6. 3 毕奥——萨伐尔定律及其应用
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
.毕奥-萨伐尔定律
.毕奥-萨伐尔定律摘要：1.引言2.毕奥- 萨伐尔定律的定义3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献6.结论正文：1.引言毕奥- 萨伐尔定律是电磁学中的一个基本定律，它描述了电流在磁场中的作用力。
这个定律是由法国物理学家毕奥和萨伐尔在19 世纪初提出的，为电磁学的发展奠定了基础。
2.毕奥- 萨伐尔定律的定义毕奥- 萨伐尔定律指出，一个电流在磁场中受到的磁场力与电流的大小、磁场的强度和电流与磁场之间的夹角有关。
具体来说，磁场力F 的大小与电流I、磁感应强度B 以及电流与磁场之间的夹角θ的关系可以表示为：F = I * (Bl * sinθ)。
3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示毕奥- 萨伐尔定律可以用数学公式表示为：F = I * (Bl * sinθ)，其中F 表示磁场力，I 表示电流，B 表示磁感应强度，l 表示电流元的长度，θ表示电流与磁场之间的夹角。
4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域毕奥- 萨伐尔定律在许多领域都有广泛的应用，如电磁制动、电磁起重机、磁悬浮列车等。
此外，这个定律还为研究电磁波、电磁感应和磁流体等现象提供了理论基础。
5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献我国科学家在毕奥- 萨伐尔定律研究方面取得了举世瞩目的成果。
例如，中国科学院物理研究所的科学家们通过对磁性材料的研究，为理解毕奥- 萨伐尔定律提供了新的视角。
此外，我国在磁悬浮列车、电磁制动等领域的研究也取得了重要突破，为国民经济的发展做出了巨大贡献。
6.结论毕奥- 萨伐尔定律是电磁学的基本定律之一，它对电磁学的发展产生了深远的影响。
毕奥——萨伐尔定律在极坐标系中的表达式及其应用
毕奥——萨伐尔定律在极坐标系中的表达式及其应用萨伐尔定律是一条重要的物理学定律，它表明在极坐标系中，线性磁场与磁力线紧密联系。
在此定律的影响下，较小的磁场并非总是比较複杂的磁力线模式。
萨伐尔定律的具体表达式是：Bθ=-∂Φ/∂z，其中Bθ为放射状波函数，Φ为磁力函数。
萨伐尔定律在极坐标系中能广泛地应用于物理领域，作用涉及磁场跃迁、电离层静电场、星际磁力场等各方面。
比如，针对电离层的放射现象，在极坐标系中，萨伐尔定律可用来量化磁力线紊乱程度，即把磁力线画化为一条定义其强度大小的简单曲线；在星际磁力场中，萨伐尔定律可用来量化磁场并推导出磁矩变化规律，磁场和磁矩变化会受连续性和格林函数影响。
总之，萨伐尔定律是一条重要且关键的物理学定律，它对于我们研究物理领域有重要意义。
在极坐标系中，萨伐尔定律的表达式为Bθ=-∂Φ/∂z，且其应用远不止这里所述，而是渗透于各个新兴学科中，通过它可以深入了解物理性质，探索出许多未知的现象。
6-3毕奥—萨伐尔定律
0 I 1 l r1 r2 0 I 2 l d r1 ln ln 2 r1 2 d r1 r2
2.26 10 6 Wb
运动电荷的磁场
三、 运动电荷的磁场
形成
电荷运动
电 流
磁 场
设电流元 Idl ，横截面积S，单位体积内有n 个定向运动的正电荷 , 每个电荷电量为 q ，定向 速度为v。
L
I d l er 2 r
二、毕奥—萨伐尔定律的应用 先将载流导体分割成许多电流元 Idl 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后
按照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点 磁感应强度的矢量和。 实际计算时要应先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 dBx dBy dBz 然后再对各分量积分，
0 I sin B 2R 2 4r
I dl
R
r
d B
dB
IO
2 2
x
2
P
d B//
R R r R x ; sin 2 2 12 r (R x ) 0 IR 2 0 IS B 2 2 32 2 2 32 2 ( R x ) 2( R x )
0 qv sin dB B dN 4 r2
矢量式：
0 qv er B 2 4 r
其方向根 据 右手螺 旋法则， B 垂直 v 、r 组成的平面。 q 为正， B 为 v 的方向；q为 r 负， B 与 v r 的方向 相反。
1.71 105 T
方向
S点
L
0 I 1 1 BLA (sin sin ) 方向 4a 4 2 L 0 I 1 1 BAL (sin sin ) 方向 4a 2 4
6-3毕奥-萨伐尔定律
8
一个以速度v作匀速直线运动的电荷q与电流元
是相当的，在dt时间内粒子位移为dl=vdt , 等效电
流元为Idl=(Idt)v=qv，根据毕奥- 萨伐尔定律，在
距它r处点P所激励的磁感应强度为：
+
v
r
0 qv r B 3 4π r
-
v r B
Idl
dB P
B
运动正电荷的磁场
3 2
dx
R
x2
I
2
0 nI
2
sin d
1
载流螺旋管在其轴上的磁场，磁场方向与电流
满足右手螺旋法则。
12
0 nI 讨论几种特殊情况 B (cos 2 cos 1 ) 2
1.若 l >>R ，在无限长的螺线管中心处
1 π , 2 0
2.在管端口处：
B 0 nI
1 B 0 nI 2
0 nI 2
1 0 , π / 2 ; 2 π / 2 , 0
B
0 nI
–l /2
O
l /2
x
13
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
5
B的方向沿着轴线，与分量dBx 的方向一致。 圆电流环，在其轴上一点的磁场，磁场方向与
电流满足右手螺旋法则。
x
P
*两种特殊的情况：
x=0时圆电流环
中心磁感强度
B
0 I
2R
I
R
2
毕奥-萨伐尔定律
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕萨定律及其应用
B
∴B =
µ0I
2R
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载流圆弧： 载流圆弧：圆
θ
练 习
µ0 Iθ θ B= • = 2R 2π 4πR
圆 O
µ0 I
B
⊗
θ
I
Bo =
I
R
µ0 I
4R
I
B
I
I
O R • Bo ⊗
BO ⊗R o µ0 I µ0 I Bo = + 4πR 8 R
BO ⊗ o
I
R
I
µ0 I µ0 I Bo = + 2πR 4 R
r
α
p
µ0 Idl sinα dB = 4π r2
1） dB 与 Idl 成正比，与距离 ） 成正比，与距离r === 的平方成反比； 的平方成反比；
Idl
p1
2） dB与 r 和 Idl 的夹角的有关： ） 与 的夹角的有关： 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 2. 关于 的方向： 关于dB 的方向： 垂直于电流元和矢径构成的平面。 垂直于电流元和矢径构成的平面。
µ0 I 0 (cosα1 − cosα2 ) = 4πa 0
?
（下一页） 下一页）
•无限长载流直导线 无限长载流直导线
α1 = 0 α2 = π
µ0 I B= 2πa µ0 I B= 4πa
B
•半无限长载流直导线 半无限长载流直导线
讨 论
α1 = π 2 α2 = π
•直导线延长线上 直导线延长线上
（下一页） 下一页）
毕奥---萨伐尔定律的应用 二、 毕奥 萨伐尔定律的应用 计算各种电流分布产生的磁场的磁感强度 基本步骤： 基本步骤： p 1）任取电流元 ）任取电流元Idl, 求出其在 ==场点 P 产生的磁感 的 产生的磁感dB的 场点 dB p r ==大小与方向； 大小与方向； 大小与方向 α 2 ） 分 析 dB 方 向 是 否 变 化 : ==若不变,直接积分; Idl ===若变化 则要将 适当 若变化, 适当= 若变化 则要将dB适当 的分解, 对各分量分别积分, 的分解 对各分量分别积分 然后再合成起来. 然后再合成起来
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
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I
(6-17)
I
a O C
(6-18) (6- 19)
1
3．一段圆弧电流 在圆心处的磁场
R
I O
x
P x
O
0 I B 4R
(6-J1)
记住以上两类典型载流导线的B公式，解题时可直接引用！ 注意方向！
解： 可看成两个直线电流的组合。B B L B L
P： BL=0 0I 0I = —— BL (cos cos ) 4a 4 a 2 0I BP = —— 方向：向里。 4 a R： BL 向外，BL向外。
Y P
dB
I dx d I = — 任取一dI 2l 0 d I 0 I d x dB 2 2 2 2 2 x a 4l x a
由对称性分析知： B y d B y 0 dBx =dBcos B=Bx
l
a l
x dx X
0 I d x
2
l
I =j (电流密度)不变，且 l 时， 当— 2l
真空的磁导率
I dl
r
dB
d B 方向：I d l r 的 方 向 I d l 和 r 构成的平面
0 I d l r dB 4 r 3
4 r 0 = 4 107 NA2
I※ dl d B =?
Bd dB LB
例1．真空中一无限长载流导线LL, 在A点弯 成直角,如。(a =4.0cm，I =20.0A) L
R a a
L I
a S a 0I (cos cos ) B= —— 1 2 4a
A a P
0 I 3 BL (cos 0 cos ) 4 a 4
B= —— 2R
O
(6-J1)
4) 若线圈是由N 匝细导线组成 可看成是N匝圆电流的磁场的迭加
O
x
x
B=N ————— 2(R2+ x2)3/2
0 IR2
(6-J2)
记住以上两类典型载流导线的B公式，解题时可直接引用！
0 I d l r B d B L L 4 r3
0 vq sin 2 4 r
B 变化！
3. 适用条件：v << c
名词介绍： 磁偶极子
电流的流向与法向成右手螺旋关系。 I 磁矩(磁偶极矩)：
R
n pm
p m NIS n
大小：
(6-15)
p m NIS
方向：与电流流向成右手螺旋关系 注： 磁偶极子并不局限于圆形电流。
z D
2
0I (cos cos ) B= —— 1 2 4a
(6-16') I
I dl
I
z
r
a
讨论：1) 当导线无限长时， 1= 0， 2= 0I I B = —— 轴对称 0 B 2 a (6-17) 2 r r B 其中部附 当L>> a 时， B可认为是无限长 y近的 1 0， 2 直线电流产生的。 2) 在图示位置处的磁场?
L
④ 合成
L B Bxi By j Bz k
2 B x2 B y B z2 关键是求出 d B
L
或： 大小 B
标明方向！
D
2
1．载流直导线的磁场
0I (cos cos ) B= —— 1 2 4a
(6-16')
注意：1 、2是场点至导线两端的连线与导线的夹角2>1 ! 特例：无限长载流直导线 B 0 2 r B 2．圆电流的磁场 dB 0 IR2 B= ————— 2+ x2)3/2 2( R y P 0I 特例: 圆心处(x=0) B0= —— 2R
0I1 B1 = —— 2r
1
P
0I2 B2 = —— 2r = =B1
2
· I =3.0A
2
B= 2 B1= =7.07106 T 方向：与I1、I2流向均成135角。
俯视图 B
B2
B1
例4．电流 I 均匀流过无限长导体板。求P点的 B 。
解： 可看成无数根无限长直线电流。
E
I
S
r dl
•P
0 qv r 矢量式 B (6-13) 3 4 r 所确定的平面。 说明： 1. B 的方向垂直于 v 和 r
2. 电荷有正负。
P r
B
P r
v
v B
？做匀速直线运动的电荷在真空中给定点产生的 B 是否恒定
方向： 不变! 大小： B
使用(6-12)步骤：
(6-12)
I
① 任取一 I d l ，写出 d B的大小、标明方向；L 沿导线 L 积分 ② 建立坐标，将 d B 分解 d B x d B y d B z
③ 求各分量的积分和，
I dl
r
P
Bx d Bx B y d B y Bz d Bz
解： 任取一 I d l
各 d B 关于 x 轴对称
x
0 Idl R dB =dBcos(90 ) = —— —
4 r2
Bx d Bx 0
0
2 R
r
B
B Bx
x
2 R
0
0 IR2 0 IR d l = ————— 2+ x2)3/2 3 2( R 4 r 0I B0= —— 2R
解：任取一 I d l 0 I d l r dB 4 r3
I dl
I z
r
a
dB
P
B
y
O
C
1
d a 2 2 dz = a ——— r = ———— [ ] 2 sin sin() I 0 B= —— (cos1 cos2) 0I 4 a dB = —— sin d P 4a (6-16') r 方向如图 a 2 I 2 x 1 B 0 sin + d + + + + + + + 注意式中 + + + + + 2> +1+! + 1 4 a O x dx
① 任取一 I d l ，写出 d B 的大小、标明方向； ② 建立坐标，将d B 分解 d B x d B y d B z
③ 求各分量的积分和，B x
P
④ 合成
B Bxi By j Bzk
dB
L
x
B y d B y Bz d Bz
(6-18)
沿 x 轴正向。 讨论： x =0 处
0
(6- 19)
讨论：3) 一段圆弧电流 I、R、 。求圆心处的 B =?
0IRd 0Id dB= ——— = ——— 2 4 R 4 R
方向向里。
d
B
0
=2时
0 I d 0I = —— 4R 4 R 0I
0I BL (cos cos ) 4a 4
取向外为正向 BR= BL + BL=
※ 1 , 2 的确定( 2> 1) S： BL 向里， BL 向外。
0 I 3 BL (cos 0 cos ) 4 a 4
0I 3 BL (cos cos ) 4 a 4
方向向外。
0I Bbc= —— 4R
方向向里 a b
O
取向里为正
0I 1 sin B= Bbc Bcd= —— ) 4R ( +———— cos
罗必塔法则
O O
/2时，B=? = ？
课下练习： 求真空中O点的 B 。r
O r
r
例3 空间相隔20cm的两根无限长直导线，相互垂直放置。分 别载有2.0A 、3.0A的电流。在两导线的垂线上，离载有2.0A 电流的距离为8.0cm处P点的磁感应强度为多少？ I1=2.0A B2 平行I1向左。 解： B1 垂直纸面向里，
L L
或： 大小 B
B B B
2 x 2 y
2 z
标明方向！
关键是求出 d B
0 I d l r dB 4 r 3
(6-11)
——毕奥-萨伐尔定律
例： 判断下列各点磁感应强度的方向和大小. 1 方向如图示： 8
2
大小
7 R 6 5
Id l
3
4
0 I d l sin dB 4 r2 1、5 点 ： dB 0
§6. 3 毕奥-萨伐尔定律(Biot-Savart law) 电流产生磁场的规律P 一．毕-萨定律
电流元 借助磁场与电场的相似性 I d l 大小：Idl0
I
磁场可以叠加：磁场叠加原理 方向： 与线元处 I 同向
0 I d l sin 电流可以分割： 无数个电流元 大小： dB dB 2
取向里为正向 BS= BL BL=
例2．如图：计算O点的B 。（电流I、圆弧半径R）
解：B B ab B bc B cd
Bab =0
d c
0 I Bcd {cos[ ( )] cos } 4R cos( ) 2
0I = ———— ( sin 1) 4Rcos
x C
O
1
P
P
P
P
1= ？
在延长线上? 在导线的延长线上，电流不产生磁场。