高一数学 立体几何初步章节测试题
高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案
高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学 第一章 立体几何初步水平测试 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
第一章立体几何初步水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三视图表示的几何体是( )A．圆台 B．棱锥C．圆锥 D．圆柱答案 A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台．2．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案 A解析 根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．3．已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.40003 cm 3 B.80003cm 3C ．2000 cm 3D ．4000 cm 3答案 B解析 由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V ＝13×20×20×20＝80003cm 3.4．已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3 B.2π3 C.2π3D.3π 答案 A解析 由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2π，又扇形的圆心角为120°，所以圆锥母线长为2π120180π＝3，高为32－12＝22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4 答案 B解析 该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E －CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝422＋22＝6.6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3 B.42π3C ．22π D．42π 答案 B解析 由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1如下图所示，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60° 答案 D解析 对于A ，由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；对于B ，连接AC ，易证BD ⊥平面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；对于C ，因为BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，同理可证AC 1⊥B 1C ，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于D ，因为BC ∥AD ，所以∠B 1CB 即AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．8．如下图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 与BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥BA ，则EF 与CD 所成的角为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30° 答案 D解析 取BC 的中点H ，连接EH 、FH ，则∠EFH 为所求的角，可证△EFH 为直角三角形，EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，∴sin ∠EFH ＝EH FH ＝12，∴∠EFH ＝30°.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1D D ．无法判断 答案 A解析 取B 1C 1中点H ，连接EH ，FH ，∵E 、F 、H 分别为BC 、D 1C 1、B 1C 1中点， ∴FH ∥D 1B 1，EH ∥BB 1， ∴平面EFH ∥平面BB 1D 1D ∵EF 平面EFH ， ∴EF ∥平面BB 1D 1D .10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C S △ABC ＝949，则PA ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34 答案 D解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△PAB ∽△PA ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝949，所以PA ′PA ＝37，所以PA ′AA ′＝34，故选D. 11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析 由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l ，故选D.12．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H .给出下列四个说法：①若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则PA ＝PB ＝PC ；④若PA ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 对于①，易知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以点H 是△ABC 的垂心；对于②，易知PB ⊥平面PAC ，所以PB ⊥AC ，同理，PA ⊥BC ，由①可知点H 是△ABC 的垂心；对于③，∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，所以HA ＝HC ＝HB ，又∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，所以PA ＝PB ＝PC ；对于④，∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，PA ＝PB ＝PC ，所以HA ＝HB ＝HC ，即点H 是△ABC 的外心．①②③④都正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．下列说法正确的是________．(填序号)①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长． 答案④解析 本题主要考查空间几何体的结构特征．根据圆柱母线的定义，①说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故②说法错误；圆锥只有—个底面，故③说法错误；根据圆锥母线的定义，④说法正确．14．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案 6解析 设大铁球的半径为R cm ，由43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，得R 3＝216，得R ＝6.15．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE 平行、相交的平面个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.答案 5解析CE 与正方体上底面平行，且在正方体下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m ＝1，n ＝4，因此m ＋n ＝5.16．如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)答案①④解析①中，记点B 正上方的顶点为C ，连接AC ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②③中，AB 均与平面MNP 相交．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1P ＝2PA 1，C 1Q ＝2QA 1.求证：直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．证明 如图，连接PQ .由B 1P ＝2PA 1，C 1Q ＝2QA 1， 得PQ ∥B 1C 1，且PQ ＝13B 1C 1.又BC 綊B 1C 1，∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP ，CQ 相交，设交点为R ，则R ∈BP ，R ∈CQ . 又BP 平面AA 1B 1B ，CQ 平面AA 1C 1C ， ∴R ∈平面AA 1B 1B ，且R ∈平面AA 1C 1C ，∴R 在平面AA 1B 1B 与平面AA 1C 1C 的交线上，即R ∈AA 1， ∴直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．18．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．解 (1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱．表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12×2×3×2＋2×3×3＝π＋23＋18.(2)体积V ＝12×2×3×3＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝33＋π6.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥AC .D ，E 分别是BB 1，A 1C 1的中点．(1)求证：DE ∥平面A 1BC ；(2)若AB ⊥BC ，求证：A 1B ⊥平面ABC ；(3)在(2)的条件下，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，求三棱锥A 1－BCC 1的体积．解 (1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1.又CC1∥BB1，D是BB1的中点，∴EF∥DB，且EF＝DB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BF，而DE⊆/平面A1BC，BF平面A1BC，∴DE∥平面A1BC.(2)证明：∵AA1⊥BC，AB⊥BC，AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B.又A1B⊥AC，AC∩BC＝C，∴A1B⊥平面ABC.(3)由(2)的结论，得A1B⊥AB，∵AB⊥BC，∴AB⊥平面A1BC.∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1BC.由B1C1∥BC，可知B1C1∥平面A1BC.∵A1B1＝AB＝1，BB1＝2，∴A1B＝1，∴三棱锥A1－BCC1的体积V A1－BCC1＝V C1－A1BC＝V B1－A1BC＝13S△A1BC·A1B1＝13×12×BC×A1B×A1B1＝13×12×1×1×1＝16.20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，BC＝BB1，M，N分别是A1B1，AC1的中点．求证：(1)MN∥平面BCC1B1；(2)平面MAC1⊥平面ABC1.证明(1)取BC1的中点D，连接B1D，ND，∵D ，N 分别是BC 1，AC 1的中点，∴ND ∥AB ，ND ＝12AB . 又M 为A 1B 1的中点，AB ∥A 1B 1，∴ND 綊B 1M ，∴MNDB 1为平行四边形，∴MN ∥B 1D .又B 1D 平面BCC 1B 1，MN ⊆/ 平面BCC 1B 1， ∴MN ∥平面BCC 1B 1.(2)由题可知AB ⊥B 1D ，B 1D ⊥BC 1.又AB 平面ABC 1，BC 1平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1D ⊥平面ABC 1.又B 1D ∥MN ，∴MN ⊥平面ABC 1.又MN 平面MAC 1，∴平面MAC 1⊥平面ABC 1.21．(本小题满分12分)如图，已知二面角α－MN －β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解 (1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设，知△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)，知AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α－MN －β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin60°＝32. 连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.22．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．解 (1)证明：如图，连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，而AO ∩BO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO .由于AB 平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)如图，作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H .由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC .又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD ＝34. 由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12. 由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为217.。
人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷含答案解析 (43)
高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )A．B．C．D．2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A．B．C．D．3.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是( )A．直线BQ∥平面EFG B．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFG D．平面A1BQ∥平面EFG4.如图，若Ω是长方体ABCD−A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1FHC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台5.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面6.练习1．已知一个正三棱锥的高为3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中OʹBʹ=OʹCʹ=1，则此三棱锥的体积为( )A．√3B．3√3C．√34D．3√347.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，则下列说法不正确的是( )A．A1F与D1E不可能平行B．A1F与BE是异面直线C．点F的轨迹是一条线段D．三棱锥F−ABD1的体积为定值8.如图，在各棱长均为1的正三棱柱ABC−A1B1C1中，M,N分别为线段A1B,B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条9.有以下结论：①平面是处处平直的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001cm．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．4．给10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=√33出下列四个结论：① CE⊥BD；② 三棱锥E−BCF的体积为定值；③ △BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形④ 在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6题）11.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β;②若α∥β，l⊂α，m⊂β,则l∥m；③若α∩β= l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则加m∥n.其中所有真命题的序号为12.直线与平面垂直的性质定理．注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．13.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( )（2）平行于同一条直线的两个平面平行．( )（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )（4）若α∥β，直线a∥α，则a∥β．( )14.直线与平面平行的判定定理15.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是．16.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=√3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：a3；④ 平面ABC⊥① AB与DE所成角的正切值是√2；② AB∥CE；③ V B−ACE=16平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）三、解答题（共6题）17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，如图．(1) 求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2) 试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E=EF=FC．18.几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？19.如图所示，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积．20.如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．⏜所在平面垂直，M是CD⏜上异于C，21.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CDD的点．(1) 证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2) 当三棱锥 M −ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．22. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，PD ⊥ 底面 ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD =AB =1，BC =√2．(1) 求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2) 设 H 为 CD 上一点，满足 CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =2HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 √63，求二面角 H −PB −C 的余弦值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】直观图2. 【答案】A【解析】对于B，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．【知识点】直线与平面平行关系的判定3. 【答案】B【解析】过点E，F，G的截面如图所示（H，I分别为AA1，BC的中点），因为A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，所以A1B∥平面EFG．【知识点】平面与平面平行关系的判定4. 【答案】D【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥FG，又EH∥B1C1，所以Ω是棱柱，所以A,C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1,EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以B正确．【知识点】棱柱的截面分析、直线与平面平行关系的性质、直线与平面垂直关系的性质5. 【答案】B【解析】对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定、充分条件与必要条件6. 【答案】A【解析】由直观图可知：正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，所以底面面积为12×2×2×√3 2=√3，所以三棱锥的体积为：13×√3×3=√3．故选：A．【知识点】直观图、棱锥的表面积与体积7. 【答案】A【解析】设平面D1AE与直线BC交于G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，如图，因为A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，又A1M，MN是平面A1MN内的两条相交直线，所以平面A1MN∥平面D1AE，而A1F∥平面D1AE，所以A1F⊂平面A1MN，得点F的轨迹为一条线段，故C正确；并由此可知，当F与M重合时，A1F与D1E平行，故A错误；因为平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，所以A1F与BE是异面直线，故B正确；因为MN∥EG，则点F到平面D1AE的距离为定值，所以三棱锥F−ABD1的体积为定值，故D正确．【知识点】直线与直线的位置关系8. 【答案】D【解析】如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交AB于点H，过点H作HG∥AC 交BC于点G，过点G作CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有无数条．故选D．【知识点】直线与平面平行关系的判定9. 【答案】B【解析】平面处处平直，无限延展，但是没有大小、形状、厚薄等，因此①②两种说法是正确的，③④两种说法是错误的．【知识点】平面的概念与基本性质10. 【答案】D【解析】因为BD⊥平面ACC1，所以BD⊥CE，故① 正确；因为点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，所以三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故② 正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，所以△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH．因为线段EF的长是定值，所以线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③ 正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④ 对．【知识点】直线与平面垂直关系的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】③【解析】① 中α还可能与β相交；②中直线l与m还可能异面；③中结合线面平行的性质可以证得m∥n．【知识点】空间的平行关系12. 【答案】平行【知识点】直线与平面垂直关系的性质13. 【答案】×；×；×；×【知识点】直线与平面平行关系的判定14. 【答案】此平面内一条直线平行【知识点】直线与平面平行关系的判定15. 【答案】矩形【解析】如图所示，因为点M，N，P，Q分别是四条边的中点，AC，所以MN∥AC，且MN=12AC，PQ∥AC，且PQ=12所以MN∥PQ，且MN=PQ，因为四边形MNPQ是平行四边形，又因为AC⊥BD，NP∥BD，所以PQ⊥NP，所以四边形MNPQ是矩形．【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】①③④【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：因为A点在平面BCDE上的射影为D点，所以AD⊥平面BCDE．因为BC⊂平面BCDE，所以AD⊥BC．因为四边形BCDE是正方形，所以BC⊥CD，又AD∩CD=D，所以BC⊥平面ADC．又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确；因为DE∥BC，所以∠ABC为AB与DE所成的角或其补角，因为BC⊥平面ADC，AC⊂平面ADC，所以BC⊥AC，所以tan∠ABC=ACBC，因为AB=√3BC，BC=a，所以在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√2a，所以tan∠ABC=ACBC=√2，故①正确；连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，所以CE⊥AD．又BD∩AD=D，所以CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以CE⊥AB．故②错误；在Rt△ABE中，AB=√3a，BE=a．所以AE=√2a，又DE=a，AD⊥DE，所以AD=a，所以三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V A−BCE=13S△BCE⋅AD=13×12×a2×a=a36，故③正确．【知识点】直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD∥B1C1，AD=B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．同理，B1D1∥平面C1BD．又因为AB1∩B1D1=B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD．(2) 如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E．又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E=EF=FC．因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1，平面A1C1C∩平面C1BD=C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E=EF．同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即 FC =EF ，所以 A 1E =EF =FC ．【知识点】平面与平面平行关系的判定、平面与平面平行关系的性质18. 【答案】没有，平行四边形．【知识点】平面的概念与基本性质19. 【答案】因为正四棱台的上底面是边长为 2 的正方形，下底面是边长为 4 的正方形，所以上底面、下底面的面积分别是 4，16， 因为侧棱长为 2，侧面是全等的等腰梯形， 所以侧面等腰梯形的高为 √4−(4−22)2=√3，所以一个侧面等腰梯形的面积为 12×(2+4)×√3=3√3， 所以四棱台的表面积为 4+16+3√3×4=20+12√3． 【知识点】棱台的表面积与体积20. 【答案】这个几何体不是棱柱，截去的部分是一个四棱锥 C 1−EA 1B 1F ，如图所示．在四边形 ABB 1A 1 中，在 AA 1 上取点 E ，使 AE =2，在 BB 1 上取点 F 使 BF =2，连接 C 1E ，EF ，C 1F ，则过点 C 1，E ，F 的截面将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱 ABC −EFC 1，其侧棱长为 2．截去的部分是一个四棱锥 C 1−EA 1B 1F ，也可以从点 C 截． 【知识点】棱柱的结构特征21. 【答案】(1) 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，面CMD ∩面ABCD =CD ． 因为 BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以 BC ⊥平面CMD ， 故 BC ⊥DM ．因为 M 为 CD ⏜ 上异于 C ，D 的点，且 DC 为直径， 所以 DM ⊥CM ，又 BC ∩CM =C ，BC ⊂面BCM ，CM ⊂面BCM ， 所以 DM ⊥平面BMC ，而 DM ⊂平面AMD ，故 平面AMD ⊥平面BMC ．(2) 以 D 为坐标原点，DA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D −xyz ． 当三棱锥 M −ABC 体积最大时，M 为 CD⏜ 的中点． 由题设得 D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，M (0,1,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，设 n ⃗ =(x,y,z ) 是平面 MAB 的法向量，则 {n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即 {−2x +y +z =0,2y =0.可取 n ⃗ =(1,0,2)．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面 MCD 的法向量，所以 cos⟨n ⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=n⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣∣∣∣DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√55，sin⟨n ⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=2√55， 所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2√55．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题22. 【答案】(1) 因为 AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD =AB =1， 所以 BD =√2． 又 BC =√2，所以 CD =2， 所以 BC ⊥BD ． 因为 PD ⊥ 底面 ABCD ， 所以 PD ⊥BC ， 又 PD ∩BD =D ， 所以 BC ⊥平面PBD ． 又因为 BC ⊂平面PBC ，所以 平面PBD ⊥平面PBC ．(2) 由（Ⅰ）可知 ∠BPC 为 PC 与平面 PBD 所成的角， 所以 tan∠BPC =√63， 所以 PB =√3，PD =1．由 CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =2HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及 CD =2 得 CH =43，DH =23． 以点 D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 D −xyz ，则 B (1,1,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，H (0,23,0)． 设平面 HPB 的法向量为 n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则 {HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,即 {−23y 1+z 1=0,x 1+13y 1=0.取 y 1=−3，则 n ⃗ =(1,−3,−2)． 设平面 PBC 的法向量为 m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则 {PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =0,即 {x 2+y 2−z 2=0,−x 2+y 2=0.取 x 2=1，则 m ⃗⃗ =(1,1,2)， 又 cos⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=−√217， 所以二面角 H −PB −C 的余弦值为√217． 【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题。
高一数学 立体几何初步章节测试题
高一数学 立体几何初步章节测试题一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知b a ,是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则α⊥β；②,,γβγα⊥⊥则α//β；③αβα⊥⊥,b ，则β//b ；④b a ==γβγαβα ,,//，则β//a ，其中正确的命题序号是 （ ）A 、①④B 、①③C 、①②④D 、③④2、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体的对角线的长为 （ ）A 、32B 、23C 、6D 、63、相交成60°角的两条直线与平面α所成的角是45°，则这两条直线在平面α内射影的夹角是 （ ）A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°4、已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则b a ,的关系是 （ ）A 、a b )12(-=B 、a b )12(+=C 、a b 222-=D 、a b 222+= 5、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为 （ ） A 、π28 B 、8π C 、π24 D 、4π6、设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A 、V 61B 、V 41C 、V 31D 、V 217、如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD ⊥底面ABCD ，SB=3，则平面ASD 与平面BSC 所成的二面 角大小为 （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8、下列图形中，不是三棱柱的展开图的是 （ ）ABCDSA B C D9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ） A 、3 B 、C 、6D 、 10、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为图中的（）A B C D 11、四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心12、△ABC 的边AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把△ABC 旋转一周，所得旋转体的体积为V AB ，V BC ，V AC ，则它们的大小关系是 （ ）A 、V AB > V AC > V BC B 、V AB > V BC > V AC C 、V AB > V BC > V ACD 、V BC > V AC > V AB 二、填空（每小题5分，共20分）13、已知正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则此球的表面积为 。
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1. ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是A．A、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面【答案】D【解析】平面A1C∩平面AB1D1=AO，∵直线A1C交平面AB1D1于点M，∴M∈AO，即A，O，M三点共线；根据A，O，M三点共线，知A1A∩AO=A，∴M，O，A1，A四点共面；同理M，O，C1，C四点共面；OM，B1D是异面直线，故O，M，B1，D四点共面是错误的，故选D。
【考点】本题主要考查正方体的几何特征、空间点线面的位置。
点评：基础题．重在基础知识的记忆与理解。
2.两等角的一组对应边平行，则A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边也不可能垂直D．以上都不对【答案】D【解析】两个等角的一组对边平行，另外一组边可以具有各种位置关系，并且不能确定是哪一种关系，故选D．【考点】本题主要考查空间图形平行关系。
点评：易错题的基础题，需要认真分析题目所叙述的命题是否正确。
3.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的关系是A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定【答案】A【解析】若AB∥CD，易得EF与α、β均平行若AB与CD相交，则EF与α、β均平行若AB与CD异面，则设过AB和EF的平面交α，β分别于直线AG和BH，如下图所示：且使G，F，H在一直线上．因为平面α∥β，所以AG∥CH，连接CG和DH，则CGFDH在一个平面内，且CG∥DH，F为CD中点，所以三角形CFG和三角形DFH全等，即得FG=FH，因为AG∥CH，又E，F分别为AB，CD中点，且A，C，H，G在一个平面内，所以EF∥AG∥CH，CH在平面β内，故EF∥β．同理EF∥β故选A。
【考点】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系。
高一数学立体几何初步单元测验
高一数学（上）立体几何初步单元测验一、选择题：（每小题5分，共40分）1、如图所示的图形中哪一个是正方体的展开图（ ）A 、B 、C 、D 、 2、下面的三视图表示的几何体是（ ）A 、正六棱锥B 、正六棱柱C 、正六棱台D 、正六边形 3、下列判断正确的是（ ）A 、空间中的三个点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、六边形一定是平面图形D 、梯形一定是平面图形4、如图，设AA 1是正方体的一条棱，这个正方体中 与AA 1异面的棱共有（ ）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条5、若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行， 则这两个平面的位置关系是（ ）主视图左视图俯视图ABCD A 1B 1C 1D 1A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 6、在空间中，下列哪些命题是正确的（ ） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
A 、仅②不正确B 、仅①④正确C 、仅①正确D 、四个命题都正确 7、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（ ） A 、若l β，且α⊥β，则l ⊥α B 、若l ⊥β，且α∥β，则l ⊥α C 、若l ⊥β，且α⊥β，则l ∥α D 、若α∩β=m ，且l ∥m ，则l ∥α 8、长方体共一个顶点的三个面的面积为6,3,2，则长方体的体积为（ ） A 、23 B 、32 C 、3 D 、6 一．选择题：(另加)１．设有两条直线a 、b 和两个平面α、β，则下列命题中错误的是 （ ） A ．若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b α B ．若//a b ，且,a b αβ⊥⊥，则//αβC ．若//αβ，且,a b αβ⊥⊥，则//a bD ．若a b ⊥，且//a α，则b α⊥2、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 3．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；U= /③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是 （ ）A ．①②③B ．②④C ．②③④ D.③④4、给出下列关于互不相同的直线,,m n l 和平面,αβ的四个命题:（1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；（3）若m l m l //,//,//,//则βαβα；（4）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//，其中为错误的命题是 （ ）个.Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个5、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： 若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ( )6. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ）（Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个7、下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PR SSQRPQQSSPPQR SS（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：（第小题6分，共24分）9、3个平面最多可以将空间分成 部分。
【必刷题】2024高一数学下册立体几何初步专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学下册立体几何初步专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标是（）A. (1,2,3)B. (1,2,3)C. (1,2,3)D. (1,2,3)2. 下列关于直线l：x=1，y=2+t，z=32t的描述，正确的是（）A. 直线l平行于x轴B. 直线l平行于y轴C. 直线l平行于z轴D. 直线l垂直于x轴3. 一个正方体的对角线长度为6根号3，则其表面积为（）A. 216B. 54C. 108D. 1444. 若长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，则其对角线长度为（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 9cm5. 下列关于平面α：2x3y+z=6的描述，正确的是（）A. 平面α平行于x轴B. 平面α平行于y轴C. 平面α平行于z轴D. 平面α垂直于x轴6. 下列关于点P(2,3,4)到平面α：x+y+z=6的距离，正确的是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若三棱锥的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为根号3，则其体积为（）A. 1/3B. 1/6C. 1/9D. 1/128. 下列关于球体的描述，正确的是（）A. 球体的表面积与半径成正比B. 球体的体积与半径成正比C. 球体的表面积与半径的平方成正比D. 球体的体积与半径的平方成正比9. 若四面体的四个面均为等边三角形，边长为a，则其体积为（）A. a^3/6B. a^3/12C. a^3/18D. a^3/2710. 下列关于空间向量夹角的描述，正确的是（）A. 向量a与向量b的夹角为90°，则a·b=0B. 向量a与向量b的夹角为0°，则a·b=0C. 向量a与向量b的夹角为180°，则a·b=0D. 向量a与向量b的夹角为60°，则a·b=0二、判断题：1. 在空间直角坐标系中，点A(0,0,0)到点B(1,1,1)的距离等于根号3。
高一数学立体几何初步测试题及答案必修2答案
高一立体几何初步测试题答案参考答案及评分标准一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A B C A C D B B 二、填空题11. 2215()(5)252x y -+-=或2215()(5)252x y +++= 12. 3090α︒︒<<13. 20x -= 14. 22(1)1x y +-= 15. 2或-2 16. 240x y -+=; 25270x y -+= 三、解答题17. 解：解方程组2222(1)(3)20,10,x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩得交点坐标为(3,1)-，(3,1)-. …5分 设所求圆的圆心坐标为(2,)a a -，=解得37a =-，r =， …5分因此，圆的方程为222610077x y x y +++-=. …2分 18. 解：设点P 的坐标为(,0)a (0)a >，点P 到直线AB 的距离为d . 由已知，得2211(31)(42)1022ABP S AB d d ∆==-+-=. …4分 解得d =…6分由已知易得，直线AB 的方程为10x y -+=. 所以d == …10分解得9a =，或11a =-(舍去). …12分 所以点P 的坐标为(9,0). …14分 19. 解：由已知得圆C 的圆心为(0,7)C ，半径为5r =. …3分如图所示，(25,18)M 关于x 轴的对称点为(25,18)M '-， …6分 所求反射光线过点M '，C ，所以所求直线方程为70187250y x --=---， 即70x y +-=. …9分 20. 设圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=(0)r >，则圆心是(,)C a b ，半径是r . 因为圆C 截得y 轴所得的弦长为4，所以224r a =+. …4分 因为圆C 被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1，所以2r b =. …8分 因为圆心(,)C a b 在直线y x =，所以b a =。
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高一数学 立体几何初步章节测试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知b a ,是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①b a b a ⊥⊥⊥,,βα，则α⊥β；②,,γβγα⊥⊥则α//β；③αβα⊥⊥,b ，则β//b ；④b a ==γβγαβα ,,//，则β//a ，其中正确的命题序号是 （ ）
A 、①④
B 、①③
C 、①②④
D 、③④
2、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，则这个长方体的对角线的长为 （ ）
A 、32
B 、23
C 、6
D 、6
3、相交成60°角的两条直线与平面α所成的角是45°，则这两条直线在平面α内射影的夹角是 （ ）
A 、90°
B 、60°
C 、45°
D 、30°
4、已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则b a ,的关系是 （ ）
A 、a b )12(-=
B 、a b )12(+=
C 、a b 222-=
D 、a b 2
2
2+= 5、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为 （ ） A 、π28 B 、8π C 、π24 D 、4π
6、设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）
A 、V 61
B 、V 41
C 、V 3
1
D 、V 21
7、如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD ⊥底面ABCD ，SB=3，则平面ASD 与平面BSC 所成的二面 角大小为 （ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90°
8、下列图形中，不是三棱柱的展开图的是 （ ）
A
B
C
D
S
A B C D
9
、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 ） A 、
3 B 、
C 、6
D 、 10、如图所示，在正方体ABCD —
A 1
B 1
C 1
D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为图中的
（
）
A B C D 11、四面体PABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，则P 在平面ABC 的正投影是△ABC 的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心
12、△ABC 的边AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把△ABC 旋转一周，所得旋转体的体积为V AB ，V BC ，V AC ，则它们的大小关系是 （ ）
A 、V A
B > V A
C > V BC B 、V AB > V BC > V AC C 、V AB > V BC > V AC
D 、V BC > V AC > V AB 二、填空（每小题5分，共20分）
13、已知正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则此球的表面积为 。
14、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，则：①四边形BFD 1E 一定是平行四边形；
②四边形BFD 1E 有可能是正方形；
③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④平面BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 。
以上结论正确的为 。
（写出所有正确结论的编号）
15、如图所示，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图中的 （要求：把可能的图的序号都填上）。
① ② ③ ④
2232
3B
C A D
1A 1B 1
C 1
D ⋅
P A A A A B
C
A D
1A 1
B 1
C 1
D
E F
16、α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n,②α⊥β,③n ⊥β,④m ⊥α,以其中三个论断为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题 。
17、由图⑴有面积关系：
PB PA B P A P S S PAB
B A P ⋅'
⋅'=
∆''∆，则由图⑵有体积关系：ABC
P C B A P V
V -'''-= 。
⑴ ⑵
三、解答题
18、（本小题满分14分）如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
正视图
侧视图 俯视图
19、如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，且平面PCD ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，面PBC 和面ABC 所成的二面角为45°。
（1）求证：PA//平面EDB ； （2）求证：平面EDB ⊥平面PBC 。
A
A
A '
A '
B
B
B '
B '
C
P
C P
P
O
O
O '
O '
⋅
⋅
⋅⋅
A
B
C
D
E
P
O
C '
20、（本小题满分14分）如图所示，把边长为26 的正方形剪去图中阴影部分，沿图中的线折成一个正三棱锥，求出此棱锥的底面积，侧面积和高。
21、（本小题满分14分）如图所示，已知BB 1CC 1是Rt △ABC 所在平面同侧的两条相等的斜线段，它们与平面ABC 所成的角均为60°，且BB 1//CC 1，线段BB 1的端点B 1在平面ABC 上的射影M 恰是BC 的中点，已知BC=2cm ，∠ACB=90°。
⑴求异面直线AB 1与BC 1所成的角；
⑵若二面角A —B 1B —C 为30°，求三棱锥C 1—ABC 的体积； （3）求直线AB 1与平面BCC 1B 1所成的角。
B
C
M 1
B 1
C
22、（本小题满分14分）已知AB是球O的直径，C、D是球面上的两点，且D在以BC为直径的小圆上，设此小圆所在平面为α，（1）求证：平面ACB⊥α；（2）设AB与α所成角为θ，过球半径OD且垂直于α的截面截BC弦于E点，求△OED与经过点O、D的截面面积之比，并求θ为何值时，它们的面积之比最大。