11.3 毕奥-萨伐尔定律的应用
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第五版普通物理11-2,11-3毕奥—萨伐尔定律及其应用
第五版普通物理习题11-2,11-3毕奥—萨伐尔定律及其应用选择题两条无限长载流导线，间距0.5厘米，电流10A ，电流方向相同，在两导线间距中点处磁场强度大小为（A ）0 （B ）πμ02000T （C ）πμ04000 T （D ）πμ0400T [ ] 答案：A通有电流I 的无限长直导线弯成如图所示的3种形状，则P 、Q 、O 各点磁感应强度的大小关系为（A ）P B ＞Q B ＞O B （B ）Q B ＞P B ＞O B （C ） Q B ＞O B ＞P B （D ）O B ＞Q B ＞P B[ ] 答案：D在一个平面内，有两条垂直交叉但相互绝缘的导线，流过每条导线的电流相等，方向如图所示。
问哪个区域中有些点的磁感应强度可能为零（A ）仅在象限1 （B ）仅在象限2 （C ）仅在象限1、3 （D ）仅在象限2、4[ ]答案：D无限长直导线通有电流I ，右侧有两个相连的矩形回路，分别是1S 和2S ，则通过两个矩形回路1S 、2S 的磁通量之比为：（A ）1：2 （B ）1：1 （C ）1：4 （D ）2：1[ ]答案：（B ）边长为a 的一个导体方框上通有电流I ，则此方框中心点的磁场强度（A ）与a 无关 （B ）正比于2a （C ）正比于a （D ）与a 成反比[ ]答案：D边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I ，图中ab 、cd 与正方形共面，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感应强度的大小分别为（A ）01=B ，02=B （B ）01=B ，lIB πμ0222=（C ）l I B πμ0122=，02=B （D ）l I B πμ0122=， lIB πμ0222= [ ]答案：C载流的圆形线圈（半径1a ）与正方形线圈（边长2a ）通有相同的电流强度I 。
若两个线圈中心1O 、2O 处的磁感应强度大小相同，则1a ：2a ＝（A ）1：1 （B ）π2：1 （C ）π2：4 （D ）π2：8[ ]答案：D如图所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流11=I A ，方向垂直纸面向外；电流22=I A ，方向垂直纸面向内。
11.3 毕奥-萨伐尔定律
0 I (cos1 cos 2 ) 4 π r0
5
大学物理 第一版
11-3 毕奥-萨伐尔定律
B
0 I
4 π r0
(cos 1 cos 2 )
无限长载流长直导线
z
D
2
1 0பைடு நூலகம்2 π
× P
B
0 I
2 π r0
I
B
y
半无限长载流长直导线
x
C
o
1
π 1 2 2 π
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例 例1 载流长直导线的磁场.
z
D
2
解 dB
0 Idz sin
4π r
2
dz
I
r
* P
z
1
dB
y
dB 方向均沿
x 轴的负方向
x
C
o r0
0 Idz sin B dB 4 π CD r 2
4
大学物理 第一版
11-3 毕奥-萨伐尔定律
2
cos 2 cos 1
1 π， 2 0
（1）对于无限长的螺线管
故
B 0 nI
1 * P
R
2
x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
18
大学物理 第一版
11-3 毕奥-萨伐尔定律
（2）半无限长螺线管的一端
1 0.5π， 2 0
B 0 nI / 2
2
2
1
R 3csc2 d R 3 csc3 d
1 2 0 nI cos 2 cos 1 B 2
0 nI
11-3毕奥-萨伐尔定律及应用
真空的磁导率: π×10 真空的磁导率:o=4π× -7 π× 点的距离. (2) r是电流元 到P点的距离. ) 是电流元Idl 点的距离 r是从电流元 指向 点的单位矢量. 是从电流元Idl 指向P点的单位矢量 点的单位矢量. 是从电流元
上页 下页
(3)磁场的大小: )磁场的大小:
o Idl sin θ dB = 2 θ是Idl与r 之间的夹角 与 之间的夹角. 4π r
在薄片中取弧长为dl的窄条, 在薄片中取弧长为 的窄条, 的窄条 其中通过的微元电流为: 其中通过的微元电流为:
I
I I dI = dl = dθ πR π
上页 下页
y
在俯视图上建立如图坐标, 在俯视图上建立如图坐标, 电流元在O点激发的磁感应 电流元在 点激发的磁感应 强度为: 强度为:
o
dB
θ
毕奥-萨伐尔定律及应用 §11-3 毕奥 萨伐尔定律及应用
毕奥-萨伐尔定律 一, 毕奥 萨伐尔定律
d 真空中,电流元 真空中,电流元Idl 在P点产 B 点产 生的磁场为
o Idl ×r dB = 2 4π r
说明
P
r
θ
I
Idl
上式称为毕奥 萨伐尔定律 上式称为毕奥-萨伐尔定律 毕奥
(1)公式中的系数是 制要求的. 制要求的. )公式中的系数是SI制要求的
x R
0 0 I dB = dI = 2 dθ 2πR 2π R
所以: 所以:
π
dθ
方向如图所示. 方向如图所示.
0 I Bx = dBx = 2 ∫0 π R
即:
0 I dBx = dBsinθ = 2 sinθdθ 2π R
By = ∫ dB = 0
毕奥-萨伐尔定律
结果对比
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕萨定律及其应用
B
∴B =
µ0I
2R
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载流圆弧： 载流圆弧：圆
θ
练 习
µ0 Iθ θ B= • = 2R 2π 4πR
圆 O
µ0 I
B
⊗
θ
I
Bo =
I
R
µ0 I
4R
I
B
I
I
O R • Bo ⊗
BO ⊗R o µ0 I µ0 I Bo = + 4πR 8 R
BO ⊗ o
I
R
I
µ0 I µ0 I Bo = + 2πR 4 R
r
α
p
µ0 Idl sinα dB = 4π r2
1） dB 与 Idl 成正比，与距离 ） 成正比，与距离r === 的平方成反比； 的平方成反比；
Idl
p1
2） dB与 r 和 Idl 的夹角的有关： ） 与 的夹角的有关： 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元垂直的方向上，磁场最强； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 在与电流元重合的方向上，磁场为零； 2. 关于 的方向： 关于dB 的方向： 垂直于电流元和矢径构成的平面。 垂直于电流元和矢径构成的平面。
µ0 I 0 (cosα1 − cosα2 ) = 4πa 0
?
（下一页） 下一页）
•无限长载流直导线 无限长载流直导线
α1 = 0 α2 = π
µ0 I B= 2πa µ0 I B= 4πa
B
•半无限长载流直导线 半无限长载流直导线
讨 论
α1 = π 2 α2 = π
•直导线延长线上 直导线延长线上
（下一页） 下一页）
毕奥---萨伐尔定律的应用 二、 毕奥 萨伐尔定律的应用 计算各种电流分布产生的磁场的磁感强度 基本步骤： 基本步骤： p 1）任取电流元 ）任取电流元Idl, 求出其在 ==场点 P 产生的磁感 的 产生的磁感dB的 场点 dB p r ==大小与方向； 大小与方向； 大小与方向 α 2 ） 分 析 dB 方 向 是 否 变 化 : ==若不变,直接积分; Idl ===若变化 则要将 适当 若变化, 适当= 若变化 则要将dB适当 的分解, 对各分量分别积分, 的分解 对各分量分别积分 然后再合成起来. 然后再合成起来
毕奥-萨伐尔定律及应用
B x = ∫ dB x B y = ∫ dB y Bz = ∫ dBz
}Байду номын сангаас
⇒
v v v v B = Bx i + B y j + Bz k
设有长为L的载流直导 例1 载流长直导线的磁场 设有长为 的载流直导 线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的 点的磁 其中电流为 。计算距离直导线为 处的P点的磁 处的 感应强度。 感应强度。 I 解：任取电流元 Idl 据毕奥-萨伐尔定律 萨伐尔定律， r 据毕奥 萨伐尔定律，此电 α Idl 流元在P 流元在P点磁感应强度dB为 r r L r
I dl
R
r
x
d B⊥
θ
θ
r dB
I
O
P
r d B//
µ0 I d l B = ∫ dB// = ∫ dB sin θ = ∫L r 2 sin θ L L 4π µ 0 I sin θ 2πR µ 0 I sin θ = 2 ∫0 d l = 4πr 2 2πR 4πr
µ0 I sin θ B= 2πR 2 4πr
单位矢量
真空中的磁导率
大小： 大小： dB =
4π
µ0 Idl sin θ
r2
Idl vθ
P
v B
方向： 方向：右螺旋法则
v r
r dB
r dB
r Id l
P
r r
α
r dl
I
电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与 I d l 成正比 ， 与到电流元的距离平方成反比 ，与电 r 成正比，与到电流元的距离平方成反比， r 流 元 r 矢 径 夹 角 的 正 弦 成 正 比 。 dB 方 向 垂 直 于 r 和 r r 组成的平面， 与 Idl 组成的平面，指向为由 Idl 经 α 角转向 r 时 右螺旋前进方向。 右螺旋前进方向。 r
高二物理竞赛毕奥-萨伐尔定律应用举例PPT(课件)
成是由 2 个小圆弧形电流元产生的磁场的矢量叠加，
由右手螺旋关系可知每个电流元在圆心处产生的磁感 强度的方向相同。
◆ 在载流圆线圈轴线以外的空间，其磁感强度的分 布大致如下图所示：
I
思考2：
I
R o
B0
x
B0
0I
2R
I R o
B0
0I
4R
I
R o
B0
0I
8R
BA
0I 4d
d *A
I
R1
R2
*o
B0
讨 (1) 若线圈有 N 匝
论 二
B
N 0IR 2
2（x2 R2）3/ 2
xP x
(2) x 0，B 的方向不变 ( I 和 B 成右螺旋关系）
(3) x 0 , B 0I 圆环形电流中心的磁场
2R
思考1：圆弧形电流在圆心处的磁场为多少？
B 0I 2R 2
方向
I
R
O
提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看
(3) 半无限长螺线管
B 0nI
或由 1 , 2 0 代入
B
0nI
2
cos2
c os 1
1
,
2
2
B
1 2
0nI
I
1 2
0
nI
B 0nI
O
x
磁感应线的绕向与电流满足右螺旋定则
在沿电流方向的延长线上任一点处，
引入磁矩：
（与磁场方向一致）
例2 圆形载流导线的磁场。
例3 载流直螺线管轴上的磁场
毕奥－萨伐尔定律应用举例
R 载流直导线延长线上任一点的磁感强度为零。
例3 载流直螺线管轴上的磁场 提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看成是由 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。
由右手螺旋关系可知每个电流元在圆心处产生的磁感 强度的方向相同。
◆ 在载流圆线圈轴线以外的空间，其磁感强度的分 布大致如下图所示：
I
思考2：
I
R o
B0
x
B0
0I
2R
I R o
B0
0I
4R
I
R o
B0
0I
8R
BA
0I 4d
d *A
I
R1
R2
*o
B0
讨 (1) 若线圈有 N 匝
论 二
B
N 0IR 2
2（x2 R2）3/ 2
xP x
(2) x 0，B 的方向不变 ( I 和 B 成右螺旋关系）
(3) x 0 , B 0I 圆环形电流中心的磁场
2R
思考1：圆弧形电流在圆心处的磁场为多少？
B 0I 2R 2
方向
I
R
O
提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看
(3) 半无限长螺线管
B 0nI
或由 1 , 2 0 代入
B
0nI
2
cos2
c os 1
1
,
2
2
B
1 2
0nI
I
1 2
0
nI
B 0nI
O
x
磁感应线的绕向与电流满足右螺旋定则
在沿电流方向的延长线上任一点处，
引入磁矩：
（与磁场方向一致）
例2 圆形载流导线的磁场。
例3 载流直螺线管轴上的磁场
毕奥－萨伐尔定律应用举例
R 载流直导线延长线上任一点的磁感强度为零。
例3 载流直螺线管轴上的磁场 提示：将该平面载流线圈在圆心处产生的磁感强度看成是由 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度。
毕奥萨伐尔定律
电磁炉具有加热速度快、热效率高、安全可靠等优点，广泛 应用于家庭和餐饮行业。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
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THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
11-2.3 毕奥-萨伐尔定律及其应用
毕奥—萨伐尔定律及其应用 §11-2.3 毕奥 萨伐尔定律及其应用 例3 载流直螺线管的磁场
第十一章 稳恒磁场
如图所示，有一长为 半径为R的载流密绕直螺 如图所示，有一长为l , 半径为 的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 线管，螺线管的总匝数为 ，通有电流 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度. 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度
判断下列各点磁感强度的方向和大小. 例 判断下列各点磁感强度的方向和大小
8 2
d 1、5 点 ： B = 0 、
3、7点 ：dB 、 点 +3
+
=
µ 0 Id l
4π R
2
7
Idl
R
6 5
2、4、6、8 点 ： 、 、 、
+4
dB =
µ 0 Idl
4π R
sin 450 2
毕奥—萨伐尔定律及其应用 §11-2.3 毕奥 萨伐尔定律及其应用 毕奥---萨伐尔定律 萨伐尔定律应用举例 二 毕奥 萨伐尔定律应用举例 载流长直导线的磁场. 例1 载流长直导线的磁场
dB =
µ0
2
B = ∫ dB =
µ 0 nI
2
(R
R In d x
2
2
+x
x2 x1
2 3/2
)
B=−
µ 0 nI
2
∫ (R
2
R 2 dx
2
x = R ctg β 2 dx = − R csc βdβ
+x
2 3/ 2
∫β
β
1
R 3 csc 2 β d β R 3 csc 3 β
载流长直导线的磁场
I dl
r
R
IO
x
d B
P
dB
d B//
d B//
，，由所于以各圆P电点流电元流的的具大磁有小场对为B方称：向性不，相其同电，流可元分的解为逐对d抵B和d消B
B
LdB//
dB sin 0
L
4
L
Id r2
l
sin
0I sin 4r 2
2R
dl
0
0I sin 4r 2
2R
载流圆线圈轴线上的磁场
2R 2 2
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
2
2
R
0 NIR2
2
R
23/2源自80 NI5 5R
1
1 22
2
0.716 0 NI
R
载流圆线圈轴线上的磁场
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度 都等于
BQ
0 NIR2
2R2
R
2
3/2
0 NIR2
2R
载流线圈 的磁矩
（2）在远离线圈处 x R, x r
B 0
IS
0
IS
0
pm
2 x3 2 r 3 2 r 3
pm ISen
电偶极子中垂面上的电场。
E
1
4 0
Pe r3
3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有 线圈n匝。
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
r3
所有dB的方向相同， 所以P点的B的大小为：
B d B 0 I d l sin
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2
l
P 0 I d l sin d B O 2 dB L 4 r 0 I 0 I cos d sin 2 sin 1 4 d 4d
1
2
2
1
考虑三种情况：
0 I sin 2 sin 1 B 4d
1 2 2
nI (cos 2 cos 1 )
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
实际上， L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI
2 2 IR I R IS 0 0 0 B 3 3 2x 2x 2x 3
I
pm
p B 0 m 3 2x
电流磁矩 pm ISe n
圆电流的磁场
I
【例】密绕长直载流螺线管轴线上的磁场
设螺线管的半径为 R，电流为 I ，每单位长度 有线圈n匝。
所有dB的方向相同， 所以P点的 的大小为 ： B
dl
L
r
l
0 I d l sin B d B L L 4 r2
O
d
1
2
P
dB
I
由几何关系有：
sin cos
r d sec
dl
L
r
l d tan
d l d sec d
§11.3
毕奥-萨伐尔定律的应用
【例】长直载流导线的磁场
I
设有长为 L 的载流直 dl 导线，通有电流 I 。计算 与 导 线垂 直 距离 为 d 的 p L 点的磁感强度。取 Z 轴沿 l 载流导线，如图所示。
r
O
d
1
2
P
dB
按毕奥—萨伐尔定律有：
I
0 I d l r dB 4 r3
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
通电螺线管的磁场
B
I
B 0 nI
I
例 一个半径 R 为的塑料薄圆盘，电量 +q 均匀分布其上， 圆盘以角速度 绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。 求圆盘中心处的磁感应强度。
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
1
A1
r
dB
R
p
2
A2
dl
l
1
A1
r
dB
p
2
R
A2
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
2 2 3/ 2
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
r 2 R2 x2 sin R r R (x R )
2 2
1 2
B
0 IR 2
2( x 2 R 2 ) 3 2
讨论： 1.x=0处，即圆电流中心，磁场最大：
I 0 B
2R
2.x>>R，x≈r：
推广至 I 0 任意圆 B 2 2R 弧中心
Idl
Id l r 0 dB dB// dB 3 4r
R
r
x
dB dB
I
由圆对称性得
B dB 0
o
P
dB//
所以
B dB//
B B // dB// dB sin
0 4
sindl 0 I sin r 2 4r 2 2R
dB
0 R nI d l
2
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
A1
r
dB
p
2
R
A2
又 R l R csc
B L
0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
2
2 3/ 20Biblioteka 022nI
2
1
sin d
2
(1)导线无限长，即
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L
r
(2) 导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
1
2
P
dB
I
无限长直线电流的磁场
0 I B 2 r
【例】载流圆线圈轴线上的磁场
电流元 Idl 在P点磁场
l
P 0 I d l sin d B O 2 dB L 4 r 0 I 0 I cos d sin 2 sin 1 4 d 4d
1
2
2
1
考虑三种情况：
0 I sin 2 sin 1 B 4d
1 2 2
nI (cos 2 cos 1 )
B
0 nI
2
(cos 2 cos 1 )
讨论：
（1）螺线管无限长
1 , 2 0 B 0 nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0 nI / 2
实际上， L>>R 时 ，螺线 管内部 的 磁 场近似 均匀 ， 大 小为 0 nI
2 2 IR I R IS 0 0 0 B 3 3 2x 2x 2x 3
I
pm
p B 0 m 3 2x
电流磁矩 pm ISe n
圆电流的磁场
I
【例】密绕长直载流螺线管轴线上的磁场
设螺线管的半径为 R，电流为 I ，每单位长度 有线圈n匝。
所有dB的方向相同， 所以P点的 的大小为 ： B
dl
L
r
l
0 I d l sin B d B L L 4 r2
O
d
1
2
P
dB
I
由几何关系有：
sin cos
r d sec
dl
L
r
l d tan
d l d sec d
§11.3
毕奥-萨伐尔定律的应用
【例】长直载流导线的磁场
I
设有长为 L 的载流直 dl 导线，通有电流 I 。计算 与 导 线垂 直 距离 为 d 的 p L 点的磁感强度。取 Z 轴沿 l 载流导线，如图所示。
r
O
d
1
2
P
dB
按毕奥—萨伐尔定律有：
I
0 I d l r dB 4 r3
0 nI
0 nI
2
B
A1
O
A2
通电螺线管的磁场
B
I
B 0 nI
I
例 一个半径 R 为的塑料薄圆盘，电量 +q 均匀分布其上， 圆盘以角速度 绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。 求圆盘中心处的磁感应强度。
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
1
A1
r
dB
R
p
2
A2
dl
l
1
A1
r
dB
p
2
R
A2
l
dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作 Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
2( R l ) 2 0 R nI d l B L dB L 2 2 3/ 2 2( R l )
2 2 3/ 2
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
r 2 R2 x2 sin R r R (x R )
2 2
1 2
B
0 IR 2
2( x 2 R 2 ) 3 2
讨论： 1.x=0处，即圆电流中心，磁场最大：
I 0 B
2R
2.x>>R，x≈r：
推广至 I 0 任意圆 B 2 2R 弧中心
Idl
Id l r 0 dB dB// dB 3 4r
R
r
x
dB dB
I
由圆对称性得
B dB 0
o
P
dB//
所以
B dB//
B B // dB// dB sin
0 4
sindl 0 I sin r 2 4r 2 2R
dB
0 R nI d l
2
l R cot
d l R csc d
2 2 2 2 2
1
A1
r
dB
p
2
R
A2
又 R l R csc
B L
0 R nI d l
2
l
dl
2( R l )
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1
sin d
2
(1)导线无限长，即
I
0 I B 2d 0 I B 4d
dl
L
r
(2) 导线半无限长，场点与一端 的连线垂直于导线
l
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d
1
2
P
dB
I
无限长直线电流的磁场
0 I B 2 r
【例】载流圆线圈轴线上的磁场
电流元 Idl 在P点磁场