5-6 定积分的几何应用
定积分在几何学上的应用研究报告
8 2a 3
2 sin2 udu
0
0
4 3a 3
8 2a 3
1 2
2
6 3a 3
第六章 定积分的应用
16
说明：Vy 也可按柱壳法求出
Vy
2a 2 xydx 2 2 a t sin t
0
0
a2 1 cost 2 dt
8 a3
2 0
t
sint
sin4 t dt 2
16 a3 2u 0
23
例 13 求阿基米德螺线 a a 0相应于0 2 一段的弧长。
解：
弧长元素为
从而，所求弧长
ds 2 2 d
a 2 2 a 2d a 1 2d
s 2 a 1 2d 0
a
2
1 2
1 2
ln
1
2
2 0
a
2
2
1 4 2
ln
2
1
4 2
第六章 定积分的应用
x t y t
给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值t1 和t2 。
Y
t 1
对应
x
a
Y a
O
bX
O
a
bX
则曲边梯形面积 A
t2
t1
t t dt
t1 对应x b
第六章 定积分的应用
5
例 求由摆线x a t sint ，y a 1 cost a 0 的一拱与x 轴所围
s b 1 y 2dx b 1 f 2 x dx
a
a
第六章 定积分的应用
20
2.曲线弧由参数方程
x y
t t
t
给出
弧长元素（即弧微分）为ds 2 t 2 t dt ，因此
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分的几何应用
的面积为
1
A
1
(2
1
x2
y
x2 )dx
2
2x
2 3
x3
0
8. 3
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
(1, 1)
-1
O x x+dx 1 x
例2 求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 y = x – 4 所围图
形的面积.
解
解方程组
y2
2x,
体的体积差,
y y = f (x)
a x x+dx b x
即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2x f (x)dx - f (x)(dx)2. 上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小, 因此体 积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为
所围成的曲边梯形的面积为
b
y
A a f (x)dx.
y = f (x)
其中被积表达式 f ( x ) dx 是
直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的
dA f (x)
小矩形面积, 见图5-7.
O
a x x + dx b x
一般地, 平面图形以连续曲线 y = f ( x )与 y = g ( x ) 为上下曲边的曲边形的面积元素为dA = [ f (x) – g (x)]dx. 这样, 由 x = a , x = b , y = f ( x ) 和 y = g ( x ) 所围图形 ( 如图5 – 8 ) 的面积为
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面 半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积 元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
定积分的意义及其在几何中的应用
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目：定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二Ｏ一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们的生活中也起着很重要的作用！内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。
幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。
关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （其中a<c<b ）1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解：以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证：nx x n +≥+1)1(证明：若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时，1)1(1<+-n x 。
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 求由曲线 y 2 x 1 与直线 y x 1 所围成 2. 图形的面积 . y 解 为确定积分限，解方程组 3
y2 2 x 1 y x 1 得交点 (0, 1)， (4, 3) .
( 4, 3 )
y2 2 x 1
y x 1
1 2
O
微
史 册
积 分
电子课件
主讲
第五章 第六章 第七章
定积分及其应用 多元函数微积分 无穷级数
第八章
微分方程与差分方程
第五章 定积分及其应用
• • • • • •
定积分概念 定积分的性质 微积分基本公式 定积分的换元与分部积分法 广义积分 定积分的几何应用与经济应用
教学基本要求
基本要求： 掌握：牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部 积分法，广义积分的计算。 熟悉：利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积， 利用定积分求解简单的经济应用问题，变上限积分定义 的函数的导数。 理解：变上限定积分定义的函数。 了解：定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，反常 积分的概念。 重点：牛顿－莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部 积分法。 难点：变上限积分定义的函数的导数，广义积分的计算。
y
d
y
d
x 1 ( y )
x ( y)
c c
x
x 2 ( y)
o
o
x
考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？
观察下列图形，选择合适的积分变量：
y
d
y y y
y
d
x 1 ( y )
x ( y)
y y y
c
x 2 ( y)
c
x
d
o
o
d c
x
A ( y )dy
S [ f ( x ) g( x )]dx [ g( x ) f ( x )]dx
例 求由曲线 y x2 , y 2 x2 所围成平面图形的面积。 解 先求出两曲线的交点坐标（-1，1） ， （ 1， 1） ，积分 变量 x 的变化区间为[-1，1]，
S (2 x 2 x 2 )dx
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 3) 以所求量
区间[a , b] 上作定积分，得U
U 的积分表达式. 为所求量
a
b
f ( x )dx ，即
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积，体积。
经济应用。其他应用。
二、平面图形的面积
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值记作dA ；
o
a
x
x x
b x
如何用元素法分析？
dA＝f x dx
y
y f ( x)
第二步：写出面积 表达式。
A f ( x )dx
a
b
o
b x dA＝f x dx 如何用元素法分析？
a
x
x x
1. 由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b与x轴围成的平 面图形
y
y f ( x)
c
d
y
d
b
o
x ( y)
a
曲边梯形的面积
a b
x
c
d
S [ ( y )]dy ( y )dy [ ( y )]dy
c a b
即
S ( y ) dy
c
d
4.由两条曲线x= (y)、x= (y)与直线y = c、y = d 围成的平面图形
x b
2. 由两条曲线y= f (x)、y=g(x)与直线x = a、x = b围 成的平面图形
y y
y f ( x)
y f ( x)
y g( x )
y g( x )
o
a
a
b
b x
o
a
即
c
b a
b x
S [ f ( x ) g( x )]dx
c b a c
S f ( x ) g( x ) dx
y
d
y
d
x ( y)
x ( y)
x ( y)
e
c o
d c
x
c o
x ( y)
x
S [ ( y ) ( y )]dy
e d c e
即
S ( y ) ( y ) dy
c
d
S [ ( y ) ( y )]dy [ ( y ) ( y )]dy
第五章 定积分及其应用
不定积分---第4章 一元积分学 定积分------第5章
第六节 定积分的几何应用
一、定积分的微元法
二、平面图形的面积 三、旋转体的体积 四、平行截面面积已知的立体的体积 五、小结
一、定积分的微元法
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f ( x)
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
dA2 ( x 2 x 3 6 x )dx
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2 3 0
A ( x 6 x x )dx ( x 2 x 3 6 x )dx
2
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x吗？
观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：
a
a
半径为a的圆面积
例 计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
y x3 6x
解
两曲线的交点
y x3 6x 2 y x
(0,0), ( 2,4), ( 3,9).
y x2
选 x 为积分变量
x [2, 3]
(1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx ( 2) x [0,3],
n
i xi
（3） 求和，得A的近似值 （4） 求极限，得A的精确值
n
A f ( i )xi .
i 1
A lim f ( i )xi a f ( x )dx
0 i 1
b
若用A 表示任一小区间
[ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积， 则 A A ，并取A f ( x )dx ，
o
a
x
x x
b x
如何用元素法分析？
dA＝？
，
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作dA ；
o
a
x
x x
如何用元素法分析？
b x
A f x x
y
y f ( x)
第一步：取其中任 一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出 相应于这小区间的 部分量 A 的近似 值，记作dAa
b a
b
x
y f ( x)
S f ( x )dx
a b
S f ( x )dx
y
y f ( x)
o
a
c
d
b
x
曲边梯形的面积
S f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c d
c
d
b
即
S f ( x ) dx
1
1
4
x
对 y 积分 .
3
3 1 1 2 1 3 3 S ( y 1) ( y 2 1) dy y y y 1 2 6 2 1 2 16 3
此题如果选 x作积分变量，
必须分成两个部分，即
y
3
( 4, 3 )
S 2
o a
b x
x b 所围成。
A a f ( x )dx
b
面积表示为定积分的步骤如下：
x i 的小区间， （1）把区间[a , b] 分成 n 个长度为
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A
Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi
1 1
2 (1 x 2 )dx
1 1
1
4 (1 x 2 )dx
0
1 3 4( x x ) 3 8 3
1 0
例 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0)
(1,1)
x y2
选 x 为积分变量, x [0,1]
1 1 4 4
在[1,4]区间上，面积微元 为
总结：
1.选择积分变量的原则：
(1)尽量少分块 (2)积分容易。
2.准确的作图.
利用定积分求解面积步骤
1.准确作图（一条曲线还是两条曲线）
2.选择积分变量，确定积分区间.
(1)尽量少分块 (2)积分容易。
3.穿线法：考虑是不是要分块，如需分块，计算每块上的 面积. 4.选择面积计算公式.
0
1 2
2 x 1 dx
1 2
y2 2 x 1
y x 1
[ 2 x 1 ( x 1)]dx