∪(0,3)6．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．解析：∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立， ∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.∵f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)<f (1)<f (0)，即f (－2)<f (1)<f (0)． 答案：f (－2)<f (1)<f (0)7．奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )<0，求实数m 的取值范围．解：原不等式化为f (m －1)<－f (3－2m )． 因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)<f (2m －3)． 因为f (x )是减函数，所以m －1>2m －3，所以m <2. 又f (x )的定义域为(－1,1)， 所以－1<m －1<1且－1<3－2m <1， 所以0<m <2且1<m <2，所以1<m <2. 综上得1<m <2.故实数m 的取值范围是(1,2)．8．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解：由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f (x )在(0，＋∞)上递减， ∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋14 2＋78＞0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －12 2＋52＞0， 且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3)， ∴2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，解得a ＞23，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，＋∞.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由已知条件，得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}， ∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，即集合∁U (A ∩B )的元素有3个，故选C.2．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( )A ．{0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}解析：选D 由对应关系可知，当x ＝－1时，2x －1＝－3；当x ＝3时，2x －1＝5；当x ＝5时，2x －1＝9.故B ＝{－3,5,9}．3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．y ＝－|x |－1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝－|x |＋1D ．y ＝|x ＋1|解析：选C 对照题中的函数图象，当x ＝0时排除A ，当x ＝－1时排除B ，当x ＝1时排除D ，故选C.4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝( )A ．－32B ．－12C.32D.12解析：选A 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－32.5．函数f (x )＝1＋x2＋x(x >0)的值域是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C ∵f (x )＝1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1. 6．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：选C 正方形的对角线长为24x ，从而外接圆半径为y ＝12×24x ＝28x . 7．已知函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于( ) A ．10 B ．－10 C ．－18D ．－26解析：选D 令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )－8， f (－2)＝g (－2)－8＝10， ∴g (－2)＝18，∴f (2)＝g (2)－8＝－g (－2)－8＝－26.8．若f (x )满足f (－x )＝f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32 D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1) 解析：选D 由已知可得函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32，f (－1)＝f (1)．∵1<32<2，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，即f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)． 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z＝________________. 解析：由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}10．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.解析：A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，解得A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}． 答案：{x |0≤x ≤1} {x |x ≥－1}11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－312．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________．解析：f (x )的对称轴为直线x ＝－1. 当a >0时，f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3. 综上，得a ＝38或a ＝－3.答案：－3或3813．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )为偶函数且定义域为[a －1,2a ]， ∴a －1＝－2a ，∴a ＝13.∴f (x )＝13x 2＋bx ＋1＋b .又f (－x )＝f (x )恒成立，∴13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴2bx ＝0对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 答案：1314．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f (－2)＝________，f ⎝⎛⎭⎫1f (2)＝________.解析：f (－2)＝1－(－2)2＝－3. ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 答案：－3151615．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：(1)当a >0时，由3－ax ≥0，得x ≤3a ，∴f (x )的定义域是⎝⎛⎦⎤－∞，3a . (2)当a >1时，f (x )在区间(0,1]上是减函数， ∴f (x )≥0，则f (1)＝3－aa －1≥0，即3－a ≥0，a ≤3， ∴1<a ≤3.当0<a <1时，f (x )为区间(0,1]上的增函数，不合题意， 当a ＝0时，f (x )＝－3，不合题意； 当a <0时，f (x )在区间(0,1]是减函数． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 答案：(1)⎝⎛⎦⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x ＋2x －6.(1)判断点(3,14)是否在f (x )的图象上； (2)当x ＝4时，求f (x )的值； (3)当f (x )＝2时，求x 的值． 解：(1)因为f (x )＝x ＋2x －6，所以f (3)＝3＋23－6＝－53，所以点(3,14)不在f (x )的图象上． (2)f (4)＝4＋24－6＝－3. (3)令x ＋2x －6＝2，即x ＋2＝2x －12，解得x ＝14.17．(本小题满分15分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R. (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． ∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，如图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a <8，即a 的取值范围为(－∞，8)．18．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 解：(1)因为f (x )＝2x ＋1x ＋1＝2－1x ＋1， 所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数．任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1). 因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)得，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1,4]上是增函数． 最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95， 最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32. 19．(本小题满分15分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2.(1)求函数f (x )在R 上的解析式； (2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )－k ＝0有四个解，求实数k 的取值范围．解：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0. (2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．20．(本小题满分15分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1图象的上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1， 将点(0,3)的坐标代入得a ＝2， 所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3. (2)由(1)知f (x )的对称轴为直线x ＝1， 所以2a <1<a ＋1， 所以0<a <12.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. (3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝g (1)＝－1，所以m <－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。
2017-2018学年高中数学浙江专版必修1：课时跟踪检测二
课时跟踪检测（二）集合的表示层级一 学业水平达标1．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D 集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1}D ．{y |(y －1)2＝0}解析：选B {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B. 3．已知M ＝{x |x －1<2}，那么( ) A ．2∈M ，－2∈M B ．2∈M ，－2∉M C ．2∉M ，－2∉MD ．2∉M ，－2∈M解析：选A 若x ＝2，则x －1＝1<2，所以2∈M ；若x ＝－2，则x －1＝－3<2，所以－2∈M .故选A.4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选D 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________. 解析：由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4， 则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}． 答案：{1,3}8．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． 解析：由题意可知集合B 是由A 中元素的平方构成的，故B ＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16}9．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体；(2)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合． 解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N}，或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 016＋b 2 016的值．解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以ba ＝0，即b ＝0.又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时，得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意． 当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)． 故a ＝－1，b ＝0，所以a 2 016＋b 2 016的值为1.层级二 应试能力达标1．下列命题中正确的是( ) A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R}中有两个元素 B ．集合{0}中没有元素 C.13∈{x |x <23}D ．{1,2}与{2,1}是不同的集合解析：选A {x |x 2＝1，x ∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，所以13∉{x |x <23}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．2．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A解析：选D 集合A 表示奇数集，B 表示偶数集， ∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．3．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B解析：选C 集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．4．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P *Q 中元素的个数是( ) A ．6个 B ．7个 C ．8个D ．9个解析：选A 若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1,2,3；若a ＝2，则ab ＝2,4,6.故P *Q ＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．5．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，用列举法表示A 为________． 解析：∵x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝6－y ∈N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝0.∴A ＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}． 答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}6．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若(x 0，y 0)∈A ，(x 0，y 0)∈B ，则(x 0，y 0)的值为________．解析：由题意知，(x 0，y 0)∈A ，(x 0，y 0)∈B ，所以(x 0，y 0)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ＋3的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝5.答案：(2,5)7．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43；当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根， 所以Δ＝9＋16a ≤0，即a ≤－916.故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0.8．已知集合A ＝{a ＋3，(a ＋1)2，a 2＋2a ＋2}，若1∈A ，求实数a 的值． 解：①若a ＋3＝1，则a ＝－2，此时A ＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2. 当a ＝0时，A ＝{3,1,2}，满足题意； 当a ＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a 2＋2a ＋2＝1，则a ＝－1， 此时A ＝{2,0,1}，满足题意． 综上所述，实数a 的值为－1或0.。
2017-2018学年高中数学浙江专版必修1：课时跟踪检测六
课时跟踪检测（六）函数的概念层级一 学业水平达标1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2解析：选D A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选B f ( 2 )f ⎝⎛⎭⎫1 2 ＝22－122＋1⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝⎛⎭⎫－53＝－1.5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选B y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知3a －1>a ，则a >12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞7．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N|1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 解析：∵x ＝1,2,3,4,5， ∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7} 8．设f (x )＝11－x，则f ( f ( x ))＝________. 解析：f ( f (x ))＝11－11－x ＝11－x －11－x ＝x －1x .答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1) 9．已知f (x )＝x 2－4x ＋5. (1)求f (2)的值．(2)若f (a )＝10，求a 的值． 解：(1)由f (x )＝x 2－4x ＋5， 所以f (2)＝22－4×2＋5＝1. (2)由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10， 即a 2－4a －5＝0，解得a ＝5或a ＝－1.10．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解：要使函数解析式有意义，需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，6－2x ≥0，6－2x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≤3，x ≠52，所以－2≤x ≤3且x ≠52.所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤3且x ≠52. 用区间表示为⎣⎡⎭⎫－2，52 ∪⎝⎛⎦⎤52，3. 层级二 应试能力达标1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A 对于A ，由x ＝y 2＋1得y 2＝x －1.当x ＝5时，y ＝±2，故y 不是x 的函数；对于B ，y ＝2x 2＋1是二次函数；对于C ，x －2y ＝6⇒y ＝12x －3是一次函数；对于D ，由x＝y 得y ＝x 2(x ≥0)是二次函数．故选A.2．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合A 表示函数y ＝x －1的定义域，则A ＝{x |x ≥1}，集合B 表示函数y ＝x 2＋2的值域，则B ＝{y |y ≥2}，故A ∩B ＝{x |x ≥2}．3．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. ∴a (a －1)2＝0. 又∵a 为正数，∴a ＝1.4．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选A 由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．5．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．解析：要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝2x ＋6 ≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2，或x >2}．答案：[0,2)∪(2，＋∞) 6．函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________． 解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]． 答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6] 7．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}． (4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥－54.8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016的值． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＝2 015.。
(浙江专版)2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(九)函数的单调性新人教A版必修1
课时跟踪检测（九）函数的单调性层级一 学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12解析：选D 函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>7．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2， 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二 应试能力达标1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3 x ＋5，x ≤1，2ax ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，a －3 ＋5≥2a ，解得0<a ≤2.4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.5．若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 解析：设0<x 1<x 2，由题意知f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b x 1－x 2x 1x 2>0.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23，②由①②可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.8．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单 调性．解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝ x 2＋a x 1＋b － x 2＋b x 1＋ax 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，x 1<x 2，∴b －a <0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调． 当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． ∴y ＝f (x )的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)，无单调增区间．。
2017-2018学年高中数学浙江专版必修1：课时跟踪检测一
课时跟踪检测（一） 集合的含义层级一 学业水平达标1．下列说法正确的是( )A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B ．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A 项中元素不确定．B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D 项中方程的解分别是x 1＝1，x 2＝x 3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A 解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B.5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数，∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A .答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴知a ＝6.答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a ＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2.4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3.答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1.答案：0或17．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.8．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．证明：(1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．。
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课时跟踪检测（十三）指数函数及其性质
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 x 1－；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x
； ④y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 2 2x －1.
A ．0个
B ．1个
C ．3个
D ．4个
解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)
D. (0，＋∞)
解析：选C 由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.
3．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋
1－1的图象一定过点( )
A ．(0,1)
B ．(0，－1)
C ．(－1,0)
D. (1,0)
解析：选C 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是(
)
解析：选A 当a ＞1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
5．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则(
)
A ．a ＜0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．0＜a ＜1，b ＞1
D.0＜a ＜1,0＜b ＜1
解析：选C 由图象知，函数y ＝a x 在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝b x 在R 上单调递增，故b ＞1.
6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝______.
解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，
a ＋1≠1，解得a ＝1.
答案：1
7．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪
⎨⎪⎧
a ＝1
2
，b ＝3，
所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 答案：7
8．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x ＜0，
－2－x
，x ＞0，则函数f (x )的值域是________． 解析：由x ＜0，得0＜2x ＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－
x ＜1，∴－1＜－2－
x ＜0.∴函数
f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．
答案：(－1,0)∪(0,1)
9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x
－1.(2)y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－2x 2－2.
解：(1)要使y ＝21x
－1有意义，需x ≠0，则21x
＞0且21x
≠1，故21x
－1＞－1且21x
－1≠0，故函数y ＝21
x
－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫ 1 3 x 222－的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫ 1 3 2x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭
⎫ 1 3 x 222
－的值域为(0,9]． 10．已知函数f (x )＝a x －
1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．
(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝1
2
. (2)由(1)知函数为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝⎛⎭⎫ 1 2 x －1≤⎝⎛⎭⎫ 1 2 －1＝2，所以函数的值域为(0,2]．
层级二 应试能力达标
1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)
D ．(0,4)
解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x ≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝
16－4x 的值域为[0,4)．
2．函数y ＝2-x x
1－1的定义域、值域分别是( )
A ．R ，(0，＋∞)
B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}
C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}
D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝2
-x x
1－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1
x ，
则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2
-x x
1
－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2
-x x
1－1的定义域为
{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．
3．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx
的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称
C ．y 轴对称
D ．.直线y ＝－x 对称
解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π
－x
＝⎝⎛⎭
⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx
与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.
4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )
解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.
5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝5
25，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，
由f ⎝⎛⎭⎫－ 3 2 ＝525
得，a -3
2＝512
－2＝5-3
2，∴a ＝5，∴f (x )＝5x .
答案：5x
6．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．
解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.
答案：[1，＋∞)∪{0} 7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |x |
－1. (1)作出f (x )的简图；
(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫13 x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，
如图所示．
(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－1
3＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两
个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．
8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋
1－9x 的最大值和最小值．
解：设t ＝3x ，∵－1≤x ≤2，∴1
3≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x
＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.。