第六章图形变换的矩阵方法
矩阵的基本变换
矩阵的基本变换矩阵是数学中一个重要的概念，它在许多领域，如线性代数、几何学和计算机图形学中都有广泛应用。
矩阵的基本变换是指通过一系列操作改变矩阵的形状、大小或内容。
了解矩阵的基本变换可以帮助我们更好地理解和应用矩阵。
矩阵的基本变换包括平移、旋转、缩放和剪切。
这些变换可以分别通过矩阵的乘法运算和向量的乘法运算来实现。
首先是平移变换。
平移变换是将矩阵在平面内沿指定方向移动一定距离。
平移变换可以通过一个平移向量来描述，该向量的分量表示在每个维度上的平移量。
对于二维平面上的矩阵来说，平移变换可以表示为：[1 0 tx][0 1 ty][0 0 1]其中tx和ty代表在x轴和y轴上的平移量。
通过将矩阵乘以这个平移矩阵，可以实现平移变换。
其次是旋转变换。
旋转变换是将矩阵绕指定点或原点旋转一定角度。
旋转变换可以通过一个旋转矩阵来描述，该矩阵通过正余弦函数来计算旋转后的坐标。
对于二维平面上的矩阵来说，旋转变换可以表示为：[cosθ -sinθ 0][sinθ cosθ 0][0 0 1]其中θ代表旋转角度。
通过将矩阵乘以这个旋转矩阵，可以实现旋转变换。
第三个是缩放变换。
缩放变换是通过乘以一个缩放矩阵来改变矩阵的大小。
缩放矩阵可以表示为：[sx 0 0][0 sy 0][0 0 1]其中sx和sy代表在x轴和y轴上的缩放因子。
通过将矩阵乘以这个缩放矩阵，可以实现缩放变换。
最后是剪切变换。
剪切变换是通过乘以一个剪切矩阵来改变矩阵的形状。
剪切矩阵可以表示为：[1 kx 0][ky 1 0][0 0 1]其中kx和ky代表在x轴和y轴上的剪切因子。
通过将矩阵乘以这个剪切矩阵，可以实现剪切变换。
这些基本变换可以相互组合和叠加，从而实现更复杂的变换效果。
例如，可以先进行旋转变换，然后再进行平移变换，或者先进行缩放变换，然后再进行剪切变换。
通过合理地选择和组合这些变换，可以实现各种形状和动画效果。
除了在数学中的应用，矩阵的基本变换在计算机图形学中也有广泛应用。
矩阵的变换和应用
矩阵的变换和应用矩阵是线性代数中重要的概念之一，它具有广泛的应用范围。
在数学、工程、科学等领域，矩阵用于描述和处理各种数据和问题。
本文将重点介绍矩阵的变换和应用，包括线性变换、旋转变换、缩放变换和平移变换等。
一、线性变换矩阵的线性变换是矩阵在向量空间中的应用之一。
线性变换是指将一个向量或一个向量组通过矩阵的相乘操作进行转换的过程。
在二维空间中，线性变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，矩阵的第一行表示了原始向量在x轴上的线性变换，第二行表示了原始向量在y轴上的线性变换。
通过对矩阵进行相乘运算，可以得到经过线性变换后的新向量坐标。
二、旋转变换旋转变换是矩阵在几何学中的重要应用之一。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量绕着原点进行旋转。
在二维空间中，旋转变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，θ表示旋转的角度。
通过对原始向量和旋转矩阵进行相乘运算，可以得到经过旋转变换后的新向量坐标。
三、缩放变换缩放变换是矩阵在图形学和几何学中的常见应用之一。
通过矩阵的乘法运算，可以将一个向量在x轴和y轴上进行不同比例的缩放。
在二维空间中，缩放变换可以表示为如下形式：\[\begin{pmatrix}x' \\y'\end{pmatrix}=s_x & 0 \\0 & s_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\]其中，s_x表示x轴的缩放比例，s_y表示y轴的缩放比例。
计算机数学-图形变换的矩阵方法
其:b～错切系数。 bx～沿y方向地错切量（y坐
标沿y方向地移动量）。
bx>零,沿＋y方向错切（移动）; bx<零,沿－y方向错切（移动）; b=零即bx=零,不错切（恒等变换）。
AD′
C
A
B
C′
B′
变换特点: ①变换后点地x坐标不变,y
坐标移了bx;
②行于y轴地直线变换后仍 行于y轴;
③行于x轴地直线变换后,x= 零地点不动(不动点),x≠零地点沿 y方向移了bx,形成与x轴夹角为θ 地直线,且 tgθ＝bx / x＝b。
如,(二,三)地齐次坐标为(二,三,一),(四,六, 二),(-二,-三,-一),(一零,一五,五),…...,一个点地齐次 坐标不是唯一地.
三.五.二 普通坐标与齐次坐标互相转换
◆ 把面一点普通坐标(x,y)转换成齐次坐标: x,y乘以同一个非零数h,加上第三个分量h,即(hx,hy,h).
(x,y) 普通坐标
不同地语义,在同一环境也可以有不同地解读,最常见地包括: Ø （一）表示一个线变换; Ø （二）表示列向量或行向量地集合（多个对象）; Ø （三）表示子矩阵地集合。矩阵作为一个整体对应地是线变换语义。比
如要实现图形旋转,数学上地作法就是用旋转变换矩阵按矩阵乘法规则乘
以图形矩阵,就能实现所要图形旋转效果了。
移变换矩阵增加一行,扩充为三阶方阵,
输出点地坐标就是三维向量,这样输入坐标与输出坐 标形式相同。
采用齐次坐标描述点,就能使得移,缩放,对称,旋转与错切变换矩阵 统一成。
形如称为二D直角坐标系地齐次变换矩阵。其左上角 地二阶方阵在变换功能上对图形行放缩,旋转,对 称,错切,左下角矩阵对图形行投影,右上角矩阵对 图形行移,右下角地对图形整体行伸缩变换。
计算机数学-图形变换的矩阵方法
3.2 图形变换与矩阵乘法
变换
Ø
人是三维空间里的对象，人可以在三维空间里运动，移动位置就
是对象的运动。所以，程序员眼中的“空间”是一个容纳运动的对象 集合，即构成“空间”的要素为对象、对象的运动。空间对象的运动 称为变换，变换规定了对应空间的运动。数学上是如何表示空间对象 和空间变换呢？
Ø 在线性代数中，用向量表示一个对象，矩阵表示什么呢？矩阵在不同的 环境中有不同的语义，在同一环境中也可以有不同的解读，最常见的包 括：
若有Pa=b，我们就说P将向量a变换到向量b。从这个角 度看，“变换”和“乘法”是等价的，进行坐标变换等价于 执行相应的矩阵乘法运算，图形变换可以通过对表示图 形的坐标矩阵进行乘法运算来实现。
可见，向量和矩阵的运算是计算机图形处理技术的数学基础。
3.3图形基本变换
3.3.1 平移变换
3.3.2 以坐标原点为基准点的缩放变换
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的 工具，通过向量乘以变换矩阵来实现坐标变换，接下来，关键问题就是构 造图形变换矩阵了。
3.4.2 基本图形变换矩阵
图形变换
缩放变换 旋转变换
变换矩阵
翻 折 变 换
错 切 变 换
变换方程的矩阵形式
课堂练习 3.4 1、点的坐标为行向量和列向量不同形式时，变换矩阵相同吗？与方程 组中系数矩阵有什么关系？表一中，若点的坐标为行向量形式，写出 各种变换的矩阵方程。 2、用矩阵方法计算下列图形变换 （1）将点（2,1）的横坐标伸长到原来的3倍
标沿x方向的移动量）。
cy>0，沿＋x方向错切（移动）； cy<0，沿－x方向错切（移动）； c=0即cy=0，不错切（恒等变换）。
计算机图形学图形变换
(X0,y0)
绕任意点的旋转
1 0 0
• 用矩阵表示各个过程
T1
0
1 0
x 1y 11 xy1 T 1
x0 y0 1
x 2y 21 x 1y 11 T 2
cos T2 sin
sin cos
0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
0
0 1
1 0 0
x ' y ' 1 x 2 y 21 T 3
cos
sin
0
TT1T2T3 sin
cos
0
x0(1co)sx0siny0co sy0 1
复合矩阵可以减少计算量
• 不进行矩阵合并 往往在屏幕上划定一个平行于设备坐标轴的矩形区域作为图形显示区。
点P(x,y)在X’轴上的投影可用点乘得到， 常用的方法是在图形坐标系中取一个与x轴、y轴平行的矩形窗口，只显示窗口内的图形内容。
计算机图形学图形 变换
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任 意一点P(x,y)在x轴方向y轴方 向分别平移距离tx,ty，则变 换后的新坐标
x’=x+tx
ty
y’=y+ty
• 用矩阵表示
1 [x',y'][x,y]0
1 0tx,ty
P’ p
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆
点旋转。图形上任意一点
2. 3次变换需要3×9=27次乘法。 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。
Y’轴的单位方向矢量为（a21,a22) 这不仅可以节省运算量，还可以明确一个矩阵代表一种变换的概念。 复合矩阵可以减少计算量 我们希望将一种变换用一个矩阵来表示，这样就可以用矩阵合并的方法将一系列的简单变换用一个复杂变换来表示。 有时采用活动坐标系模式，是为了更好地理解变换前后两个对应物体之间的坐标关系。 表示变换前的模型上任意一点 仿射变换的特点是变换前的平行线在变换后依然平行。 变换图形、变换关系式和变换矩阵 合并矩阵与一个点向量相乘得到一个点向量，需要9次乘法。 固定坐标系模式：坐标系不变、图形变动。
图形变换的矩阵方法
§1 概述
1
x11 x 21 xm1
x12 x 22
xm 2
x1 n x2n x mn
该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说， 我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。
x1 x 2 对于二维空间，用 xn
y1 y2 yn
2
B (3,3)
A (1,1)
C(3,1)
表示图形( 其中xi yi是顶点坐标）。
二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。 图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。
1 1 A 3 3 例：如图所示的△ABC，用矩阵表示为 B 3 1 C
因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。 矩阵变换法的一般形式：
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
11 ㈡对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换， 对坐标原点的对称变换。 ⒈对坐标轴的对称变换 A C ⑴对x轴的对称变换
㈠比例变换（缩放变换）
6
x
其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。 根据a、d取值的不同，分为几种情况： ⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 例：设△ABC对应的矩阵为
A 0 0 B 1 2 C 2 1
C′
C
图形变换方法及应用
因此有：
注意：此矩阵从表面上看，与绕z轴和x轴的变换矩阵符号上有所不同。
物体分别绕x、y、z轴旋转θ、φ、ψ角后，其转换矩阵为：
2.2.3变换的合并
1.平移
假设点P的坐标为X、Y，而Tx、Ty是该点沿x轴和y轴的平移量，X＇Y＇为平移后点P＇的坐标。
则平移变换公式为：
X＇=X+Tx
Y＇=Y+Ty
2．旋转
如图2所示，点P(x,y)绕原点旋转θ角，设逆时针为正。其点的坐标关系相当于点P不动，而坐标轴顺时针转动θ角，如图3。
由图3得旋转的变换公式：
X＇=X*COSθ- Y*SINθ
Y＇=X*SINθ+ Y*COSθ
3．比例
比例变换又称缩放。其作用是把图形放大或缩小。
变换公式为：
X＇=X*Sx
Y＇=Y*Sy
其意义为点P(x,y)相对于坐标原点，其x坐标值缩放Sx倍，y坐标值缩放Sy倍。
2.1.2二维图形变换矩阵
平面坐标系中的点的坐标值可用行向量[x y]表示，前面讲的各种变换都可以表达位矩阵形式，不同的变换的矩阵有不同的元素构成。
和二维变换相同，一个任意复杂的三维变换都可由基本变换合并而成。即：
式中T=T1*T2*T3……Tn即为合并后的变换矩阵。
3．公差的灵敏度分析
3．1公差的灵敏度分析概念
在任意一个零部件中，通常有一组基准点和若干个控制点，而基准点在X、Y、Z个方向上的变化对控制点的影响是不同的；即其灵敏度是不同的。
其分析方法有多种，如：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
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B′ B
C′
C
A A′
㈠比例变换（缩放变换）
8
x
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 ⑵当0<a=d<1，图形沿x、y方向等比例缩小
A 4 4 1 3 B 例：设△ABC对应的矩阵为 C 3 1 0.5 0 设T ，对△ABC进行变换： 0 0.5 A 4 4 2 A 2 0 .5 0 B B 1 3 0 . 5 1 . 5 0 0 . 5 C 3 1 1.5 0.5 C
因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。 矩阵变换法的一般形式：
4
变换后的 原来的 变换 图形顶点 = 图形顶点 · 矩阵 坐标矩阵 坐标矩阵
本章讨论的问题：如何利用变换矩阵实现对二维、三 维图形的各种变换。
A 0 0 1 2 B 例：设△ABC对应的矩阵为 C 2 1 2 0 设T ，对△ABC进行变换： 0 2 A 0 0 0 0 A 2 0 B B 1 2 2 4 0 2 C 2 1 4 2 C
A B B′ C′
A′
C
㈠比例变换（缩放变换）
9
x
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
⒈当a=d，图形沿x方放大 ⑵当0<a=d<1，图形沿x、y方向等比例缩小 ⑶当a=d=1，图形不发生变化 图形不变的变换称之为恒等变换。 ⒉当a≠d，图形产生畸变
x1 x 2 n x
y1 y2 y n n 2
设二维平面的一个点坐标为[x y]，对其进行矩阵变 换：
6
a b x y ax cy bx dy c d x ax cy 变换后该点的坐标为： y bx dy
第六章 图形变换的矩阵方法
§1 概述 §2 二维图形变换 §3 三维图形变换 本章小结
1
§1 概述
2
一、空间图形的矩阵表示 若用一个行向量[ x1 x2 … xn ]表示n维空间中一个点 坐标，那么n维空间中m个点坐标就可以表示为一个向量 集合：
x11 x 21 xm1
x12 x 22 xm 2
x1 n x2n x mn
该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说， 我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。
x1 x 2 对于二维空间，用 xn
y1 y2 yn
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⒉当a≠d，图形产生畸变
C′
C
B
B′
㈠比例变换（缩放变换）
11
x
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⒉当a≠d，图形产生畸变 有几种特殊情况： ⑴当a、d之一为1，图形沿单方向放大或缩小 a =1，d≠1，图形沿y方向放大或缩小； d =1，a≠1，图形沿x方向放大或缩小。 ⑵当a、d之一为0，图形变换为x轴或y轴上的线段 a＝0，d≠0，图形变换为y轴上的线段； d＝0，a≠0，图形变换为x轴上的线段。 ⑶当a、d均为0，图形压缩为一点（即原点）
3
B (3,3)
A (1,1)
C(3,1)
表示图形( 其中xi yi是顶点坐标）。
二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。 图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。
1 1 A 3 3 例：如图所示的△ABC，用矩阵表示为 B 3 1 C
㈠比例变换（缩放变换）
10
x
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
A 0 0 B 2 0 例：设正方形ABCD的矩阵为 C 2 2 D′ D 0 2 1.5 0 设T ，对□ABCD进行变换： D 0 2 A 0 0 0 0 A 1.5 0 3 0 B B 2 0 C 2 2 0 2 3 4 C A A′ D 0 2 0 4 D
通过对变换矩阵 T 中各元素的不同取值，可以实现 各种不同的二维基本变换。 ㈠比例变换（缩放变换） 变换矩阵： a 0
T 0 d
㈠比例变换（缩放变换）
7
x
x ax a 0 y ax dy 即 y dy 0 d
其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。 根据a、d取值的不同，分为几种情况： ⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大
§2 二维图形变换
5
分为两类：二维基本变换，二维组合变换。 二维基本变换：比例变换（缩放）、对称变换、错切 变换、旋转变换、平移变换。 二维组合变换：由多种基本变换组合而成的变换。 一、二维基本变换 矩阵变换法的形式为：
x1 x 2 xn
y1 y 2 a b · = c d 22 y n n2