2 自然坐标系 圆周运动 相对运动
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自然坐标系
t)
-
et
(t)
当： t 0 , 0
et
t
t
O Δ P2
s
et t
有 det et d d
P1
方向
det
et
d et d
d t dt
即en方向
en
et
t
t
et
et
t
4
d ds
at
dv dt
c
an
v2 R
(b ct)2 R
（2） at an
解得 t b R cc
12
§1-3 相对运动
一 时间与空间
在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关．
时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
13
二 相对运动
o
at
0.4
M at
a
x
11
例5 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时
间t 的变化规律为 s bt 1 ct 2，式中b，c为大于
零的常数，且 b2 Rc 。求（2 1）质点的切向加速
度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速
度等于法向加速度。
解： （1）
v ds b ct dt
解： 按题意作矢量图
y
v v0 v
v v0 tan 60 10 tan 60m s1
17.3 m s1
y´ x´
v0
v
速度：
v
大学物理-运动学
x
矢量OM 的端点 M 所画的圆叫参考圆。 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置，它与 x 轴的夹角φ叫初相位。 简谐振动的参考圆和矢量表示方法十分形 象，有很广泛的应用。
M M0
A
ω
ωt
O
φ x P
X
M
A
P x
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
A
P
M
x
注意：旋转矢量在第 1 象限 速度v < 0
第五节 抛体运动
第五节
抛体运动
将一质点以仰角θ抛射出 去，其初 速度为 v0，不计 空气阻力，此质点有一垂直 向下的恒加速度 g，研究质 点的运动情况。 解: 设 x 轴平行于水平面，
y 轴垂直向上，质点在 t = 0 时位于原点被抛出。 v0 在X轴和Y轴上的投影分别是 V0x=V0cosθ, V0y=V0sinθ 物体的加速度为: a = g = -g j 在水平方向加速度分量为零，物体作匀速运动，在垂 直方向加速度分量为-g 物体作垂直上抛运动, 因此 Vx=V0cosθ , Vy=V0sinθ - g t
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步
0
A1 A2
相位差的问题 x 1= A cos( t +φ 1 ) ω x 2 = A cos ( t +φ 2 ) ω 若周相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差Δ Φ = 0 称两振动同步 若周相差Δ Φ = π 称两振动反相
自然坐标系
r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
圆周运动-相对运动
v vn vt
r
o
v
vA
v n
vt
vB
法向
v2 an r 2 r
只改变速度的方向
只改变速度的大小
25.
切向
dv at dt
2.自然坐标系(常用于已知轨迹情况) 切向 (et ) 和法向 (en ) 运动方程： s s (t ) ( 路程 )
由轨道方程可得 v ds 20 0.4t
dt
将 t 1.0s代入，得
v 19.6m/s
20 0.4t v R R
2 2
切向加速度和法向加速度分别为
dv a t 0.4m/s2 dt
an
加速度
2 a at2 an
将 t 1.0s代入，得
a 3.86m/s2
则上述各量均与参考系选择有关 牛顿定律 F ma 存在适用参考系问题
b. 如 u C
则
a
du a ( dt 0 ) 牛顿定律对S和S’系等价
34.
[例] 河水静静地流着，流速为u=3m/s，河面 宽1km。一个人划船到对岸，船相对于水的速度 为 v 2.0m/s 。若船头相对于上游成 30 角，求： 到达对岸要花多少时间？到达对岸时位于下游何
r a n
o
a
at
dv at dt
vB
分离变量有
v
vB
A
dv at dt
0
t
已知：vA 1940km h
1
AB 3.5km vB v A vB t 2 a 23 . 3 m s d v a d t t vA 0 t t 2 vB 2 an 106m s 在点 B 的法向加速度 r vA A 在点 B 的加速度
1-2自然坐标系
加速度
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
7自然坐标系
University ຫໍສະໝຸດ hysics三. 角加速度（描述质点转动角速度变化快
慢的物理量）
o
t : t t :
r
P
lim
(t t ) (t )
dt
角加速度的方向与 dω 的方向相同
t 0
d d 2 k k 2 k dt dt
aτ
aτ
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？ 对B 点
a
y
2 2 2
aτ 0, an g , v B v 0cos
vo
B
vB (v 0cos ) xm ρ B an g 8 ym
o
C x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
法向加速度
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
2 2 v d v d s ds 2 1 a an n aτ τ n τ 2 τ ( ) n dt dt dt 2 v 对匀速率圆周运动 a 0 an an n n r 加速度的正交分解 a an n aτ τ Pv • a an a aτ 2 an 2 , tg n
两类问题（圆周运动的角量描述） 1. 第一类问题 已知运动学方程， (t ) 求 ,
P
aτ v
d ω k dt
d d d 2 k 2 k dt dt dt
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
大学物理-运动学
A-1 一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡 位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分 之一最大位移这段路程所需的时间为： （A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8 解： Δ φ = ω Δ t ω=2π/ T Δt=Δφ/ω = (π /6)/(2 π / T) A A/2 π /6 =Δ φ = T/12 O X 答案 （B）
的速率为 –v0
r = r=
1-7 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从 同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行 驶的距离 x （m）与行驶时间 t （s）的函数关系式 ：A为 xA=4t+t2 ，B为 xB =2t2 +2t3 ，试问： （1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？ （2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同 ？ （3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零 ？ 解：（1）时间从 0 到 △t→0 ，x = 0+ △x = v △t xA（ △t ）= vA |t=0 △t = 4 △t xB（ △t ）= vB |t=0 △t = 0 △t = 0 所以，A 车行驶在前面。
1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程 的关系为： v = 1 + S2 （m/s） 试求： 切向加速度 at 用路程 S 来表示的表 达式。 解： a t = dv / dt = 2SdS / dt = 2Sv = 2S（1 + S2 ） （m/s2）
1-16 5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m 。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程 和速度。 Y 解：设某一时刻梯子的位置如图 y A 由几何关系得：x2 = L 2 - y2 L 因为 A点匀速下滑，所以 B y = yo -vot = 4 - 2t X O x 2 =L2 - y2 = 52 -（4 - 2t）2 故：x （1）运动方程：x2 = 9 + 16t - 4t2 (m) （2）两边对时间求导：2xdx/dt = 16 - 8t vx = dx/dt =（8 - 4t）/x =（8 - 4t）/（9 + 16t - 4t2）1/2 (m/s)
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
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第1章 质点运动学
O 直角坐标: 加速度方程 a x 0
ay g 速度方程 u x u0 cos u y u0 sin gt
练习: 一物体做抛体运动, 已 知v0 , , 讨论 B et v0 g et en
A
g
en
en
C
g
et
上式中第一项: v v v t v e lim et lim t lim t 0 t t 0 t t 0 t 大小 方向: 切向 dv et at dt dv 切向加速度 a t a t et et dt
v v n v v
B
位置矢量: rOP rOP rOO
O
a 物地 a 物梯 a 梯地 物体A, B以加速度a
相对于电梯运动
物体A, B相对于地的加速度
r r r 位移矢量: OP OP OO
加速度矢量(O 相对O平动时)
速度矢量: vOP vOP vOO
aOP aOP aOO
a a a0
注意: 暗含两个参考系时间与空 间测量的绝对性(绝对时空观).
P.11/46
第1章 质点运动学
在直角坐标系中(一般情况):
y
S
S y
rOP
O rOO
P
x
x
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北 偏西 30方向吹来. 问: 人感到风 是从那个方向吹来？
§1-3 相对运动 坐标系S固定于地面坐标系S 固定于行车, 随车一起运动. 绝对运动: 物体相对于静止参 考系(S)的运动, 位移为
r0 r r lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
r物地 r物车 r车地
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
平移
v n v v v t v
v
第1章 质点运动学
s P 1
v
P2
t 时刻位于P1点, 速度为 v
经过t时间位于P2点, 速度为 v 速度增量: v v v
v vt vn a lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t 上式中第一项： v v t v v et lim et lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
(2) 角速度 平均角速度:
d lim 角速度: t 0 t dt
(rad s 1 ) t
旋转方向
角速度矢量:
O
R
方向符合右手 螺旋 角速度与线速度关系:
v r
(3) 角加速度 平均角加速度:
t (rad s 2 )
改变 改变 速度方向
P.2/46
速度大小
dv et 切向加速度 at at et dt
法向加速度 总加速度
v2 an en
at
an
et
第1章 质点运动学
a a t an
改变
改变
讨论: (1) at = 0 匀速率运动;
at≠ 0 变速运动. (2) an = 0 直线运动; an≠ 0 曲线运动 例1-7. 抛体运动 y u0
r0
r
P.9/46
x
v 物地 v物车 v车地 —— 伽利略速度变换
绝对速度 相对速度 牵连速度 y
S y
第1章 质点运动学
a 物地 a 物车 a 车地
a 绝对 a 相对 a 牵连
O
x
—— 伽利略加速度变换 如: 电梯以加速度a0相对于地 向上运动
v 2 ( R ) 2 an R 2 R R
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
(4) 角量与线量的关系
P (t+t) P(t) s R O x
(5) 用角量描述圆周运动 圆周运动是一般曲线运动的 一个特例, 曲率半径为常量. ① 一般圆周运动
a x b
vax vab v xb
北
西
v ab
v xb
北偏西30° 解: 设人为x, 风为a, 地为b 由相对运动原理得 南
东 v ax
vab vax v xb
人感觉风是从北偏东 30方向吹来.
绝对速度 （风对地）
相对速度 牵连速度 （风对人） （人对地）
S R
dS Rd v R dt dt
dv at dt
v2 an R
P.7/46
第1章 质点运动学
(5) 用角量描述圆周运动 圆周运动是一般曲线运动的 一个特例, 曲率半径为常量. ① 一般圆周运动
③ 匀变速率圆周运动基本公 式的角量表示
0 t
1 2 2 2 0 2 0
1.2.4 自然坐标系中的速度和加速度 自然坐标系 将坐标建立在运动轨迹上的坐 标方法 切向: 切向坐标轴沿质点前进方 向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向 凹侧为正. 1. 自然坐标中的速度和加速度 1) 位置 路程和速度 在质点的运动轨迹上 , 任取一 点O作为坐标的原点. 从原点O到 轨迹曲线上任意一点 P 的弧长定 义为P点的坐标S. O
a
rOP
位置矢量: rOP rOP rOO
O
x
b
位移矢量: rOP rOP rOO
解: 设人为x, 风为a, 地为b 速度矢量: vOP vOP vOO 由相对运动原理得 加速度矢量(O＇相对O平动时) vab vax v xb
g cos
2 v0 gcos
ag
P.4/46
2. 圆周运动
第1章 质点运动学
1)圆周运动的角量描述 线量: 自然坐标系下以运动 曲线为基准的基本参量. 角量: 极坐标系下以旋转角 度为基准的基本参量.
以 x 轴为参照, 逆时针形成的 > 0, 顺时针形成的 < 0. 角位移: 角位置的增量 逆时针形成的 > 0, 顺时针形 成的 < 0.
0 0 t t 2
dv at dt
at 0
v an R
2
与匀变速直线运动基本公 式的数学形式相同.
② 匀速圆周运动
v v0 a t 1 2 s s 0 v0t a t 2 2 v 2 v0 2a s s0
P.8/46
v2 a an R
t
v
第1章 质点运动学 vn v lim en 第二项: lim t 0 t t 0 t vd v2 ds en v en en dt dt
dS d
曲率半径
v2 法向加速度 an en
总加速度
a a t an
第1章 质点运动学
r
v 物地 v物车 v车地
S y x
相对运动: 物体相对于自身参考 系(S)的运动, 位移为
y
O
r
牵连运动: 运动参考系S相对静 止参考系S的运动, 位移为 r0
r r r0
r
O
S
A
绝对运动＝相对运动＋牵连运动
大小 方向: 切向 dv et at dt
dv et 切向加速度 a t a t et dt
P.1/46
v vt vn
平均加速度: 瞬时加速度:
v a lim t 0 t
v a t
v vt vn v v v t n lim lim a lim t 0 t t 0 t t 0 t
大小: v rsin 方向: 满足右手螺旋
d d 2 角加速度: lim 2 t 0 t dt dt
P.6/46
第1章 质点运动学
(3) 角加速度 平均角加速度: 角加速度:
t
(rad s 2 )
dv d at R R dt dt
aOP aOP aOO
相对速度 牵连速度 注意: 暗含两个参考系时间与空 绝对速度 （风对地） （风对人） （人对地） 间测量的绝对性(绝对时空观).
P.12/46
第1章 质点运动学
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北 偏西 30方向吹来.问: 人感到风 是从那个方向吹来？
r
O
S
即
A
a0
r
x
r0
a
A
B
P.10/46
v v v 0
v
a
v0
v
第1章 质点运动学
如: 电梯以加速度a0相对于 地面向上运动
在直角坐标系中(一般情况):
y
S
a0
S y
A
a
rOP
O r rOO OP
P
x
x
a
P.13/46
作业
第1章 质点运动学
习题集：112、22、24、32、38、 39、40、43、45、51、 54
P.14/46
第1章 质点运动学
质点运动方程为 S =S(t), P至 Q的位移为 s . 路程: 自然坐标的增量
S SQ S P
S
P
et e n