4.2 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
§2载流回路的磁场
dB =
µ0 R dI
2
2 x2 + R2 3/ 2 （ ）
N dI = Idx = nIdx L
各个元段在P点产生的磁感强度方向相， 各个元段在 点产生的磁感强度方向相，整 点产生的磁感强度方向相 个螺旋线圈在P点产生的磁感强度为 个螺旋线圈在 点产生的磁感强度为
B = ∫ dB =
µ0nI
2
∫
x2
µ0 Idl × r B = ∫ dB = ∫ r2 4π l
0
积分对于整个载流导线进行 电流元的磁场 + 磁场叠加原理 注意 任意载流导 体的磁场
B = ∫ dB
与
B = ∫ dB 的区别
太原理工大学物理系
dB =
µ0 Idl × r
4π
1
0
r2
毕奥— 毕奥—萨伐尔定律
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小. 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
解 由圆形电流磁场公式 B =
µ 0 IR 2
（x + R ） 2
2 2 3/ 2
处取长为dx的元段 距p点x处取长为 的元段，其上有 点 处取长为 的元段，其上有ndx匝线 匝线 相当于dI=nIdx的圆电流。 的圆电流。 圈，相当于 的圆电流
太原理工大学物理系
dI在P点产生的磁感强度大小为 在 点产生的磁感强度大小为
Idl
dB
dB
P *
r
θ
Idl
I
r
dB的方向 的方向 垂直于 平面 与 r 组成的
Idl sin θ dB = k 2 r
太原理工大学物理系
Idl × r 0 毕—萨定律的数学表达式 dB = k r2
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场大学物理电子教案
磁场强度毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生的磁场一、教学目标1. 理解磁场强度的概念，掌握毕奥萨伐尔定律及其应用。
2. 了解运动电荷产生磁场的原理，能运用相关知识分析实际问题。
3. 培养学生的实验操作能力，提高其科学思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 磁场强度的定义及其表示方法。
2. 毕奥萨伐尔定律的表述及其数学形式。
3. 毕奥萨伐尔定律在直导线、圆形电流和均匀电流环中的应用。
4. 运动电荷产生磁场的原理。
5. 运动电荷产生的磁场与电流磁场的区别与联系。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解磁场强度、毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的相关概念和理论。
2. 利用示例和图示，直观展示毕奥萨伐尔定律的应用。
3. 开展讨论法，引导学生分析运动电荷产生磁场的原理及其在实际应用中的重要性。
4. 布置实验，让学生动手操作，验证毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理论。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 实验室设备：电流表、电压表、导线、磁针等。
3. 投影仪、计算机等多媒体设备。
五、教学过程1. 引入：通过简单的磁现象，引导学生思考磁场强度的概念。
2. 讲解：讲解磁场强度的定义及其表示方法，阐述毕奥萨伐尔定律的表述和数学形式。
3. 示例：分析毕奥萨伐尔定律在直导线、圆形电流和均匀电流环中的应用，演示相关计算过程。
4. 讨论：引导学生分析运动电荷产生磁场的原理，与电流磁场的区别和联系。
5. 实验：安排学生进行实验操作，验证毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理论。
6. 总结：对本节课的主要内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对磁场强度、毕奥萨伐尔定律及运动电荷产生磁场的理解和掌握情况。
2. 实验报告：评估学生在实验过程中的操作技能、数据处理和分析问题的能力。
3. 作业完成情况：检查学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学拓展1. 介绍其他磁场强度计算方法，如安培环路定律。
4.2 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
0 I
O
R
例.无限长载流直导线弯成如图形状
L
I 20 A a 4cm 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 B p BLA BLA
R
a
I A
a
L
S
I
a
P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4
三、 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度 有线圈n匝。
1
r
dB
R
A1
2
p
A2
dl
l
载流圆线圈轴线上的磁场
1
r
dB
A1
2
R
A2
p
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L
r
(2)导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
1
2
P
dB
R 二、 圆形电流的磁场．有一半径为 的载 I P 流圆环，电流强度为 ，求它轴线上任一点 的磁感应强度 ． B Id l 0 Idl sin dB dB r 解 dB 2 R 4 r o x 0 P dB// x 90
电磁学 毕奥-萨伐尔定律
I 2 dl
e
er
38
L2单位长度受到的力的大小是
f dF12 0 I1I 2
dz
2r0
(2.2-19)
令I1 = I2 = I , 当 r0 = 1米，并且测得f = 2×10 –7牛顿/ 米时，两导线中的电流强度I 就定义为“1安培”.
0
2r0
I2
f
2
1m 2 10 7 1A2
N
/
m
25
A
若两电流元关于平面A镜像对
称，证明：它们在A上的合磁 场B必垂直于A（除非B=0）
Idl r
Idl '
r'
z
dB dB'
0I 4
dl
r
r
3
0I 4
dl'r' r'3
0I 4r 3
(dl r dl 'r ')
dl
(lx
,
l
Hale Waihona Puke y,lz)
dl ' (lx ,ly ,lz )
11
2.安培定律（Amperes’ Law）
真空中，两个稳恒的电流回路L1和L2 ，
电d流F1元2 I1dIl21d对l2I2dlk2的I1作d用lr1122力e为12
在MKSA单位制中，比例常数
k 0 4
（2.2-2）
(2.2-1)
e12 I1dl1 r12
L1
I2dl2 L2
12
其中，0称为真空磁导率，它与真空介电常数e0
36
电磁相互作用宇称守恒
dB( x)
0 4
Idl e r
r2
毕奥萨伐尔定律(磁场大小)
毕奥萨伐尔定律（磁场大小）
磁场大小如何计算呢？
还是要回到那个最伟大的发现，奥斯特的发现启发说起。
1820年秋，阿拉果带着奥斯特发现电流磁效应的重要新闻回到法国，9月11日，他便在法国科学院报告了奥斯特的重要发现并演示其实验。
阿拉果的报告使法国科学家迅速做出强烈反应。
对法国科学家而言，他们受库仑的影响太深，此前一直相信电和磁之间没有联系并且对电和磁分别进行研究。
阿拉果报告之后，法国科学家立即对电和磁的相互关系进行探索。
一周后，安培就取得了重要的研究成果,1820年9月18日、9月25日和10月9日，安培在科学院会议上宣读了3篇论文，并且用实验表演了两根通电导线相互吸引和排斥的现象，同时还证明了通电螺线管也能像磁铁一样相互吸引。
毕奥紧随其后，1820年9月30日，毕奥就向法国科学院报告了他与萨伐尔的重要发现:“载流长直导线施加在磁针磁极(不论是磁南极还是磁北极) 上的力反比于磁极与导线间的距离，这也是人类首次对奥斯特效应的定量研究”。
毕奥-萨伐尔定律：在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-SavartLaw）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl到P点的距离的平方成反比。
上式描述了电流元在一点产生的磁场大小，那么对于任意一段导体在一点出产生的磁感强度是如何求呢？
其实很简单，讲该任意导体看成由无数个电流元的组成，对电流元进行积分，便可求得。
综上，通过毕奥-萨伐尔定律，我们可以予以解答求解磁场定量公式。
电磁学2毕奥-萨伐尔定律
β lr
β dB
a
P
§4-3 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： I dl × r 的方向
dB
的大小：
dB
=
μo
4π
I
dl sina
r2
几何关系：
I dl
sin a =sin ( 900 +β ) dl a
= cosβ l = a tgβ
β lr
dl = a sec 2β dβ r = a secβ
I dl
r
IR
θ x
y dB θ P x
By= Bz=0
Idl r z
dB
B = dB x = dB
sinθ
=
μ
4π
o
I r
2
sinθ
dl
=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
sinθ
=
R r
I dl
r
r = (x 2 +R2 )1 2 I R
θ x
y dB θ x
z
B=
μo
4π
I r
2
sinθ
dl
=
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
用矢量形式表示的毕奥 萨伐尔定律
dB =
μ o I dl × r
4π r 3
=
μo
4π
I dl r2
×(
r r
)
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B Id l
l
2
r0 dl d 2 sin
0 2 I sin d B 4 1 r0
r o r0
1
dB
A
0 I (cos 1 cos 2 ) 4 r0
特例：无限长导线： 1 0, 2
0 I B 2r0
2
BQ
0 NIR 2
3/ 2
0 NIR 2
2
3/ 2
载流圆线圈轴线上的磁场
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的场 强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图 中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场 强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲 线。
2 R 2 R 2 0 NI 0.716 R
8 0 NI 1 1 5 5R 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度都 等于
2 R 2 3R 2 R 2 R 4 4 0 NI 4 3 0 NI 43 3 / 2 3 0.712 2 R 17 5 R
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
第二节 毕奥-萨伐尔定律和载流回路的磁场
一、 载流长直导线的磁场．在真空中有一长 为 L 载流直导线，导线中电流强度为 I ，求导 线附近一点 P 的磁感应强度．
0 Idl sin 解 dB 4 r2
0 B Idl sin B dB A r2 A 4 l r0ctg r r0 sin
返回
载流圆线圈轴线上的磁场
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线 圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相 同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的距离等 于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中 点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线 圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。 解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1 、O2 处磁感应强度相等， 大小都是
O1
Q1
P
Q2
O2
载流圆线圈轴线上的磁场
例 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相当 于一个圆电流，具有相应的磁矩，称为轨道磁矩。试 求轨道磁矩μ与轨道角动量L之间的关系，并计算氢 原子在基态时电子的轨道磁矩。
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆 的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电 流，电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2， 所以相应的磁矩为
2( R x )
2 3 2 2
载流圆线圈轴线上的磁场
0 IS B 2 ( R 2 x 2 ) 2( R 2 x 2 )
2
3 2
x0
B
0I
2R
（2）在远离线圈处
载流线圈 的磁矩
x R, x r
0 B 2 0 B 2
0 Idl dB 4 R 2
0 I1dl 0 I1l1 B1 2 1 4 R 4 R 2
0 I 2dl 0 I 2 l2 B2 2 4 R 2 4 R 2 U U I R l s I1 l 2 I 2 l1
B B1 B2 0
实际上，L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
一：载流直导线的磁场
0 I cos1 cos2 B 4 r
二：载流圆线圈轴线上的磁场
B 中心 B 轴线
2
I r B
0 I
2R
1
0 IR 2
IS 0 IS 3 3 x 2 r pm r3
引入 pm ISen
(3) 载流圆弧
圆心角
0 I 0 I B 2 R 2 4R
B
I
例 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到 粗细均匀的铁质圆环上的A和B两点，并与很 远处的电源相接， 试求环中心o点处的磁感应 强度． 解 三段直导线在圆心处 B 产生的磁场为零． 2 1 o 0 Idl r dB 3 A 4 r
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
载流圆线圈轴线上的磁场
B0
0 NI
2R
2R R
2
0 NIR 2
2 3/ 2
0 NI
0 NI 1 1 0.677 2R R 2 2
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP 2
0 NIR 2
2 3/ 2
1.71 105 T
方向
S点
0 I 3 BLA (cos 0 cos ) 4a 4 0 I 3 B L A (cos cos ) 4a 4 B p BLA BLA 7.07 105 T
方向
L
L
R
a
I A
a
I
S
方向 方向
2 2 3/ 2
2 R x 三：载流螺线管中的磁场 无限长螺管：
(不必记)
B内 0 nI，B 外 0
练 习
求圆心O点的 B 如图，
I
I
B
O R
O
R
0 I
4R
B
0 I
8R
I
R
O
2 3
I
0 I B 4 R 2R
0 I
0 I 3 B (1 ) 6R R 2
2
P
dB
R 二、 圆形电流的磁场．有一半径为 的载 I P 流圆环，电流强度为 ，求它轴线上任一点 的磁感应强度 ． B Id l 0 Idl sin dB dB r 解 dB 2 R 4 r o x 0 P dB// x 90
dB
0 Idl dB 4 r 2
三、 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度 有线圈n匝。
1
r
dB
R
A1
2
p
A2
dl
l
载流圆线圈轴线上的磁场
1
r
dB
A1
2
R
A2
p
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
Idl
由于圆形电流具有对称性，各垂直分量dB 相互抵消，所以总磁感强度 B 的大小为各个平 行分量 dB// 的代数和为
B dB// dB cos
cos R r
0 IR2 0 IR 2R B dl 3 3 0 2r 4 r
0 IR2
IS ner 2
L me vr me 2rnr 2me nr 2 e L 2m e
载流圆线圈轴线上的磁场
角动量和磁矩的方向可分 别按右手螺旋规则确定。 因为电子运动方向与电流 方向相反，所以L和μ的 方向恰好相反，如图所示。 上式关系写成矢量式为
L
e － L 2m e
0 I
O
R
例.无限长载流直导线弯成如图形状
L
I 20 A a 4cm 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 B p BLA BLA
R
a
I A
a
L
S
I
a
P T
R点
0 I 0 5 10 5 T 4a
方向
BR BLA BLA 0 I 0 I 3 1 (cos 0 cos ) (cos cos ) 4a 4 4a 4
2 2 3/ 2
dB
0 R nI d l
2
载流圆线圈轴线上的磁场
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
r
dB
A1
2
R
A2
p
又 R l R csc
B L
0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
2 3/ 2
0
0
2
2
nI
2
1
sin d
nI (cos 2 cos 1 )
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
载流长直导线的磁场