江西省红色六校2013届高三第一次联考数学理试题
江西省红色六校2013届高三第一次联考 数学理
江西省红色六校2013届高三第一次联考数学（理）试题（分宜中学、南城一中、遂川中学、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学）时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知全集R U =，集合}01|{},012|{≤<-=>-+=x x Q x x x P ，则=⋃)(Q C P U （ ）A ．1|{-≤x x 或}0>xB ．1|{-≤x x 或}1>xC ．2|{-<x x 或}1>xD ．2|{-<x x 或}0>x 2、若⎩⎨⎧<+≥=-)3(),3()3(,2)(x x f x x f x ，则=-)4(f （ ） A ．2 B ．21C ．32D ．3213.已知原命题：“若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是（ ）1-=xy 的= A. B. C. D. 5、如果数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102=-=n n n S n ，则数列}{n na 中数值最小的项是第几项（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66、已知x xx f )31(log )(2-=，0x 为其零点，且0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，c b a <<<0，则不可能有（ ） A ．cx <0 B ．ax <<00 C ．bx <0 D ．ax >07、在ABC ∆所在平面内，O 为ABC ∆外一点，若动点P 满足)0((≠++=λλOA OP ，则P 点的运动轨迹经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心8．已知：)10()3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则)2(/fA ．!82⨯B ．!8C ．!72⨯D ．!79、函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图所示， 则)1()1(-+f f 的值一定（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．不能确定 10、定义域为R 的函数)(x f 满足)(3)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，xx x f 2)(2-=，如果]2,4[--∈x 时，)3(181)(t t x f -≥恒成立，则实数t 的取值范围（ ）A ．]3,0(]1,(⋃--∞B ．]3,0(]3,(⋃--∞C ．),3[)0,1[+∞⋃-D ．),3[)0,3[+∞⋃-二、填空题（每小题5分，共25分。
2013年高考江西卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷）第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4i ＝－4i.2．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为 ( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ≥0得，函数定义域为[0,1)．3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0C ．12D ．24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24.4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )答案 D解析 从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01. 5．⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r ， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.6．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 利用定积分的几何意义知B 正确．7．阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2] B.S ＝2]D.S ＝2]答案 C解析 逐项验证，可排除A 、B 、D.8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 A解析 由已知得m ＝4，n ＝4，∴m ＋n ＝8.选A.9．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 10．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )答案 D解析 由题意得BC ＝23 3.当x ＝0时，y ＝233，否B.当x ＝23π时，y ＝433，∴x ＝π2时，y <433.所以选D.第Ⅱ卷二、填空题11．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.12．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________． 答案 52解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |.∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5.|b |＝|2e 1|＝2. ∴a ·b |b |＝52. 13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t ＋1，∴f ′(1)＝2.14．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 三、选做题15．(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标 系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案 sin θ＝ρcos 2θ解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t 2得曲线C 的普通方程为y ＝x 2， ①在极坐标系中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ρsin θx ＝ρcos θ，②将②代入①得曲线C 的极坐标方程为sin θ＝ρcos 2θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 答案 [0,4]解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0|x －2|≤2得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]． 四、解答题16．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.17．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式． ∴a n ＝2n .(2)证明 由a n ＝2n 得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2 ＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 18.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解 (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种． X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)X 的所有可能值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝－1时有10种情形； X ＝1时，有8种情形；X ＝0时有8种情形； 所以X 的分布列为：∴E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.19．如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值． (1)证明 在△ABD 中，因为E 为BD 中点， 所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA .故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，∴EF ∥AB ，GF ∥P A . 又∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴GF ⊥AD ，EF ⊥AD ， 故AD ⊥平面CFG .(2)解 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32， 故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设平面BCP 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CP →＝0n 1·BC →＝0即⎩⎨⎧－32x 1－32y 1＋32z 1＝012x 1＋32y 1＝0令y 1＝－3，则x 1＝3，z 1＝2，n 1＝(3，－3，2)． 同理求得面DCP 的法向量n 2＝(1，3，2)， 从而平面BCP 与平面DCP 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝44×22＝24. 20．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1上，得， 1a 2＋94b 2＝1，①又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得， (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )， ∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．21．已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1、x 2，试确定a 的取值范围．(3)对于(2)中的x 1、x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性． (1)证明 因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝a (1－2|x |) f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝a (1－2|x |)， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x因此f (x )的图像关于直线x ＝12对称．(2)解 ①当0<a <12时，f (f (x ))＝⎩⎨⎧4a 2x ⎝⎛⎭⎫x ≤124a 2(1－x ) ⎝⎛⎭⎫x >12，所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0， 又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．②当a ＝12时，f (f (x ))＝⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎫x ≤12，1－x ⎝⎛⎭⎫x >12.所以f (f (x ))＝x 有解集⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12.又当x ≤12时f (x )＝x ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12中所有点都不是二阶周期点．③当a >12时，f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ， x ≤14a，2a －4a 2x ， 14a <x ≤12，2a (1－2a )＋4a 2x ， 12<x ≤4a －14a，4a 2－4a 2x ， x >4a －14a.所以f (f (x ))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2.又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫2a 1＋2a ＝2a1＋2a ，f ⎝⎛⎭⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝⎛⎭⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f (x )的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值范围为a >12. (3)解 由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a 21＋4a 2. 因为x 3为f (f (x ))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a. 当x 3＝14a 时，S (a )＝2a －14(1＋4a 2)， 求导得S ′(a )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22(1＋4a 2)2， 所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S (a )单调递增， a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时，S (a )单调递减； 当x 3＝4a －14a 时，S (a )＝8a 2－6a ＋14(1＋4a 2)， 求导得S ′(a )＝12a 2＋4a －32(1＋4a 2)2. 因为a >12，从而有S ′(a )>0， 所以a >12时，S (a )单调递增．。
2013年高考理科数学江西卷-答案
2531055()522()()r r r r r r rx x C x －－－－＝－，令1050r -=41040⨯=，故选C .25()52(r r x－－322111k k -=+246t t -+-，2ω=，∴【提示】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期2【解析】1e 、2e 为单位向量，且1e 和2e 的夹角1211e e ∴=⨯⨯.123a e e =+，12b e =，2121112(3)(2)26235a b e e e e e e ∴=+=+=+=.a ∴在b 上的射影为52||a b b =，故答案为2.【提示】根据题意求得12e e 的值，从而求得a b 的值，再根据a 在b 上的射影为||a bb ，运算求得结果sin 0A ≠（2）1a c +=cos ac B ，即222a c ac +-，01a <<14b ≤<，则）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出正项数列2211416n ⎡+=⎢⎣2111n n ++-+(-)(+)21⎤⎛< ⎥2211416n ⎡+=⎢⎣）在DAB △≌△EDA ∴∠=又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG （2）以点A x 轴、y 轴、1,2BC ⎛∴= ，32CP ⎛=- ，32CD ⎛=- 的法向量1(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩2，可得21,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎭， 的法向量22(1,,n y z =3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，可得(1,3,2)n =11,||||411349m n m n m n ⨯+<>=++的夹角的余弦值等于2,4m n <>=.ππ为原点，AB 、AD 、P A 分别为的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,m ⎛=- 和(1,3,2)n =m 、n 夹角的余弦，即可得到平面20.【答案】（1）1212132(x x x x x +-+④代入⑤得k k ＋）证明：12f x ⎛+ ⎝12x a ⎫-=⎪⎭2x为函数当31 4xa =12a>，从而有∴当a⎛∈ ⎝。
2013年高考理科数学江西卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．(2013江西，理2)函数yln(1－x )的定义域为( )． A ．(0,1) B ． [0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．244．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－406．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x =⎰，231e d xS x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S1＜S2＜S3B ．S2＜S1＜S3C ．S2＜S3＜S1D ．S3＜S2＜S1 7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S=2*iD ．S ＝2*i ＋48．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．119．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A ．3B ．3-C ．3±D ．10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x＋2x 的最小正周期T 为________．12．(2013江西，理12)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a ＝e1＋3e2，b ＝2e1，则向量a 在b 方向上的射影为________．13．(2013江西，理13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(1)＝________.14．(2013江西，理14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos AA )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C：2222=1x ya b+(a>b>0)经过点P31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝1122a x⎛⎫--⎪⎝⎭，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线12x=对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3,0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24. 4．答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D. 5．答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C r x 2(5－r )(－2)r x －3r＝5C r (－2)r x10－5r.令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C.6．答案：B解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =，231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B. 7．答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5； 当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C. 8．答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．答案：B解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴2ππ2T ==.12．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos 3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b .13．答案：2解析：令e x＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2.14．答案：6解析：抛物线的准线方程为2p y =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B，又0＜B ＜π，所以π3B =.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n nn b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦.18．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝152(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ， 所以CF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,,022BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,22330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得11,32,3y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得22 2.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(1，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝21124||||||4⋅==n n n n . 20．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，①依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--.注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--.所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1，又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3. 故存在常数λ＝2符合题意．(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--，令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-). 联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线PA 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-， 所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．21． (1)证明：因为12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点． 当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点． 当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214a x a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得： S ′(a )＝221122214a a a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛+ ⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)， 因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0， 所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。
2013年高考理科数学江西卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．(2013江西，理2)函数y －x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．24 答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.4．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C rx 2(5－r )(－2)r x －3r ＝5C r(－2)r x 10－5r .令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C. 6．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x=⎰，231e d x S x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =， 231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B.7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S =2*iD ．S ＝2*i ＋4 答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5；当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C.8．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A B ． C ．± D ．解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．答案：D第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2ππ2T ==.12．(2013江西，理12)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b . 13．(2013江西，理13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案：2解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2. 14．(2013江西，理14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案：6解析：抛物线的准线方程为2py =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||2p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分． 15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________． 答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C＋(cos A sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B sin A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin BB ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B， 又0＜B ＜π，所以π3B =. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. (1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n n n b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦ 22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦. 18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝15(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3， 因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3， 所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以CF⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,2330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得112,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得222.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(12)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cosθ＝21124||||||4⋅==n n n n .20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--. 注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--. 所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1， 又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3.(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--， 令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-).联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线P A 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-，所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1122a x ⎛⎫--⎪⎝⎭，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线12x =对称； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．(1)证明：因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称．(2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214ax a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得：S ′(a )＝22214a a a ⎛ ⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)，因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0，所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。
2013年高考数学试题理科数学江西卷试题及参考答案
2013年各地高考数学试题（江西卷)理科数学本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题0两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第一卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.－2iB.2iC.－4iD.4i2. 函数－x)的定义域为A ．（0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 3. 等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A ．－24 B.0 C.12 D.244. 总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的5. (x 2－32x )5展开式中的常数项为 A.80 B.－80 C.40 D.－406.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.2*2S i =-B.2*1S i =-C.2*S i =D.2*4S i =+8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=A.8B.9C.10D.119.过点引直线l 与曲线y =A,B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于A.y EB BC CD=++ B. C. D.10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l //1l ,l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧FG 的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是第Ⅱ卷注意事项：第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
2013年普通高等学校招生统一考试江西省数学(理)卷文档版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={1，2，zi},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z=（）A. -2iB. 2iC. -4iD.4i2.函数y=ln（1-x）的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3.等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A.-24B.0C.12D.244.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）6938 7481 D.015.（x 2-）5展开式中的常数项为（）A ．80B.-80C.40D.-40若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为 6.＜s 2＜s 3 B. s 2＜s 1＜s 3A. s 1C. s 2＜s 3＜s 1 D. s 3＜s 2＜s 17.阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.S=2﹡i-2B.S=2﹡i-1C.S=2﹡ID.S=2﹡i+48.如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m+n=A.8B.9C.10D.119.过点（，0）引直线ι的曲线 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线ι的斜率等于A. B.- C. D-10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线ι1，ι2之间，ι//ι1，ι与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点。
六校2013届高三第一次联考(理数)
图1乙甲7518736247954368534321六校2013届高三第一次联考理科数学第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若集合M 是函数lg y x =的定义域，N是函数y =则M N 等于( ) A ．(0,1] B ．(0,)+∞ C ．φ D ．[1,)+∞ 2．在复平面内，复数311i i+-对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列命题正确的是（ ）A ．2000,230x R x x ∃∈++= B ．32,x N x x ∀∈> C ．1x >是21x >的充分不必要条件 D ．若a b >,则22a b >4．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为（ ） A ．12 B ．2- C ．2 D ．21- 5．经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 （ ）A ．30x y -+=B ．30x y --= C.10x y +-= D ．30x y ++= 6. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图， 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A ．65 B ．64C ．63D ．627．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a aa a ++等于（ ） A ．21+ B. 21- C. 223+ D. 223-8. 在约束条件53,420≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥s x y s y x y x 当下时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（）图4P()A ．[6，15] ()B ．[7，15] ()C [6，8] ()D ．[7，8]第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题） 9．(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，则a 的值为；10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，则其输出的结果是 ； 11. 若axdx =1⎰，则实数a 的值是_________.12.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .13．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，则=PC ____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值；(2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值. 17．（本小题满分12分）设函数x x f a log )(=（1,0≠>a a a 为常数且），已知数列),(1x f ),(2x f ),(n x f 是公差为2的等差数列，且21a x =. （Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式； （Ⅱ）当21=a 时，求证：3121<+++n x x x . 18．(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35． （1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望.下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19．（本小题满分14分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值. 20．（本小题满分14分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且∙=∙． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值． 21.（本小题满分14分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ， 并且1l 与2l 平行. （1）求(2)f 的值；（2）已知实数t∈R ，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.正视图侧视图俯视图参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1或-1 10．2 11．2 12. 22143x y -= 13.⎥⎦⎤ ⎝⎛41.0 14．34 15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分22x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=, …… 6分(2) 解:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分 ∴1cos 23θ=. …… 8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(22log )(21=⋅-+=∴===n n n a a x nx 22log :==即 --------6分（Ⅱ）当21=a 时，nn x ⎪⎭⎫⎝⎛=41314113141141414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++nnn x x x ----------12分18．(本小题满分14分)解：（2）∵2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯------------------------6分 ∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分（3）喜爱打篮球的女生人数ξ的可能取值为0,1,2.-------------------------9分其概率分别为021*******(0)20C C P C ξ===,1110152251(1)2C C P C ξ===,2010152253(2)20C C P C ξ===--------------------------12分故ξ的分布列为:ξ的期望值为:7134012202205E ξ=⨯+⨯+⨯= ---------------------14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 7266312=⨯⨯=V ------------------------4分 （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，BC DC 1图1其拼法如图2所示. ------------------------6分 证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立.---8分（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. --------10在R t △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ，32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±.---14分方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21. --------------------12分取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），321812||||,cos 111==>=<BB n BB 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. ----------------14分20．（本小题满分14分）（1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ = ，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=-- ． --------------------2分 即()()22121y x y +=--，即24x y =，A BC D D 1A 1B 1C 1所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =． --------------------4分 （2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M 的半径为MD =．圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． 令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=． ② 由①、②解得，2x a =±． --------------------6分 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，∴1l =2l =--------------------8分∴22212122112l l l l l l l l ++==== ③ 当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==．当且仅当a =±--------------------12分 当0a =时，由③得，12212l l l l +=． --------------------13分 故当a =±1221l ll l +的最大值为 --------------------14分 21. （本小题满分14分）解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， ………………………………………………2分∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= …………………………………………3分2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-…………………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x=在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………………………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2m in 0|u y y t t ===- …………………………………6分 ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ………………………………7分③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………… …………………8分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， ………………………………………１０分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………………………11分②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ……………………………………12分 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥， 得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………………………13分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ ……………………………………14分说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分.。
2013学年高考理科数学年江西卷答案
b1 a1 2a1 c1 a1 a1 c1 0 b1 a1 c1 （步骤 1）
又
b1
c1
a1 2a1
c1
c1
a1 2c1
a1 c1
a1 2
（步骤
2）
由题意， bn1
cn1
bn
cn 2
a
bn1
cn1
2a1
2 / 14
8.【答案】A 【解析】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是： 4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4.
∴长方体的体积 4 2 2 16 ，半个圆柱的体积 1 22 π 4 8 2
所以这个几何体的体积是16+8π ； 故选 A．
1 2 (bn
cn
2a1)
bn cn 2an 0 bn cn 2an 0 bn cn 2a1 （步骤 3）
4 / 14
又由题意 bn1 cn1
cn
bn 2
bn1 (2a1 bn1)
2a1
bn 2
bn
a1 bn
值，由此可知顶点
An
在以
Bn、Cn
为焦点的椭圆上，根据
bn1
cn1
1 2
(bn
cn
)
，
得 bn
cn
1 2
n1
(b1
c1)
，可知
n
时 bn
cn ，据此可判断 △AnBnCn
2013年高考真题——理科数学江西卷
2013年高考真题——理科数学江西卷已知集合M={1,2，zi}，i，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i【答案解析】C函数y=ln(1-x)的定义域为A．（0,1）B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]【答案解析】B等比数列x，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A．-24 B.0 C.12 D.24【答案解析】A总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B.07C.02D.01【答案解析】D(x2-)5展开式中的常数项为A.80B.-80C.40D.-40【答案解析】C.若则的大小关系为A. B.C. D.【答案解析】B7.阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为A. B.C. D.【答案解析】C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为，那么A.8B.9C.10D.11【答案解析】A9.过点引直线与曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于A. B. C. D.【答案解析】B10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间//,与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是【答案解析】D11.函数的最小正周期为为。
【答案解析】π12.设，为单位向量。
且，的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为【答案解析】13设函数在内可导，且，则【答案解析】214.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则【答案解析】6三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为【答案解析】（1）（2）【0,4】16.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.求角B的大小；若a+c=1，求b的取值范围【答案解析】17. （本小题满分12分）正项数列{an}的前项和{an}满足：（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令，数列{bn}的前项和为。
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江西省红色六校2013届高三第一次联考数学（理）试题（分宜中学、南城一中、遂川中学、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学）时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共50分） 1、已知全集R U =，集合}01|{},012|{≤<-=>-+=x x Q x x x P ，则=⋃)(Q C P U （ ） A ．1|{-≤x x 或}0>x B ．1|{-≤x x 或}1>x C ．2|{-<x x 或}1>x D ．2|{-<x x 或}0>x2、若⎩⎨⎧<+≥=-)3(),3()3(,2)(x x f x x f x ，则=-)4(f （ ） A ．2 B ．21 C ．32 D ．3213.已知原命题：“若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是（ ）1-=x y y A. B. C. D. 5、如果数列}{n a 的前n 项和),3,2,1(102 =-=n n n S n ，则数列}{n na 中数值最小的项是第几项（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66、已知x xx f )31(log )(2-=，0x为其零点，且0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，c b a <<<0，则不可能有（ ） A ．cx <0 B ．ax <<00 C ．bx <0 D ．ax >07、在ABC ∆所在平面内，O为ABC ∆外一点，若动点P满足)0(||||(≠++=λλAC AB OA OP ，则P 点的运动轨迹经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心8．已知：)10()3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则)2(/fA ．!82⨯B ．!8C ．!72⨯D ．!79、函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像如图所示， 则)1()1(-+f f 的值一定（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．不能确定10、定义域为R 的函数)(x f 满足)(3)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，如果]2,4[--∈x 时，)3(181)(t t x f -≥恒成立，则实数t 的取值范围（ ）A ．]3,0(]1,(⋃--∞B ．]3,0(]3,(⋃--∞C ．),3[)0,1[+∞⋃-D ．),3[)0,3[+∞⋃-二、填空题（每小题5分，共25分。
把正确答案填写在答题卡相应位置上）.11.22(1cos )x dx ππ-+=⎰.12.已知53)4sin(=-πx ，则x 2sin 的值为____ _ ．))2.0((cos )(π∈=x x x f 13. 已知函数))2.0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不 同的实根43,x x ，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为____ _ ．14.已知mx g x x f x -=+=)21()(),1ln()(2，若任取]3,0[1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使得)()(21x g x f ≥，则m 的取值范围 。
15.对于三次函数32()(0),:f x ax bx cx d a =+++≠给出定义()()f x y f x '=设是函数的导数，()()f x f x '''是的导数，若方程()0f x ''=有实数解000,(,())x x f x 则称点为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，解答以下问题：（1）函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为 ；（2）计算1232012()()()()2003201320132013f f f f ++++ = 。
三、解答题（共75分） 16、（本小题满分12分）已知函数3sin 23cos 3sin 32)(2xx x x f -=。
（1）若],0[π∈x ，求)(x f 的值域；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1)(=C f ，且ac b =2，求A sin 的值。
17．（本题满分12分）已知函数1(2)1()3(2)2151()2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩（x ∈R ），（1）求函数()f x 的最小值；（2）已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式2()22f x m m ≥+-对任意x ∈R 恒成立； 命题q ：函数2(1)xy m =-是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 是直线l 上不同的三点，O 是l 外一点，向量,,OA OB OC 满足：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=记()y f x =.（1）求函数()y f x =的解析式：（2）若关于x 的方程()2f x x b =+在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．19. （本小题满分12分） 已知数列{},{}n n a b 中，对任何正整数n 都有：1121321212 2.n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--（1）若数列{}n a 是首项和公差都为1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若2nn b =，试判断数列{}n a 是否是等差数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由。
20．（本小题满分13分）设M 是由满足下列条件的函数()f x 构成的集合:①方程()0f x x -=有实根;②函数()f x 的导数()f x '满足0()1f x '<<.（1）若函数()f x 为集合M 中的任意一个元素，证明：方程()0f x x -=只有一个实根；（2）判断函数ln ()3(1)22x xg x x =-+>是否是集合M 中的元素，并说明理由；（3）设函数()f x 为集合M 中的任意一个元素，对于定义域中任意,αβ，证明|()()|||f f αβαβ-≤-21、（本小题满分14分）设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f ⋅=+。
（1）求)0(f 的值，判断并证明函数)(x f y =在R 上的单调性；（2）若}{n a 满足)0(1f a =，且)()2(1)(1*∈--=+N n a f a f n n①求}{n a 的通项公式；②当1>a 时，不等式)1log (log 35121111221+->++++++xa x a n n n a a a ，对不小于2的正整数n恒成立，求x 的取值范围。
答案一、1-5：ADACA 6-10：BCBAC二、11. 2π+ 12. 725 13.23- 14.),41[+∞ 15. 1(,1)2 2012三、16、解：（1）1)632sin(2132cos 32sin3)(-+=-+=πx x x x f …2分∵],0[π∈x ，∴626326πππ≤+≤x ………………………………3分∴)(,1)632sin(21x f x ∴≤+≤π的值域为]1,0[。
………………6分（2）∵11)632sin(2)(=-+=πc c f ，∴1)632sin(=+πc ，又∵),0(π∈c ，∴2π=c 。
………………8分 在Rt ABC ∆中，∵01)(2222222=-+⇒+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==c a c a ac a c ba c acb …………10分251+-=⇒c a ，或251--=c a （舍去）∴215sin -=A ………………………………………………12分17、解：（Ⅰ）18、解：(2)方程()2f x x b =+即为,223)32ln(2b x x x +=++变形为.223)32ln(2b x x x =-++ 令 23()ln(23)2,01]2x x x x x =++-∈（，，∴ ⋅++-=+-=-++=x x x x x x x x 32)13)(13(321923323)('2 ……………………8分 列表写出 x ，()x ϕ'，()x ϕ在[0，1]上的变化情况：……………10分显然 (x)在（0，1］上的极小值也即为它的最小值213ln -．现在比较ln 2与215ln -的大小；.2ln 215ln 03425ln 21425ln 2125ln 2ln 215ln >-∴>⨯>==--，e e∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使1ln 3ln 2.2b -<<即实数b 的取值范围为1ln 3ln 2.2b -<<……………………………………12分19.解：20.解：(1) 令x x f x h -=)()(，则01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数,所以，方程0)(=x h ，即0)(=-x x f 至多有一解， 又由题设①知方程0)(=-x x f 有实数根，所以，方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根…………………………………..4分(2) 易知，)1,0()21,0(2121)('⊆∈-=x x g ，满足条件②；令)1(32ln 2)()(>+--=-=x xx x x g x F ，则012)(,0252)(22<+-=>+-=e e F e e F ，…………………………………..7分又)(x F 在区间[]2,e e 上连续，所以)(x F 在[]2,e e 上存在零点0x ， 即方程0)(=-x x g 有实数根[]20,e e x ∈，故)(x g 满足条件①，综上可知，M x g ∈)(……….……………………………...………. ….…………9分(Ⅲ)不妨设αβ≤，∵0)('>x f ,∴)(x f 单调递增，∴()()f f αβ≤,即()()0f f βα-≥，令x x f x h -=)()(，则01)()(''<-=x f x h ，故)(x h 是单调递减函数， ∴()()f f ββαα-≤-,即()()f f βαβα-≤-， ∴0()()f f βαβα≤-≤-， 则有()()f f αβαβ-≤-….……………..….13分21、解：（1）令1,0-==y x ，则)1()1()0()10(-=-⋅=-f f f f ∵当0<x 时，1)0(,1)1(,1)(=∴>-∴>f f x f ，……………2分 令x y -=，得1)0()()()(==-⋅=-f x f x f x x f ， 即1)()(=-⋅x f x f∵当0<x 时，1)(>x f ，∴0>-x ，1)(0<-<x f ， ∴)(x f 在R 上恒大于0，………………………………………4分任取R x x ∈21,，令21x x <。