空间几何定义与公理
空间几何中的平行线公理
空间几何中的平行线公理在空间几何中，平行线公理是一个基本的几何概念。
平行线公理是指在平面或者空间中，通过一点外一直线的一条与之平行的直线只有一条。
平行线公理在欧几里德几何学中扮演着重要的角色，不仅是几何学的基石，而且也是许多数学理论和实际应用的基础。
本文将探讨平行线公理的定义、性质以及其在几何学中的应用。
一、平行线公理的定义平行线公理在空间几何中起着重要的作用。
它是由希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中提出的，被广泛接受并成为几何学的基础。
根据平行线公理，如果在平面或者空间中，通过一点外一直线的一条与之平行的直线只有一条，那么这两条直线就被称为平行线。
平行线公理可以用来推导出其他几何定理，同时也是许多数学理论和应用的基础。
二、平行线公理的性质平行线公理具有一些重要的性质，这些性质对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
1. 平行线永远不会相交：根据平行线公理，两条平行线永远不会相交。
这也是平行线公理的一个基本性质。
2. 平行线的存在性：基于平行线公理，通过一个点可以有无数条与给定直线平行的直线。
这意味着平行线是存在的，而且存在无数条与给定直线平行的直线。
3. 平行线的唯一性：另一方面，通过一个点外一条直线的与给定直线平行的直线只有一条。
这意味着平行线的存在是唯一的。
三、平行线公理在几何学中的应用平行线公理在几何学中有广泛的应用，它在证明和研究几何定理时起着重要的作用。
1. 平行线的判定：平行线公理为我们提供了判定两条直线是否平行的基础。
当两条直线通过一个点的其他直线与给定直线平行时，我们就可以根据平行线公理得出这两条直线是平行的结论。
2. 平行线的性质：平行线公理还为我们揭示了平行线的一些性质。
例如，平行线之间的距离是保持不变的，平行线之间的夹角是相等的等等。
3. 平行线的应用：平行线公理在几何学的应用中起到了重要作用。
例如，在设计建筑物、城市规划以及GPS导航系统等领域，我们需要运用平行线的概念来解决问题。
空间几何
三视图:正视图、侧视图和俯视图统称为三视图。
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下面。
一般地，侧视图和正视图的高度一样，正视图和俯视图的长度一样，俯视图和侧视图的宽度一样。
直观图的斜二测画法:
(1)在已知图中找出互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于O点。画直观图时，把它们画成对应的 轴与 轴，两轴相交于 ,且使 = ，它们确定的平面为水平面。
（2）已知图中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段。
（3）已知图中平行于x轴的线段，在直观图中仍保持原来的长度，已知图中平行于y轴的线段，在直观图中为原来长度的一半。
三、空间几何的表面积和体积
圆柱的表面积和体积
设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ,表面积为S，体积为V,有
圆锥的表面积和体积
圆柱：以矩形的一条边为轴，其余三条边围绕着该边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
二、空间几何的三视图和直观图
投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。
中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线交于一点。
空间几何
一、空间几何的结构
多面体：一般地，由若干个平面多边形组成的几何体称为多面体。围城多面体个平面多边形叫做多面体的面，相邻两个多面体的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的的公共点叫做多面体的顶点
旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体。这条直线叫做旋转体的轴。
棱柱：一般地，有两个面是互相平行的，其余的面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面组成的几何体称为棱柱。两个平行的面叫做棱柱的底面，简称为底。其余各面叫做侧面，两个相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。底面与侧面的公共顶点叫做棱柱的侧棱。底面是几边形就叫做几棱柱。例如：底面是四边形就叫四棱柱.
几何原本的公设和公理
几何原本的公设和公理几何学是一门研究空间中图形、大小、位置关系和性质的学科，它的基础在于公设和公理。
公设和公理是几何学中最基本的概念，它们构成了几何学体系的基础。
本文将详细介绍几何原本的公设和公理。
一、公设1.点线面公设点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。
线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度。
面是由无数条线围成的，具有长度和宽度但没有高度。
2.尺规作图公设尺规作图是指用直尺和圆规来画出一些特定形状的图形。
尺规作图公设认为可以用直尺和圆规画出能够被分解为直线段与圆弧相交所得到的长度为1的线段。
3.平行公设平行公设认为如果一条直线上有两个点与另一条直线上两个点相对应且这两条直线不重合，则这两条直线必定平行。
二、公理1.欧几里德几何五大公理欧几里德几何是古希腊数学家欧几里德所创立的几何学体系。
欧几里德几何的五大公理包括：（1）任意两点之间都可以画一条直线。
（2）有限直线段可以无限延长。
（3）以一个点为圆心、以一个确定的长度为半径可以画出一个唯一确定的圆。
（4）所有直角相等。
（5）如果一条直线上有两点与另一条直线上两点相对应，则这两条直线不会相交，或者在相交处形成同侧的两个直角。
2.非欧几里德几何公理与欧几里德几何不同，非欧几里德几何并不认为第五公理是正确的。
非欧几里德几何有多种公理体系，其中最著名的是黎曼几何和洛巴奇夫斯基空间。
黎曼几何公理认为平面上不存在平行线，而洛巴奇夫斯基空间则认为平面上存在无穷多个平行线。
三、总结公设和公理是构成了现代数学中各个分支学科体系中最基本概念和规则，它们构成了各个分支学科体系的基础和框架。
在学习数学时，我们需要深入掌握这些基本概念和规则，以便更好地理解和应用数学知识。
空间图形的基本关系与公理
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，
则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是
.
解析：如图所示，取CC1的中点N，连结MN，DN，
则MN AD，
∴四边形AMND为平行四边形， ∴AM DN，∴∠B1DN即为异面直线所成角.
连结B1N，设正方体棱长为a，则B1D＝ a， DN＝ a，B1N＝ a，
∴cos∠B1DN＝
＝
.
如图，四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC AD,BE FA，
G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
[思路点拨]
(2)法一：证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二：延长FE、DC分别与AB交于M，M′，
们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.证明共线问题的常用方法 (1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上； (2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交 两平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个 适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的
公共点.
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点，问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题．
热 点 提 示
1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.
2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题. 4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.
高中数学第一章立体几何初步4空间图形的基本关系与公理4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理
[小组合作型]
空间点、线、面的位置(wèi zhi)关系
(1)如果 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
(2)如图 1-4-1，在正方体 ABCD-A′B′C′D′中， 哪几条棱所在的直线与直线 BC′是异面直线？
图 1-4-1
第十页，共42页。
两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
【解析】 若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不 在同一直线上，则这两个平面重合．
【答案】 C
第十一页，共42页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
平面与平面 的位置关系
面面平行 面面相交
α∥β α∩β＝a
第五页，共42页。
1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论
立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比． 中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。
高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件
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2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
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3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
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学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5
空间几何公理知识点总结
空间几何公理知识点总结空间几何公理是几何学的基础，它是几何学中最基本的概念之一。
在空间几何学中，空间几何公理是一组能够推导出几何学定理的基本假设。
这些公理描述了空间中的点、线、平面以及它们之间的相互关系，是构建空间几何学知识体系的基础。
在欧几里德空间几何中，空间几何公理通常包括点、直线和平面的定义，直线和平面的关系，以及平行性公理等。
这些公理从某种程度上来说是自明的，即它们不能被证明，并且可以作为几何学知识的基础。
下面我将对空间几何公理的一些知识点进行总结，以便帮助大家更好地理解空间几何学的基本概念。
1. 点、直线和平面的定义空间几何公理的第一个知识点是点、直线和平面的定义。
在空间几何学中，点是没有大小和形状的，只有位置的概念。
直线是由无穷多个点组成的集合，没有宽度和厚度，是一条无限延伸的曲线。
平面是由无穷多个点和直线组成的集合，是一个没有厚度的曲面。
这些定义是空间几何学的基础，描述了空间中最基本的几何图形及它们的性质。
每一个点都可以确定一个位置，一条直线可以由两点确定，而一张平面可以由三点确定。
这些定义为我们后续推导几何学定理提供了基本的概念。
2. 直线和平面的关系在空间几何公理中，直线和平面之间的关系也是一个重要的知识点。
一条直线可以位于一个平面内，也可以与一个平面相交，也可以与平面平行。
这种关系描述了直线和平面在空间中的相互位置关系，是我们在空间几何学中经常需要考虑的问题。
比如，如果一条直线位于一个平面内，那么它和平面只有一个公共点；如果一条直线与平面相交，那么它有无穷多个与平面的公共点；如果一条直线与平面平行，那么它和平面没有公共点。
这些关系在空间几何学中具有重要的意义，它们决定了直线和平面在空间中的排列组合方式。
3. 平行性公理空间几何公理的另一个知识点是平行性公理。
在欧几里德空间几何中，平行性公理是指如果一条直线与一个平面内的另一条直线相交，那么它们的交角之和等于180度，即它们不平行；如果它们的交角之和小于180度，那么它们是相交的；如果它们的交角之和大于180度，那么它们是平行的。
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空间几何定理与公理
平面的基本性质
公理一如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内。
公理二过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。
公理二的推论
推论一经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。
推论二两条相交直线确定一个平面。
推论三两条平行直线确定一个平面。
公理三如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间点，线，面之间的位置关系
平行关系：直线与直线平行；直线与平面平行；平面与平面平行。
相交关系：直线与直线相交；直线与平面相交；平面与平面相交。
独有关系：异面直线；直线在平面内。
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
直线，平面平行的判定与性质
直线和平面平行
定义直线与平面没有公共点，则此直线与平面平行。
判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和这条交线平行。
两个平面平行
定义如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行。
判定定理一个平面内的两条相交直线与两一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
直线，平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直
定义如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面垂直。
判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行。
平面与平面垂直
定义两个相交平面所成的二面角是九十度，就说这两个平面互相垂直。
判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。