线性代数的一些证明题分析
《线性代数》中的证明题集
1．利用行列式展开定理证明：当βα≠时，有1100010001000001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-==-++． 证：将行列式按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-，则211223()()n n n n n n D D D D D D βαβαβ------=-=-22221()[()()]n n n D D αβααβαββαβα--==-=+--+=，所以1n n n D D βα--=． （1）由n D 关于α与β对称，得1n n n D D αβ--=． （2）由（1）与（2）解得11n n n D αβαβ++-=-．2．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证：41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874c c c cc c +++=．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．3．证明:222244441111()()()()()()()a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a b c d a b c d =------+++．证： 构造5阶行列式222225333334444411111a b c d x D a b c d x a b c d x a b c d x =， 则5()()()()()()()()()()D b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------． （1）将5D 按第5列展开，得435222222223333444411111111()a b c d a b c d D x x abcdabcda b c d a b c d =+-+． （2）比较（1）与（2）右边3x 的系数，知结论成立．4．证明：当b a 4)1(2=-时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=+-+=+++=+++0)(,03,02,04321432143214321x b a x a x x x x x x x x x x ax x x x 有非零解．证：方程组的系数行列式21111211(1)4113111a D ab aa b==---+，当0D =，即b a 4)1(2=-时，方程组有非零解．5．若A 为n 阶对称矩阵，P 为n 阶矩阵，证明TP AP 为对称矩阵． 证： 因为()()T A ATTTTT TT P AP P A P P AP ===，所以T P AP 为对称矩阵．6．设,,A B C 都是n 阶矩阵，证明：ABC 可逆的充分必要条件是,,A B C 都可逆． 证：ABC 可逆000,0,0ABC A B C A B C ⇔≠⇔⋅⋅≠⇔≠≠≠⇔,,A B C 都可逆．7．设n 阶方阵A 满足23AA O -=，证明2A E -可逆，并求()12A E --．证： 由23A A O -=，得(2)()2A E A E E --=，即(2)2A EA E E --=， 所以2A E -可逆，且()12A E --=2E A -．8．设A 为n 阶矩阵，且O A =3，证明A E -及A E +都是可逆矩阵．证： 由2A O =，得2()()E A E A A E -++=及2()()E A E A A E +-+=，所以A E -及A E +都是可逆矩阵．9．（1）设1P AP B -=，证明1kkB P A P -=．（2）设PB AP =，且100100210,000211001P B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求A 与2011A ．证： （1）111111()()()()kkk B P AP P A PP A PP PP AP P A P ------===．（2）由PB AP =，得1A PBP -=，且201120111APB P -=．又12011100100210,000411001P B B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以20111100200,611A A PBP A -⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪--⎝⎭．10．（1）设O B A C O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且m 阶矩阵B 和n 阶矩阵C 均可逆，试证明111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）设矩阵12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中12,,,n a a a 为非零常数，求1A -．证： （1）因为1111O B E O O C BB O E C O O E BO O CC ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 可逆，且 111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）将矩阵进行如下分块：121000000000000n na a O B A a C O a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则111O C A BO ---⎛⎫= ⎪⎝⎭．又111111121(,,,),()n n B diag a a a Ca -------==，所以 1A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000000001112111n n a a a a．11．设A 为n 阶矩阵，满足256A A E O ++=，证明：(2)(3)R A E R A E n +++=． 证： 由256A A E O ++=，得(2)(3)A E A E O ++=，所以(2)(3)R A E R A E n +++≤.又(2)(3)(2)(3)()R A E R A E R A E R A E R E n +++=--++≥=，所以(2)(3)R A E R A E n +++=.12．证明：（1）设,A B 为矩阵，则AB BA -有意义的充分必要条件是,A B 为同阶矩阵．（2）对任意n 阶矩阵,A B ，都有AB BA E -≠，其中E 为单位矩阵． 证：（1）设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，则AB BA -有意义,,,.n s t m m n s t m s t n =⎧⎪=⎪⇔⇔===⎨=⎪⎪=⎩， 即,A B 为同阶矩阵．（2）设(),()ij n n ij n n A a B b ⨯⨯==，则BA AB -的主对角线上元素之和为111111110n nn n n n n nik kist ts ik ki ts st i k s t i k t s ab b a a b a b ========-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑，而E 的主对角线上元素之和为n ，所以AB BA E -≠．13．证明：任意n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和． 证： 设A 为任意n 阶矩阵，则22T TA A A A A +-=+，其中为2T A A +对称矩阵，2TA A -为反对称矩阵．（你是否能联系到函数可以表示为奇函数与偶函数之和）14．已知n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，试证E A -可逆，并求1()A E --． 证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以E A -可逆，且E B E A -=--1)(．15．设A 为元素全为1的)1(>n n 阶方阵，证明：()A n E A E 111--=--． 证： ()211()111n E A E A E A A n n n --=-+---．又2A nA =，故 ()1()1E A E A E n --=-， 所以()A n E A E 111--=--．16．设n 阶矩阵A 与B 等价，且0A ≠，证明0B ≠．证： A 与B 等价，则存在n 阶可逆矩阵P 与Q ，使得B PAQ =，有0B PAQ P A Q ==⋅⋅≠．注：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17．设A 为n 阶方阵，且A A =2，证明()()n E A R A R =-+．证： 因为2()A A E A A O -=-=，所以()()R A R A E n +-≤．又()()()()()R A R A E R A R A E R E n +-=+-+≥=，所以()()n E A R A R =-+．18．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <．若AB E =，其中E 为n 阶单位矩阵．证明方程组BX O =只有零解．证： 由AB E =，得()R AB n =．又()()n R B R AB n ≥≥=，得()R B n =，所以方程组BX O =只有零解．19．（1）设nR ∈α，证明：α线性相关当且仅当0α=．（2）设n R ∈21,αα，证明：21,αα线性相关当且仅当它们对应的分量成比例． 证：(１) α线性相关0,0k k α⇔=≠⇔0α=．（2）21,αα线性相关11220k k αα⇔+=，其中12,k k 不全为零．不妨设10k ≠，则21,αα线性相关21221()k l k ααα⇔=-=，即21,αα对应的分量成比例．20．任取nR ∈4321,,,αααα，又记,,,433322211ααβααβααβ+=+=+=144ααβ+=，证明4321,,,ββββ必线性相关．证： 显然13123424ββααααββ+=+++=+，即1234(1)(1)0ββββ+-++-=，所以4321,,,ββββ必线性相关．21．设12,,,n s R ααα∈为一组非零向量，按所给的顺序，每一(1,2,,)i i s α=都不能由它前面的1-i 个向量线性表示，证明向量组12,,,s ααα线性无关．证： 用数学归纳法证明．1s =时，10α≠，则1α线性无关．设s m =时成立，即12,,,mααα线性无关．当1s m =+时，若121,,,,m m αααα+线性相关，则1m α+可由12,,,m ααα线性表示，矛盾，所以向量组12,,,s ααα线性无关．22．设非零向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组12,,,s ααα线性无关．证： β可由向量组12,,,s ααα线性表示1212(,,,)(,,,|)s s R R ααααααβ⇔=．则表示法唯一1122s s x x x αααβ⇔+++=有唯一解1212(,,,)(,,,|)s s R R s ααααααβ⇔== 12(,,,)s R s ααα⇔=⇔12,,,s ααα线性无关．23．设12,,,n n R ααα∈，证明：向量组12,,,n ααα线性无关当且仅当任一n 维向量均可由12,,,n ααα线性表示．证： 必要性：12,,,n ααα线性无关，任取n R β∈，则12,,,,n αααβ线性相关，所以β可由12,,,n ααα线性表示．充分性：任一n 维向量均可由12,,,n ααα线性表示，则单位坐标向量12,,,n e e e 可由12,,,n ααα线性表示，有1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R n ααα=≤≤，所以12(,,,)n R n ααα=，即12,,,n ααα线性无关．24. 设A ：1,,s αα和B ：1,,t ββ为两个同维向量组，秩分别为1r 和2r ；向量组C A B =的秩为3r ．证明：{}21321,m ax r r r r r +≤≤．证： 先证{}123max ,r r r ≤．显然A 组与B 组分别可由C 组线性表示，则13r r ≤，且23r r ≤，所以{}123max ,r r r ≤．次证312r r r ≤+．设11,,i ir αα为A 组的一个极大无关组，21,,i ir ββ为B 组的一个极大无关组，则C 组可由1211,,,,,i ir i ir ααββ线性表示，有1231112(,,,,,)i ir i ir r R r r ααββ≤≤+．25．设B 为n 阶可逆阵，A 与C 均为n m ⨯矩阵，且C AB =．试证明)()(C R A R =． 证： 由C AB =，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则()()R C R A ≤．因为B 可逆，则1A CB -=，知A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则()()R A R C ≤．所以)()(C R A R =．26．设A 为n m ⨯矩阵，证明：O A =当且仅当0)(=A R ． 证： 必要性显然，下证充分性：()0R A A O =⇒=．设α为A 的任一列向量，则()()0R R A α≤=，所以()00R αα=⇒=．由α的任意性知O A =．27．设T T T )1,5,2(,)1,0,1(,)3,1,2(321---=-=-=ααα．证明向量组123,,ααα是3R 的一组基，并求向量T)3,6,2(=β在这组基下的坐标．证： 由123710021222(,,|)10560108311310012r αααβ⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪⎪=-−−→- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭，得123,,ααα是3R 的一组基，且β在这组基下的坐标为71(,8,)22--．28．设m ξξξ,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的基础解系，求证122,,,m ξξξξ+也是0=AX 的基础解系．证： 显然122,,,m ξξξξ+是0=AX 的解，只需证明它们线性无关．1221212100110(,,,)(,,,)(,,,)001m m m m m K ξξξξξξξξξξ⨯⎛⎫⎪⎪+== ⎪⎪⎝⎭．由10K =≠，得 12212(,,,)(,,,)m m R R m ξξξξξξξ+==，所以122,,,mξξξξ+线性无关．29．设A 是n 阶方阵．证明：存在一个n 阶非零矩阵B ，使AB O =的充要条件是0=Α． 证： 存在B O ≠，使得0AB O AX =⇔=有非零解0A ⇔=．30．设A 是n 阶方阵，B 为s n ⨯矩阵，且n B R =)(．证明： （1）若AB O =，则A O =； （2）若B AB =，则n E A =．证： （1）AB O =，则()()R A R B n +≤．又()()0R B n R A A O =⇒=⇒=． （2）()AB B A E B O =⇒-=．由（１）得A E O A E -=⇒=．31．设s ααα,,,21 为n 维非零向量，A 为n 阶方阵，若,,,3221 αααα==A A s s A αα=-1, ，0=s A α，试证明s ααα,,,21 线性无关． 证： 设1122110s s s s x x x x αααα--++++=． 该式两边左乘以A ，得122310s s x x x ααα-+++=依此类推，得10s x α=．由0s α≠，得10x =．同理可证20,,0s x x ==．所以s ααα,,,21 线性无关．32．设32321211,,αααααααα+=+==A A A ，其中A 为3阶方阵，321,,ααα为3维 向量，且01≠α，证明321,,ααα线性无关．证： 设1122330x x x ααα++=． （1） （1）式两边左乘以A ，得12123233()()0x x x x x ααα++++=． （2） （2）减去（1），得21320x x αα+=． （3） （3）式两边左乘以A ，得23132()0x x x αα++=． （4） （4）减去（3），得310x α=．因为10α≠，所以30x =．代入（３），得210x α=，所以20x =．代入（1），得110x α=，所以10x =． 所以321,,ααα线性无关．33．设A 为n 阶方阵，α为n 维列向量．证明：若存在正整数m ，使0=αmA ，而01≠-αm A ，则1,,,m A A ααα-线性无关．证： 设10110m m x x A x A ααα--+++=，该式两边左乘以1m A -，得100m x A α-=．因为01≠-αm A，所以00x =．同理可证110m x x -===．所以1,,,m A A ααα-线性无关．34．设向量组A 的秩与向量组B 相同，且A 组可由B 组线性表示，证明A 组与B 组等价． 证： 设r B R A R ==)()(，r ααα,,,21 为A 组的一个极大无关组，r βββ,,,21 为B 组的一个极大无关组．由A 组可由B 组线性表示，得r r r r K ⨯=),,,(),,,(2121βββααα .又12,,,()()r r R K R r ααα≥≥=，则r K R =)(，即K 为可逆矩阵，有 11212(,,,)(,,,)r r K βββααα-=，即r βββ,,,21 可由r ααα,,,21 线性表示，所以B 组可由A 组线性表示.故A 组与B 组等价．35．设向量组A ：s ααα,,,21 线性无关，向量组B ：12,,,r βββ能由A 线性表示为1212(,,,)(,,,)r s s r K βββααα⨯=，其中s r ≤，证明：向量组B 线性无关当且仅当K 的秩r K R =)(． 证： 向量组B 线性无关121,,,)(0r r X βββ⨯⇔=只有零解121(,,,)()0s s r r K X ααα⨯⨯⇔=只有零解12,,,10s s r r K X ααα⨯⨯=⇔线性无关只有零解()R K r ⇔=．36．设B A ,都是n m ⨯矩阵，试证明：)()()|()(B R A R B A R B A R +≤≤+．证： 先证()(|)R A B R A B +≤．显然A B +的列向量组可由A 的列向量组和B 的列向量组线性表示，则()(|)R A B R A B +≤．此证(|)()()R A B R A R B ≤+．设(),()R A r R B s ==，ˆA 与ˆB 分别为A 与B 的列向量组的一个极大无关组，则(|)A B 的列向量组可由ˆA与ˆB 线性表示，有 (|)()()R A B r s R A R B ≤+=+，即(|)()()R A B R A R B ≤+．37．设321,,ααα是3R 的一组基，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=．（1）证明123,,βββ是3R 的一组基；（2）求由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵；（3）若向量γ在基321,,ααα下的坐标为)0,0,1(，求向量γ在基123,,βββ下的坐标．证： 123123101,,)(,,)110011(βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （１）（１）由10111001120=≠，得123123,,),)3((,R R βββααα==，则123,,βββ线性无关，所以123,,βββ是3R 的一组基．（2）由（１）式，得由基321,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵101110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． （3）γ在基123,,βββ下的坐标1110111111111001110201101110Y P X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=111(,,)222T -．38．设A 为r m ⨯矩阵，B 为n r ⨯矩阵，且AB O =．求证： （1）B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解； （2）若r A R =)(，则B O =；（3）若B O ≠，则A 的各列向量线性相关． 证： （1）令12(,,,)n B βββ=．由AB O =，得12(,,,)(0,0,,0)n A A A βββ=，即0,1,2,,j A j n β==，所以B 的各列向量是齐次线性方程组0AX =的解．（2）若r A R =)(，则0AX =只有零解，所以B O =．（3）若B O ≠，则0AX =有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A 为n 阶方阵（2≥n ），证明：（1）当n A R =)(时，n A R =*)(； （2）当1)(-=n A R 时，1)(=*A R ；（3）当1)(-<n A R 时，0)(=*A R ．证： （1）当n A R =)(时，1*00n A A A-≠⇒=≠，所以()R A n *=．（2）当1)(-=n A R 时，由*AA A E O ==，得*()()R A R A n +≤有*()1R A ≤．又A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则**()1A O R A ≠⇒≥，所以()1R A *=．（3）当1)(-<n A R 时，则A 中所有一个1n -阶子式全为零，有**()0A O R A =⇒=．40．设矩阵A 满足等式2340A A E --=，试证明A 的特征值只能取值1-或4． 证： 设λ为A 的特征值．由2340A A E --=，得λ满足2340λλ--=，解得1λ=-或4λ=．41．设方阵A 满足T A A E =，其中TA 是A 的转置矩阵，E 为单位阵．试证明A 的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证： 设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为λ，则AX X λ=．由TA A E =，得T T T T X A AX X EX X X ==，即()()TTAX AX X X =，有2T T X X X X λ=．又0TX X >，则21λ=，所以1λ=．42．设矩阵A 与B 相似，试证：（1）T A 与T B 相似； （2）当A 可逆时，1-A 与1-B 相似． 证： A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=．（1）111)(()()TTTTTTT TP AP P A P P B A P ---===． 因为T P 也可逆，所以T A 与TB 相似．（2）111111111)()(P AP P A P B P A P ---------===，所以1-A 与1-B 相似．43．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，证明A 与B 相似的充要条件是A 与B 有相同的特征值． 证： 必要性：A 与B 相似，则存在可逆阵P ，使得1P AP B -=．有111|||||()|||||||||B E P AP E P A E P P A E P A E λλλλλ----=-=-=⋅-⋅=-，所以A 与B 有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A 与B 有相同的特征值，设n λλλ ,,21为它们的特征值．令12(,,,)n diag λλλΛ=．则A 与Λ相似，B 与Λ相似，所以A 与B 相似．44．设A 为3阶矩阵，21,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足323ααα+=A ．（1）证明321,,ααα线性无关； （2）令),,(321ααα=P ，求AP P 1-．证： （1）设1122330x x x ααα++=， （1） （1）式两边左乘以A ，得1123233()0x x x x ααα-+++=． （2） （1）-（2），得113220x x αα-=．显然21,αα线性无关，则130,0x x ==．代入（１），得220x α=，有20x =，所以321,,ααα线性无关．（2）1231231223(,,)(,,)(,,)AP A A A A αααααααααα===-+123100100(,,)011011001001P ααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100011001AP P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由第一部分知P 可逆，所以1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．45．设B A ,均为n 阶方阵，且n B R A R <+)()(．试证：B A ,有公共的特征向量．证： 考虑方程组10n A X B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，其系数矩阵的秩()()A R R A R B n B ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭， 则方程组有非零解ξ，即0A B ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故0,0A B ξξ==，即0λ=是,A B 的公共特征值，ξ是,A B 属于特征值0λ=的公共的特征向量．46．设A 是n 阶方阵，且满足n A E R A E R =-++)()(．试证:E A =2． 证： 设()R E A r +=．（1） 若0r =，则0=+A E ，即A E =-，有E A =2．（2）若r n =，则()0R E A -=，即A E =，有E A =2．（3）若n r<<0，则()0A E X +=的基础解系12,,,n r ααα-就是A 的属于特征值1-的线性无关特征向量；又()R E A n r -=-，则()0A E X -=的基础解系12,,,r βββ就是A 的属于特征值1的线性无关特征向量；从而A 有n 个线性无关特征向量：1212,,,,,,,n r r αααβββ-，所以A 能相似对角化．令()1212,,,,,,,n r r P αααβββ-=，有1n rr E O P AP OE ---⎛⎫=Λ=⎪⎝⎭， 则1n rn r E O A P P OE ----⎛⎫=⎪⎝⎭，所以E A =2．47．n 阶矩阵B A ,满足B A AB +=，证明1=λ不是A 的特征值．证： 由B A AB +=，得()()A E B E E --=，所以A E -可逆，有0≠-E A ，所以1=λ不是A 的特征值．48．证明：若矩阵A 正定，则矩阵A 的主对角线元素全大于零． 证： 设实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定，则二次型11n nTij iji j f X AX a x x====∑∑正定．取1110,,0,1,0,,0i i i n x x x x x -+=====，则0ii f a =>．由i 的任意性，所以A 的主对角线元素全大于零．。
线性代数重要知识点及典型例题问题详解
线性代数重要知识点及典型例题问题详解线性代数知识点总结第⼀章⾏列式⼆三阶⾏列式N 阶⾏列式：⾏列式中所有不同⾏、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换⾏列式的性质：①⾏列式⾏列互换，其值不变。
（转置⾏列式T D D =）②⾏列式中某两⾏（列）互换，⾏列式变号。
推论：若⾏列式中某两⾏（列）对应元素相等，则⾏列式等于零。
③常数k 乘以⾏列式的某⼀⾏（列），等于k 乘以此⾏列式。
推论：若⾏列式中两⾏（列）成⽐例，则⾏列式值为零；推论：⾏列式中某⼀⾏（列）元素全为零，⾏列式为零。
④⾏列式具有分⾏（列）可加性⑤将⾏列式某⼀⾏（列）的k 倍加到另⼀⾏（列）上，值不变⾏列式依⾏（列）展开：余⼦式ij M 、代数余⼦式ij j i ij M A +-=)1(定理：⾏列式中某⼀⾏的元素与另⼀⾏元素对应余⼦式乘积之和为零。
克莱姆法则：⾮齐次线性⽅程组：当系数⾏列式0≠D 时，有唯⼀解：)21(n j DD x j j ??==、齐次线性⽅程组：当系数⾏列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若⽅程组存在⾮零解，则D 等于零特殊⾏列式：①转置⾏列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称⾏列式:ji ij a a =③反对称⾏列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称⾏列式值为零④三线性⾏列式:333122211312110a a a a a a a ⽅法：⽤221a k 把21a 化为零，。
化为三⾓形⾏列式⑤上（下）三⾓形⾏列式:⾏列式运算常⽤⽅法（主要）⾏列式定义法（⼆三阶或零元素多的）化零法（⽐例）化三⾓形⾏列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第⼆章矩阵n *（零矩阵、负矩阵、⾏矩阵、列矩阵、n 阶⽅阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义⼀般AB=BA ，不满⾜消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) ⽅幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对⾓矩阵：若AB 都是N 阶对⾓阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于⼀个数（若……）单位矩阵、上（下）三⾓形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每⼀⾮零⾏左数第⼀个⾮零元素所在列的下⽅注：把分出来的⼩块矩阵看成是元素N 阶⽅阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、⾮零k 乘某⼀⾏（列）3、将某⾏（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵）=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是⾮奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与⾏列式的联系与区别：都是数表；⾏列式⾏数列数⼀样，矩阵不⼀样；⾏列式最终是⼀个数，只要值相等，就相等，矩阵是⼀个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，⾏列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B ⼀定是⽅阵②BA=AB=I 则A 与B ⼀定互逆；③不是所有的⽅阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯⼀的。
线性代数常见证明题型及常用思路
线性代数常见证明题型及常用思路The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1．关于1,,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性无关；如果能得到不全为零的1,,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。
（2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。
（3）如果1,,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
（4）如果我们有两个线性无关组，11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两个子空间，要证11,,,,,m t ααββ线性无关。
这种情况下，有些时候我们设111111110,,m m t t m m t tλαλαμβμβαλαλαβμβμβ+++++==++=++。
根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。
题型2. 关于欧氏空间常用结论（1）内积的定义（2）单位正交基的定义（3）设1{,,}n B αα=是单位正交基，11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。
则11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论（1）初等变换不改变矩阵的秩（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();()min{(),()};()()();max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭=⇒+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）例：证明：()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。
线性代数经典考题难题
线性代数经典考题难题1. 矩阵求逆法性质问题考虑一个非奇异矩阵A，并且满足ABA=A，其中矩阵B为A 的逆矩阵。
下面是关于矩阵求逆法性质的一些问题：- 问题一：证明矩阵B也是非奇异矩阵。
我们可以使用反证法来证明这个问题。
假设B是奇异矩阵，那么存在非零向量v使得Bv=0。
现在考虑Av，我们有：Av = ABAv = Av = 0这与矩阵A的非奇异性相矛盾。
因此，我们可以得出结论，矩阵B也是非奇异矩阵。
- 问题二：证明矩阵B也满足BBA=B。
我们可以利用矩阵的结合律来证明这个问题。
首先，根据矩阵B的定义，我们有ABA=A。
然后，将等式两边同时左乘B，我们可以得到：BABA=B再次利用矩阵的结合律，我们有B(AB)A=B。
由于矩阵A是非奇异的，我们可以将最后一个等式中的(AB)替换为A的逆矩阵B：BBA=B因此，我们可以得出结论，矩阵B也满足BBA=B。
2. 向量空间性质问题考虑一个向量空间V及其子空间W。
下面是关于向量空间性质的一些问题：- 问题一：证明V中的零向量也属于子空间W。
由于W是V的子空间，所以它必须满足封闭性。
对于任意向量v属于W，我们有：v + (-v) = 0其中- v表示向量v的负向量，它也属于W。
因此，我们可以得出结论，V中的零向量也属于子空间W。
- 问题二：证明V中的任意两个向量的线性组合也属于子空间W。
考虑V中的任意两个向量v1和v2，它们属于子空间W。
根据子空间的定义，v1和v2的线性组合也必须属于W。
设a和b是任意的标量，那么有：av1 + bv2我们可以利用封闭性来证明这个问题。
由于W是子空间，所以它对加法和标量乘法封闭。
因此，我们有：av1 + bv2 = (a + b)(v1 + v2)根据封闭性，(v1 + v2)也属于W。
因此，我们可以得出结论，V中的任意两个向量的线性组合也属于子空间W。
3. 特征值与特征向量问题考虑一个n阶方阵A。
下面是关于特征值与特征向量的一些问题：- 问题一：证明特征值的和等于矩阵的迹。
《高等数学（二）》中线性代数部分考题分析
⼀、试卷中线性代数部分所占⽐例变化 1.题量 在题量上2004年1⽉以后试卷的题量由原来的32道题⽬减少为26道题⽬，⽽线性代数的题⽬总量由原来的13道题，变为12道题⽬，仅减少了⼀道简答题。
2.分值 整份试卷的总分仍然为100分，但是两部分在分值上所占的⽐例发⽣了变化，线性代数题⽬合计分数原来是41分，⽽2004年1⽉以后变为 48分。
与概率统计内容在合计分数上的差距减少，原来两部分相差18分，⽽2004年1⽉以后两部分内容相差变为4分。
⼆、试卷中涉及到的线性代数知识点 1.试卷中曾经出现过知识点 综合10次⾃学考试《⾼等数学（⼆）》试卷分析可以得到10次考试中涉及到的线性代数考试的知识点为： n阶⾏列式计算；解求由阶⾏列式确定的⽅程；矩阵的⾏列式；代数余⼦式；伴随矩阵；矩阵运算；逆矩阵；解矩阵⽅程；初等变换与初等矩阵；求矩阵的秩；向量的线性表⽰；线性相关判断；线性⽆关判断；求向量的极⼤⽆关组；求向量空间的基；线性⽅程组解的讨论；求线性⽅程组的解；利⽤初等变换解⽅程组、求逆矩阵、求秩；⾮奇异矩阵；特征向量；特征根；对称矩阵；相似矩阵；合同矩阵；正交向量；正交阵；正交变换；实⼆次型；合同阵；正定矩阵等。
2.试卷中出现较多的章节 根据出现频次统计，试卷中出现较多的知识点主要集中在教材中的以下章节：1.3⾏列式的计算；2.2矩阵的计算；2.3逆矩阵；3.2线性相关与线性⽆关；3.3极⼤⽆关组；3.4秩；3.5线性⽅程组解的讨论；3.6线性⽅程组解的结构；4.4向量的正交化；4.5正交矩阵；5.1特征值与特征向量；5.2相似矩阵；5.3实⼆次型与矩阵的合同；5.6正定⼆次型与正定矩阵。
三、各种题型中涉及的线性代数知识点 根据《⾼等数学（⼆）》试卷中的五种试题类型涉及到的知识点，按照知识点出现的频次的多少，可以得到五种类型试题中以往考试的重点章节和内容。
1.单选题 单选题的试题曾经出现在1.3⾏列式的计算；2.2矩阵的计算；2.3逆矩阵；2.5初等变换与初等矩阵；3.2线性相关与线性⽆关；3.3极⼤⽆关组；3.4秩；3.5线性⽅程组解的讨论；3.6线性⽅程组解的结构；4.1线性空间与基；4.4向量的正交化；4.5正交矩阵；5.2相似矩阵；5.3实⼆次型与矩阵的合同；5.6正定⼆次型与正定矩阵。
线性代数证明题解析
1、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质 8、试题内容：设A 为一个n 阶方阵，E 为同阶单位矩阵且2A E =，证明：()()R A E R A E n ++-=. 9、答案内容：证明:2220()()0,()()()().().()().A E A E A E A E R A E R A E R A E R E A n R A E R E A R A E E A n R A E R A E n =⇒-=⇒+-=++-=++-≤≥++-=∴++-=由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)10、评分细则：由题设推出()()0A E A E +-=得2分;由矩阵秩的性质推出()()R A E R A E n ++-≤得2分;推出()()R A E R A E n ++-≥得2分;因而推出()()R A E R A E n ++-=得2分.----------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：322 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交矩阵的特征值 8、试题内容：设A 为一个n 阶正交矩阵，且1A =-.证明：1λ=-是A 的特征值. 9、答案内容： 证明：,.1,(1)()()0(1)0.1.T T T T TTTT A A A E A A E A E A A A E A A E A A E A E AE A E A A E A E A λ∴==-∴--=+=+=+=+=-+=-+=-+=-+∴+=⇒--=∴=-是正交矩阵又是的特征值10、评分细则：推出()1T A E A AA --=+(2分)T E A =-+(2分)E A =-+(2分) 推出()10A E --=并说明1λ=-是A 的特征值(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：323 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：已知,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭也为正定矩阵. 9、答案内容：()12112212,00.000000000.00TT T T T A B A B A A B B A B X A A f X X X B B X X X f AX BX A B ∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∴ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∀≠⇒ ⎪⎝⎭>∴⎛⎫⎪⎝⎭T T 12TT 12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B 是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X 中至少有一个不为0,则有=X +X 此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵(2分);令()112200TT X A f X X X B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分);由()120TT X X ≠推出12,X X 中至少有一个不为零(2分).则有11220T T f X AX X BX =+>,推出f 1122T TX AX X BX =+为正定二次型(2分).因而有00A B ⎛⎫⎪⎝⎭为正定矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性 8、试题内容：设,A B 均为n 阶正定矩阵，试证明：A B +也为正定矩阵. 9、答案内容：证明：,.()().0,.,,.0.()T T T T T T TTT T T T T A B A A B B A B A B A B A B f x A B x x f x Ax x Bx A B x Ax x Bx f x Ax x Bx f x A B x ∴+=+=+⇒+=+∀≠=+∴=+>∴=+都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B 也为正定矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出A B +为对称矩阵(2分);令()Tf x A B x =+(2分);00T T x f x Ax x Bx ∀≠⇒=+>(2分);推出()Tf x A B x =+为正定二次型(2分);因而有A B +为正定矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：325 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：向量组的线性关系 8、试题内容：若向量β可由向量组12,,,r ααα线性表示，但β不能由121,,,r ααα-线性表示，试证：r α可由121,,,,r αααβ-线性表示.9、答案内容： 证明：2.0,.1.,.r r r r r r r r r βααααααββαααβαααααααβααααβ----∴==∴≠⇒=----∴１２１２r １１２２r １１２２r-１１１２１１２r-１r １１r rr r１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示10、评分细则：由题设中条件令1122r r k k k αααβ+++=(2分);假设0r k =推出β不能由121,,,r ααα-线性表示矛盾(2分);0r r k α∴≠⇒可以由121,,,r ααα-,β线性表示(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：326 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 如果向量组12,,,s ααα线性无关，试证：向量组11212,,,s αααααα++++线性无关.9、答案内容： 证明：()()()()()(),..111011.01111011.001B R R A S αααααααααααααααααααααααα=++++∴==⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12S 11212S 12S 12S 11212S 12S 令A= ,,线性无关，令C=则有B=AC ，显然C 可逆.10、评分细则：令()12s A ααα=,()11212s B αααααα=+++(1分);由题设条件推出()R A s =(1分);令1111011001C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭推出B AC =(2分);推出()()1A BC RB R A s -=⇒≥=(2分)又()()1121,,s R B s R B s ααααα≤⇒=⇒++线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3272、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容：已知矩阵22,A E B E ==，且0A B +=证明：A B +为奇异矩阵. 9、答案内容： 证明：22221, 1.01, 1.().()..0,A E A B E B A B A B A A B A B AB B A A A B B B A A A B B A B A B A B =⇒=±=⇒=±+=⇒=±=+=+=+∴+=+∴+=+∴-+=+又若则而则为奇异矩阵.10、评分细则：由题设中条件推出1,1A B =±=(1分);推出()A A B B B A +=+(3分);推出A A B B B A +=+(2分);推出0A B A B +=⇒+为奇异矩阵(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：328 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设n 维基本单位向量组12,,,n εεε可由n 维向量组12,,,n ααα线性表示，证明：12,,,n ααα线性无关.9、答案内容： 证明：()()()()()()121,.,,,,..,,,n aB AB R R n R A n R A n αααεεεεεεαααααα=∴=⇒≥=≤∴=⇒12n n n 2n 12n n 12n 令A=且E ,,可以由线性表示.存在一个n 阶方阵使得E A E 同时线性无关.10、评分细则：令()()1212,n n A E αααεεε==(2分);由题设条件推出存在一个n 阶矩阵B (2分);使得()AB E R A n =⇒=(4分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：329 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 设12,,,m ααα线性无关，1β可由12,,,m ααα线性表示，2β不可由12,,,m ααα线性表示，证明：1212,,,,m αααλββ+线性无关（其中λ为常数）.9、答案内容： 证明:11122m m k k k βααα=++，()()1212122m m αααλββαααβ∴+.假设()122MR m αααβ≤,则有122,,,,m αααβ线性相关,因而与2β不能由12,,,m ααα线性表示矛盾.()122m R m αααβ∴>,()12121m R m αααλββ∴+=+1212,,,,m αααλββ∴+线性无关.10、评分细则：由题设中条件推出()()1212122m m αααλββαααβ+(2分);假设()122m R m αααβ≤由题设推出2β能由12,,m ααα线性表示,与题设矛盾(2分);()122m R m αααβ∴>推出()12121m R m αααλββ+=+(3分);推出1212,,,m αααλββ+线性无关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：330 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩 8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关. 9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出()()R B R E n ≥=(2分);又有题设中()n m R B n <⇒≤(2分);()R B n ∴=(2分);所以B 的列向量组线性无关(2分). ----------------------------------------------------------------------------1、试题序号：3312、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容： 设121,,,n ααα-为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα-均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη分别与121,,,n ααα-均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-=,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤12,ηη∴线性相关.10、评分细则：令()()12112,Tn A B αααηη-==(1分);由题设中条件推得()()0BA R A R B n =⇒+≤(2分);()()11R A n R B ∴=-⇒≤(1分);若()1200,0R B ηη=⇒==(1分);12,ηη∴线性相关(1分);若()()12112R B R ηη=⇒=<(1分),所以12,ηη线性相关(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：332 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：正交向量组8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠===12,,n A A A ααα∴是正交向量组.10、评分细则：由题设中条件推出0,0,T i i j i j ααα≠=≠(2分);()()0jT T T T Ti j i j i j i A A A A E αααααααα====(2分);0i α≠且A 可逆,推得0i A α≠(2分);推得12,,,n A A A ααα是正交向量组(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：333 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解 8、试题内容： 设12,,,s ααα是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++线性无关.9、答案内容： 证明:假设()121s R s βααα<+.这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+ ()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++线性无关.10、评分细则：由题设推出()()11s s R R ββαβαβαα++=(2分);假设()11s R s βαα<+,由题设中条件推出β可以由12,,,s ααα线性表示,与β不是0Ax =的解矛盾(2分);()11s R s ββαβα∴++=+(2分);1,,,s ββαβα∴++线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：334 2、题型：证明题 3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设A 为n 阶矩阵，若0Ax =只有零解，证明：方程组0kA x =也只有零解，其中k 为正整数.9、答案内容： 证明:0Ax =只有零解⇒()R A n =A 为n 阶矩阵,A ∴可逆0.A ⇔≠则kkA A =0≠ 即kA 为可逆矩阵()0k k R A n A x ∴=⇒=只有零解.10、评分细则：由题设推出()R A n A =⇒可逆(3分);推出0kkA A =≠(2分);推得()0k k R A n A x =⇒=只有零解(3分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：335 2、题型：证明题 3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解. 9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα（I ） 设B 的行向量组为12,,,m βββ（II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则有1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解 ∴向量组（I ）也是0Dx =的解 10、评分细则：令A 的行向量组12,,,m ααα(I),C 的行向量组为12,,,m βββ(II)(1分);1BA C A B C -=⇒=(2分);推得1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11121212221122m m m m m k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2分)所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是0Dx =的解推出(I)也是0Dx =的解(1分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：336 2、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系 8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη-是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη-线性无关.9、答案内容： 证明：假设12,,,,n r ηηηη-线性相关，12,,,n r ηηη-是0Ax =的基础解系， 12,,,n r ηηη-∴是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη-线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη-线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη-线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη-线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη-线性无关(2分).---------------------------------------------------------------------------- 1、试题序号：337 2、题型：证明题 3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵 8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的. 9、答案内容： 证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。
一道线性代数证明题
一道线性代数证明题
高校学院上的线性代数收获颇丰，本文将探讨一道线性代数中的证明题。
题目：设A、B是实矩阵，证明A的逆矩阵乘以B的逆矩阵，等于B乘以A的逆矩阵。
一般来说，解决定系统的逆矩阵问题，可以考虑利用矩阵的乘法原理来求解。
由矩阵的乘法原理可知，A乘以B等于B乘以A，即(AB)=(BA)。
将B的逆矩阵（B^-1）两边同乘以A的逆矩阵（A^-1），可得：A^-1B^-
1=(B^-1A^-1)。
上式左右两边同乘以A，可得：A（A^-1B^-1）=A（B^-1A^-1）；利用单位矩阵AA^-1=A^-1A=E可以把等号左边化简：（EA）B^-1=A（B^-1A^-1）；
由此得出：AB^-1=B^-1A^-1，所以可以得到结论：A的逆矩阵乘以B的逆矩阵，等于B乘以A的逆矩阵。
经过数学分析，上述证明的结论是正确的，也就是说，A的逆矩阵乘以B的逆矩阵，等于B乘以A的逆矩阵，这在线性代数中得到了证明。
高校的研究生所学的线性代数，不仅涉及实列表数、矩阵和向量，而且还有更复杂的概念，如证明题中提及的A、B。
从表面上来看，证明一道线性代数题并不容易，然而在详细地分析、推算、证明的过程中，可以发现它们拥有相当复杂的内涵，从而更加深入地理解线性代数的教学理论和知识结构，从而为高校学子提供有助于理解、思考和加深知识的有益提示。
线性代数考研中的证明题方法总结
三、计算题与证明题1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问,a b 为何值时,线性方程组123423423412340,221,(3)2,321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解 方法一:[]111100122100101010rB A b a b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦. (1)当()41R A a =⇔≠时,方程组有惟一解;(2)当1a =时,方程组无解或无穷多解,此时[]11110012210000100000rB A b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.①当1b =-时,()()24R A R B ==<,方程组有无穷多解;此时[]10111012210000000rB A b ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 方程组的通解为1212111221,,100010x k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为任意常数; ②当1b ≠-时,()2,()3R A R B ==,方程组无解.综上可得:(1)当1a ≠时,方程组有惟一解; (2)当1,1a b ==-时,方程组有无穷多解;(3)当1,1ab =≠-时,方程组无解.方法二:方程组的系数行列式2(1)A a =-.(1)当2(1)1A a a =-⇔≠时,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是: ①方程的个数等于未知数的个数; ②方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设A 为n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值;12,x x 是分别属于1λ和2λ的特征向量,试证明12x x +不是A 的特征向量.【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义. 解 反证法:假设12x x +是A 的特征向量,则存在数λ,使得1212()()A x x x x λ+=+,则1122()()0x x λλλλ-+-=.因为12λλ≠,所以12,x x 线性无关,则11220λλλλλλ-=⎧⇒=⎨-=⎩.矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+,其中423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,求矩阵B .【考点】解矩阵方程.解 由12(2)BA B B A E A -=+⇒=-1434233861531102961641232129----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组12341341231342434,3,31,773 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ 【考点】求解非齐次线性方程组.解21434101031011301208(|)3110100016707330r B A b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 由()()34R A R B ==<,得方程组有无穷多解.方程组的解132333286x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩,令3x k =得方程组的通解12343182,0160x x k k x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为任意常数.5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵312014101A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的实特征值及对应的特征向量.【考点】求矩阵的特征值及特征向量. 解2(1)(45)A E λλλλ-=-++,得A 的实特征值1λ=.解()0A E x -=得其对应的特征向量021x k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中k 为不为零的任意常数. 6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知AP PB =,其中100100000,210001211B P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,求A 及5A .【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.解1100200611A P P B A P B P -⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.5511A PB P PBP A --===.【注意】若1A PBP -=,则1k k A PB P -=;一般地,设10()m m x a x a x a ϕ=+++,则方阵A 的多项式110()()m m A a A a A a E P B P ϕϕ-=+++=.7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与20000001B y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似:(1)求x 与y ;（2）求一个满足1P AP B -=的可逆矩阵P .【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法. 解 (1)方法一:A 与B 相似,则A E B Eλλ-=-,即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--,比较系数,得1011x y x y y -=-=⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩.方法二:B 的特征值为2,,1y -.由A 与B 相似,则A 的特征值为2,,1y -.故2(1)2002(1)21y x x y A y ++-=++⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⋅⋅-==-=⎪⎩⎩.【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.(2)分别求出A 的对应于特征值1232,1,1λλλ===-的线性无关的特征向量为1231000,1,1011p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.令可逆矩阵[]123100011011Pp p p ⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1P AP B -=.8.(1988—Ⅳ) 设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,且21=A ,求*12)3(A A --.【考点】矩阵运算的性质.解1*11112(3)2233A A A A A A -----=-=-,所以1*131228116(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-⋅=-.或*1*1***114(3)222333A A A A A A A A ---=-=⋅-=-,则311**3*446416(3)2()332727A A A A A ---=-=-=-⋅=-. 【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:111(),0kA A k k --=≠;*11*11*1;;;.n A A A A A A A A A A----====9.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设向量组)2(,,,21≥ss ααα 线性无关,且=+=+=-1322211,,,s βααβααβ 11,s s s s ααβαα-+=+，讨论向量组s βββ,,,21 的线性相关性.【考点】向量组的线性相关性的判别方法. 解 方法一:设11220s s x x x βββ+++=,即111221()()()0s s s s x x x x x x ααα-++++++=.因为12,,,s ααα线性无关,则1121000s s s x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩,其系数行列式11000111001(1)0110000011s A -==+-. (1)当s 为奇数,20A =≠,方程组只有零解,则向量组s βββ,,,21 线性无关; (2)当s 为偶数,0A =,方程组有非零解,则向量组s βββ,,,21 线性相关.方法二:显然1212121000111000(,,,)(,,,)(,,,)0110000011s s s s s K βββαααααα⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,因为12,,,s ααα线性无关,则1212(,,,)min{(,,,),()}()s s R R R K R K βββααα≤=(1)1()1(1)0s R K s K s -=⇔=+-≠⇒为奇数时,12(,,,)s R sβββ=,则向量组s βββ,,,21 线性无关;(2)1()1(1)0s R K s K s -<⇔=+-=⇒为偶数时,12(,,,)s R s βββ<,则向量组s βββ,,,21 线性相关.【注意】(1)已知12,,,m βββ可由12,,,m ααα线性表示的具体表达式,且12,,,m ααα线性无关时,用方法二求解一般较简便.(2)若B 可逆,则()()R AB R A =.一般地()min{(),()}R AB R A R B ≤,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.10.(1988—Ⅳ,Ⅴ) 设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x ,问1k 与2k 各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论. 解 方法一:(一般情形)112211231112311361301212(|)311530022415101235r B A b k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦.(1)当11()()4202R A R B k k ==⇔-+≠⇔≠时,方程组有惟一解;(2)当12k =时,21123101212000120001rB k ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则 ①当21k ≠时,()3()4R A R B =≠=,方程组无解;②当21k =时,()()34R A R B ==<,方程组有无穷多解,且10008012030001200000rB -⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则通解(一般解)为12348032,0120x x k k x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为任意常数. *综上:当12k ≠时,方程组有惟一解;当12k =且21k ≠时,方程组无解;当12k =且21k =时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式16(2)A k =-.(1)当116(2)02A k k =-≠⇒≠时,方程组有惟一解;以下同方法一.11. (1988—Ⅴ)已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2320A A E --=.证明A 可逆,并求出其逆矩阵1A -.【考点】抽象矩阵是求逆. 解 由23202A E AA E A E A ---=⇒⋅=⇒可逆,且12A EA --=.12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问λ为何值时,线性方程组13123123,422,6423x x x x x x x x λλλ+=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.解[]101101412201232614230001rB A b λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==+→--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦.线性方程组有解()()R A R B ⇔=101λλ⇔-+=⇒=,其通解为1121,11x k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为任意常数.13.(1989—Ⅰ,Ⅱ)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明:(1)1λ为1A-的特征值; (2)Aλ为A 的伴随矩阵*A 的特征值.【考点】特征值的概念. 证 (1)设A 对应于特征值λ的特征向量为x ,则11111()()Ax x A Ax A x A x x A x x λλλλλ≠----=⇒=⇒=⇒=.(2)****()()AAx x A Ax A x A x A x A x x λλλλλ≠=⇒=⇒=⇒=.14.(1989—Ⅳ,Ⅴ)已知B AX X +=,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=350211,101111010B A ,求矩阵X .【考点】解矩阵方程.解12111311()321202030115311X E A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 15. (1989—Ⅳ)设),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα.（1）问当t 为何值时,向量组321,,ααα线性无关? （2）问当t 为何值时,向量组321,,ααα线性相关?（3）当向量组321,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式.解 方法一:(一般情形)123111111(,,)12301213005rT T TA t t ααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. (1)当5t ≠时,123123123(,,)(,,)3,,T T TR R ααααααααα==⇒线性无关;(2)当5t=时,123123123(,,)(,,)23,,T T T R R ααααααααα==<⇒线性相关;(3)当5t =时,123111101(,,)12301213000rT T Tt ααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 31231222T T Tαααααα=-+⇒=-+.方法二:(特殊情形)321,,ααα线性无关123111,,12350513A t t tααα⇔===-≠⇔≠;当5t =时,321,,ααα线性相关;令311223122x x αααααα=+⇒=-+.【注意】方法二只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.16.(1989—Ⅳ,Ⅴ)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A . （1）试求矩阵A 的特征值;（2）利用（1）的结果,求矩阵1-+A E 的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.【考点】特征值的计算及特征值的性质. 解 (1)2(1)(5)A E λλλ-=--+,则A 的特征值为1,1,5-.(2)设λ为可逆矩阵A 的特征值,x 为对应的特征向量,则1111()(1)Ax x A x x E A x x λλλ----=⇒=⇒+=+,即11λ-+为1-+A E 的特征值.所以1-+A E 的特征值为42,2,5.17. (1989—Ⅴ)讨论向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ααα==-=的线性相关性.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论. 解 参考15. (1989—Ⅳ).答案:当1t ≠时线性无关;当1t =时线性相关.18.(1990—Ⅰ,Ⅱ)设四阶矩阵1100213401100213,,0011002100010002B C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且矩阵A 满足关系式1()T T A E C B C E --=,其中E 为四阶单位矩阵,1C -表示C 的逆矩阵,TC 表示C 的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵A .【考点】解矩阵方程及矩阵的运算. 解 111()[()]()()T TT TT T TA E CBC E A C C B C EA CBC C E----=⇒-=⇒-=1()()()T T T A C B CC E A C B E -⇒-=⇒-=110001100[()]12100121T A C B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⇒=-=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【注意】在解矩阵方程时,如果矩阵方程中含有已知矩阵A 的逆矩阵1A -或伴随矩阵*A ,利用11AA A A E --==或**AA A A E ==化掉1A -或*A .19.(1990—Ⅰ,Ⅱ)求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准形.【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.解 (1)写出二次型的矩阵:122244244A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)求A 的特征值:2(9)A E λλλ-=-⇒A 的特征值为1,230,9λλ==.(3)求A 的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值1,20λ=的线性无关的特征向量为1210ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2201ξ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,正交化得1210η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,221455η-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,单位化得12,0p p ⎡⎢⎢⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.对应于特征值1,20λ=的线性无关的特征向量为3122ξ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,单位化得3132323p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(4)构造正交变换:令正交矩阵[]123132,,3203P p p p ⎤⎥⎥⎥==-⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则所求正交变换为1122331323203x y x y x y ⎤⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥=-⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为239f y =.【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤: (1)写出二次型的矩阵;(2)求A 的特征值;(3)求A 的两两正交且单位化的特征向量;(4)构造正交变换; (5)写出二次型的标准形.20.(1990—Ⅳ,Ⅴ) 已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x （1）b a 、为何值时,方程组有解?（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; （3）方程组有解时,求出方程组的全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 参考10.(1988—Ⅳ,Ⅴ),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).1111111111321130012263(|)012260000035433120000022r a aa B Ab b b a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.(1)方程组有解301()()2203b a a R A R B a b -==⎧⎧⇔=⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩;(2)当13a b =⎧⎨=⎩时,101152012263(|)00000000r B A b ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,方程组的解13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩. 方程组的导出组的解134523455226x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩,令3451000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得方程组的导出组的一个基础解系123115226,,100010001ξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.令345000x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,得方程组的一个特解23000η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解112233xk k k ηξξξ=+++,其中123,,k k k 为任意常数.21.(1990—Ⅳ) 已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0=k A .试证明矩阵A E -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). 【考点】抽象矩阵求逆. 证 1()()k k kk E E A E A E A E A A -=-=-=-+++,所以A E -可逆,且11()k E A E A A ---=+++.22.(1990—Ⅴ)设A 为1010⨯矩阵10010000010000001100000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算行列式A E λ-,其中E 为10阶单位矩阵,λ为常数.【考点】行列式的计算. 解101010A Eλλ--按第一列展开=.23.(1990—Ⅴ)设方阵A 满足条件T A A E =,其中T A 是A 的转置矩阵, E 为单位阵.试证明A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1. 【考点】特征值与特征向量的概念. 证 设A 的实特征向量0x ≠所对应的特征值为λ,则Ax x λ=.又22()()()()11T T T T Ax Ax x x x x x x λλλλλ=⇒=⇒=⇒=.(0)T x x x =≠【注】注意本题的A 是正交矩阵,由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为1±.24.(1991—Ⅰ,Ⅱ)已知123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)a ααα===-+,4(1,2,4,8)a α=+及(1,1,3,5)b β=+.（1）,a b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?（2）,a b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?并写出该表示式. 【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.解β可由1234,,,αααα线性表示⇔线性方程组11223344x x x x ααααβ+++=有解.12341111101121,,,2324335185T T T T T a b a ααααβ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦11111011210010010r a b a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. (1)当1,0a b =-≠时,线性方程组无解,β不能由1234,,,αααα线性表示;(2)当1a ≠-时,线性方程组有惟一解,β可由1234,,,αααα惟一地线性表示.此时123421000110100,,,10010100010r T T T T Tb a a b a b a ααααβ⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎡⎤→+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦,则123421,,,0111b a b bx x x x a a a ++=-===+++,所以 1234210111b a b ba a a βαααα++=-++++++.25.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设A 是n 阶正定矩阵,E 是n 阶单位矩阵,证明A E +的行列式大于1. 【考点】正定矩阵的性质,特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.证 方法一:A 为n 阶正定矩阵,则A 的特征值120,0,,0n λλλ>>>.而A E +的特征值分别为1211,11,,11n λλλ+>+>+>,则12(1)(1)(1)1n A E λλλ+=+++>.方法二:A 为n 阶正定矩阵,则存在正交矩阵U ,使得112(,,,)n U AU diag λλλ-=Λ=,即1A U U -=Λ.其中12,,,n λλλ为A 的特征值,且120,0,,0n λλλ>>>.则1111()A E U U UEU U E U U E U ----+=Λ+=Λ+=⋅Λ+⋅12(1)(1)(1)1n E λλλ=Λ+=+++>.26.(1991—Ⅳ,Ⅴ)设有三维列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23210,111,111,111λλβλαλαλα,问λ取何值时:（1）β可由321,,ααα线性表示,且表达式惟一;（2）β可由321,,ααα线性表示,且表达式不惟一; （3）β不能由321,,ααα线性表示.【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论,等价于含有参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形)12321110(,,)111111λαααβλλλλ+⎛⎫⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭221110(1)00(3)(12)r λλλλλλλλλλλ⎛⎫+⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭. (1)当12312300(,,)(,,,)3(3)03R R λλααααααβλλλ≠≠⎧⎧==⇔⇒⎨⎨-+≠≠-⎩⎩时,β可由321,,ααα惟一地线性表示;(2)当0λ=时,123123(,,)(,,,)13R R ααααααβ==<,β可由321,,ααα线性表示,且表达式不惟一;(3)当3λ=-时,123123(,,)2(,,,)3R R ααααααβ=≠=,β不能由321,,ααα线性表示.方法二:2123111,,111(3)111λαααλλλλ+=+=++.(1)当1230,,03λαααλ≠⎧≠⇒⎨≠-⎩时,123(,,)3R ααα=,β可由321,,ααα惟一地线性表示;(2)当0λ=时,12311101110(,,)1110000011100000r αααβ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 123123(,,)(,,,)13R R ααααααβ==<,β可由321,,ααα线性表示,且表达式不惟一;(3)当3λ=-时,123123(,,)2(,,,)3R R ααααααβ=≠=,β不能由321,,ααα线性表示.【注意】(1)向量β可由12,,,m ααα线性表示1122m m x x x αααβ⇔+++=有解12(,,,)m x αααβ⇔=有解Ax β⇔=有解,其中12(,,,)m A ααα=1212(,,,)(,,,)m m R R ααααααβ⇔=.(2)本题实质上等价为问λ取何值时,线性方程组 1231232123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩有惟一解,无解,有无穷多解.27.(1991—Ⅳ)考虑二次型323121232221422x x x x x x x x x f +-+++=λ问λ取何值时,f为正定二次型?【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.解 二次型的矩阵1142124A λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.则f 为正定二次型1223101402144(1)(2)0A λλλλλλ⎧∆=>⎪⎪⇔∆==->⇔-<<⎨⎪⎪∆==-+>⎩.28.(1991—Ⅳ)试证明n 维列向量n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是0212221212111≠=nTn T n T n nT T T n T T T D αααααααααααααααααα,其中Ti α表示列向量i α的转置,n i ,,2,1 =.【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.证n 维列向量n ααα,,,21 线性无关⇔12,,,0n A ααα=≠.又()111121*********2,,,T T T T n T T T TT n n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2T D A A A==,即00D A ≠⇔≠.29.(1991—Ⅴ)设n 阶矩阵A 和B 满足条件A B AB +=.(1)证明A E -为可逆矩阵; (2)已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵A .【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.证 (1)由()()()()A B AB A E B A E E A E B E E +=⇒---=⇒--=,则A E -可逆.(2)由(1)得,111021()103002A B E E -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.30.(1991—Ⅴ)已知向量(1,,1)T k α=是矩阵211121112A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1A -的特征向量,试求常数k 的值.【考点】特征值与特征向量的概念. 解 设λ为对应于α的1A -的特征值,则1A A αλαλαα-=⇒=.解方程组得1k =或2-.【注意】(1)已知含参数的矩阵A 的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;(2)已知含参数的矩阵A 的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再解之. 31.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: （1）1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. （2）4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 【考点】向量组线性相关的性质.解 (1)1α能由23,αα线性表出.事实上,234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关,又123,,ααα线性相关,所以1α能由23,αα线性表出. (2)4α不能由123,,ααα线性表出. 方法一:123423423123(,,|)(,,)3(,)(,,)R R R R αααααααααααα≥=>=.方法二:假设4α能由123,,ααα线性表出.由(1)知1α能由23,αα线性表出,则4α能由23,αα线性表出,与234,,ααα线性无关矛盾.32.(1992—Ⅰ,Ⅱ)设三阶矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ===,对应的特征向量依次为1231111,2,3149ξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又向量113β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（1）将β用123,,ξξξ线性表出; （2）求nAβ(n 为自然数).【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.解 (1)解方程组111223312323(,,)x x x x x x ξξξβξξξβ⎛⎫⎪++=⇔= ⎪⎪⎝⎭得12322βξξξ=-+.(2)121123112233322232222223223n n n n n n n n n n n n n A A A A βξξξλξλξλξ+++++⎛⎫-+ ⎪=-+=-+=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭.33.(1992—Ⅱ)设,A B 为3阶矩阵,I 为三阶单位矩阵,满足2AB I A B +=+,又知101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,求矩阵B .34.(1992—Ⅳ)设矩阵A 与B 相似,其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(1)求x 和y 的值; (2)求可逆矩阵P ,使1P AP B -=.【考点】已知矩阵的特征值求矩阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的相似对角化. 解 (1)方法一:A 与B 相似,则A E B Eλλ-=-,即2(2)((1)(2))(1)(2)()x x y λλλλλλ+-++-=+--,解得0,2x y ==-.方法二:显然B 的特征值为1,2,y -;A 有特征值2-.A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值,故2y =-.又(1)2(2)10y x x -++=-++⇒=(2)A 的对应于特征值1,2,2--的特征向量分别为1230012,1,0111p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,令可逆矩阵123(,,)P p p p =,则1P AP B -=.【注意】(1) 对(1)求解时,若由(1)2(2)1(1)22(2)y x y A x -++=-++⎧⎪⎨-⋅⋅==--⎪⎩,得,x y 有无穷多解,此时这种方法失效.(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一下吗?35.(1992—Ⅳ)已知三阶矩阵B O ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (1)求λ的值; (2)证明0B =.【考点】线性方程组解的理论的应用.解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式122215(1)01311A λλλ-=-=-=⇒=-.(2)由题意,得0AB =.若00B A ≠⇒=,矛盾,所以0B =.或 由0()()3AB R A R B =⇒+≤;又0()1A R A ≠⇒≥,则()3R B <⇒0B =.【注意】 (1) 若0m s s n A B ⨯⨯=,则有下面两个常用的结论:①()()R A R B s +≤.②若B O ≠,则齐次线性方程组0m s A x ⨯=有非零解.(2)0()n n A R A n ⨯=⇔<,即非奇异矩阵就是降秩矩阵.36.(1992—Ⅳ)设,A B 分别为,m n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵A O C O B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是否是正定矩阵. 【考点】正定矩阵的判别定理.解 方法一:用定义证明.0x y ⎛⎫∀≠ ⎪⎝⎭,不妨设0x ≠,则0,0T T x Ax y By >≥,故()0TT T T T x x A O x C x y x Ax y By y y O B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即A O CO B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是正定矩阵.方法二:用特征值证明.A E O C E A EB E OB Eλλλλλ--==-⋅--,即C 的特征值由,A B 的特征值的全部.而,A B 的特征值全大于零,则C 的特征值全大于零,即C 是正定矩阵.【注意】讨论抽象矩阵的正定性,一般用上面两种方法.37.(1992—Ⅴ)设矩阵101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,矩阵X 满足2AX I A X +=+,其中I为三阶单位矩阵.试求出矩阵X .【考点】解矩阵方程.解 由2()()()AXI A X A I X A I A I +=+⇒-=-+.又10A I -=-≠,则201030102X A I ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.【注意】此题也可由12()()X A I A I -=--求解,但计算烦琐.在矩阵的运算时,应尽量应用矩阵的性质先化简.38.(1992—Ⅴ)设线性方程组123123123220,20,30x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的系数矩阵为A ,三阶矩阵B O ≠,且AB O =.试求λ的值.参考35.(1992—Ⅳ)的(1).39.(1992—Ⅴ)已知实矩阵33ij A a ⨯⎡⎤=⎣⎦满足条件:(1)ijij a A =(,1,2,3i j =),其中ij A 是ij a 的代数余子式;(2)110a ≠.计算行列式A.【考点】伴随矩阵及其性质;行列式按行(列)展开定理. 解 由23**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =⇒=⇒==⇒=⇒=或1A =.又22211111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠⇒=.40.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知二次型222123232332(0)f x x x ax x a =+++>,通过正交变换化为标准形22212325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵.【考点】二次型理论;用正交变换化二次型为标准形的方法.解 二次型的矩阵2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值为1231,2,5λλλ===.由22(2)(69)(1)(2)(5)2a A E a a λλλλλλλ>-=--+-=---⇒=.或 由2123952a A a a λλλ>=⇒-=⇒=.对应于特征值11λ=的特征向量1011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,单位化,得1110p ξξ⎛⎫⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎝⎭;对应于特征值22λ=的特征向量2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,单位化,得2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;对应于特征值35λ=的特征向量3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,单位化,得3330p ξξ⎛⎫ ⎪ ⎪==.则所求的正交变换矩阵123010(,,)00P p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝. 41.(1993—Ⅰ,Ⅱ)设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中n m <,I 是n 阶单位矩阵.若AB I =,证明B 的列向量组线性无关.【考点】抽象向量组线性相关性的判别.证 方法一:用定义证明.设10()000m n n B x AB x Ix x ⨯⨯=⇒=⇒=⇒=,则B 的列向量组线性无关. 方法二:用矩阵的秩证明.()()()()n R B R AB R I n R B n ≥≥==⇒=,则B 的列向量组线性无关.42.(1993—Ⅱ)已知3R 的两个基为1231111,0,0111ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦与1231232,3,4143βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P .【考点】过渡矩阵的概念;矩阵的运算.解1123123123123234(,,)(,,)(,,)(,,)010101P P βββααααααβββ-⎛⎫⎪=⇒==- ⎪ ⎪--⎝⎭. 【注意】由基12,,,r ααα到基12,,,r βββ的过渡矩阵P 定义为1212(,,,)(,,,)r r P βββααα=,即P 是向量组12,,,r βββ由12,,,r ααα线性表示的系数矩阵.43.(1993—Ⅳ)k 为何值时,线性方程组12321231234,,24,x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有唯一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解. 【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形)21141124()1102281124(4)(1)00(4)2r kB A b k k k k k k k ⎛⎫⎪--⎛⎫ ⎪⎪==-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭- ⎪⎝⎭.(1)方程组有惟一解(4)(1)()()3012k k R A R B k -+⇔==⇔≠⇒≠-且4k ≠,此时222100124010120011r k k k k k B k k k ⎛⎫+ ⎪+ ⎪⎪++→ ⎪+⎪⎪-⎪+⎝⎭则解为221232242,,111k k k k kx x x k k k +++===-+++.(2)当1k =-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解.(3)当4k=时,()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,此时103001140000rB ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭解为132334x x x x =-⎧⎨=-+⎩,则通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中c 为任意常数.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式(4)(1)A k k =-+.(1)当01A k ≠⇒≠-且4k ≠时,方程组有惟一解,由Crammer 法则得解为221232242,,111k k k k k x x x k k k +++===-+++.(2)当1k =-时,11141124()1111023811240005r B A b ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪==--→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()2()3R A R B =≠=,方程组无解.(3)当4k =时,11441124()14116022811240000r B A b --⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, ()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,且103001140000rB ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,解为132334x x x x =-⎧⎨=-+⎩,则通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中c 为任意常数.44.(1993—Ⅳ)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换x Py =化成22232f y y =+,其中12(,,,)T n x x x x =和12(,,,)T n y y y y =都是三维列向量,P 是三阶正交矩阵.试求常数,αβ.【考点】二次型理论.解 二次型的矩阵11111A ααββ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭,其特征值为0,1,2,则(0)(1)(2)(1)(2)0A E λλλλλλλαβ-=---=---⇒==.(这里为什么不能用特殊方法,请读者自己思考).45.(1993—Ⅴ)已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为,试求其伴随矩阵*A 的逆矩阵.【考点】矩阵运算.解*1111521()()220101AA A A A------⎛⎫⎪===- ⎪ ⎪-⎝⎭.46.(1993—Ⅴ)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,E 是n 阶单位矩阵(m n >),已知BA E =.试判断A 的列向量组是否线性相关?为什么?参考(1993—Ⅰ,Ⅱ).47.(1994—Ⅰ,Ⅱ)设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为12240,0.x x x x +=⎧⎨-=⎩又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)k k +-; （1）求线性方程组（Ⅰ）的基础解系;（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.【考点】齐次线性方程组的基础解系;两个线性方程组的公共解.解 (1)线性方程组（Ⅰ）的解为14243344x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.取3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得所求基础解系()()120,0,1,0,1,1,0,1ξξ==-.(2)将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）,得1212120k k k k k k +=⎧⇒=-⎨+=⎩.当120k k =-≠时, 方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解,且为222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)x k k k k =-+-=-=-其中k 为不为零的任意常数.【注意】求两个线性方程组1Axb =和2Bx b =的公共解的方法.(1)若已知两个方程组1Ax b =和2Bx b =,则求它们的公共解就是求12Ax b Bx b =⎧⎨=⎩的解;(2)若已知一个方程组1Ax b =和另一个方程组2Bx b =的通解(方程组2Bx b =未知),则求它们的公共解的方法是:将2Bxb =的通解代入到已知方程组1Ax b =中,解出2Bx b =的通解中任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入2Bx b =的通解中,从而得到方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解;(3)若已知两个方程组1Ax b =和2Bx b =的通解(两个方程组未知),则求它们的公共解的方法是:令两个方程组的通解相等,只要解出一个方程组(不妨设为1Ax b =)的通解中的任意常数的条件(如果任意常数无解,则无公共解),再代入1Ax b =的通解中,从而得到方程组1Ax b =和2Bx b =的公共解.(4)对于两个齐次线性方程组,由于它们总有公共的零解,因此关于它们公共解的讨论为它们是否有公共的非零解.本题是第二种情形.为了让读者了解两个方程组公共解的求法,下面举两例说明第一和第三种情形.(它们是本题的变形)例1 求线性方程组122400x x x x +=⎧⎨-=⎩和14230x x x x +=⎧⎨-=⎩的公共的非零解.解 这是第一种情形.所求公共的非零解即为方程组122414230000x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=⎩的非零解,可求得为(1,1,1,1)x k =-,其中k 为不为零的任意常数.例2 已知齐次线性方程组（Ⅰ）的通解为()()120,0,1,01,1,0,1x l l =+-,又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)k k +-.求线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解.解 令()()1212(0,1,1,0)(1,2,2,1)0,0,1,01,1,0,1k k l l +-=+-,解得12k k =-.当120k k =-≠时, 方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的非零公共解为222(0,1,1,0)(1,2,2,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)x k k k k =-+-=-=-其中k 为不为零的任意常数. 请读者比较本题与例1和例2的解题思路,条件不同,解题方法也不同,虽然目的是一样的. 48.(1994—Ⅰ,Ⅱ)设A 为n 阶非零矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵.当*T A A =时,证明0A ≠.【考点】矩阵的乘法;伴随矩阵的性质.证 由**T T A A AA AA A E =⇒==.假设0T A AA O =⇒=.考虑T AA 的主对角线上的元素,令()T ij AA B b ==,则222121200ii i i in i i in b a a a a a a =+++=⇒====,即A 的第i行的元素全为零,由i 的任意性,得A 的元素全为零,即A O =,矛盾.49.(1994—Ⅱ)设A 是n 阶方阵,2,4,,2n 是A 的n 个特征值,I是n 阶单位阵.计算行列式3A I-的值.【考点】特征值的性质或矩阵的对角化. 解 方法一:由特征值的定义,马上得到:若λ为A 的特征值,则3λ-为3A I-的特征值(为什么?).所以3A I-的特征值为1,1,3,,23n --,故3(1)13(23)[(23)!!]A I n n -=-⨯⨯⨯⨯-=--.方法二:A 有n 个不同的特征值,则A 能对角化,即存在可逆矩阵P ,使得11(2,4,,2)P AP diag n A P P --=Λ=⇒=Λ.1133(3)3[(23)!!]A I P P I P I P I n ---=Λ-=Λ-=Λ-=--.50.(1994—Ⅳ) 设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++34324241333232313232222131321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1）证明:若4321,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解;（2）设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知21,ββ是该方程组的两个解,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111,11121ββ,写出此方程组的通解. 【考点】非齐次线性方程组有解的判别定理;非齐次线性方程组解的性质及结构;范德蒙行列式.证 (1)()3R A ≤(更进一步()3R A =,为什么?),而14()0()4i j j i Ba a R B ≤<≤=-≠⇒=∏范氏行列式因为()()R A R B ≠,所以线性方程组无解.(2)经计算得()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,且对应的齐次方程组的基础解系所含解向量个数为()321n R A -=-=个,取为12(2,0,2)T ξββ=-=-,则此方程组的通解为1x k βξ=+,其中k 为任意常数. 【注意】(1)求矩阵的秩时不要动不动就是初等行变换,如果变换很繁,想想能否从定义和秩的性质推导.请读者仔细体会本题的(1);(2)已知方程组的特解求其通解时,第一感应该是利用解的性质和解的结构去解决;有时对选择题或填空题还可观察出方程组的解.不管方程组是否具体知道.不要动不动就去解方程组(特别是方程组含参数时).切记切记.51.(1994—Ⅳ,Ⅴ)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.【考点】特征值与特征向量.解2(1)(1)A E λλλ-=--+1,231,1λλ⇒==-.对于二重特征值1,21λ=应有两个线性无关的特征向量,则()1R A E -=0x y ⇒+=.【注意】(1)此类问题的理论根据是:重特征值有重数个线性无关的特征向量,即设λ为n 阶矩阵A 的r 重特征值,则A 有属于λ的r 个线性无关的特征向量()R A E n r λ⇔-=-.关键是考虑重特征值情形,最后转化为含参数的矩阵的秩的讨论.(2)矩阵A 能对角化(与对角矩阵相似)A ⇔的重特征值有重数个线性无关的特征向量.(3)本题的等价问题是:设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100y x A 能对角化(与对角矩阵相似) ,求x 和y 应满足的条件.52.(1994—Ⅴ)设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系.证明122,ααα+331,ααα++也是该方程组的一个基础解系.【考点】基础解系的概念.证 显然0Ax =的基础解系含三个线性无关的解向量.由齐次线性方程组解的性质,知122,ααα+331,ααα++为0Ax =的解.只须证明122,ααα+331,ααα++线性无关.122331123123101(,,)(,,)110(,,)011K αααααααααααα⎛⎫⎪+++== ⎪ ⎪⎝⎭而122331123()3(,,)(,,)3R K R R ααααααααα=⇒+++==,即122,ααα+331,ααα++线性无关. 【注意】要证明12,,,r ααα为齐次线性方程组0Ax =的基础解系,必须说明:(1)12,,,r ααα是0Ax =的解;(2)r=齐次线性方程组0Ax =的未知数的个数()R A -;(3)12,,,r ααα线性无关.53.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==,对应于1λ的特征向量为1011ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求A.【考点】实对称矩阵对角化理论.解 设对应于特征值231λλ==的特征向量为x ,则1ξ与x 正交,即10T x ξ=,其基础解系为23100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令可逆矩阵()123,,P ξξξ=,则1123(,,)P AP diag λλλ-=Λ=,故1100001010A P P -⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪-⎝⎭.【注意】此类问题为已知矩阵A 的特征值和特征向量,求矩阵A .问题的关键是利用矩阵与对角矩阵相似.包括两种情形:(1)已知矩阵A 的全部特征值和全部线性无关的特征向量,求矩阵A .这时A 不一定是对称矩阵,只能由1P AP -=Λ求A ;(见本题解法)(2)已知矩阵A 的全部特征值和部分线性无关的特征向量,求矩阵A .这时A 一定是对称矩阵.在求出A 的全部线性无关的特征向量后(利用实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交),可以两种方法处理:①同(1).由1P AP -=Λ求A .(此时需求逆矩阵)②求出A 的全部两两正交且单位化的特征向量,构造正交矩阵U.由1T UAU U AU -==Λ得T A U U =Λ.(此时不需要求逆矩阵,但多了向量组的正交单位化过程)③建议读者用方法①,以便统一处理这类问题. 54.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设A 是n阶矩阵,满足T AA I =(I是n阶单位矩阵,TA 是A 的转置矩阵),0A <,求A I+.【考点】矩阵的运算性质.解()()T T T A I A A A A I A A A T A AI +=+=+=⋅+=⋅+(1)00A A A I A I <⇒-+=+=.55.(1995—Ⅳ)已知向量组321,,)(αααI ;4321,,,)(ααααII ;5321,,,)(ααααIII,如果各向量组的秩分别为4)(,3)()(=I I I =I I =I R R R .证明:向量组45321,,,ααααα-的秩为4.【考点】向量组线性相关的性质;向量组秩的计算. 解 方法一:要证向量组45321,,,ααααα-的秩为4,等价于证明45321,,,ααααα-线性无关.由()()3R R I =II =,得123,,ααα线性无关,而1234,,,αααα线性相关,则4α可由123,,ααα线性表示,即存在123,,k k k ,使得4112233k k k αααα=++.令112233454()0x x x x ααααα+++-=,则14112422343345()()()0x x k x x k x x k x αααα-+-+-+=.又()4R III =,则1235,,,αααα线性无关,故1412421234343400000x x k x x k x x x x x x k x -=⎧⎪-=⎪⇒====⎨-=⎪⎪=⎩,则45321,,,ααααα-线性无关,所以向量组45321,,,ααααα-的秩为4.方法二:由()()3R R I =II =,得123,,ααα线性无关,而1234,,,αααα线性相关,则4α可由123,,ααα线性表示,即存在123,,k k k ,使得4112233k k k αααα=++.则41,2,3123541235(,,,)(,,,)j jc k c j ααααααααα+=-→所以123541235(,,,)(,,,)4R R ααααααααα-==.56.(1995—Ⅳ)已知二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=.（1）写出二次型f的矩阵表达式;（2）用正交变换把二次型f化为标准型,并写出相应的正交矩阵.【考点】二次型的矩阵;用正交变换把二次型化为标准型的方法.解 (1) 二次型的矩阵022244243A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭,则二次型f 的矩阵表达式T f x Ax =.(2)A 的特征多项式(6)(1)(6)A E λλλλ-=-+--,则A 的特征值1236,1,6λλλ=-==.16λ=-对应的正交单位化特征向量1Tp =;21λ=对应的正交单位化特征向量2T p =;36λ=对应的正交单位化特征向量3Tp =.令正交矩阵123(,,)0P p p p⎛==⎝,所求正交变换112233x yx P yx y⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,二次型f的标准型22212366f y y y=-++.57.(1995—Ⅴ)对于线性方程组1231231233,2,2.x x xx x xx x xλλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩讨论λ取何值时,方程组无解,有唯一解和无穷多组解.在方程组有无穷多组解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解方法一(一般情形):113112 (|)112011011200(1)(2)3(1)rB A bλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-→--⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭(1)方程组有惟一解()()31R A R Bλ⇔==⇒≠且2λ≠-;(2)当1λ=时,11120000()()130000rB R A R B-⎛⎫⎪→⇒==<⎪⎪⎝⎭,方程组有无穷多解,且1232x x x=---则方程组的通解12211010,001x k k---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,k k为任意常数;(3)当2λ=-时,()2()3R A R B=≠=,方程组无解.方法二(特殊情形):方程组的系数行列式2(1)(2)Aλλ=-+.(1)当0A≠,即1λ≠且2λ≠-时方程组有惟一解;(2)当1λ=时,11120000()()130000rB R A R B-⎛⎫⎪→⇒==<⎪⎪⎝⎭,方程组有无穷多解,且。
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线性代数一些证明题1题目设n阶可逆矩阵A满足A2 = A，求A的特征值。
知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A2=A所以A 2－A=0所以det(A2－A)=det[ A (A －E)]=det( A )det( A－E)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)工0所以det( A－E)=0所以A 的特征值为1.常见错误设存在入，使Ax = Ax成立则det( Ax )=det( A)det( x)=det( x)= n det( x) (错误在于向量取行列式)所以有n det(A)成立.又因为A2=Adet( A)2 =det(A), 即det( A)=0 或det( A)=1.由于A 为可逆矩阵，det(A).工0所以det( A)=1当n为奇数时，入.=1当n为偶数时，入=1.相关例题设A为n阶矩阵若A2=E，试证A的特征值是1或-1.2 题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det( A)=1 ，证明det( E-A)=0. 知识点①正交矩阵的定义： A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T=E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T=A T+B T⑤det( A)=det( A T)⑥ det( AB )=det( A)det( B)⑦det( -A)=(-1)n det( A)解题过程••A是正交矩阵•£ —A= A T A - A= A T A - EA= ( A T- E)Avdet( A)=1「det(E—A)二det(( A T—E)A)二det( A T—E)det( A)=det( A T —E)Tdet(E—A)=det( E—A)T=det( E—A T)••det(A T—E)= det( E—A T)= det( —(A T—E))= (—1)n det( A T —E)vn为奇数• (—1)n= —1•det(A T—E)=0•det( E—A)=0常见错误①误以为det( E—A)= det( E) —det( A)，于是det( E—A)=1 —det( A)=1 —1=0②vdet( A)=1「.a i a2 •-a n = 1(其中a「a2,…,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).•••det( E —A)= (1-a i) (1-a2)-(1-a n).v det(E-A)=det(( A T-E)A)=det( A T-E)det(A)=det( A T-E)且det( A T-E)= ( a i-1 ) ( a2-1 )•••( a n-1 ).••(1- a i ) ( 1- a2 )•••( 1- a n ) = ( a i -1 ) ( a2-1 )•••( a n-1 ) =(-1) 0( 1- a1 ) ( 1- a2 )^( 1- a n )v n 为奇数•(—1)n= —1X iX2 X3 12x 1 (a 2) x 2 (b 2)X 3 3 (1(1 — a i ) (1 — a ?)…(〔—a n ) =0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行 列式，这是错误的。
相关例题证明：若A 为正交矩阵，则det( A)= ±1.题目试就a,b 的各种取值情况，讨论下列线性方程组的解，若有解，则求 出解。
3ax 2 (a 2b)x 3 3知识点线性方程组解的结构解题过程1 解：B= 21 1a 2b 23 a 2b2A1 1 1 10 a b 10 3a a 2b 3X 30, X 2 1 ,X 1 a 其解可由 ax 2 bx 3 此时增广矩阵可化为:可见，rank(B)=2,但增广矩阵的秩为 3，所以方程组(1)无解,1111(1)当a — b 0,且a 0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于 3，而且等于未知数的个数，故方程组(1 )有唯一解。
其解为:⑵当a-b=0，且a 0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2,秩小于未知数的个数，此时故方程组(1)有无穷多解1，解得X 2 1 bX 3,，代入第一个方程 a aX 1 X 2X 3 1 得到 X 1 1 - 1 - X 3 ； a a(3 )当a=0，b 为任意数,11110 a b 10 a b 01 1 1 1 *00b 1 0 0 0 1X 1a 1 ab 彳1 X 3 Ia a a 1b 1X 2 X 3 -X 3 a a a X 3 X 3 (任意)般解为:常见错误在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。
如，当a b 时，就说原方程有唯一解，没有指出a 0，当a=b 时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b 0，等等。
相关例题确定a,b 的值，使下列方程组x1 x2 x3 12x1 (a 2)x2 (b 2)x3 33ax2 (a 2b)x3 3 (1)有唯一解； (2)无解；有无穷多解，并求出通解。
4题目若1, 2, 3线性无关， 4 k1 1 k2 2 k3 3，其中k1,k2,k3 全不为0. 证明2, 3, 4 线性无关. 知识点向量线性相关解题过程证法一：(从定义出发)设存在常数k1 ,k2 ,k3 ，使得k1 2 k2 3 k3 4 0已知 4 k1 1 k2 2 k3 3 ，代入上式，得k1 2 k2 3 k3 (k1 1 k2 2 k3 3) 0化为：k1k3 1 (k1 k2k3 ) 2 (k2 k3k3 ) 3 0由题意知：1, 2, 3 线性无关k1k3 = 0k1 k2k3 =0 k2 k s k s = 0Q k i, k2, k3全不为 0解得k1 =k2=k3=0 由定义，知2, 3, 4线性无关证毕证法二：(由初等列变换，秩相等)( 2, ) 由 4 k1 1 k2 2 k3 3 ( k k k )3, 4) ( 2, 3,k1 1 k2 2 k3 3)c3 k2c2c3 k3c2( , ,k )2 3 1 1c3 /k1( , , )( 2, 3, 1)由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由1, 2, 3线性无关，知( 2, 3, 1)的秩为3，所以( 2, 3, 4) 秩也为3，推出2, 3, 4线性无关证法三：(反证法)假设( 2, 3, 4)线性相关.k 2k 3,k 2 k 3k 3 不全为 0则存在不全为 0 的常数 k 1 ,k 2 ,k 3 ，使得 k 1 2 k 2 3 k 3 4 0已知 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3，代入上式，得k1 2k2 3k3 (k 1 1k2 2k3 3) 0化为：k 1k 3 1 (k 1 k 2k 3 ) 2 (k 2 k 3k 3 ) 3 0Qk i , k 2, k 3全不为 0(否贝打 由 冰3 = k i k 2k 3 = k 2 k s k s =0 得 k 产 k ?二 k 3 = 0) 即1, 2, 3线性相关 , 与题目已知条件矛盾 .所以假设不成立 , 即 ( 2, 3, 4)线性无关 .题目设1, 2,L , n r 1是AX B 的解且线性无关，R(A) r ，试证AX B的任一解可表示为X k1 1 k2 2 L kn r 1 n r 1，其中 k 1 k 2 L k n r 1 1知识点 基础解系 方程组解的结构解题过程证明 Q1, 2 ,L , n r 1是 AX B 的解1n r 1, 2 n r 1,L , n rn r 1是 AX 0的解c 1 c n r 1由( ,,L , , )c22n r n r 1 Lcn r 1cn r cn r 1k1因为所以AX 其中( 1 n r 1, 2 n r 1,L , n r n r 1M n r 1)2,L , nnr1因为AXX k1 (r 1 线性无关，所以n r 1,L , nn r 1,L , nR( 1 nr1r 1,L , n r0 的任一解Xn r 1, n r 1 线性无关，nr 1也线性无关，且n r 1,L , n r n r 1 ) nr 1是AX 0 的基础解系可以表示为：1 n r 1) k2 ( 2 n r 1 ) L k n r (B的任一解X可以表示为:XX是AX B 的一个特解扩展①式，取nr 1，得X k1 ( 1 n r 1)k2 ( 2 n r 1) L k n r ( n r n r 1)化简得X k1 1 k2 2 k n r n r (1 k1 k2 L k n r )r1令k n r 1 1 k1 k2 k n r，k1 k1 ,k2 k2 ,L ,k n r k n r则AX B 的解可以表示为k1 Lkn r 1 n r 1且k1 k2 L k n r 1 k1 k2 L k n r (1 k1 k2 L k n r ) 1命题得证另外取i(1i n r) 时X k1 (1 n r 1) k2 ( 2 nr1) L k nr ( nr nr1) i化简得X k1 1 k2 2 L k i 1 i 1 (1 k i ) i k i 1 i 1 L k n r n r ( k1 k2 L k n r ) n r 1此时令k1 k1 ,k2 k2 ,L,k i1 k i 1 ,k i 1 k i ,k i 1 k i1,L ,k nr k n rk n r 1 k1 k2L k n r则AX B 的解可以表示为X k1 1 k2 2 L k n r 1 n r 1且k1 k2 L k n r 1k1 k2 L k i 1 (1 k i ) k i 1 L k n r ( k1 k2 L k n r ) 1 此时命题也成立常见错误不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解.6题目设1、2是矩阵A的两个不同的特征值，X i、X2分别属于1、2的特征向量，证明X i X2不是矩阵A的特征向量.x 1 x 2 是 A 的对应的特征向量， 则有知识点特征值 特征向量解题过程用反证法.常见错误由(1)(2) 直接推出1 2，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这 个性质才能推出 (3) 的系数为 0. 这在证明中不够严密 .已知 Ax 11x 1， Ax 2 2x 2所以 A(x 1 x 2) Ax 1 Ax 21x12 x2(2)由(1)(2) 知 x 1x21x12x2(1)x 1(2)x 2 0(3)因为 x 1、x 2 线性无关， 所以 120 ，(1)x2A(x 1 x 2)(x 1 x 2 ) x 11 2与已知矛盾 .。