第四章 衍射
a为圆孔半径
3、艾里斑—中央亮斑: 光强占入射光的84%。 第一暗环的角半径（爱里斑半角宽 ）
0.61
a
or
1.22
D
(4.50)
D为圆孔直径
f t an 很小 , t an sin 1.22
D
f
D
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
4.13
(4.14)
由惠更斯-菲涅耳原理:
k Ak f ( k ) rk
k R rk Rb
与k无关 (4.16)
f (k )随k 增大缓慢减小
~ A( P0 ) U P0
~ U k P0
k
A1 ( P0 ) A2 ( P0 ) A3 ( P0 ) A4 ( P0 )
1 A( P0 ) [ A1 (1) n 1 An ] 2 (4.17 )
4.13
自由传播: 孔径ρ→∞
f (k ) 0, Ak 0 1 A( P0 ) A1 ( P0 ) (4.18) 2
照相机镜头的孔径至少应为:
1.22 S 1.22 5.0 107 1.6 105 D 1.952m d 0.05
§4-5 多缝夫琅禾费衍射和光栅
衍射光栅: 任何具有空间周期性的衍射屏。
透射光栅 反射光栅 transmission grating reflexion grating
每两个相邻带的边缘到P0点的距离都相差半波长。这样，由任何相邻 的两带的对应部分发的子波到达P0点时的光程差为：λ／2，亦即相位 相反，这样分成的环形带称为菲涅耳半波带。
合成复振幅: ~ A( P0 ) U P0
~ U1 P0 A1 P0 ei1 ~ U 2 P0 A2 P0 ei (1 ) ~ U 3 P0 A3 P0 ei (1 2 )
(4.25)
三、单缝衍射因子的特点
1、主极大——零级衍射斑 各衍射光线光程差为零 a sin (4.26) 2 0 “等光程差性” 零级衍射斑中心 ——几何光学的像点 2、次极大——高级衍射斑
(
sin
) 2 — — 单缝衍射因子
sin
主极大光强最强，第一次极大不到主极大的5%。
3、菲涅耳衍射积分公式
eikr ~ ~ U P K U 0 (Q) F ( 0 , ) d r ()
（2）次波在P点的振幅与距离r成反比。
4.6
（1）波面是一个同相面，其上各点相位相同。
（3）d∑面元所发出的次波的振幅与d∑面积成正比。且随d∑面
元的法线与r之间的夹角θ增大而减小。
码，如果需要识别的牌照上字划间的距离为5cm，光波的波长按 500 nm计算，则在160km高空的卫星上照相机镜头的孔径至少应 为多少米?
解 d 5 cm 0.05m 由
1.22
D
500 nm 5.0 10 m
-7
S 160 km 1.6 105 m d S
由式(4.17) 圆孔中包含奇数个半波带时, 中心是亮点. 圆孔中包含偶数个半波带时, 中心是暗点. 圆屏中心总是亮点: 1 n 1 A( P0 ) Ak 1 ( P0 ) Ak 2 ( P0 ) (1) An ( P0 ) Ak 1 ( P0 ) 2
三、矢量图解法
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
t + t
· · · t · · · ·· ·· ·
· ··
ut 平面波
球面波
· a· ·
·
惠更斯原理可定性地说明衍射现象，但不能解释光的衍射 图样中光强的分布。 2、菲涅耳假定：波在传播过程中，从同一波阵面上各点 发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠 加。
k
Rb k k 1 Rb
(k 1,2,) (4.19)
Rb 1 Rb
(4.20)
k2 r 2 (b h) 2 r 2 b 2 2bh h 2
(r 2 b 2 ) 2bh
(忽略了高次项 h2)
(1)
h
(r 2 b 2 ) (b k
l
二、望远镜的分辨本领
光的衍射效应是提高光学 仪器分辨本领的障碍
f
1、瑞利判据
最小分辨角：
瑞利判据
0
能分辨
可分辨
0
恰能分辨
刚可分辨
0
不能分辨
对于两个等光强的非相干物点 , 如果一个像斑中心刚好落在另 一像斑的第一级暗纹处上时 , 就认为这两个像刚刚能够被分辨。
sin 1.43
2
a sin
, 3.47
( 4.26)
a
, 2.46
a
a
, (4.36)
次极大彼此不是等间距的! 3、暗斑(纹)位置(极小)
0 , sin 0
, 2 , 3 , (4.38)
a a a L a sin , 2 , 3 , k sin
a 2 sin (4.26) 2 2 sin 2 I I 0 ( ) (4.27 ) sin 2 sin 2 sin 2 矩孔 : I ( P) I 0 ( ) ( ) (4.33) ( ) — — 单缝衍射因子
ห้องสมุดไป่ตู้
A0
sin
550 nm
眼睛的最小分辨角为
1.22
D
取
d S
d Dd 5.0 10 3 1.20 3 S 8 . 94 10 m 9 1.22 1.22 550 10
观察者
d =120 cm
S
例 据称美国间谍卫星上的照相机能清楚识别地面上汽车牌照号
a
(4.40)
a , 0 ( 自由传播 , 衍射斑 几何光学像点 ,即光沿直线传播 )
a↑→ Δθ ↓； a ↓ → Δθ ↑（限制→
扩展）
a
l
f
称“衍射反比律”
波前上在哪个方向上 受到限制较大, 则衍
射斑在该方向上拓展
得较宽。
(2) 角宽度Δθ与波长λ 成正比, 几何光学是λ→0的极限 角宽度
Rb 将(2)(3)代入 (1)式 k k k 1 (k 1,2,) (4.19) Rb R b k 1 1 k 1 1 1 由(4)式 2 2 (4.22) Rb k R b k R b f
波带片与透镜不同: (作用与透镜相似)
＊ 一个波带片有许多焦点, 作上述主焦点外, 还有一系 列次焦点, f/3、f/5 、f/7、……；还有一系列虚焦点, -f 、 - f/3、-f/5 、-f/7、…… ＊由于波带片的焦距 f 与波长λ密切相关，因此它的色差 比一般透镜大得多。 ＊波带片与普通透镜的比较: 1、长焦距波带片设计、制作简单 2、面积大、轻便、可折叠 3、适宜远程光通讯、测距及宇航技术 4、在微波、红外、紫外线、X光成象技术中得到应用。
2 kb (2)
)2 b2
(忽略了高次项 (kλ/2)2)
2 2 ( r b ) 2 2 2 2 2 k R ( R h) r (b h) h (3) 2( R b) 2 2 2 b ( r b ) R 2 2 2 k (r b ) 2bh kb kb (4) 2( R b) Rb
R
1
min
D 1.22
例 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm ，设夜间人眼瞳孔 直径为5.0 mm ，入射光波为 550 nm。 求 人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这是两盏灯？ 解 设人离车的距离为 S 时，恰能分辨这两盏灯。 由题意有
d 120 cm
D 5.0 mm
故用白光可出现彩色条纹,
(4.40) a
§4 - 4 光学仪器的像分辨本领
一、夫琅禾费圆孔衍射
1 、装置 2、光强分布
2 J ( x) ~ U ( ) 1 x (4.47 )
x
2a
sin
(4.48)
J1(x)为贝塞耳函数符号
I ( ) I 0 [ 2 J1 ( x ) 2 ] x (4.49 )
§4 - 3
夫琅和费单缝衍射和矩孔衍射
一、实验装置与实验现象
1、装置如图
2、衍射图样
二、单缝衍射的强度公式
缝衍角θ， 光程差： L a sin 相位差： 2 2a L sin
(4.24)
R AB 2
A AB 2R sin
A AB AB sin
y tan
,2
, 3
y
, (4.39)
2 , 4 , 2k
暗纹是等间距的!
4、亮斑的角宽度
sin
a
,2
a
, 3
a
, (4.39)
角宽度 : 相邻暗条纹到透镜中心所张角度 其他亮纹角宽度 零级亮纹半角宽度 a (1) 角宽度Δθ与缝宽a 成反比
当圆面积孔内包含的不 是整数个半波带时,将半 波带分割为m个更窄的 带环, 小矢量:
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光学_09光的衍射
球面波
传 播 方 向
.
t
波面
. . .
波源
ut
. . .
.
S上的每一面元可以认 为是次波的波源，
t + t波面
原理的优点： ★提出了次波概念
原理的不足： ★给不出新波面的强度分布
★ 没有说明子波不向后传播的问题
惠更斯 — 菲涅耳原理 惠更斯 波阵面上各点都看成是子波波源
能定性解释光的传播方向问题
2) 产生衍射现象的条件：主要取决于障碍物或空隙
的线 度与波长大小的对比。
3）衍射强弱与障碍物尺寸的关系：
~ 1000 以上：衍射效应不明显
~ 1000 10 ：衍射效应明显 ~ ：向散射过渡
4）各种衍射现象
y
x
5）衍射现象的特点
(1)在什么方向受限制，衍射图样就沿什么方向扩展 (2)限制越厉害，衍射越强烈
____
0
光强为自由传播时的两倍
4、菲涅耳波带片
1)定义：将偶数个或奇数个半波带遮挡住，
就形成菲涅耳波带片。
2)例题：
波带片的孔径内有20个半波带，遮挡偶数个 半波带，求轴上场点P0处的光强？ 解：
A ' A1 A3 A5 A19 10 A1 20 A0
i e U ( P) 2 (cos0 cos )U 0 (Q) r d ( 0 )
~ ~ ikr
(4)傍轴近似条件：
若 0 0 ，且 r r0
i U ( P) r0
~ ( 0 )
U
~
0
(Q)e d
ikr
1.3巴俾涅原理
1)衍射屏的性质：
S
光学 第四章光的衍射
1
杨氏双缝
2
3 4
薄膜
劈尖 牛顿环
5 迈克尔逊干涉仪
1 杨氏双缝 θ δ = d sin + kλ ={ λ + ( 2 k + 1) 2
( k =0,1,2,... ) 明纹 ( k =0,1,2,... ) 暗纹
明条纹的位置： + k λ x = D d
相邻两明纹或暗纹的间距：
λ Δx = D d
三、光栅(Grating) 1 基本概念 (1)光栅 (2)光栅常数(Grating Constant)
2 光栅衍射的本质 透射光栅的实验装置图
光栅衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的 综合结果。
屏
b a
f
0
x
a d= a + b
b 缝宽 不透光部分宽度 4 6 ~ 10 ~ 10 m 光栅常数
3 光栅衍射图样的描述 ① 产生主极大的条件
例 在通常亮度下，人眼睛瞳孔直径约 为3mm，问人眼的最小分辨角是多大？ 远处两根细丝之间的距离为2.0mm，问 离开多远时恰能分辨？
五、X射线(X-ray) 布拉格条件(Bragg Condition)：
当 时， 原子散射线相干加强。波动性的体现。
布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)
一、基本概念 1 衍射现象 光在传播过程中遇到障碍物时，能够绕 过障碍物的边缘前进，光的这种偏离直线 传播的现象称为光的衍射现象。
屏幕 阴 影
屏幕
缝较大时， 光是直线传播的
缝很小时， 衍射现象明显
2 衍射的本质（惠更斯—菲涅尔原理） (Huygens-Fresnel Principle)
波阵面S 上每个面元 ds 都可以看成是发 出球面子波的新波源，空间任一点 P 的振 动是所有这些子波在该点的相干叠加。
杨氏双缝
2
3 4
薄膜
劈尖 牛顿环
5 迈克尔逊干涉仪
1 杨氏双缝 θ δ = d sin + kλ ={ λ + ( 2 k + 1) 2
( k =0,1,2,... ) 明纹 ( k =0,1,2,... ) 暗纹
明条纹的位置： + k λ x = D d
相邻两明纹或暗纹的间距：
λ Δx = D d
三、光栅(Grating) 1 基本概念 (1)光栅 (2)光栅常数(Grating Constant)
2 光栅衍射的本质 透射光栅的实验装置图
光栅衍射图样是单缝衍射和多缝干涉的 综合结果。
屏
b a
f
0
x
a d= a + b
b 缝宽 不透光部分宽度 4 6 ~ 10 ~ 10 m 光栅常数
3 光栅衍射图样的描述 ① 产生主极大的条件
例 在通常亮度下，人眼睛瞳孔直径约 为3mm，问人眼的最小分辨角是多大？ 远处两根细丝之间的距离为2.0mm，问 离开多远时恰能分辨？
五、X射线(X-ray) 布拉格条件(Bragg Condition)：
当 时， 原子散射线相干加强。波动性的体现。
布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)
一、基本概念 1 衍射现象 光在传播过程中遇到障碍物时，能够绕 过障碍物的边缘前进，光的这种偏离直线 传播的现象称为光的衍射现象。
屏幕 阴 影
屏幕
缝较大时， 光是直线传播的
缝很小时， 衍射现象明显
2 衍射的本质（惠更斯—菲涅尔原理） (Huygens-Fresnel Principle)
波阵面S 上每个面元 ds 都可以看成是发 出球面子波的新波源，空间任一点 P 的振 动是所有这些子波在该点的相干叠加。
第四章 衍射
第二类瑞利－索末菲衍射只需对E的导 数施加边界条件
1 EII P 4 E G ds n
平面上两种格林函数的导数
G P exp jkr 1 1 cos n, r jk G n n r r
格林定理的化简
在S及V中， E和G均满足波动方程，即
2 E k 2 E 0 2 G k 2G 0
格林定理的左边因此可写成
G E E G dv k EG GE dv 0
2 2 2 V V
格林定理的右边因此变成
G E
G exp jkr 1 exp jkr cos n, r jk n n r r r
求小球半径为零的极限
对于S3上的点，格林函数对法线的方向导数为
G 1 exp jk jk n
2
E 1 0 n E cos n, r0 jk r 0 0
G E
S3
n E G n ds 4 2 G E n E G n 0
由基尔霍夫分析知 4 E P 1 E P G E n E G n ds 4 S0 S1 S2
S0+ S1 + S2上的积分
球面S0上，显然，G和G0都能使得索末菲远场 辐射条件成立，故S0球面上的积分为零 平面上，G—恒为零，S1范围内，E=0；S2 范围内，E等于入射光场，因此，只有S2即 平面上的积分不为零 第一类瑞利－索末菲衍射为
G G 1 1 EI P E ds E ds 4 S2 n 4 n
高中物理 第四章光的衍射
第四章光的衍射§ 4.1惠更斯—菲涅耳原理一．光的衍射现象波绕过障碍物继续传播，也称绕射。
二．次波光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。
次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。
新的波面即是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。
用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。
波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的，发出的次波也是不同的。
严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的。
三．次波的叠加——惠更斯—菲涅耳原理1．次波的相干叠加考察波前上任一面元上的一点Q ，即一个次波中心所发出的球面次波在场点P 处引起的复振幅微分元)(~P U d 。
)(~)(~0Q U P U d ∝，Q 点的复振幅，称为瞳函数；re P U d ikr ∝)(~，Q 点为点光源，发出球面次波；∑∝d P U d )(~，次波中心面元面积； ),()(~0θθF P U d ∝，0θ、θ分别是源点和场点相对于次波面元∑d 的方位角。
0θ：面元法线与SQ 连线间的夹角，θ：面元法线与QP 连线间的夹角，),(0θθF 称为倾斜因子。
上述各因素的合并表达式为∑=d reQ U KF P U d ikr)(~),()(~00θθ，K 为比例常数。
将波前上所有次波中心发出的次波在P 点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到P 点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P 点引起的振动。
这就是惠更斯—菲涅耳原理。
2．菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式如果取一个封闭的空间曲面∑，即一个封闭的波前，由于从光源发出的所有方向的波都将通过此波前，而且只通过此波前一次，所以光源在任一场点P 所引起的复振幅与该波前所发出的全部次波在该点所引起的复振幅等价。
由于波前是一连续分布的曲面，所有次波中心发出的次波在P 点的复振幅就是以下曲面积分⎰⎰∑∑=d r e F Q U K P U ikr ),()(~)(~00θθ，即⎰⎰∑'-+'-+'-'''-+-'+'-''=y d x d z z y y x x eF y x U K y x U z z y y x x i222)()()(200)()()(),(),(~),(~222λπθθ 此即为Fresnel（菲涅耳）衍射积分公式。
第4章 光的衍射
(4) 单缝可分成几个半波带？ 5个半波带 (5) 若P点为第二级暗纹，则缝可分成几个半波带？
AC a sin 2k 4 2 2
缝可分成4个半波带
例: 如图，设有一波长为 的单色平面波沿着与缝平面 的法线成 θ 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。 求 各级暗条纹对应的衍射角 所满足的条件。 解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 的两光的光程差为
解：设 1 级暗纹间角距离 2 为中央 明纹的角宽度。由暗纹条件
a sin k 得 0 2 a a 0 2 a 2 a 0
又缝宽增大1倍，单位时间通过狭缝的 能量变为原来的2倍，而这些能量主要集中 在原来面积一半的范围里。因此，光强（即 单位时间单位面积上的光能量）增加为原来 的4倍，即 I 4 I
---Fresnel-Kirchhofer衍射积分
圆孔和圆屏的Fresnel衍射 1) 圆孔的衍射 2) 圆屏的衍射
圆孔的Fresnel衍射
圆屏的Fresnel衍射
Fruanhofer衍射
圆孔的Fruanhofer 衍射
矩形孔的Fruanhofer 衍射
不同宽度单缝Fruanhofer的衍射花样
§4-2 单缝的Fraunhoher衍射
Fraunhofer Diffraction of a Single -Slit
实验装置和衍射图样
图样特征： 中央为很 强的零级明纹； 两侧有较暗的 明纹。明暗条 纹相间。 零级明纹 和各级暗纹的 位置等间距。
返回
I
暗纹级数： 3 2 1 1 2 3 明纹级数： 2 1 0 1 2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
sin I I0
AC a sin 2k 4 2 2
缝可分成4个半波带
例: 如图，设有一波长为 的单色平面波沿着与缝平面 的法线成 θ 角的方向入射到宽为 a 的单缝 AB 上。 求 各级暗条纹对应的衍射角 所满足的条件。 解 在狭缝两个边缘处，衍射角为 的两光的光程差为
解：设 1 级暗纹间角距离 2 为中央 明纹的角宽度。由暗纹条件
a sin k 得 0 2 a a 0 2 a 2 a 0
又缝宽增大1倍，单位时间通过狭缝的 能量变为原来的2倍，而这些能量主要集中 在原来面积一半的范围里。因此，光强（即 单位时间单位面积上的光能量）增加为原来 的4倍，即 I 4 I
---Fresnel-Kirchhofer衍射积分
圆孔和圆屏的Fresnel衍射 1) 圆孔的衍射 2) 圆屏的衍射
圆孔的Fresnel衍射
圆屏的Fresnel衍射
Fruanhofer衍射
圆孔的Fruanhofer 衍射
矩形孔的Fruanhofer 衍射
不同宽度单缝Fruanhofer的衍射花样
§4-2 单缝的Fraunhoher衍射
Fraunhofer Diffraction of a Single -Slit
实验装置和衍射图样
图样特征： 中央为很 强的零级明纹； 两侧有较暗的 明纹。明暗条 纹相间。 零级明纹 和各级暗纹的 位置等间距。
返回
I
暗纹级数： 3 2 1 1 2 3 明纹级数： 2 1 0 1 2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
sin I I0
第四章光的衍射
d
0
Q
R
S
n
dU (P) U0 (Q) 瞳函数
dU (P) d
次波中心面
r
dU (P) dU (P) eikr
r
元面积 球面波
P dU (P) F(0, ) 倾斜因子
dU (P)
KF(0, )U0 (Q)
eikr r
d
dU(P)
KF (0 ,
基尔霍夫（G. Kirchhoff，1882）边界条件
取一个封闭曲面， Σ=Σ0+Σ1+Σ2
1
基尔霍夫边界条件：
i） Σ0全透
S
2
ii） Σ1全遮蔽
0 P
dU (P) 0 1
1
iii） Σ2积分为0
dU (P) 0 2
仅需要对区域Σ0，求积分即可 仅屏上对透光区域求积分即可
定性而不能定量不能准确回 答振幅、位相的传播问题
6
惠更斯-费涅耳原理：空间某点的振动可看作波前上所有面元所发 次波在该点的相干迭加，数学上表述为：
U ( p) dU ( p)
d
Q
S
r
dU (P) P
7
次波的复振幅
• 选取波前Σ上任一个次波中心Q，及Q点周围一面积元dΣ
• 可以先求出该面积元发出的球面次波在场点P处引起的复 振幅dŨ(P)
光孔和接收范围都满足傍轴条件：
U (x, y) ei /2
r0
U0 (x, y)eikrdxdy
0
13
3. 巴俾涅（A. Babinet，1837）原理
互补屏衍射场的复振幅之和等于自由传播波场，表述为：
光学 第四章光的衍射
解:（1）
（2） 出现缺极情况， 用缺极条件
d k k a 此题：k 3 k 1
（3）在选定了上述 射角
和
之后，求在衍
范围内可能观察到的
全部主级大的级次？
k max
d sin
2 4
实际可能观察到 k=0 +1 -1 +2 –2 （k=+3 -3缺级； k=+4 -4 实际无法 看到 ）
一、光的衍射（ diffraction of light ）
★ 定义 光在传播过程中能够 绕过障碍物的边缘而 偏离直线传播的现象。 ★ 现象示意图 屏幕
缝很小时，衍射现象明显
1. 惠更斯—菲涅尔原理 (Huygens-Fresnel Principle)
① 波前S上各点都可以看作新的发射球面子光 的新光源，在其后任一时刻，这些子波的包 迹形成新的波振面（确定波的传播方向） ② 空间任一点的光振动是所有子光在该点的相 干叠加。（确定衍射图样中的光强分布） 惠更斯：子波的概念 菲涅尔：子波干涉（子波相干叠加）的思想
6 光栅光谱 ① 在垂直入射时，中央是零级明纹。 无光谱。 ② 完整光谱： 没有重叠的清晰光谱
条件：
③ 光栅的分辨本领R R kN
5、光栅光谱 如果复色光投射在光栅上， 在屏上将出现光栅光谱。 复色光 屏 φ f 0 x
三级光谱 二级光谱
一级光谱
汞光的光栅光谱
汞光的光栅光谱
汞光的光栅光谱
2. 衍
射 的 分 类
（近场衍射）
（远场衍射）
P
S
（近场衍射）
有限远
P
S
f
（远场衍射）
f
无限远
《大学物理教程》郭振平主编第四章 光的衍射
第四章 光的衍射一、基本知识点光的衍射：当光遇到小孔、狭缝或其他的很小障碍物时，传播方向将发生偏转，而绕过障碍物继续前行，并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹。
光波的这种现象称为光的衍射。
菲涅耳衍射：光源、观察屏（或者是两者之一）到衍射屏的距离是有限的，这类衍射又称为近场衍射。
夫琅禾费衍射：光源、观察屏到衍射屏的距离均为无限远，这类衍射也称为远场衍射。
惠更斯－菲涅耳原理：光波在空间传播到的各点，都可以看作一个子波源，发出新的子波，在传播到空间某一点时，各个子波之间可以相互叠加。
这称为惠更斯－菲涅耳原理。
菲涅耳半波带法：将宽度为a 的缝AB 沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄条，1AA ，12A A ，…，k A B ，对于衍射角为θ的各条光线，相邻窄条对应点发出的光线到达观察屏的光程差为半个波长，这样等宽的窄条称为半波带。
这种分析方法称为菲涅耳半波带法。
单缝夫琅禾费衍射明纹条件：sin (21)(1,2,...)2a k k λθ=±+=单缝夫琅禾费衍射暗纹条件：sin (1,2,...)a k k θλ=±=在近轴条件下，θ很小，sin θθ≈, 则第一级暗纹的衍射角为 1aλθ±=±第一级暗纹离开中心轴的距离为 11x f faλθ±±==±, 式中f 为透镜的焦距。
中央明纹的角宽度为 112aλθθθ-∆=-=中央明纹的线宽度为 002tan 2l f f faλθθ=≈∆=衍射图样的特征：① 中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍，且绝大部分光能都落在中央明纹上。
② 暗条纹是等间隔的。
③ 当入射光为白光时，除中央明区为白色条纹外，两侧为由紫到红排列的彩色的衍射光谱。
④ 当波长一定时，狭缝的宽度愈小，衍射愈显著。
光栅: 具有周期性空间结构或光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅。
光栅常数: 每两条狭缝间距离d a b =+称为光栅常数。
第4章 光的衍射
1、实验装置和衍射条纹 、 2、半波带法 、 3、单缝衍射图样特征 、 4、干涉和衍射的区别和联系 、
P B
a
A
θ
O
1、实验装置和衍射条纹
衍射屏为单缝，缝宽为 衍射屏为单缝，缝宽为a , 在A、B上各点都可当作新 单缝 、 上各点都可当作新 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加 相干叠加。 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加。 衍射角为θ的一束平行衍射光， 衍射角为 的一束平行衍射光，经透镜会聚于接收 的一束平行衍射光 屏上的P点 这束光中各子波射线到达P 屏上的 点。这束光中各子波射线到达 点的光程 相位）不相等，有的地方振动加强， （相位）不相等，有的地方振动加强，有的地方振动 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹 明暗相间的平行直条纹。 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹。
P171 例题 、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ的平行 例题4.1、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ 光垂直照射在宽度a=5λ的单缝上，缝后有焦距为 光垂直照射在宽度 λ的单缝上，缝后有焦距为40cm 的凸透镜， 的凸透镜，求： （1）透镜焦平面上出现的衍射中央明 ） 纹的宽度；（ ；（2） 级亮纹的宽度 级亮纹的宽度。 纹的宽度；（ ）第1级亮纹的宽度。 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 解：（1）两个第 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 ：（ ）两个第1级暗纹中心的距离为中央明纹宽度 第k级暗纹对应的衍射角 级暗纹对应的衍射角 λ sinθ = k a 暗纹对应的位置 暗纹对应的位置
2、衍射的分类 、
（1）菲涅耳衍射（近场衍射）： ）菲涅耳衍射（近场衍射）： 光源S 和接收屏H 离衍射屏G 光源 和接收屏 离衍射屏 的距离有限远 （或其中之一为有限远）。 或其中之一为有限远）。
P B
a
A
θ
O
1、实验装置和衍射条纹
衍射屏为单缝，缝宽为 衍射屏为单缝，缝宽为a , 在A、B上各点都可当作新 单缝 、 上各点都可当作新 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加 相干叠加。 的波源，它们发出的子波到达空间某点会相干叠加。 衍射角为θ的一束平行衍射光， 衍射角为 的一束平行衍射光，经透镜会聚于接收 的一束平行衍射光 屏上的P点 这束光中各子波射线到达P 屏上的 点。这束光中各子波射线到达 点的光程 相位）不相等，有的地方振动加强， （相位）不相等，有的地方振动加强，有的地方振动 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹 明暗相间的平行直条纹。 减弱。出现一组明暗相间的平行直条纹。
P171 例题 、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ的平行 例题4.1、单缝夫琅禾费衍射实验。波长为λ 光垂直照射在宽度a=5λ的单缝上，缝后有焦距为 光垂直照射在宽度 λ的单缝上，缝后有焦距为40cm 的凸透镜， 的凸透镜，求： （1）透镜焦平面上出现的衍射中央明 ） 纹的宽度；（ ；（2） 级亮纹的宽度 级亮纹的宽度。 纹的宽度；（ ）第1级亮纹的宽度。 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 解：（1）两个第 级暗纹中心的距离为中央明纹宽度。 ：（ ）两个第1级暗纹中心的距离为中央明纹宽度 第k级暗纹对应的衍射角 级暗纹对应的衍射角 λ sinθ = k a 暗纹对应的位置 暗纹对应的位置
2、衍射的分类 、
（1）菲涅耳衍射（近场衍射）： ）菲涅耳衍射（近场衍射）： 光源S 和接收屏H 离衍射屏G 光源 和接收屏 离衍射屏 的距离有限远 （或其中之一为有限远）。 或其中之一为有限远）。
第四章 光的衍射
d = 120 cm
眼睛的最小分辨角为
D = 5.0 mm λ 取 δθ = 1.22
D
λ = 550 nm
d ≈ S δθ
Dd 5.0 × 10 3 × 1.20 S≈ = = = 8.94 × 103 m δθ 1.22λ 1.22 × 550 × 109 d
δθ
观察者 S
d =120 cm
§4.4光栅衍射 光栅衍射
(2) N 缝干涉 ) 对N 缝干涉两主极大间 有N - 1个极小, N - 2 个极小, 个次极大. 个次极大. 衍射屏上总能量
k = 1
4I 0
I
k =1
k =0
N =2
缝干涉强度分布
25I 0
I
E∝N
k = 1 k =0 k =1
主极大的强度 I ∝ N 2 由能量守恒, 由能量守恒,主极大的 宽度 ∝ 1 N 随着N 的增大, 随着 的增大,主极大 变得更为尖锐, 变得更为尖锐,且主极 大间为暗背景
λ = 16 cm x0 = 2 ftg θ 1 = 2 f
a
一级明纹宽度是中央明纹宽度的一半即8cm. 一级明纹宽度是中央明纹宽度的一半即8cm 是中央明纹宽度的一半即8cm. 另解: 另解: 一级暗纹在屏上的位置坐标为
x1 = ftg θ 1 ≈ f sin θ 1 = f
二级暗纹满足 a sin θ 2
式中 f 是透镜焦距
3,光学仪器的分辨本领
瑞利判据
0.8I 0
当一个爱里斑中心刚好落在另一个爱里斑的边缘上时,就认为这 一个爱里斑中心刚好落在另一个爱里斑的边缘上时 刚好落在另一个爱里斑的边缘上 两个爱里斑刚好能分辨. 两个爱里斑刚好能分辨.
光学仪器的通光孔径 D