山西省太原市2019届高三数学上学期期末考试试题理
2019-2020学年山西省高三(上)期末数学试卷(理科)(a卷)
2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i- C ．32i+ D ．32i- 3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位4．（5分）41(1)(12)x x ++展开式中2x 的系数为( )A ．10B ．24C ．32D ．565．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）函数2sin ()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）如图，在四棱锥P ABCD-中，//AD BC，2AD=，3BC=，E是PD的中点，F在PC上且13PF PC=，G在PB上且23PG PB=，则()A．3AG EF=，且AG与EF平行B．3AG EF=，且AG与EF相交C．2AG EF=，且AG与EF异面D．2AG EF=，且AG与EF平行8．（5分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，22a=，728S=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A．20202021B．20182020C．20182019D．202120209．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为10．则输出i的值为()A ．5B ．6C ．7D ．810．（5分）设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(0,)2pC，AF 与BC 相交于点E ．若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值( ) A ．2B ．2C ．6D ．2211．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 12．（5分）设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是( ) A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a =r，||2b =r ，|2|37a b +=r r ，则a r 与b r 的夹角为 ． 14．（5分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列1{2}n S a -也为等比数列，则43S S = 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．18．（12分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点P ，Q 在平面ABCD 的两侧． （1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点E ，F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题． ()i 证明：//EF 平面PAQ ；()ii 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合），已知△12PF F 3，椭圆的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 21．（12分）已知函数()2(12)a f x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为212(2x s s y s ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-． （1）求不等式()6f x …的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．2019-2020学年山西省高三（上）期末数学试卷（理科）（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U R =，集合2{|log 1}A x x =<，2{|0}B x x x =->，则(A B =I ) A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【解答】解：由题意得2{|log 1}{|02}A x x x x =<=<<，2{|0}{|0B x x x x x =->=<或1}x >， {|12}A B x x ∴=<<I ．故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足21iz i-=+，则(z = ) A ．132i+ B ．132i - C ．32i+ D ．32i- 【解答】解：2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i ---===-++-， 故选：B ．3．（5分）由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测．结合右图，下列说法错误的是( )A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故D 项表达错误． 故选：D ．4．（5分）41(1)(12)x x ++展开式中2x 的系数为( )A ．10B ．24C ．32D ．56【解答】解：41(1)(12)x x ++的展开式中2x 系数，只要求出4(12)x +的展开式中含2x 的项及3x 的系数，4(12)x +Q 的展开式的通项142r r r r T x +=⨯g ð 令3r =可得33344232T x x =⨯⨯=； 令2r =可得222234224T x x =⨯=g ð 故2x 的系数为243256+=， 故选：D ．5．（5分）已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0，(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：()x f x ae x b =++的导数为()1x f x ae '=+，所以(0)12f a '=+=，解得1a =， (0)13f a b b =+=+=，所以2b =，所以2ab =，故选：B ．6．（5分）函数2sin ()1x xf x x +=+在[π-，]π的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：2sin ()1x x f x x +=+是奇函数，排除A ；2sin ()01f ππππ+=>+，排除B ，C ． 故选：D ．7．（5分）如图，在四棱锥P ABCD-中，//AD BC，2AD=，3BC=，E是PD的中点，F在PC上且1 3PF PC=，G在PB上且23PG PB=，则()A．3AG EF=，且AG与EF平行B．3AG EF=，且AG与EF相交C．2AG EF=，且AG与EF异面D．2AG EF=，且AG与EF平行【解答】解：取CF的中点H，连接DH，GH，在PBC∆中，23PG PHPB PC==，所以//GH BC，且223GH BC==，又因为//AD BC且2AD=，所以//GH AD，且GH AD=，所以四边形ADHG为平行四边形，所以//AG DH，且AG DH=．在PDH∆中，E、F分别为PD和PH的中点，所以//EF DH，且12EF DH=，所以//EF AG，且12EF AG=，即2AG EF=．故选：D．8．（5分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，22a=，728S=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A．20202021B．20182020C．20182019D．20212020【解答】解：由题意，设等差数列{}na的公差为d，则112767282a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩．∴数列{}na的通项公式为1(1)1na n n=+-⨯=，*n N∈．∴111(1)n n a a n n +=+．设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则12231111n n n T a a a a a a +=++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 202020202021T ∴=． 故选：A ．9．（5分）“角谷定理”的内容为对于每一个正整数．如果它是奇数．则对它乘3再加1，如果它是偶数．则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10．则输出i 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：模拟程序的运行，可得0i =，10n =不满足条件1n =，满足条件n 是偶数，5n =，1i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，16n =，2i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，8n =，3i =不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，4n =，4i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，2n =，5i = 不满足条件1n =，不满足条件n 是偶数，1n =，6i = 此时，满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为6． 故选：B ．10．（5分）设抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7(0,)2pC ，AF 与BC 相交于点E ．若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值( ) A ．2B ．2C ．6D ．22【解答】解析：根据已知(0,)2p F ，:2p l y =-，由||2||CF AF =，得3||2pAF =，不妨设点(,)A x y 在第一象限，则322p py +=，即y p =，所以2x p =， 易知ABE FCE ∆∆∽，||||1||||2AB AE CF EF ==，所以||2||EF AE =， 所以ACF ∆ 的面积是AEC ∆ 面积的3倍，即92ACF S ∆=，所以132922S p p ==g g ，解得6p =，故选：C ．11．（5分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD =，1BD =，2 AC BC==．当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥A BCD-的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离1d=，∴1113311332A BCD C ABD ABDV V S d--∆===⨯⨯⨯⨯=g．故选：B．12．（5分）设函数()sin()f x xωϕ=+，其中0ω>，[,]43ππϕ∈，已知()f x在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是()A．136ω=B．116ω=C．74ω=D．34ω=【解答】解：设t xωϕ=+，则2tϕπωϕ+剟，所以siny t=在[ϕ，2]πωϕ+上有4个零点，可知425ππωϕπ+<„，所以52222ϕϕωππ-<-„，又[,]43ππϕ∈，所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若||3a=r，||2b=r，|2|37a b+=rr，则ar与br的夹角为3π．【解答】解：设ar与br的夹角为θ，则[0θ∈，]π，Q||3a=r，||2b=r，|2|37a b+=rr，∴2244943cos4437a ab bθ++=++=r rr rg g g g，求得1cos2θ=，3πθ∴=，故答案为：3π．14．（5分）记nS为等比数列{}na的前n项和，若数列1{2}nS a-也为等比数列，则43SS=1514【解答】解：根据题意，设等比数列{}na的公比为q，对于等比数列1{2}nS a-，其前三项为：1a-，21a a-，321a a a+-，则有2132121()()()a a a a a a -+-=-， 变形可得：22(1)(1)q q q -+-=-， 解可得：12q =或0（舍)，则12q =， 则41443313(1)1151(1)1141a q S q q a q S q q---===---； 故答案为：1514． 15．（5分）某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品(10个产品均为次品）．如果将5袋产品以1~5编号，第i 袋取出i 个产品(1i =，2，3，4，5)，并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子编号是2，此时的重量y = 1520g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y = g ．【解答】解：第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个．若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=； 若次品是第({1n n ∈，2，3，4，5})袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{1n ∈，2，3，4，5}． 故答案为：1520；150010n +，{1n ∈，2，3，4，5}．16．（5分）已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212()0||||PF PF QF PF PF +=u u u r u u u u r u u u u r u u ur u u u u r g ，②1212()0||||PF PF QP PF PF λ++=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则点Q 的轨迹方程为 2211()2x y x +=> ．【解答】解：设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上，结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在△2PF A 中，2AF PQ ⊥．又PQ 平分2APF ∠，所以△2PF A 为等腰三角形，即2||||PF PA =，2||||AQ QF =．因为点P 为双曲线上的点，所以12||||2PF PF -=，即12||||||2PA AF PF +-=，所以1||2AF =．又在△12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以11||||12OQ AF ==，所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆，所以点Q 的轨迹方程为2211()2x y x +=>．故答案为：2211()2x y x +=>．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【解答】解：sin 2sin()0c B b A B -+=Q ，由正弦定理可得，sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简可得，2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=，sin sin 0B C ≠Q ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈Q ，∴13B π=，（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，27b ∴=，由正弦定理可得，sin 321sin 14c B C b ==18．（12分）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【解答】解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则(0)0.20.10.10.002P X==⨯⨯=，(1)0.80.10.20.20.90.10.20.10.90.044P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X==⨯⨯=．(3)0.80.90.90.648故X的分布列为：E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．()00.00210.04420.30630.648 2.6（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=，⨯-⨯=元．∴一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4设购买n尾乙种鱼苗，()F n为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，n…．则()9.4376000F n n=…，解得40000所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．19．（12分）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆弧CD上的一动点（不与C，D重合），点Q是圆弧AB的中点，且点P，Q在平面ABCD的两侧．（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点E，F分别是PQB∆的重心，当三棱∆和POA锥P ABC-体积最大时，回答下列问题．EF平面PAQ；()i证明：//()ii 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：因为ABCD 是轴截面，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥， 又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与C ，D 重合），且CD 为直径，所以PC PD ⊥， 又AD PD D =I ，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ，故平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点，所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且OP ABO ⊥，()i 证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为E ，F 分别为三角形的重心，所以//EF MN ，所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊂/平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ ；()ii 以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图， 则(0P ，0，2)，(2A 0，0)，(0B 20)，(2,0,2)PA =-u u u r ，(2,2,0)AB =-u u u r，设平面PAB 的法向量(,,)\n x y z =r，则220220n PA x z n AB x ⎧-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，可取(2,2,1)n =r ， 又平面PCD 的法向量(0,0,1)m =r，所以5cos ,5m n <>==r r， 所以平面PAB 与平面PCD 25．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合），已知△12PF F 3，椭圆的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点(Q Q 不与A ，B 重合）．设ABQ ∆的外心为G ，求证2||||AB GF 为定值． 【解答】解：（1）由题意知：12c a =，2a c ∴=，又222b a c =-，∴3b c =． 设△12PF F 的内切圆半径为r ，则12121211(||||||)(22)()22PF F S PF PF F F r a c r a c r =++=+=+V g g g ，故当△12PF F 面积最大时，r 最大，即P 点位于椭圆短轴顶点时3r =， 3)a c bc +=，把2,3a c b ==2,3a b == 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得22(34)690m y my ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 所以AB 的中点坐标为2243(,)3434mm m -++，所以212212(1)|||34m AB y y m +=-==+．因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为2234()3434m y m x m m +=--++，令0y =，得2134x m =+，即21(,0)34G m +，所以2222133|||1|3434m GF m m +=-=++， 所以2222212(1)||1234433||334m AB m m GF m ++===++，所以2||||AB GF 是定值，为4． 21．（12分）已知函数()2(12)af x x a lnx x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解1x ，2x ，且12x x <，证明：12()02x x f +'>． 【解答】解：（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>， ①当0a „时，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； ②当0a >时，(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减； (,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增．（2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意； 当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则f '（a ）0=． 不妨设120x a x <<<， 要证12()02x x f +'>，即证122x x a +>，即证212x x +>，即证212x a x >-．因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证21()(2)f x f a x >-，因为21()()f x f x =，所以即证11()(2)f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-， 令()()()[2()(12)()][2()(12)()]a a g x f a x f a x a x a ln a x a x a ln a x a x a x=+--=++-++--+--++-4(12)()(12)()a ax a ln a x a ln a x a x a x=+-+---+-+-． 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- 222222222222(12)2()4()4()()()()a a a a x x x a a a x a x a x a x a x -+--=+-=-+-+-． 当(0,)x a ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈，时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-，又1(0,)x a ∈，所以11()(2)f x f a x >-，所以12()02x x f +>． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x ss y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解答】解：（1）直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为212(x s s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数），消取参数可知：C 的直角坐标方程为：24y x =．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入l 的极坐标方程cos 2sin 90ρθρθ++=，可得l 的直角坐标方程为：290x y ++=．（2）设点2(2s P)，则点P 到直线l的距离221|9||(5|s s s d ++++==g ，当s =-d ==[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||24|f x x x =++-． （1）求不等式()6f x „的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(,)m n ，正数a ，b 满足6ma nb +=，求23a b+的取值范围．【解答】解：（1）33,2()|1||24|5,1233,1x x f x x x x x x x -⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴由()6f x „，得2336x x ⎧⎨-⎩…„或1256x x -<<⎧⎨-+⎩„或1336x x -⎧⎨-+⎩„„，[2x ∴∈，3]或(1,2)x ∈-或1x =-．综上，[1x ∈-，3]．（2）Q 33,2()5,1233,1x x f x x x x x -⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+-⎩…„，∴当2x =时，()3min f x =，最低点为(2,3)，即236a b +=，∴132a b+=． ∴232323()()3232a b b a a b a b a b +=++=+++ 1325266+=…，当且仅当65a b ==时等号成立， ∴2325[,)6a b +∈+∞．。
山西省太原市2019-2020学年高三上学期期末数学(理)试题
（1）讨论 的单调性；
（2）设 是 的两个零点，证明： ．
22．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 ，求 的值.
连接 ，与 相交于点 ，连接 ，
因为点 是棱 的中点，
所以 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（Ⅱ）因为 ， ，
所以 ，又因为 底面 ，
建立如图所示空间直面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
因为二面角 的大小为 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 (舍去)，
所以存在点 ，有 ，使二面角 的大小为 .
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：（1）求导，对参数 分 两种情况进行讨论，令 得函数 的单调递增区间，令 得函数 的单调递减区间；（2）令 ，分离参数得 ，令 ，研究函数 的性质，可将证明 转化为证明 ，即证明 成立，令 ，利用导数研究函数 的增减性，可得 ，问题得证.
6．D
【解析】
【分析】
根据程序框图的循环功能，依次循环，直至 ，跳出循环，输出v的值.
【详解】
程序运行过程如下：
，
，
，
，
，
，
，跳出循环，输出v的值为 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
山西太原2019高三上年末调研考试--数学(理)
山西太原2019高三上年末调研考试--数学（理）说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，答题时间120分钟，总分值150分。
第I 卷〔选择题 共60分〕本卷须知1、答第I 卷前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将姓名、考试证号填在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上规定位置涂黑自己的考试证号和考试科目。
2、每题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案写在试题卷上无效。
参考公式：样本数据nx x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=ShV 31= 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4RV R S ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径 【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，那么()SC T U =〔 〕 A 、{1，4，5} B 、{1，5}C 、{4}D 、{1，2，3，4，5}2、复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，那么“1a =”是“z 为纯虚数”的〔 〕A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件 3、假设2sin 2tan 3,cos ααα=则的值等于〔 〕A 、2B 、3C 、4D 、64、假设某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，那么该几何体的俯视图能够是〔 〕5、数列{}na ，假设点*(,)()n n a n N ∈在通过点〔5，3〕的定直线l 上，那么数列{}n a 的前9项和9S =〔 〕A 、9B 、10C 、18D 、27〔〕 A 、243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数B 、0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点C 、,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+D 、R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数7、有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，那么这5盆花不同的摆放种数是 〔〕 A 、12 B 、24 C 、36 D 、488、如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是 边长为2的正三角形，侧棱长为3，那么BB 1与平面AB 1C 1所 成的角是 〔〕A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π9、输入12ln 0.8,,2ea b ec -===，通过以下程序运算后，输出a ，b 的值分别是〔〕A 、122,ea b e-==B 、ln 0.8,2e a b -==C 、12,2ea eb -==D 、12,ln 0.8a eb ==10、假设圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，那么由点〔a ，b 〕向圆C 所作切线长的最小值是 〔〕A 、2B 、3C 、4D 、611、设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，假设在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)af x x a -+=>恰有3个不同的实数根，那么a 的取值范围是〔〕 A 、〔1，2〕 B 、〔2，+∞〕C 、D 、2)12、函数(1)y f x =-的图象关于点〔1，0〕对称，且当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<成立〔其中'()()f x f x 是的导函数〕，假设0.30.3(3)(3),(log 3)(log 3)a f b f ππ=⋅=⋅，3311(log )(log )99c f =⋅，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕 A 、a b c >> B 、c a b >>C 、c b a >>D 、a c b >>第II 卷〔非选择题共90分〕说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
太原市2019届高三数学上学期期末考试试题含答案理
太原市2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝｛x N ∈｜0≤x ≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝则 A ∩BA 、{0,1}B 、{1}C 、[0,1]D 、[0,2)2.设复数 z 满足(1)1i z i +=-，则 zA 、 1B 、iC 、 1D 、 i3.已知sin α－0，则A 、43 B 、－43 C 、45 D 、－454.函数1()||f x x x=-的大致图像为5.设为两个不同平面，m , n 为两条不同的直线，给出以下命题：（ ）（1） 若 m , n， 则 m n ；（2） 若m ， 则 m ；（3） 若m，n， 则 m n ；（4） 若 mn , m, n， 则；则真命题个数为A 、1B 、2C 、3D 、46.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF 2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A、13 B 、413 C、7 D 、477.将函数2()cos cos f x x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则函数 g ( x ) 的一个对称中心是（） A 、（4π，12） B 、（－4π，－12） C 、（12π，12） D 、（512π-，－12）8． 设向量 a ，b ，c 都是单位向量， 且2a ＝b， 则a ，b 的夹角为（）A 、6πB 、4πC 、3πD 、23π9.已知实数 x , y 满足50304x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，若不等式 ax y 0恒成立，则实数 a 的取值范围为A 、（－∞，23） B 、（4，＋∞） C 、（43，4） D 、（23，4） 10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A 、8B 、4C 、83 D 、16311.已知数列{ a n } 为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1， 若2()1xf x x =-， 则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝（ ）A 、 22019B 、22020C 、 2 2017D 、2201812.已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) ，对于任意实数 x 都有()()2f x f x x -=-成立，且当x (－∞,0]时，都有'()21f x x <+成立，若(2)(1)3(1)f m f m m m <-++， 则实数 m的取值范围为（） A 、（－1，13） B 、（－1,0） C 、（－∞，－1） D 、（－13，+∞）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
2019届山西省太原市高三第一学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019届山西省太原市高三第一学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据交集的运算运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据交集的运算规律知，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．复数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据复数的四则运算，即可化简，求得答案.【详解】由复数四则运算规律知，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，根据正切函数倍角公式化简，即可求得答案.【详解】由题意，根据正切函数倍角公式知，故选B.【点睛】本题主要考查了正切的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记正切倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．函数的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．设，为两个的平面，，为两条不同的直线，则下列命题的假命题（）A．若，，则B．，，，则C．若，，则D．，，，则【答案】B【解析】由题意，根据线面垂直的性质，可知A是正确的；根据线面位置关系的判定，可得与可能是异面直线，所以不正确；根据面面平行的性质，可知C是正确的；根据线面垂直和面面垂直的判定，可知D是正确.【详解】由题意，对于A中，若，，根据线面垂直的性质，可知是正确的；对于B中，若，，，则与可能是平行直线，所以不正确；对于C中，若，，根据面面平行的性质，可知是正确的；对于D中，若，，，线面垂直和面面垂直的判定，可知是正确，故选B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面、面面垂直的判定与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．已知点是所在平面内一点，且满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，根据向量的线性运算可得，进而得到，即可求得，得到答案.【详解】由题意，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，利用向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．已知实数，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数，转化为平面区域内点和定点产生的斜率，结合图象确定最优解，即可得到答案.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由，因为看成图形上的点和定点产生的斜率，结合图象知，当取点A点时，此时取得最小值，当取点B时，此时取得最大值，又由，解得，此时；由，解得，此时，所以目标函数的最小值为，最大值为，所以目标函数的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）正视图侧视图俯视图A．B．C．D．【答案】C【解析】根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体，其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，还原三视图可得几何体为正四面体（如图所示），其中棱长为正方体面的对角线，正方体减去四个三棱锥，则该正四面体的体积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及三棱锥的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.9．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（）A．B．C．D．【解析】由题意，设，则，得，可得，即可求解.【详解】由题意，因为在为单调函数，且，设，则，即，所以，可得或（负值舍），所以，故选A.【点睛】本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．已知数列是等差数列，，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用函数的性质，求得，再由等差数列的性质，得到，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据等差数列的性质可知，因为，则，又由，则，所以，同理，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及函数的性质的应用，其中解答中熟练应用得出数列的性质，得到，再函数的函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题11．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为________【答案】40【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：20040．故答案为：40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.13．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，则面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】由题意，取的中点为，证得是等边三角形，求得，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，进而求得球的半径，即可求解.【详解】由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.【点睛】本题主要考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，其中解中正确认识几何体的结构特征，熟练应用线面位置关系的判定和性质，确定球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.14．已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有，且当时，都有，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解.【详解】由题意，知，可得关于对称，令，则，因为，可得在上单调递减，且关于对称，则在上也单调递减，又因为，可得，则，即，解得，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题15．已知等比数列的公比，，是，的等差中项，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得等比数列的的值，即可求得数列的通项公式；（2）由数列的前项和为，利用数列与的关系，即可求解.【详解】（1）由题可知，，又，即，或（舍去）.（2）数列的前项和为，当时，当时，.，经检验，满足上式，.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.16．已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由正弦定理，得，化简得，即可求解.（2）由（1）及余弦定理和基本不等式，求得，再利用面积公式，即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又，，即，整理得：，又，.（2）由（1）及余弦定理得：，即，又，当且仅当时等号成立，，解得：，，（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．17．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意，求得，令，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）由（1）根据函数的单调性，求得函数的最值，令，得到，即可求解.【详解】（1）定义域，，令，，当时，，，则在单调递增，当时，，，，，则在单调递增；，，，则在单调递减.综上述：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减（2）由（1）可知，当时，在单调递增，又，不可能满足题意，舍去.当时，在单调递增，在单调递减.若恒成立，则，令，则，解得，即，故，综上述：.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.18．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点.（1）求实数的值；（2）已知点的直角坐标为，若曲线与：（为参数）相交于，两个不同点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）求得曲线的平面直角坐标方程和曲线的平面直角坐标方程，再根据直线与圆的位置关系，即可求解.（2）把直线的参数方程代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程，消去参数，得曲线的平面直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式，得曲线的平面直角坐标方程为，曲线与有且只有一个公共点，即与相切，有，或(舍)，综上.（2），：，曲线的参数方程为（为参数），知曲线是过定点的直线，把直线的参数方程代入曲线得，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，得，分类讨论，即可求解.（2）由题意对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，借助函数的图象，即可求解.【详解】（1）当时，，所以，即求不同区间对应解集，所以的解集为.（2）由题意，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以函数的图象应该恒在的下方，数形结合可得.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
山西省太原市2019届高三上学期期末考试数学理试题(附解析)
太原市2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝｛x｜0≤x≤3｝，B＝｛x R｜－2＜x＜2｝则A∩B( )A. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)【答案】A【解析】【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点睛】本题考查交集的运算，是基础题，注意A中x.2.若复数满足，则 ( )A. 1B.C.D.【答案】D【解析】分析：由，得，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可.详解：由，得，故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3.已知sinα－2cos0，则tan2( )A. B. － C. D. －【答案】B【解析】【分析】由同角的三角函数关系式和倍角函数关系式求出结果．【详解】由于sinα﹣2cosα＝0，①，故①转换为sinα＝2cosα，整理得：tanα＝2，则：tan2，故选：B．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.函数的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.设,为两个不同平面，m,n为两条不同的直线，给出以下命题：（1）若m,n//，则m n；（2）若//,m，则m//；（3）若,m，n，则m n；（4）若m n,m,n//，则；则其中真命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由线面平行和垂直的性质可判断（1）；由面面平行的性质定理可判断（2）；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断（3）；由线面平行、垂直的性质可判断（4）．【详解】α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，（1）若m⊥α，n∥α，由线面平行的性质可得，过n的平面与α交于k，可得n∥k，由m⊥k，则m⊥n，故（1）正确；（2）若α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，故（2）正确；（3）若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行、相交或异面，故（3）错误；（4）若m⊥n，m⊥α，n∥β，可得α，β可能平行或相交，故（4）错误．故选：B．【点睛】本题考查空间线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的判断和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．6.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.将函数的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个对称中心是( )A. （，）B. （－，－）C. （，）D. （，－）【答案】A【解析】【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．【详解】函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）cos2x的图象，令，解得：x（k∈Z），当k＝0时，函数的对称中心为（）．故选：A．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，三角函数平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，注意最后结果对称中心的纵坐标易错写为0．8.设向量a，b，c都是单位向量，且2a＝b－c，则a，b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对式子2两边平方计算的值，从而求出向量的夹角．【详解】由2可得2，∴344，∵||＝||＝||＝1，∴3＝1﹣44，∴，∴cos，∴，的夹角为．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．9.已知实数x,y满足，若不等式ax y0恒成立，则实数a的取值范围为( )A. （－∞，）B. （4，＋∞）C. （，4）D. （，4）【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据条件ax﹣y＞0恒成立，得到平面区域在直线y＝ax的下方是解决本题的关键．10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 8B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为2，几何体的体积为：23﹣4．故选：C．【点睛】本题考查由三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知数列{a n}为等差数列，,=1，若，则＝( )A. 22019B. 22020C. 22017D. 22018【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质和函数的性质即可求出.【详解】由题知∵数列{a n}为等差数列，a n≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣22019．故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，注意：若{a n}为等差数列，且m+n=p+q,则，性质的应用.12.已知定义在R上的可导函数f(x)，对于任意实数x都有成立，且当x(－∞,0]时，都有成立，若，则实数m的取值范围为( )A. （－1，）B. （－1,0）C. （－∞，－1）D. （－，+∞）【答案】A【解析】【分析】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m ﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．【详解】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），∴|2m|＜|m﹣1|，化为：3m2+2m﹣1＜0，解得．故选：A．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解题关键是构造函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，利用单调性解不等式.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
山西省太原市2019届高三上学期期末考试数学理试题(解析版)
太原市2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝｛x｜0≤x≤3｝，B＝｛x R｜－2＜x＜2｝则A∩B=( )A. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)【答案】A【解析】【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点睛】本题考查交集的运算，是基础题，注意A中x.2.若复数满足，则 ( )A. 1B.C.D.【答案】D【解析】分析：由，得，再利用复数乘法、除法的运算法则求解即可.详解：由，得，故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3.已知sinα－2cosα=0，则tan2α=( )A. B. － C. D. －【答案】B【解析】由同角的三角函数关系式和倍角函数关系式求出结果．【详解】由于sinα﹣2cosα＝0，①，故①转换为sinα＝2cosα，整理得：tanα＝2，则：tan2，故选：B．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.函数的大致图像为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A，B；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】由题意，当时，，，单调递增，排除A，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.设α,β为两个不同平面，m,n为两条不同的直线，给出以下命题：（1）若m⊥α,n//α，则m⊥n；（2）若α//β,m⊂α，则m//β；（3）若α⊥β,m⊂α，n⊂β，则m⊥n；（4）若m⊥n,m⊥α,n//β，则α⊥β；则其中真命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由线面平行和垂直的性质可判断（1）；由面面平行的性质定理可判断（2）；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断（3）；由线面平行、垂直的性质可判断（4）．【详解】α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，（1）若m⊥α，n∥α，由线面平行的性质可得，过n的平面与α交于k，可得n∥k，由m⊥k，则m⊥n，故（1）正确；（2）若α∥β，m⊂α，由面面平行的性质可得m∥β，故（2）正确；（3）若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行、相交或异面，故（3）错误；（4）若m⊥n，m⊥α，n∥β，可得α，β可能平行或相交，故（4）错误．故选：B．【点睛】本题考查空间线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的判断和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．6.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF 2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.将函数的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个对称中心是( )A. （，）B. （－，－）C. （，）D. （，－）【答案】A【解析】【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的对称中心．【详解】函数，，，把函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）cos2x的图象，令，解得：x（k∈Z），当k＝0时，函数的对称中心为（）．故选：A．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，三角函数平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，注意最后结果对称中心的纵坐标易错写为0．8.设向量a，b，c都是单位向量，且2a＝b－c，则a，b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对式子2两边平方计算的值，从而求出向量的夹角．【详解】由2可得2，∴344，∵||＝||＝||＝1，∴3＝1﹣44，∴，∴cos，∴，的夹角为．故选：C．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．9.已知实数x,y满足，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为( )A. （－∞，）B. （4，＋∞）C. （，4）D. （，4）【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据条件ax﹣y＞0恒成立，得到平面区域在直线y＝ax的下方是解决本题的关键．10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 8B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为2，几何体的体积为：23﹣4．故选：C．【点睛】本题考查由三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力．11.已知数列{a n}为等差数列，,=1，若，则＝( )A. -22019B. 22020C. -22017D. 22018【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质和函数的性质即可求出.【详解】由题知∵数列{a n}为等差数列，a n≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣22019．故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，注意：若{a n}为等差数列，且m+n=p+q,则，性质的应用.12.已知定义在R上的可导函数f(x)，对于任意实数x都有成立，且当x∈(－∞,0]时，都有成立，若，则实数m的取值范围为( )A. （－1，）B. （－1,0）C. （－∞，－1）D. （－，+∞）【答案】A【解析】【分析】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．【详解】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），∴|2m|＜|m﹣1|，化为：3m2+2m﹣1＜0，解得．故选：A．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解题关键是构造函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，利用单调性解不等式.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
2018-2019学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共50分）1．（3分）（2018秋•太原期末）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则A ∩B＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，2}2．（3分）（2011•永春县一模）复数＝（）A．1﹣i B ．C．i D．﹣i3．（3分）（2018秋•太原期末）已知tanα＝2，则tan2α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．（3分）（2019•浙江模拟）函数函数的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2018秋•太原期末）设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β第1页（共33页）6．（3分）（2018秋•太原期末）已知点D是ABC 所在平面内一点，且满足，若，则x﹣y＝（）A ．﹣B．1C ．﹣D ．7．（3分）（2018秋•太原期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C ．D ．8．（3分）（2019•日照一模）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2018秋•太原期末）已知实数x，y 满足，则实数的取值范围为（）第2页（共33页）A．[，5]B ．C ．D ．10．（3分）（2018秋•太原期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．8B．4或C ．D ．11．（3分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则f（1）＝（）A．﹣1B．﹣4C．﹣3D．012．（3分）（2018秋•太原期末）已知数列{a n}为等差数列，（{a n}≠1，n∈N*），，若，则f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝（）A．﹣22019 B．22020C．﹣2 2017D．22018二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．（3分）（2018秋•太原期末）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为第3页（共33页）14．（3分）（2018秋•太原期末）命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是15．（3分）（2018秋•太原期末）在三棱锥PABC﹣中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为16．（3分）（2018秋•太原期末）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（x）+f（﹣x）＝2，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜1，若f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为．三、解答题17．（2018秋•太原期末）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2+1是a1，a3的等差中项，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式．第4页（共33页）18．（2018秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C 所对的边，．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2018秋•太原期末）为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费；（2）当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；（3）租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t∈[20，60]（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：租车时间t（分[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]钟）频数2182010将上述租车时间的频率视为概率．（1）写出张先生一次租车费用y（元）与租车时间t（分钟）的函数关系式；（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？第5页（共33页）20．（2019•袁州区校级模拟）如图（1）在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC ＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折成如图（2）中△C1DE的位置，点P在C1B上，且C1P＝2PB．（1）求证：PE∥平面ADC1；（2）若∠ADC1＝60°，求三棱锥P﹣ADC1的体积第6页（共33页）21．（12分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．第7页（共33页）[选做题]22．（2018秋•太原期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，曲线C1，C2有且只有一个公共点．（1）求a的值（2）设点M的直角坐标为（a，0），若曲线C1与C3：（θ为参数）的交点为A，B两个不同的点，求|MA|•|MB|的值[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝|x﹣m|+|2x﹣1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．第8页（共33页）2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共50分）1．（3分）（2018秋•太原期末）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则A ∩B＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）（2011•永春县一模）复数＝（）A．1﹣i B ．C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．第9页（共33页）【分析】本题是一个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式．【解答】解：复数＝＝＝＝﹣i故选：D．【点评】本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3．（3分）（2018秋•太原期末）已知tanα＝2，则tan2α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由二倍角的正切公式代入计算可得．【解答】解：∵tanα＝2，∴由二倍角的正切公式可得tan2α＝＝﹣故选：B．【点评】本题考查二倍角的正切公式，属基础题．4．（3分）（2019•浙江模拟）函数函数的大致图象为（）A ．B ．第10页（共33页）C ．D ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x ﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键．5．（3分）（2018秋•太原期末）设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由面面平行的性质定理得m∥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，知：第11页（共33页）在A中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故A正确；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故C正确；在D中，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．6．（3分）（2018秋•太原期末）已知点D是ABC 所在平面内一点，且满足，若，则x﹣y＝（）A ．﹣B．1C ．﹣D ．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量加减法即所给数乘关系，把所给等式转化为向量的关系式，可解x，y．【解答】解：∵，∴A，B，D共线，如图，且，∴，∵，第12页（共33页）∴，∴，∴，x ＝﹣，∴x﹣y ＝﹣，故选：C．【点评】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，难度适中．7．（3分）（2018秋•太原期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C ．D ．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用辅助角公式先化简f（x），然后根据三角函数的图象平移关系求出g（x），结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：＝sin2x +＝sin（2x +）+，第13页（共33页）将f（x ）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[2（x +）+]+＝sin（2x +）+＝cos2x +，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，则等k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，0]，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式求出f（x）和g（x）的解析式是解决本题的关键．8．（3分）（2019•日照一模）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．第14页（共33页）【分析】设DF＝2AF＝2，由余弦定理求出AC ＝，由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是p ＝．【解答】解：设DF＝2AF＝2，则AC ＝＝，∴S△DEF ＝＝，＝∴由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是：p ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（3分）（2018秋•太原期末）已知实数x，y 满足，则实数的取值范围为（）A．[，5]B ．C ．D ．【考点】7C：简单线性规划．第15页（共33页）【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，则转化变形，再由的几何意义，即可行域上的动点（x，y）与定点P（﹣1，1）连线的斜率求解．【解答】解：由实数x，y 满足，作出可行域如图，∵＝1+，表示可行域上的动点（x，y）与定点D（﹣1，1），连线的斜率加1，A（1，4），B（3，2），z的最大值为AD 的斜率，最小值为BD 的斜率．则实数的取值范围为：[，]．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．10．（3分）（2018秋•太原期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）第16页（共33页）A．8B．4或C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：两种情况，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，几何体的体积为：23﹣4××＝．或23﹣3××＝4．故选：B．第17页（共33页）【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力．11．（3分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则f（1）＝（）A．﹣1B．﹣4C．﹣3D．0【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数单调性的性质分析可得f（x）+为常数，设f（x）+＝t，（t＞0），则f（x ）＝﹣+t，结合题意可得f（t ）＝﹣+t＝﹣1，解可得t的值，即可得函数f（x）的解析式，将x＝1代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则有f（x）+为常数，设f（x）+＝t，（t＞0），则f（x ）＝﹣+t，又由＝﹣1，则f（t ）＝﹣+t＝﹣1，解可得t＝1或﹣2（舍），则f（x ）＝﹣+1，则f（1）＝﹣1；第18页（共33页）故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的解析式，属于综合题．12．（3分）（2018秋•太原期末）已知数列{a n}为等差数列，（{a n}≠1，n∈N*），，若，则f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝（）A．﹣22019 B．22020C．﹣2 2017D．22018【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】利用函数的关系，通过等差数列的关系，转化求解即可．【解答】解：因为，则a1+a2019＝1，＝，所以f（x）f（1﹣x ）＝＝4，所以f（a1）f（a2019）＝4，同理f（a2）f（a2018）＝4，f（a2019）＝＝﹣2，所以f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝﹣22019．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．（3分）（2018秋•太原期末）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为40第19页（共33页）【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】解：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：200×＝40．故答案为：40【点评】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（3分）（2018秋•太原期末）命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是假命题，求出a的范围．第20页（共33页）【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，∴原命题的否定，“存在实数x，使x2﹣2ax+1≤0”为真命题，∴△＝4a2﹣4≥0，∴a≤﹣1或a≥1．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．15．（3分）（2018秋•太原期末）在三棱锥PABC﹣中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4A：数学模型法；5U：球．【分析】作出图形，取BC的中点E，证明BC垂直平面PGE，得出BC⊥PE，将题干中的二面角转化为其平面角，并计算出三棱锥P﹣ABC的高PG，然后利用公式可得出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：如下图所示，第21页（共33页）由于G为△ABC的外心，则GA＝GB＝GC，由题意知，PG⊥平面ABC，由勾股定理易得PA＝PB＝PC，取BC的中点E，由于G为△ABC的外心，则GE⊥BC ，且，∵PG⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则BC⊥PG，又GE⊥BC，PG∩GE＝G，∴BC⊥平面PGE，∵PE⊂平面PGE，∴PE⊥BC ，所以，，且平面PBC与平面ABC所成的二面角的平面角为∠PEG＝60°，∴，因此，三棱锥的外接球的直径为，所以，，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了计算能力与推理能力，属于中等题．16．（3分）（2018秋•太原期末）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（x）+f（﹣x）＝2，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜1，若f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为（﹣∞，0）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】令g（x）＝f（x）﹣（x+1）．可得g（x）的图象关于（0，0）对称，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，从而可得当f（m）＞m+1，实数m的取值范围．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣（x+1）．第22页（共33页）g（﹣x）+g（x）＝f（x）+f（﹣x）﹣2＝0．∴g（x）的图象关于（0，0）对称，g′（x）＝f′（x）﹣1＜0，（x＜0），即g（x）在（﹣∞，0）单调递减，∴g（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，由f（0）+f（﹣0）＝2，可得f（0）＝1而g（0）＝f（0）﹣（0+1）＝0，∴g（x）＞0⇒x＜0∴当f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）【点评】本题考查了函数的单调性、对称性的应用．属于中档题．三、解答题17．（2018秋•太原期末）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2+1是a1，a3的等差中项，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】33：函数思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2与等比数列的公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由数列{a n+b n}的前n项和求得a n+b n，则数列{b n}的通项公式可求．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等比数列，且a1a2a3＝64，∴，即a2＝4，第23页（共33页）又a2+1是a1，a3的等差中项，∴，即4q2﹣10q+4＝0，解得q＝2或q ＝（舍）．∴；（2）∵数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n，∴当n＝1时，S1＝a1+b1＝2．当n≥2时，．∴a n+b n＝S n﹣S n﹣1＝2n，经检验，n＝1满足上式，∴．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的通项公式，是中档题．18．（2018秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C 所对的边，．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sin B＝cos（B ﹣），整理可得tan B ＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．第24页（共33页）（2）由（1）及余弦定理，基本不等式解得ac≤4，根据三角形的面积公式可求面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，由正弦定理，可得b sin A＝a sin B，又．∴a sin B＝a cos（B ﹣），即：sin B＝cos（B ﹣），整理可得：tan B ＝，∵B∈（0，π），∴B ＝．（2）由（1）及余弦定理可得：4＝a2+c2﹣2ac cos，可得：ac＝a2+c2﹣4，又a2+c2≥2ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≥2ac﹣4，解得ac≤4，∴S△ABC ＝ac sin B ≤＝．（当且仅当a＝c时等号成立）．故△ABC 面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（12分）（2018秋•太原期末）为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费；（2）当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；（3）租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车第25页（共33页）上下班各一次，且每次租车时间t∈[20，60]（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]租车时间t（分钟）频数2182010将上述租车时间的频率视为概率．（1）写出张先生一次租车费用y（元）与租车时间t（分钟）的函数关系式；（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意当20≤t≤40时，y＝0.12t+15，当40＜t≤60时，y＝0.2t+11.8，可得函数的解析式；（2）先求出平均用车时间，即可求出判断．【解答】解：（1）当20≤t≤40时，y＝0.12t+15，当40＜t≤60时，y＝0.12×40+0.20×（t﹣20）+15＝0.2t+11.8，于是y＝，（2）张先生租用一次租用新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间t＝25×+35×+45×+55×＝42.6，第26页（共33页）每次上下班租车的费用约为0.2×42.6+11.8＝20.32（元），一个月山下班租车费用约为20.32×22×2＝894.08＞800，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源汽车租赁汽车用，所以应选择公司接送车．【点评】本题考查了函数模型的应用，掌握分段函数的应用，属于中档题20．（2019•袁州区校级模拟）如图（1）在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC ＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折成如图（2）中△C1DE的位置，点P在C1B上，且C1P＝2PB．（1）求证：PE∥平面ADC1；（2）若∠ADC1＝60°，求三棱锥P﹣ADC1的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】14：证明题；31：数形结合；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）在AC1上取F，使C1F＝2FA，连结DF，PF，推导出四边形FPED为平行四边形，从而FD∥PE，由此能证明PE∥平面ADC1．（2）三棱锥P﹣ADC1的体积＝，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在AC1上取F，使C1F＝2FA，连结DF，PF，第27页（共33页）∵在△C1AB中，C1P＝2PB，C1F＝2FA，∴FP∥AB，FP ＝，∵在△ABC中，AB＝3，DE＝2，DE∥AB，∴FP∥DE，FP＝DE，∴四边形FPED为平行四边形，∴FD∥PE，∵FD⊂平面ADC1，PE⊄平面ADC1，∴PE∥平面ADC1．解：（2）∵PE∥平面ADC1，∴，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE∥AB，∴DE⊥C1D，DE⊥AD，∴DE⊥平面AC1D，∵＝，AD＝2，∴C1D＝CD＝4，∵∠ADC1＝60°，∴C1A⊥AD，∴＝2，∴三棱锥P﹣ADC1的体积：＝＝＝．第28页（共33页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意；当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．只需f （﹣）＝﹣﹣1+ln （﹣）≤0即可，【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx+ax2+（2+a）x（a∈R）．∴＝＝，x＞0，当a＝0时，f′（x ）＝＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x ＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x ＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．第29页（共33页）（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，而f（1）＝2a+2＞0，不符合题意；当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．只需f （﹣）＝﹣﹣1+ln （﹣）≤0即可，令﹣，则h（t）＝t﹣1+lnt单调递增，而h（1）＝0，∴t∈（0，1]，即，∴a≤﹣1．综上，a≤﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的恒成立的问题求，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．[选做题]22．（2018秋•太原期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，曲线C1，C2有且只有一个公共点．（1）求a的值（2）设点M的直角坐标为（a，0），若曲线C1与C3：（θ为参数）的交点为A，B两个不同的点，求|MA|•|MB|的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．第30页（共33页）【分析】（1）求出曲线C1的直角坐标方程为y ＝（x﹣a），曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝，由曲线C1，C2有且只有一个公共点，得曲线C1，C2相切，由此能求出a．（2）求出M（2，0），C3的普通方程为：＝1，求出曲线C1的参数方程，且曲线C1是过M（2，0）的直线，把C1的参数方程代入曲线C3的普通方程，得：7t2+2t﹣5＝0，由此能求出|MA|•|MB|．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），∴曲线C1的直角坐标方程为y ＝（x﹣a），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝，∵曲线C1，C2有且只有一个公共点，∴曲线C1，C2相切，∴圆心C2（1，0）到直线C1的距离d ＝＝，解得a＝2或a＝0（舍）．综上，a＝2．（2）由（1）得M（2，0），∵C3：（θ为参数），∴C3的普通方程为：＝1，曲线C1的参数方程为，（t为参数），第31页（共33页）曲线C1是过M（2，0）的直线，把C1的参数方程代入曲线C3的普通方程，得：7t2+2t﹣5＝0，∴|MA|•|MB|＝|t1t2|＝．【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝|x﹣m|+|2x﹣1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）去绝对值后分区间解不等式再相并；（2）转化为|x﹣m|＜3﹣x﹣|2x﹣1|对任意的x∈[0，1]恒成立后再构造函数，利用函数的图象可得．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，所以f（x ）＝，∴或或，解得0＜x ＜第32页（共33页）所以不等式f（x）＜2的解集为{x |0}（2）由题意f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，即|x﹣m|＜3﹣x﹣|2x﹣1|对任意的x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝3﹣x﹣|2x﹣1|＝，所以函数y＝|x﹣m|的图象应该恒在g（x）的下方，数形结合可得0＜m＜2【点评】本题考查了函数恒成立问题，属难题．第33页（共33页）。
山西省太原市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(精品解析)
于基础题． 赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方 图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方 形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间 的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设������������ = 2������������，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取 自小等边三角形的概率是( )
恒成立，排除 C，
故选：D． 利用������ > 0时，函数的单调性，以及������ < 0时，函数值的符号进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键． 设������，������为两个不同平面，m，n 为两条不同的直线，给出以下命题 (1)若������ ⊥ ������，������//������，则������ ⊥ ������；(2)若������//������，������ ⊂ ������，则������//������； (3)若������ ⊥ ������，������ ⊂ ������，������ ⊂ ������，则������ ⊥ ������；(4)若������ ⊥ ������，������ ⊥ ������，������//������，则������ ⊥ ������； 则下列真命题个数为( )
2018-2019 学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合������ = {������ ∈ ������|0 ≤ ������ ≤ 3}，������ = {������ ∈ ������| ‒ 2 < ������ < 2}，则������ ∩ ������ = ( )
2019年山西省太原市崇实中学高三数学理期末试卷含解析
2019年山西省太原市崇实中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝3，S3＝15，则a5＝（）A. 5B. 7C. 9D. 11参考答案：D【分析】设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝3，S3＝15，∴，解得d＝2．则a5＝3+4×2＝11．故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.2. 执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为64，则判断框内可填入的条件是（）A．k≤3？B．k＜3？C．k≤4？D．k＞4？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=4时，退出循环，输出S的值为64，故判断框图可填入的条件是k≤3．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=1，k=0满足条件，S=1，k=1，满足条件，S=2，k=2，满足条件，S=8，k=3，满足条件，S=64，k=4，由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为64．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k≤3．故选：A．3. 由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（）A. B. C.D.参考答案：A【知识点】定积分；微积分基本定理. B13解析：，故选A.【思路点拨】根据定积分的几何意义，及微积分基本定理求解.4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．4+2B．4+C．4+2D．4+参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB=×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．5. 当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（）A.奇函数且图象关于点对称C奇函数且图象关于直线对称D偶函数且图象关于点对称C略6. 复数在复平面内对应的点与原点的距离为A ．1B ．C．D．2参考答案：7. 已知A（﹣2，0），B（2，0），斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|﹣|MB|=2，|NA|﹣|NB|=2，且线段MN的中点为（6，1），则k的值为（）A．﹣2 B．﹣C．D．2参考答案：D【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线方程，利用点差法，即可得出结论．【解答】解：由题意，M，N是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，∴双曲线方程为=1（x＞），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故选D．8. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20参考答案：D9. 数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050参考答案：B【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1，①；a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2=（n+1）a1a n+2，②；①﹣②，得﹣a n+1a n+2=na1a n+1﹣（n+1）a1a n+2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1，①a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2=（n+1）a1a n+2，②①﹣②，得﹣a n+1a n+2=na1a n+1﹣（n+1）a1a n+2，∴，同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a1=，a2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B．10. 已知，，则（）A．B． C. D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______参考答案：12. 在等差数列中，，则___________．参考答案：答案：3解析：，∴=.13. 袋中装有个红球和个白球，.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为．参考答案：314. 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，C=45°，且a，2，b成等比数列，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】正弦定理；等比数列的性质．【分析】先利用等比中项的性质求得ab=4，再利用三角形面积公式S=absinC计算其面积即可【解答】解：∵a，2，b成等比数列，∴ab=4∴△ABC的面积S=absinC=×4×sin45°=故答案为15. 函数的图象在处的切线斜率为_____．参考答案：1【分析】根据导数几何意义，求导后代入即可得到结果.【详解】由得：，即所求切线斜率为本题正确结果：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16. 球放在墙角（两墙面，地面分别两两垂直），紧靠墙面和底面，墙角顶点到球面上的点的最远距离是，则球的体积是．（半径为的球体积公式：）参考答案：略17. 已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），a n=（n∈N*），b n=（n∈N*），考查下列结论：①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{a n}为等差数列；④数列{b n}为等比数列．以上命题正确的是．参考答案：②③④【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，则a n﹣a n﹣1=﹣===为常数，故数列{a n}为等差数列，故③正确，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23，…则f（2n）=n×2n，若，则====2为常数，则数列{b n}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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太原市2019 届高三上学期期末考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A ＝｛x N ∈｜0≤x ≤3｝，B ＝｛x ∈R ｜－2＜x ＜2｝则 A ∩B
A 、{0,1}
B 、{1}
C 、[0,1]
D 、[0,2)
2.设复数 z 满足(1)1i z i +=-g ，则 z
A 、1
B 、i
C 、 1
D 、 i
3.已知sin α－2cos 0，则 tan2 A 、43 B 、－43 C 、45 D 、－45
4.函数1()||f x x x =-的大致图像为
5.设 , 为两个不同平面，m , n 为两条不同的直线，给出以下命题：（ ）
（1） 若 m , n / / ， 则 m n ；（2） 若 / / ,m ， 则 m / / ； （3） 若
, m ，n ， 则 m n ；（4） 若 m n , m , n / / ， 则
； 则真命题个数为
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元 222 年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3 全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设 DF 2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）
A
、21313 B 、413 C 、277 D 、47 7.将函数2()3sin cos cos f x x x x =+的图象向左平移6
π个单位得到函数 g ( x ) 的图象，则
函数 g ( x ) 的一个对称中心是（）
A 、（4π，12）
B 、（－4
π，－12） C 、（12π，12） D 、（512π-，－12） 8． 设向量 a ，b ，c 都是单位向量， 且2a ＝b －3c ， 则a ，b 的夹角为（）
A 、
6π B 、4π C 、3
π D 、23π 9.已知实数 x , y 满足50304x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，若不等式 ax y 0恒成立，则实数 a 的取值范围
为
A 、（－∞，23）
B 、（4，＋∞）
C 、（43，4）
D 、（23
，4） 10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
A 、8
B 、4
C 、8
3 D 、163
11.已知数列{ a n } 为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1， 若2()1x f x x =
-， 则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯g
g g ＝（ ） A 、 22019 B 、22020 C 、 2 2017 D 、22018
12.已知定义在 R 上的可导函数 f (x ) ，对于任意实数 x 都有()()2f x f x x -=-成立，且当 x (－∞,0]时，都有'()21f x x <+成立，若(2)(1)3(1)f m f m m m <-++， 则实数 m 的取值范围为（）
A 、（－1，13）
B 、（－1,0）
C 、（－∞，－1）
D 、（－13
，+∞）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。
）
13.一串数字代码是 7 个1和 3 个 0 组成，则这样的不同数字代码的个数为： （用数字作答）
14.命题“”是真命题，则实数 a 的取值范围为： 15.在三棱锥 P ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影 H 是 ABC 的垂心， PB PC BC 2 ， 侧面PBC 与底面ABC 所成二面角的大小为 45， 则三棱锥 P
ABC 的体积为： 16.已知函数，其中 a , b R ，若对于任意
， 不等式 f (x ) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分 12 分） 已知等比数列{ a n } 的公比 q 1,
的等差中项，数列{ a n b n } 的前 n 项和为 Sn n 2 n
（1） 求数列{ a n }的通项公式；
（2） 求数列{ b n } 的前n 项和Tn
18.（本小题满分 12 分） 已知 a , b , c ,分别是 ABC 的内角 A , B , C , 所对的边，
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ABC 的面积为3，求 ABC 周长的最小值。
19.（本小题 12 分）为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车” ，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里数按1元/公里计费;②当租车时间不超过 40 分钟时，按0.12 元/分钟计费;当租车时间超过 40 分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费;③租车时间不足1分钟，按1分钟计算。
已知张先生从家里到公司的距离为15 公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t 20,60（单位：分钟） .由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t 是一个随机变量，现统计了他50 次路上租车时间，整理后得到下表:
租车时间 t（分
钟）
[20， 30] （30， 40] （40， 50] （50， 60] 频数 2 18 20 10
将上述租车时间的频率视为概率.
(1)写出张先生一次租车费用y (元)与租车时间t (分钟)的函数关系式;
(2)公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月(按 22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车?
(3)若张先生一次租车时间不超过 40 分钟为“路段畅通” ，设ξ 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”
的次数，求ξ 的分布列和期望;
20.（本小题 12 分）
如图（1），在ABC 中，AB 3，DE 2，AD 2 ，BAC90，DE/ / AB，将CDE 沿DE 折到如图（2）中 C 1DE的位置，点P 在C1 E1 上.
（1）求证：平面PAB 平面ADC1;
（2）若ADC160，且AP 与平面ABED 所成角的正弦值为42
7
，求二面角P AD
B的余弦值.
21.已知函数
（I ）讨论函数 f ( x ) 的单调性； （II ）若函数 f (x ) 有两个极值点 x 1, x 2，求证：
22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直曲线C 1 的参数方程为（ t 为参数a 0），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为
0，曲线C 1 ， C 2有且只有一个公共点.
（1）求 a 的值
（2）设点 M 的直角坐标为a ,0，若曲线C 1与C 3 （为参数） 的交点为 A , B 两个不同的点，求｜MA ｜·｜MB ｜的值
23.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 已知函数
（1） 当 m 1时，解不等式 f (x ) 2；
（2） 若不等式()3f x x <-对任意的 x
[0,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围。