例1求载流长直导线的磁场已知
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载流长直导线的磁场
A B = 9.273×1024 A m2
原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋， 原子中的电子除沿轨道运动外，还有自旋，电子的 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 自旋是一种量子现象，它有自己的磁矩和角动量， 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。 电子自旋磁矩的量值等于玻尔磁子。
载流圆线圈轴线上的磁场
§11-3 毕奥 萨伐尔定律的应用 毕奥—萨伐尔定律的应用
1. 载流长直导线的磁场
设有长为L的 设有长为 的 载流直 导线， 通有电流I。 导线 ， 通有电流 。 计算 与 导 线垂 直 距离 为 d 的 p 点的磁感强度。 点的磁感强度 。 取 Z 轴沿 载流导线，如图所示。 载流导线，如图所示。
O
d
β1
β 2
P
dB
载流长直导线的磁场
0 I dl sin α B = ∫d B = ∫ L L4 π r2
由几何关系有： 由几何关系有：
I
sin α = cos β
l = d tan β
dl = d sec β d β
2
r = d sec β
dl
L
α
r
β
l
P β 0 I dl sin α d β B=∫ O 2 dB L4 π r 0 β I 0I = ∫β d cos β d β = 4πd (sin β2 sin β1) 4π
点位于导线延长线上， = (3)P点位于导线延长线上，B=0 点位于导线延长线上
O
d
β 2
P
dB
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
设有圆形线圈L，半径为 ，通以电流I 设有圆形线圈 ，半径为R，通以电流 。
I dl
R
r
天津理工大学大学物理：稳恒磁场
毕奥——萨伐尔在经过大量的
实验的基础之上，经过分析之后指 出：对于载流导线上任一电流元Idl， 它在真空中某点P的磁感应强度dB的 大小与电流元的大小Idl和电流元到P 点的矢径r之间的夹角的正弦成正 比，并与电流元到P点的距离r的平 方成反比，即
Idl sin
dB k r2
9
dB
k
Idl sin
1
二 磁通量 磁场中的高斯定理
为了形象地反映磁场的分布情况，可以象在静电场中用电
力线表示电场的分布那样，用一些假想的曲线来表示磁场的分 布。我们知道给定磁场中的某一点，磁感应强度B的大小和方 向都是确定的，因此规定曲线上的每一点的切线方向就是该点 B的方向。而曲线的疏密程度则反映了该点附近B的大小，这样 的曲线就叫做磁力线（B线）。磁力线和电力线一样也是人为 地画出来的，并非磁场中真有这样一些线。
磁场与磁感应强度矢量
无论导线中的传导电流还是磁铁，本源都是一个即电荷的 运动。都可归结为运动的电荷之间的相互作用。这种相互作用 是通过磁场来传递的。电荷之间的磁相互作用与库仑相互作用 不同，无论电荷是静止还是运动，它们之间都存在着库仑相互 作用，但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。
为定量地描述电场的分布，曾引入电场强度矢量E的概念。 同样为描述磁场的分布情况，也需引入一矢量，这就是磁感应 强度矢量B，它和电场强度E是对应的。本来B应叫做磁场强度， 但是由于历史的原因，磁场强度这个词叫另一个矢量H占用了， 因此B只能叫磁感应强度了。
通过一有限大小曲面的磁通量m就等于通 过这些面积元ds上的磁通量dm的总和，即nຫໍສະໝຸດ m ds
m
B cosds
s
B
或
11、2毕萨定律及其应用
E 运动电荷除了产 r 生磁场外，还在其周 q B . 围激发电场。若电荷 v 运动速度远小于光速， 则空间一点的电场强度为： 1 q μ o q v× r 而B = E= r 3 r3 4 π π 4ε r
0
由上两式得：
B =μ ε v × E o 此式表明运动电荷激发的电场和磁场紧 结束 密相关。
0 IR 圆环 B 电流: 2( x 2 R 2 )3 2
（下一页）
电偶极子
q q Pe qr
1 pe E 3 20 r
延长线 上： 中垂面 上：
r
类 比
磁偶极子 I S
n
0 pm B 3 2r 0 pm B 3 4r
2
0 nI R csc d R 0 nId 3 3 2 R csc 2 csc
2 2
2 1
B dB
0 nId 0 nI 2 2 csc 2
2
1
sin d
0 nI cos 2 cos 1 2
返回
dB =
μ
I dl sin a r2 4π
o
μo
真空中的磁导率
μ o = 4π
× 10
7
( H . m 1 ) 或 ( 亨利.米 萨伐尔定律
×(
1
)
用矢量形式表示的毕奥 dB =
4π
μ o I dl
×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r3
4π
r
μ o I dl = r2 4π
×
r ) r
结束
返回
B =
μ o I dl
例1求载流长直导线的磁场,已知
讨论：
B
0I 4r0
(cos1
cos 2 )
⑴ 无限长载流长直导线的磁场
1 0 2
I
I
B 0I
2π r
BX
电流与磁感强度成右螺旋关系
⑵ 半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
或 1 0
2 π
2
2
BP
0I
4π r
2
B o 1r0 +p
I
o r *P
例2. 圆电流轴线上的磁场。已知R和Ｉz
dB
z
2
)
3 2
2. z 0 B 0 I (圆心处)
2R
x
3. z R
B
0 IR 2
2z3
0 IS 2 z 3
4.一段圆弧导线圆心处的磁感强度
z
dBz
dB
p•
z r dB
0 R
y
Idl
B 0 I 0 I 2 0 I 2R 4 R 4 R
θ─圆弧所对圆心角，用弧度表示。
例3. 如图所示导线，已知Ｉ、R、θ=/4，求O点的
(R2
x2
3
)2
x Rctg dx R csc2 d R2 x2 R2 csc2
B
2 1
0
2
nI
sin
d
0 nI
2
(c os 2
cos1)
B
0nI
2
cos2
cos1
1
2
R
P
x
讨论：
（1）P点位于管内轴线中点
1
l
π
2
cos 1 cos 2
cos2
电磁学例题
房改房大锅饭大公国静电场中的导体:例题1如图，半径为的接地导体球附近有一个静止点电荷，它与球心相距为，求导体球表面上感应电荷。
解：点电荷在球心处的电势为设为球面上感应面电荷密度，在球面上各点不尽相同(注意：对一个孤立的带电球形导体而言，其电荷是均匀分布在球面上的，即面电荷密度处处相同。
而今，导体球处于点电荷的电场中，对球面上各点的感应电荷分布是不均匀的。
)为此，可先在球面上任取一面积元，其上的感应电荷为，它在球心点的电势为整个球面上的感应电荷在球心点的电势为显然，，上式成为而球心点的电势为与之代数和，且其和应等于零，即由此可得，导体球表面上的感应电荷q′为按题意，导体球接地，以地的电势为零，考虑到位于点电荷q的静电场中的导体是一个等势体，这样，球心的电势亦应为零；而球心的电势则等于点电荷q和球面上的感应电荷q′所激发的电场在点O的电势之代数和。
据此即可求出解。
2.如图，三块平行的金属板A、B和C，面积均为。
板A、B相距，板A、C相距，B、C 两板都接地。
如果使A板带正电，并略去边缘效应，问B板和C板的内、外表面上感应电荷各是多少? 以地的电势为零，问A板的电势为多大解: 按题意，可判断感应电荷的分布如图所示。
因为B、C两板接地，所以两板都带负电，且即(a)考虑到 , , , , 则(b)由式(a)、(b),可得或这里，, , 代入上式，便可算出两板内表面感应电荷分别为，由于 B、C 板接地，外表面感应电荷为零。
又由 , 且，带入上述数值可算得 A 板的电势为。
有介質的靜電場:例题1.在无限长电缆内，导体圆柱A和同轴导体圆柱壳B的半径分别为和(<)，单位长度所带电荷分别为+λ和-λ，内、外导体之间充满电容率为的均匀电介质。
求电介质中任一点的场强及内、外导体间的电势差。
解：取高斯面，它是半径为(<<)、长度为的同轴圆柱形闭合面。
左、右两底面与电位移的方向平行，其外法线方向皆与成夹角θ=π/2，故电位移通量为0；柱侧面与的方向垂直，其外法线与同方向，θ=0°通过侧面的电位移通量为cos0°(2π)。
麦克斯韦方程组
有限长载流导线 所受的安培力
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
电磁学复习
L
B
感生电动势：由B发生变化引起感生电场而 产生的电动势
d i d t B dS
i Ek dl
l
d i Ek dl B dS l dt S
这里，S是以l为边界的，当环路不变时，运 算对易： B l Ek dl S t dS
心O点的磁感应强度。
解： B 0
I
a
O
b
4、 在磁感应强度为B的均匀磁场中,有一圆形 载流导线, a、b、c、是其上三个长度相等的 电流元,则它们所受安培力大小的关系为
A)Fa Fb Fc
a
B
B)Fa Fb Fc C)Fb Fc Fa √
D)Fa Fc Fb
解:
稳恒磁场小结
一、 毕萨定律：
o Idl r dB 3 4 r
B dB
1、载流长直导线的磁场 0 I B (sin 2 sin 1 ) 4r0
2、载流圆线圈其轴上的磁场
IR 2 B 2 ( R 2 x 2 )3 / 2
I
1 P
r
2
0
圆心：
4和 1 2
15、如图，A和B为长直导线，电流为I， 垂直纸面向外，p点是AB的中点
0 (1) B p ? 0 I ( 2) B dl ?
L
Y
l
P
A
a
B
X
16、如图，半圆环MeN 以速度 v 向上平移， 求半圆环的 和 U M U N 。
I M a
2
r
23、一线圈由半径为0.2m的1/4圆弧和两直
线组成，I=2A，放在匀强磁场中， B 0.5T
B
感生电动势：由B发生变化引起感生电场而 产生的电动势
d i d t B dS
i Ek dl
l
d i Ek dl B dS l dt S
这里，S是以l为边界的，当环路不变时，运 算对易： B l Ek dl S t dS
心O点的磁感应强度。
解： B 0
I
a
O
b
4、 在磁感应强度为B的均匀磁场中,有一圆形 载流导线, a、b、c、是其上三个长度相等的 电流元,则它们所受安培力大小的关系为
A)Fa Fb Fc
a
B
B)Fa Fb Fc C)Fb Fc Fa √
D)Fa Fc Fb
解:
稳恒磁场小结
一、 毕萨定律：
o Idl r dB 3 4 r
B dB
1、载流长直导线的磁场 0 I B (sin 2 sin 1 ) 4r0
2、载流圆线圈其轴上的磁场
IR 2 B 2 ( R 2 x 2 )3 / 2
I
1 P
r
2
0
圆心：
4和 1 2
15、如图，A和B为长直导线，电流为I， 垂直纸面向外，p点是AB的中点
0 (1) B p ? 0 I ( 2) B dl ?
L
Y
l
P
A
a
B
X
16、如图，半圆环MeN 以速度 v 向上平移， 求半圆环的 和 U M U N 。
I M a
2
r
23、一线圈由半径为0.2m的1/4圆弧和两直
线组成，I=2A，放在匀强磁场中， B 0.5T
8-3 毕奥-萨伐尔定律
B
ad d
o I ad o I d x ln 2 a d 2 ax
a
[小结 ]
1.毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4π r 3
大 小：dB
2.几种常见载流导线的磁感强 度(记住结论)： (1)载流长直导线的磁场：
0 Idl sin
4π r2 方 向：与 dl r ˆ一致
N 0 IR2 （ 2 x R ）2
2 2 3
2） x 0 , B 的方向不变( I 和 B 成右手螺旋关系）
3）x 0 B
0 I
2R
4）x R
B
0 IR
2x
3
2
， B
0 IS
2π x
3
三 磁矩
如图所示，有一平面圆电流，其面积 为S，电流为I 取元电流平面的单位正法线矢量为 en ， 它与电流I的流向遵守右手螺旋定则
4π R1
例3 圆形载流导线的磁场
Y
Id l
R
O
I Z
x
r
dB dB
dl r
X
建立坐标，取 电流元。
p dB// p
o I dB dl 2 4 r dB// dB cos
dB dB sin
sin 1
o Idl r dB 3 4 r
0 I 解： B B B B 1 2 3 B 2 R 2 向里为正参考方向 R b a B 0 B2 B3 方向 0 I 0 I 0 (cos cos ) 2r 2 4r 2 0 I d l dB 0 I 0 I 4 R 2 4r 4r
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I
r yr
x dx 0
dd
x
x ytg dx y sec2 d
B 0 I
4d
0 d 0 I
0
4d
d arctg d y
arctg d y
0I 2d
arctg
d y
B 0 I
4d
讨论：⑴
d arctg d y
2 d
y 2 y
Байду номын сангаас B
例7. 设半径为R的带电圆盘的电荷面密度为，并以
角速度绕通过盘心垂直盘面的轴转动，求盘心处磁
感应强度和圆盘的磁矩。
解一： dI 2 rdr 2
= rdr
dB 0dI
2r
R
O
r
dr
B
dB 0
2
R 0
dr
1 2
0R
B
A
⑵
BBC
0 I 4 R
0I 5 4 R 4
50 I
16 R
方向
⑶
BCD
0I 4 r0
(cos1
cos 2 )
0I 4 2R
(cos
2
4
cos )
20 I (1 2 ) 方向
4R
2
B
BBC
BCD
50 I
16 R
0 Il
2π
d2
d1
dx x
d1 d2
Φ 0Il ln d2
o
x
2π d1
m
dm
r 2dI
R
r 2
rdr
1 R4
0
4
解二：
B
0
qv er
4
dB
0
dqrv2 r
4 r 3
R
O
r
dr
dB 0 dqv 4 r 2
dq 2 rdr v r dB 0 dr
2
B
cos1
1
2
R
P
x
讨论：
（1）P点位于管内轴线中点
1
l
π
2
cos 1 cos 2
cos2
l/2
l / 22 R2
B
0nI
cos2
0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
若 l R
B 0nI
B
0nI
2
cos2
arctg d y
y<<d arcty
0I
2d
d
arctg
d y
dB
y
y2 —无限大载流平板
dB
B 0 I
4d
2
d
2
0I
4d
0
2
j
I
r yr
x
⑵ y>>d， arcty d d
dx 0
x
yy
dd
—无限长载流直导线
B 0 I arctg d 0 I B
2(R 2
x
2
)
3 2
l
B
dB 0nI
2
R 2 dx
(R2
x2
3
)2
x Rctg dx R csc2 d R2 x2 R2 csc2
B
2 1
0
2
nI
sin
d
0 nI
2
(c os 2
cos1)
B
0nI
2
cos2
讨论：
B
0I 4r0
(cos1
cos 2 )
2
⑴ 无限长载流长直导线的磁场
1 0 2
I
I
B 0I
2π r
B
X
B o 1r0 +p
电流与磁感强度成右螺旋关系
⑵ 半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
或 1 0
2 π
2
2
BP
0I
4π r
I
o r *P
例2. 圆电流轴线上的磁场。已知R和Ｉz
dB
0 4
Idl r2
s
in
900
dBz
dB
p•
dB 0
B dBz dBsin 0 Idl R
4r 2 r x
z
dB r
0 R
y
Idl
0IR
4 r 3
2 R
dl
0
0IR2
2(R 2
c os 1
1
2
P
R x
1 2 0
l
无限长螺线管轴线中部 B 0nI
（2）半无限长螺线管轴线上端点
1
π 2
,
2
0
或
1 2
0nI
1
π,2
2
B 0nI
B
1 2
0nI
O
-L/2
x
L/2
例6. 如图所示，电流I均匀流过宽为2d的无限长薄金
属板，试求通过板的中线并与板面垂直的平面上一点
0I
8R
（5）
I
R1
R2
•* o
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4π R1
例5. 均匀密绕直螺线管轴线上的磁场。已知 R、Ｉ、
1、2、单位长度的匝数n。
解：由圆形电流磁场公式
B
0IR 2
（ 2 x2 R2）3/ 2
1
2
R
P
x
x dx
dI nIdx
dBp
0 R2nIdx
20 I (1 4R
2) 2
方向
例4. 如图所示导线，求0点的磁感强度。
B （1）
I （2 ）
0 I (圆心处)
2R
R B0 x
o
B0
I
B 0 I
BP
4 R
（4）
0I
2R
0I
4π r
B0 d ×*o
0I
4π d
R
o×
（3）
I
R× o
B0
0I
4R
B0
p•
z r dB
0 R
y
Idl
B 0 I 0 I 2 0 I 2R 4 R 4 R
θ─圆弧所对圆心角，用弧度表示。
例3. 如图所示导线，已知Ｉ、R、θ=/4，求O点的
磁感强度。
解： ⑴ O点在AB的延长线上
dl
r
0
BAB
0
C θ R
0
D
dB 0
2
R
dr
0
1 2
0R
方向垂直纸面向外
例8. 如图载流长直导线的电流为I ,试求通过矩
形面积的磁通量.
解: 取面元 dS ，先求出 dΦ , 后积分求 Φ
B 0I
2π x
B // S
B
dΦ BdS 0I ldx
2π x
I
x dx l
Φ
S
B dS
z
2
)
3 2
B 0IR2
2(R 2 z 2 ) 32
讨论： 1. N匝线圈
B N0 IR 2
2( R 2
z
2
)
3 2
2. z 0 B 0I (圆心处)
2R
x
3. z R
B
0 IR 2
2z3
0 IS 2 z 3
4.一段圆弧导线圆心处的磁感强度
z
dBz
dB
的磁感强度。
dB
y
解： 把薄片分成许多宽为dx
P
的无限长载流直导线 dI I dx dB
dB 0dI 0 I dx 2 r 4d r
2d
dBy 0
B Bx dBx dBcos
r 2 y 2 sec2
0I y dx 4dr r