03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、

α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
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对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t
1 2 0 0t t 2
0 ( 0 )t
2 2 0 2 ( 0 )
1 2
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。 由于位置矢量可以表示为 r xi yj R cosi R sin j
t=2s时
α =6t
ω=3×22+3=15(rad/s)
α=6×2=12(rad/s2)
aτ =R αห้องสมุดไป่ตู้=0.5×12=6(m/s2)
an=Rω2=0.5×152=112.5(m/s2)
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3 用自然坐标系描述平面曲线运动的速度与加速度 自然坐标系将质点的运动轨迹 作为坐标的一个轴，在质点运 动轨道上任取一点作为坐标原 点O ，运动函数为：S=S(t) 质点在P点的坐标轴的方向由 沿S的切向及法向矢量构成。
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例2、以仰角θ=450、初速v0=20m/s抛出 一物体。求抛出后第2秒末物体的切向加 速度、法向加速度、和轨道的曲率半径。
Vx=V0cosθ=20cos450=14.14m/s
vy
an
vx
Vy=V0sinθ-gt= -5.46m/s


V V V 15 .13m / s
g
at
v
2 x
2 y
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
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5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、 a、s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
△τ=1× △ θ 当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中 心（即法向）。 d d n dt dt
dv d n 得：a v dt dt
切向加速度分量 法向加速度分量
dv a dt
d v d v ds v 2 an v dt dt dt
速度大小为 v=Rω
方向在圆周的切线方向上。
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同样可以得到加速度：
d d d aR ( sini cosj ) R ( cos i sin j) dt dt dt 2 R ( sini cosj ) R (cosi sinj )
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
dr d d v R sin i R cos j R d ( sini cos ) j dt dt dt dt
Y
V
r
d R [cos( )i sin( ) j ] dt 2 2

X
括号中的项是与r垂直的单位矢量
将沿S的切向指向弧坐标正向的单位矢量记为τ（切向单位矢量）。
沿S的法向且指向曲率中心的单位矢量记为n（法向单位矢量）。
ds v v 质点在P点的速度 dt dv d a v 质点在P点的加速度 dt dt
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c

τ'
ρ
τ' τ
dv 其方向沿轨道的切向，称为切向 由于 dt 加速度。 d ? 再看 dt
d r dr d er er r 质点的运动速度： dt dt dt 其中 dr/dt 表示矢量 r 的模的变化率。 与圆周运动的情况比较：er r0
可以证明平面
位置矢量为：
r rer
极坐标的速度为
d r dr d er r e dt dt dt
第一章 质点运动学
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§1-3 圆周运动
1 圆周运动的角量描述：质点做圆周运动时，轨道上 的任意点到圆心距离为R,用一个变量θ即可描述其运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t

X
θ=θ(t)
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
sini cosj
切向加速度为 a R R d d ( R ) dv
dt dt
n为圆周法向上的单位矢量
法向加速度为
dt n (cosi sinj )
( R ) 2 v 2 an R 2 R R
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4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er

在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
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这时加速度可以表示为 a aτ an n t
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由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为 2 2
a a an
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。 解：ω=3t2+3