线性代数常见证明题型及常用思路
线性代数常见题型与解题方法归纳(1)高级版
线性代数常见题型与解题方法归纳(1)高级版摘要本文介绍了线性代数中的常见题型及其解题方法。
通过归纳和总结，希望读者能够更好地理解和掌握线性代数的基本概念和解题技巧。
1. 矩阵运算题型矩阵运算是线性代数中的基础，掌握好矩阵的各种运算方法对于解题能力至关重要。
常见的矩阵运算题型包括：- 矩阵的加法和减法：根据定义，对应位置上的元素相加或相减。
- 矩阵的乘法：按照乘法规则，将矩阵的行与列进行相乘，并求和得到对应位置上的元素。
- 矩阵的转置：将矩阵的行和列进行对换。
- 矩阵的逆：如果一个矩阵存在逆矩阵，乘以逆矩阵后等于单位矩阵。
解题方法：熟悉矩阵运算的定义和规则，并通过大量练加深理解。
注意在计算过程中注意细节，避免疏忽和计算错误。
2. 线性方程组题型线性方程组是线性代数中另一个重要的概念，它涉及到多个未知数和多个方程的关系。
解线性方程组需要使用矩阵的运算方法。
常见的线性方程组题型包括：- 高斯消元法：通过消去系数矩阵中的元素，将线性方程组转化为阶梯形或行简化阶梯形，从而求得方程的解。
- 矩阵的逆：如果系数矩阵存在逆矩阵，可以通过左乘逆矩阵来求解线性方程组。
- 克拉默法则：对于n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则可以使用克拉默法则求解。
解题方法：根据题目的要求选择合适的解法，熟练掌握高斯消元法和矩阵的逆运算方法。
在解决线性方程组时，注意方程之间的关系和约束条件。
3. 特征值和特征向量题型特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述线性变换对应的变量。
常见的特征值和特征向量题型包括：- 求特征值和特征向量：通过求解特征方程，找到特征值，并代入特征向量方程求解特征向量。
- 对角化：如果矩阵存在n个线性无关的特征向量，可以将矩阵对角化，即得到一个对角矩阵和一个对应的变换矩阵。
解题方法：理解特征值和特征向量的几何意义，掌握求解特征值和特征向量的方法。
注意在求解特征方程时，应特别注意解的个数和重复特征值的情况。
线性代数22种题型及思维定式
i j 线性代数的思维定势1.若题设条件与代数余子式A 或A*有关，则用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A =n n2. 若涉及到 A , B 是否可交换，即 AB = BA ，则要立刻联想到逆矩阵的定义.3. 题目中涉及初等变换，要联想到初等方阵，把矩阵变换转化成矩阵相乘的等式.4. 若题设n 阶方阵 A 满足 f ( A ) = 0 ，要证aA + bE 可逆，则先分解出因子aA + bE .5. 若要证明一组向量α1,α2, ,αs 线性无关，先考虑用定义再说.6. 若已知 Ax = 0 的线性无关的解为α1,α2, ,αs ，则n - r (A ) ≥ s ，即r (A ) ≤ n - s .7. 若已知 AB = O ，则联想到① B 的列向量是齐次方程组 Ax = 0 的解；② r (A ) + r (B ) ≤ n .8. 若题目涉及求参数的值，则联想到是否有某行列式为零.9. 若已知 A 的特征向量ξ0 ，则先用定义 A ξ0 = λ0ξ0 处理一下.10. n 阶对称矩阵 A 可对角化⇔ n - r (A - λ0E ) = k ，其中k 是特征值λ0 的重数.11.若题目中涉及到二次型，要联想到实对称阵 A ，将二次型问题转化成实对称阵 A 的相关问题讨论.12. 若要证明抽象的n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，则用定义处理一下.题型 1 数字型行列式计算，重点是掌握三、四阶行列式及简单n 阶行列式的计算． 1.用性质化为三个重要行列式；2. 按行（列）展开去降阶3. 建立 D n 与D n -1, D n -2 之间的关系，递推.题型 2 方阵的幂①求出 A 2 , A 3 ，递推求出 A n ；②若r ( A ) = 1，则 A = αβ T ， A 2 = lA , l = β T α = αT β ；③若 A = E + B , 且 B k ≠ 0 ， B k +1 = 0 ，则 A n = (E + B )n = E + C 1B + + C kB k + 0④ P -1 AP = B ⇒ A n = PB n P -1 若 A Λ ⇒ A n = P Λn P -1题型 3 抽象矩阵的行列式1.先矩阵运算，再行列式运算；注意 E 的恒等变形E = E T = AA -1 = A -1A ,kB =k n A2. A =λ1λ2 λn题型 4 解矩阵方程方法通过矩阵运算，把方程化简为下述基本方程: ①Ax =C ，则x =A-1C②xA =C ，则x =CA-1A ③ AxB =C ，则 x = A -1CB -1注 A , B 都可逆，才用上述方法；若 A , B 不可逆，则设出矩阵 A B 建立方程组求解。
文都教育——常考题型线性代数题型总结
线性代数局部题型一：行列式的性质1．设α, β,γ1,γ2 ,γ3 为四维列向量，A = (α,γ1,γ2 ,γ3 ) ，B = (β,γ1,3γ2 ,γ3 ) ，| A |= 3 ，| B |= 21，求| A +B | 。
解答：A +B = (α+β,2γ1,4γ2 ,2γ3 ) ，| A +B |=| α+β,2γ1,4γ2 ,2γ3 |=| α,2γ1,4γ2 ,2γ3 | + | β,2γ1,4γ2 ,2γ3 |= 16 | α,γ,γ,γ| +161 2 3 3| β,γ1,3γ2 ,γ3 |=16 ⨯3 +⨯ 21 = 160 。
32．设A, B 都是三阶矩阵，A 相似于B ，且| E -A |=| E - 2 A |=| E - 3A |= 0 ，求| B -1+ 2E |。
解答：由| E -A |=| E - 2 A |=| E - 3A |= 0 ，得 A 的特征值为λ1=1, λ2=1, λ2 3=1，3因为 A ~ B ，所以 B 的特征值为 λ1=1, λ2=1, λ2 3=1，B -1的特征值为1,2,3 ，于是3B -1 + 2E 的特征值为3,4,5 ，故| B -1 + 2E |= 60 。
2 - 53．设D =- 3 75 - 9 4 - 6解答：1 2-1 42 7，〔1〕计算D ；〔2〕求M 31 +M 33 +M 34 。
1 22 - 5〔1〕 D =- 3 75 - 94 - 6 1 2 2 -5 1-1 4=-1 2 02 7 1 1 01 2 2 -1 026= 1⨯A =M3 13 13-1 2 = 1 12 -1 6 -13 =00 02 63 93 12= 9 。
〔2〕M 31 +M 33 +M 34 = 1⨯A31 + 0 ⨯A32 +1⨯A33 + (-1) ⨯A3416313 2 - 5 1= - 3 7 -1 2 2- 54 = - 3 7 -1 42 1= 1⨯ A = M - 5 -14 -5 -1 4 - 5 -1 4- 3 9= 7 2 1 = 3 72 1 =3 - 3 0 9 = -3⨯ A 12 = 3 3 - 2= -63 。
线性代数题型全攻略
线性代数题型全攻略线性代数是计算机科学、工程学和数学等学科的基础，在此基础上，线性代数提供了一套有效的方法来分析和求解求解各种问题，特别是在矩阵和向量空间下，使用线性代数可以更有效地求解各种问题。
本文将介绍以下线性代数题型：矩阵运算题型：这类试题要求考生用矩阵运算计算给定矩阵的秩、特征值和特征向量、行列式、线性方程组的解。
考生应该熟练掌握矩阵运算的原理和方法，理解矩阵的秩、特征值和特征向量等概念。
向量空间题型：本类试题要求考生计算子空间、张成空间、直积空间、内积空间和正定空间等概念。
考生应该清楚地理解什么是向量空间，以及其中子空间、张成空间、直积空间、内积空间和正定空间等概念，并熟悉计算过程。
线性变换题型：这类试题要求考生计算线性变换的表示式、特征值和特征向量等概念，以及矩阵表示、零空间、核和图像等基本知识。
考生应该熟悉线性变换的定义及其计算方法，理解线性变换的表示式、特征值和特征向量等概念，了解矩阵表示、零空间、核和图像等基本知识。
Fourier变换题型：本类试题要求考生掌握Fourier变换的基本原理，熟练应用它来研究函数的变换、分析信号的特征、解析图像的模式、还原被混叠的信号等。
考生应该熟练掌握Fourier变换的定义、基本原理和应用方法。
数值线性代数题型：这类试题要求考生熟悉基本的数值线性代数方法，如拟牛顿方法、反平方根法、最小平方法等，以及非线性系统的数值解，如力学与热力学系统。
考生需要理解拟牛顿方法、反平方根法、最小平方法等，和非线性系统的数值解，如力学与热力学系统。
本文简要介绍了几种常见的线性代数题型，考生平时需要结合具体的线性代数课程内容，加强对相关知识的积累，复习时针对不同的线性代数题型细致有效地进行掌握，以期在考试中有所收获。
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考研线代证明题
考研线代证明题摘要：1.考研线代证明题概述2.线性无关组的概念及性质3.证明题的解题思路和方法4.举例说明5.结论正文：一、考研线代证明题概述线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。
线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。
这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。
二、线性无关组的概念及性质线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。
线性无关组的性质有：1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；2.线性无关组中的向量数量是最大的；3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。
三、证明题的解题思路和方法解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。
具体方法如下：1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。
四、举例说明假设有一个线性无关组a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。
我们可以按照以下步骤进行证明：1.假设a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量a(i) 可以表示为a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中i 不属于{1, 2,..., s}。
2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即a(i) = A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)，其中A、B、...、D 为待定系数。
3.由于a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠0。
4.根据矩阵的秩的定义，系数矩阵的秩等于矩阵方程中未知数的个数，即r(A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)) = s。
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题
线性代数《线性方程组》常见题型与典型例题壹齐次线性方程组的基本公式与结论(1) 克莱姆法则若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组AX=b的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，并且有其中|A i|是|A|中第i列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的系数项b1,b2,…,b n所构成的行列式.(2) 齐次线性方程组解的存在性● 若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解,● 若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A 的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解.(3) 求解方法之高斯消元法将系数矩阵A作初等行变换转换为阶梯型矩阵B，初等变换将方程组化为同解方程组，即Ax=0与Bx=0同解，只需要解Bx=0即可. 设n个变量m各方程构成的方程组，并设r(A)=r≤m≤n，则方程组的独立方程个数为r个，r也是独立变量的个数，故多余方程个数为m-r，自由变量的个数为n-r. 令自由变量为任意常数，回代求得独立未知变量，则得方程组的解.(4) 基础解系和解的结构基础解系：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的解，若①x1,x2,…,x n-r 线性无关；②任一方程组Ax=0的解均由x1,x2,…,x n-r线性表出，则称x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系.通解：设x1,x2,…,x n-r是方程组Ax=0的一个基础解系，则k1x1+k2x2+…+k n-r x n-r是方程组Ax=0的通解，其中k1，k2，…，k n-r为任意常数.贰非齐次线性方程组的基本公式与结论非齐次线性方程组AX=b，其导出组(即齐次方程组)AX=0，A系数矩阵，(A|b)增广矩阵。
(1) 解的性质● 导出组解的线性组合仍为导出组的解● 非齐次方程组的任意两个解的差为其导出组的解(2) 通解的结构● 导出组的n个线性无关组的线性组合为其通解● 非齐次线性方程组的通解等于其导出组的通解与其任意特解之和● 关于非齐次方程组AX=b解的讨论：若r(A)=r(A|b)=n(未知数个数)，则有唯一解若r(A)≠r(A|b)，则无解若r(A)=r(A|b)=m<n，则有无穷解，其基础解系所含解向量个数为n-m个(3) 求解方法求导出组的通解加上他的任意一个特解即可.叁常见题型(1) 有关线性方程组的概念与性质的命题解题方法：概念与性质必须娴熟。
线性代数的一些证明题
线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。
知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A 2=A所以A 2－A =0所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0所以A 的特征值为1.常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )=det(λx )=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)所以 有)det(A n =λ成立.又因为A 2=Adet(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1.相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点①正交矩阵的定义：A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T⑤det(A )=det(A T )⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A )解题过程∵A 是正交矩阵∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E)∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T－E)∵n为奇数∴(－1)n=－1∴det(A T－E)=0∴det(E－A)=0常见错误①误以为det(E－A)= det(E)－det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0②∵det(A)=1∴a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三角形后1对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-a）（1-2a）…（1-n a）.1∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)且det(A T-E)= （a-1）（2a-1）…（n a-1）.1∴（1-a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）1= (-1)n（1-a）（1-2a）…（1-n a）1∵n为奇数∴(－1)n=－1∴（1－a）（1－2a）…（1－n a）=01∴det(E －A )=0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行列式，这是错误的。
《线性代数I》常见计算题型及常用思路.
《线性代数》常见计算题型及常用思路计算题题型1．解线性方程组（必须掌握）最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为1,,ti i x x ），然后对自由未知量赋予任意值，即设11,,t i i tx k x k ==，这儿1,,tk k 为任意常数。
把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于1,,t k k 的一些表达式）方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为1,,ti i x x ）。
设1,,tt F αα∈是tF 的一组基（常取自然基）。
然后令1(,,),1,2,t i i j x x j tα==，分别解得方程组的解：1,,tX X （这是一个基础解系）。
则可知方程组的解为11t tX k X k X =++，这儿1,,tk k 为任意常数。
（一般解）Cramer 法则。
注意：Cramer 法则只对系数矩阵可逆的情形适用。
题型2．将()V F β∈用1,,()m V F αα∈线性表示（或求坐标）常用思路：待定系数法。
设1,,mx x 使得11m mx x βαα=++。
然后根据题设条件得到关于1,,mx x 的一个方程组。
解方程组。
方法二：利用课本定理4.10（如果已知在某一组基下的矩阵）题型3．判断1,,()m V F αα∈的线性相关性常用思路：待定系数法。
设1,,mx x 使得110m mx x αα=++。
然后根据题设条件得到关于1,,mx x 的一个方程组。
解方程组。
如果方程组只有零解，则1,,()m V F αα∈线性相关。
反之，线性无关。
题型4．求1,,()m V F αα∈的极大无关组及秩常用思路：待定系数法。
设1,,mx x 使得110m mx x αα=++。
然后根据题设条件得到关于1,,mx x 的一个方程组。
用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量。
不是自用未知量的ix 所对应的i α放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组。
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线性代数常见证明题型及
常用思路
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《线性代数》常见证明题型及常用思路
二、证明题
题型1．关于1,
,m αα线性相关性的证明中常用的结论 （1）设110m m λαλα++=，然后根据题设条件，通过解方程
组或其他手段：如果能证明1,,m λλ必全为零，则1,,m αα线性
无关；如果能得到不全为零的1,
,m λλ使得等式成立，则1,,m αα线性相关。
（2）1,,m αα线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表
示。
（3）如果1,
,n m F αα∈，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。
（4）如果我们有两个线性无关组，
11,,,m W αα∈12,,,t W ββ∈且12,W W 是同一个线性空间的两
个子空间，要证11,
,,,,m t ααββ线性无关。
这种情况下，有些时候我们设
111111110,,m m t t m m t t
λαλαμβμβαλαλαβμβμβ+
++++==++=++。
根据题设条件往往能得到0αβ==，进而由
11,,,m W αα∈12,,t W ββ∈的线性无关得到系数全为零。
题型2. 关于欧氏空间常用结论
（1）内积的定义
（2）单位正交基的定义
（3）设1{,,}n B αα=是单位正交基，
11(,,),(,,)B n B n u x x v y y ==。
则
11(,)n n u v x y x y =++ 5 题型3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩
（4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()()();
()min{(),()};
()()();
max{(),()}(,)()();()();()()()()();0()()T T T T m n r A B r A r B r AB r A r B r A r A r A A A r A r B r A B r r A r B B A r r A r B B A r A r B r r A r B r C C B A B r A r B n
⨯+≤+≤==⎛⎫≤=≤+ ⎪⎝⎭
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫+≤≤++ ⎪⎝⎭
=⇒+≤ （5）利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩的不等式）
例：证明：()()()m n r A r B n r AB ⨯+≤+。
证：
()()()0n n n E E n r AB r r AB A
AB E B r r A r B A ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=≤+ ⎪⎝⎭
上面第二个等号是用A 左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第二行所得；第三个等号是用B -又乘第二个分块矩阵的第一列，然后加到第二列所得。
（6）利用齐次线性方程组解的结构
（dim ()()m n N A n r A ⨯=-），此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。
（7）利用向量组的秩与维数
主要是两个结论：（i ）矩阵的秩=列秩=行秩
（ii ）dimker dimIm dimker ()r σ
σσσσ+=+=的定义域 的维数
（8）利用行列式秩
（9）利用相抵标准形
题型4. 关于可逆矩阵常用结论
（1）结论：A 可逆AX b ⇔=有唯一解||0A ⇔≠。
（2）结论：,()n A B M F ∈可逆AB ⇔可逆。
（3）结论：A 可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。
（4）结论：A 可逆当且仅当0不是它的特征值。
（1）结论： A 相似于1..
B C s t A C BC -⇔∃=。
（2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。
（3）特征值与特征向量的定义
（4）结论：λ是A 的特征值||0E A λ⇔-=。
（5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。
（6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第n-1次项的系数就是对角线上元素之和。
（7）结论：()[],()()AX X h x F x h A X h X λλ=⇒∀∈=。
（8）结论：课本P242定理。
（9）结论：课本P242推论。
（10）结论：课本P243定理。
（11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。
（1）定义：二次型的矩阵。
（2）定义：相合关系。
（3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。
（4）定义：课本P263定义与P269定义
（5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。
（6）结论：课本P264定理、、
（7）结论：课本P269定义下面的内容
重要建议：最好把课本第七章内容全部记住！。