14.1.4整式的除法(2)除法法则
《整式的除法》课件
详细描述
例如，在进行整式除法时，误将整数3除以2算成3/2=1.5， 而正确的计算结果应为3/2=1.05。这种错误常常是由于计算 习惯引起的，需要学生在进行整式除法时特别注意计算方法 和计算细节。
括号与乘除混合运算混淆的错误
总结词
括号与乘除混合运算混淆的错误是指在运算中，括号与乘除符号的排列顺序 出现混淆，导致计算结果错误。
详细描述
例如，将4(a+b)÷(c+d)算成4(a+b)/(c+d)，而正确的计算结果应为 (4(a+b))/(c+d)。这种错误需要学生在进行运算时注意符号的排列顺序和括号 的使用方法。
乘方与乘除混合运算混淆的错误
括号与乘除混合运算的性质
在进行乘除混合运算时，括号可以改变运算的顺序，例如 $(a + b) \div c = a \div c + b \div c$。
在进行乘除混合运算时，括号可以简化运算，例如$2 \times (a + b) \div c = (2a + 2b) \div c$。
乘方与乘除混合运算的性质
将整式除法转化为多个因式的乘法运算，简化计算过程
将复杂的多项式分解为简单的多项式组合，降低计算难度
几个典型的因式分解技巧
1 2
提取公因式法
将多项式中相同的因式提取出来，以便后续计 算
公式法
利用平方差公式、立方差公式等将多项式进行 分解
3
分组分解法
将多项式按照一定的规律分组，每组内进行因 式分解
因式分解在整式除法中的应用
1
在进行整式除法时，可以将被除式和除式同时 进行因式分解，使计算更加简便
整式的除法整式的除法运算与应用
整式的除法整式的除法运算与应用整式的除法是代数学中的一种运算，它涉及到多项式之间的除法。
在整式的除法运算中，我们需要掌握整式的基本概念和运算规则，并对其应用进行深入理解。
本文将介绍整式的除法运算及其应用，并探讨它们在实际问题中的作用。
1. 整式的基本概念和运算规则整式是由常数、变量和它们的乘积所组成的代数式，例如：3x²+2xy-5。
整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式，从而得到商式和余式。
在整式的除法运算中，我们要遵循以下运算规则： - 除法的被除式与除数都只能是整式。
- 除数不能为零。
- 除法的结果可以表示为商式和余式的形式。
- 余式的次数小于除数的次数。
2. 整式的除法运算步骤整式的除法运算通常需要通过长除法的方法进行计算，具体步骤如下：a) 将除数和被除式按照次数从高到低排列。
b) 将被除式的首项与除数的首项相除，得到商式的首项。
c) 将商式的首项与除数的各项相乘，然后将乘积与被除式相减，得到新的被除式。
d) 重复步骤b)和c)，直到被除式的次数小于除数的次数为止。
最终，所得到的商式就是整式的商式，而新的被除式就是整式的余式。
3. 整式除法的应用整式的除法在实际问题中具有广泛的应用，主要体现在以下方面：a) 多项式因式分解：整式的除法可以用来进行多项式的因式分解，通过将多项式除以其中一个因式，得到另一个因式和余式的形式，从而简化多项式的表达和计算。
b) 方程求解：整式的除法可以用来解决一些方程问题，通过将方程两边进行整式的除法运算，得到方程的解。
c) 函数图像的研究：整式的除法可以用来研究函数的性质和图像，通过对函数的整式表达进行除法运算，得到函数的特征，例如函数的极限、零点等。
4. 整式除法运算的例子为了更好地理解整式的除法运算，我们来看一个例子：整式除法运算：(3x²+2xy-5) ÷ (x-1)a) 首先，将被除式和除数按照次数从高到低排列：3x²+2xy-5-----------x-1b) 将被除式的首项3x²与除数的首项x相除，得到商式的首项3x：3xc) 将商式的首项3x与除数x-1相乘，得到3x²-3x。
人教版八年级数学上册第十四章 1 1.4 第3课时 整式的除法
2
3
4
5
).
关闭
B
答案
-5知识梳理
2.计算(a2b)3·
2
3
4
5
2
A.a5b5
1
预习自测
,结果是 (
).
B.a4b5 C.ab5 D.a5b6
关闭
A
答案
-6知识梳理
1
预习自测
2
3
4
5
3.若N表示一个单项式,且N·(-2x2y)=-3ax2y2,则N表示的单项式是
(
).
3
A. ay
2
3
C.- xy
7
2
(2)(36a4b3-24a3b2+6a2b)÷6a2b
=36a4b3÷6a2b-24a3b2÷6a2b+6a2b÷6a2b
=6a2b2-4ab+1.
点拨:在多项式除以单项式的运算过程中,既要注意各项的符号
和每个字母的指数运算,又要注意防止漏项的情况发生.
2
B.-3ay
1
D. axy
2
关闭
A
答案
-7知识梳b的结果是
2
3
4
5
.
关闭
3a+4
答案
-8知识梳理
预习自测
1
2
3
4
5
5.按程序x→平方→+x→÷x进行计算后,结果用x的式子表示
是
.(填入运算结果的最简形式)
关闭
1+x
答案
1
2
1.单项式除以单项式
【例1】 计算:9a5b3c÷(-6a4b).
1
人教版八年级数学上册教学设计：14.1.4整式的除法(多项式除以单项式)
二、学情分析
八年级学生已经在前期学习了整式的加减、乘法运算，对整式的概念和基本的运算规则有了一定的了解和掌握。在此基础上，本章节的整式除法运算对学生而言既是挑战也是提升。学生在此阶段正处于抽象逻辑思维逐渐形成的关键时期，他们对于运算规律的探究和总结能力有了明显提高，但仍然需要通过具体实例和操作来巩固理解。此外，学生在解决实际问题时，可能会对将问题转化为整式除法运算感到困难，需要教师在教学过程中给予适当的引导和帮助。因此，在教学过程中，应注重激发学生的学习兴趣，通过多样化的教学手段和实践活动，让学生在轻松愉快的氛围中掌握整式的除法运算，提高他们的数学素养。
人教版八年级数学上册教学设计：14.1.4整式的除法（多项式除以单项式）
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握整式的除法法则，特别是多项式除以单项式的运算法则。
2.能够运用整式的除法运算法则，正确地进行计算，并对计算结果进行简化。
3.能够解决实际问题时，将问题转化为整式的除法问题，并灵活运用所学的运算方法得出答案。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我会正式进入整式的除法运算的学习。首先，我会通过具体的例子来解释什么是整式除法，以及为什么我们需要学习这个概念。接着，我会详细讲解整式除法的运算规则，特别是多项式除以单项式的步骤：
1.将多项式的每一项分别除以单项式。
2.合并同类项。
3.化简结果的系数。
在讲解过程中，我会用黑板上的板书和多媒体演示相结合的方式，确保学生能够清晰地看到每一步的操作，并理解其背后的原理。
4.通过整式的除法运算，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续学习更高层次的代数运算打下基础。
14.1.4整式的除法(第2课时)课件教案
14.1.4 整式的除法（二）教学目标：1、知识点：①多项多除以多项式的运算法则及其应用；②多项式除以单项式的算理。
2、能力：理解多项式除以单项式的除法算理，发展有条理地思考及其表达能力。
3、情感与价值观：经历探索多项式除以单项式的过程，培养教学学习能力，获得成功的体验。
教学重点：多项式除以单项式的运算法则及其应用，探求多项式的算法，培养创新能力。
教学难点：对多项式除以单项式的算法的理解及其应用。
教学过程：一、创设情景，引入新课。
（电脑幻灯）任意给一个数，按下列程序计算下去，写出输出结果：输入x是多项式除以单项式。
二、计算下列各题，说说你的理由（课题：多项式除以单项式）1、（ad+bd ）÷d2、(2a b+3ab) ÷a3、(x 3y -2xy) ÷(xy)解法1：多项式除以一个单项式，可以看成多项式乘以这个单项式的倒数，再用这个倒数去乘以多项式的各项，所得结果相加（1）（ad+bd ）÷d=(ad+bd)×d 1=ad ·d 1+bd ·d 1=d bd dad +=a+b （2）(2a b+3ab)÷a=(2a b+3ab)×a 1=2ab ·a 1+3ab ·a 1=a ab a b a 32+=ab+3b （3）（x 3y -2xy ）÷(xy)=(x 3y -2xy)×xy 1=(x 3y )·xy 1-(2xy)·xy1=2y -2 解法2：利用乘法和除法互为逆运算（1）中（ad+bd ）÷d 是多少？试着想一下：（ ）×d=ad+bd ，反用乘法分配律可得出（a+b ）×d=ad+bd ，所以（ad+bd ）÷d=a+b ，同理（2）困（ab+3b ）×a=2a b+3ab ，所以（2a b+3ab ）＋a=ab+3b ，（3）因（2y -2）·（xy ）=x 3y -2xy ，所以（x 3y -2xy ）÷(xy)= 2y -2 共同分析得出：（1）（ad+bd ）÷d=a+b=(ab)÷d+(bd)÷d（2）（2a b+3ab ）÷a=ab+3b=(2a b)÷a+(3ab)÷a（3）（x 3y -2xy ）÷(xy)= 2y -2=(x 3y )÷(xy)-(2xy)÷(xy)2、法则：多项式除以多项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 第4课时 整式的除法教学设计 (新版
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法第4课时整式的除法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析整式的乘除法是八年级数学上册第14.1节的内容，这一部分主要让学生掌握整式相乘和相除的法则，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过实例引入整式的乘除法，让学生在具体的情境中探索和发现规律，进而掌握运算法则。
本节课的内容是整式除法，是整式乘除法的进一步延伸，对于学生来说，具有一定的挑战性。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了整式的基本概念，具有一定的数学基础。
但是，对于整式的乘除法，他们可能还存在着一些模糊的认识，需要通过具体的实例和练习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对于如何将实际问题转化为数学问题还存在着一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算法则。
2.能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：整式除法的概念和运算法则。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，发现和总结整式除法的运算法则，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入整式除法概念。
例如，已知多项式f(x)=x^2+4x+4可以被多项式g(x)=x+2整除，让学生思考如何求出商和余数。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示整式除法的定义和运算法则，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用PPT中的例题，自己动手完成整式除法的运算，并互相检查。
初中数学《整式的除法》实用ppt北师大版1
自学指导二（2分钟）
探究二：多项式除以单项式（阅读教材103页）
（1）(ad+bd)÷d = ____a_+_b____
（2）(a2b+3ab)÷a = __a_b_+__3_b__
（3）(xy3–2xy)÷(xy) = ___y_2_–_2_
( ad+bd )÷d= ad bd ad bd
d
dd
=(ad )÷ d + (bd )÷d
逆用同分母的 加法、约分。
2、如何进行多项式除以单项式的运算？
多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别
除以单项式，再把所得的商相加。
自学检测二（8分钟）
1、计算：(1)(24m3n-16m2n2+mn3)÷(-8m).
（2）[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
解:(1)原式=(24m3n)÷(-8m)+(-16m2n2)÷(-8m)+(mn3)÷(-
8m)
1
8
(=2)-3m原2n式+2=m(xn22+-2nx3y.+y2-2xy-y2-8x) ÷2x
=(x2-8x) ÷2x
=x2 ÷2x+(-8x) ÷2x =0.5x-4
课堂小结（3分钟）
单项式除 以单项式
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
整式除法法则公式(二)
整式除法法则公式(二)整式除法法则公式1. 分配率法则分配率法则是整式除法中的一个重要法则，它的公式为：(a+b)×c=a×c+b×c这个公式表示，当一个整式乘以一个含有两项的整式时，我们可以先分别将这个整式的每一项和另一个整式相乘，再将相乘的结果相加。
例子：将2x(x+3)展开。
首先，我们可以将2x(x+3)按照分配率法则展开：2x(x+3)=2x×x+2x×3=2x2+6x因此，2x(x+3)展开后的结果为2x2+6x。
2. 合并同类项法则合并同类项法则是整式除法中的另一个重要法则，它的公式为：a×b+a×c=a×(b+c)这个公式表示，当一个整式中含有多个项，且这些项中的字母部分相同，我们可以将这些项中的字母部分提取出来，并进行合并。
例子：将4x2+2x2合并。
首先，我们可以利用合并同类项法则将4x2+2x2合并：4x2+2x2=(4+2)x2=6x2因此，4x2+2x2合并后的结果为6x2。
3. 相反数法则相反数法则是整式除法中的一条基本法则，它的公式为：−a×b=−(a×b)这个公式表示，一个整式乘以一个负数时，可以将整式的符号和绝对值分别与负数的符号和绝对值相乘。
例子：将−3×(x+2)展开。
首先，我们可以利用分配率法则将−3×(x+2)展开：−3×(x+2)=−3×x−3×2=−3x−6因此，−3×(x+2)展开后的结果为−3x−6。
4. 平方差公式平方差公式是整式除法中的一个特殊公式，它的公式为：(a−b)×(a+b)=a2−b2这个公式表示，两个互为相反数的整式相乘，可以得到差的平方。
例子：将(2x−3)×(2x+3)展开。
首先，我们可以利用平方差公式将(2x−3)×(2x+3)展开：(2x−3)×(2x+3)=(2x)2−(3)2=4x2−9因此，(2x−3)×(2x+3)展开后的结果为4x2−9。
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4a2x3 ·3ab2=( 12a3b2x3 )
12a3b2x3÷3ab2=说单项式除以单项式的运 算法则吗?
观察下列等式：
被除式÷除式＝商式
8a3÷2a＝4a2
6x3y÷3xy＝2x2
12a3b2x3÷3ab2=4a2x3
请你归纳一下单项式除法法则。
6
=(1÷ 5 )a2-1x4-1y3-2
6
= 6 ax3y
5
(4) (6x2y3 )2÷(3xy2)2
=36x4y6÷9 x2y4 = (36÷9)x4-2y6-2 =4x2y2
先确定商的符号.
注意运算顺序先乘方再除.
单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除， 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式.
2、能力挑战:
若 3x a n
3y b n
求 32xy 的值n
a2 b
小结
单项式相除
（一）
1、系数相除； 2、同底数幂相除； 3、只在被除式里的幂不变。
多项式除以单项式
（二）
先把这个多项式的每一
项分别除以单项式，再把 所得的商相加。
作业
作业
教材p.104 第1，2，3 题。
4x3y -12x4y3 -16x2yz
x2y
÷2x2y
2x -6x2y2 -8z
多项式除以单项式
m(a+b+c)= am+bm+cm
反之 (am+bm+cm)÷m =am÷m+bm÷m+cm÷m =a+b+c
请说出多项式除以单项式的运算法则
你能计算下列各题？说说你的理由。
（1）(ad+bd)÷d=_____a_+b____ （2）(a2b+3ab)÷a=___a_b_+_3_b__ （3）(xy3-2xy)÷(xy)=__y2_-_2___
例3 计算：
（2）(28a3b2c a2b3 14a2b2 ) (7a2b)；
解:
原式=(28a3b2c) (7a2b)＋(a2b3) (7a2b)＋(14a2b2 ) (7a2b)
＝ (4abc) ＋( 1 b2 ) ＋ (2b)
＝
4abc
1
b2
7
2b
(3)(6 108 ) (3105 ) (6 3)1085 2103 (4)(2x2 y)2 (4xy2 ) 4x4 y2 4xy2
(4 4)x41 y22 x3
先确定商的符号.
注意运算顺序先乘方再除法.
2.把图中左边括号里的每一个式子分别除 以2x2y,然后把商式写在右边括号里.
14.1.4 整式的除法（2）
—单项式除以单项式 —多项式除以单项式
复习提问
1.用字母表示幂的运算性质：
（1）am·an=am+n (m、n均为正整数） （2）(am)n=amn (m、n均为正整数） （3） (ab)n= anbn （n为正整数） （4）am ÷ an= am-n (a≠0,m、n均为正整数,m>n） （5）a0 =1(a≠0)
7
在计算单项式除以单项式时，要注意什么？
先定商的符号(同号得正,异号得负)；
注意添括号;
练习3 计算：
（1）(6ab 8b) (2b)；（1） 3a+4
（2）(27a3 15a2 6a) (3a)；
（2）9a2 5a 2
（3）(9x2 y 6xy2 ) (3xy)（；3）3x 2 y
2
◣综 合◢ 巩固练 习
1、计算填空: ⑴ (60x3y5) ÷(−12xy3) = −5x2y2 ;
(2) (8x6y4z) ÷( −2x4y2z ) =−4x2y2 ;
(3) (
3 2
x5
y6z
)÷(2x3y3
)
=
3 4
x
2
y
3z
;
(4) 若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = 12 , m = 3 ,n = 2 ;
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
多项式除以单项式，先把这个多 项式的每一项分别除以单项式，再 把所得的商相加。
例3 计算：
（1）（12a3-6a2+3a）÷3a
解: 原式＝12a3 ÷3a+（-6a2 ÷ 3a）+3a ÷3a
＝4a2+(-2a)+1 ＝4a2-2a+1
解：原式 12a3 3a 6a2 3a 3a 3a 4a2 2a 1
（1）商式的系数与被除式、除式的系数有什么关系？
（2）被除式、除式中相同字母及其指数在商式的变化规 律是什么？ （3）被除式中含有的字母，除式中没有的字母及其指数 在商式中有没有变化？
单项式的除法 法则
如何进行单项式除以单项式的运算?
单项式相除, 把系数、同底数幂分别相除，作为 商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的 指数作为商的一个因式。
计算中要注意符号.
(2)－5a5 b3c ÷15a4b =－(5÷15)a5-4b3-1c
1
=－ ab2c
3
例1 计算
(1) 28x4y2÷7x3y (3)－a2x4y3÷(－ 5 axy2)
6
(2) －5a5 b3c÷15a4b (4) (6x2y3)2÷(3xy2)2
解：
(3)－a2x4y3÷(－ 5 axy2)
单项式与单项式相乘，只要把它们的系数、 相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式 里出现的字母，则连同它的指数一起作为积的 一个因式.
学以致用：
练习1
(1)10a2b3 (5ab) (10 5)a b 21 31 2ab2
(2) 21x2 y4 (3x2 y3 ) (21 3)x22 y43 7 y
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。
保留在商里 作为因式。
例1 计算
(1) 28x4y2÷7x3y (3)－a2x4y3÷(－ 5 axy2)
6
(2) －5a5 b3c÷15a4b (4) (6x2y3)2÷(3xy2)2
解：
（1）28x4y2÷7x3y =(28 ÷7)·x4-3y2-1 =4xy
2 .计算检测
(1)a20 ÷ a10 =a10 (2)(－c)4 ÷(－c) =(－c)3=-c3
(3)(ab)6÷(ab) ＝(ab)5=a5b5
(4)am+n ÷ am+n =a0=1
3.下面填空题你会解吗？
4a2 ·2a=( 8a3 ) 8a3÷2a＝( 4a2 ) 2x2 ·3xy=(6x3y ) 6x3y÷3xy＝( 2x2 )
（4）(3x2 y xy2 1 xy) ( 1 xy)。
2
2
（4） 6x 2y 1
计算
x(3x2 y 4x3 y2 ) (2x2 )
解：原式 (3x3 y 4x4 y2 ) (2x2 )
（ 3x3 y 2x2 ) (4x4 y2 2x2 ) （ 3 2)x32 y (4 2)x42 y2 3 xy 2x2y2