高三数学文科二轮复习：寒假作业(九) 平面向量(注意解题的速度)

寒假作业(九) 平面向量(注意解题的速度)一、选择题1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析：选B 因为|a ＋b |＝|a －b |⇔(a ＋b )2＝(a －b )2⇔a ·b ＝0，所以a ⊥b . 2．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 3．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．3D ．4解析：选D 因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.4．(2017·广西三市第一次联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.5．(2017·石家庄教学质量检测)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，m )，c ＝(2,4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( )A ．－310B ．－110C.110D.310解析：选D 因为2a －5b ＝(4,2)－(5,5m )＝(－1,2－5m )，又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，即(－1,2－5m )·(2,4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310.6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，且向量ka ＋b 与a －2b 平行，则实数k 的值为( ) A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：选A 由向量ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)与a －2b ＝(7，－2)平行，可得7(2k ＋2)＝－2(k －3)，解得k ＝－12.7．(2018届高三·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.8．(2017·惠州市第三次调研考试)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A ∵(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0， ∴CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|， ∴△ABC 是等腰三角形．9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ―→，BC ―→分别为a ，b ，则AH ―→＝( )A.25a －45b B.25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45b解析：选B 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF ―→＝12EC ―→＝14BC ―→，∴GF ―→＝14AD ―→，则△AHD ∽△FHG ，从而HF ―→＝14AH ―→，∴AH ―→＝45AF ―→，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝b ＋12a ，∴AH ―→＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b . 10．已知向量OZ ―→ (O 为坐标原点)与OZ ′―→关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ ―→2＋j ·ZZ ′―→≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 由题意得，OZ ―→＝(x ，y )，OZ ′―→＝(x ，－y )，ZZ ′―→＝(0，－2y )，所以OZ ―→2＋j ·ZZ ′―→＝x 2＋(y －1)2－1≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，点Z (x ，y )的集合用阴影表示为圆心为(0,1)，半径为1的圆的内部(包含边界)，故C 符合．11．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 法一：如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→ |， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2.法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (0,2)，C (2，0)．设D (m ，n )， 由AD ＝2和CD ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋(n －2)2＝4，(m －2)2＋n 2＝9，从而有n －m ＝54>0，∴n >m .从而∠DBC >45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角． 从而∠AOB 为钝角．故I 1<0，I 3<0，I 2>0. 又OA <OC ，OB <OD ，故可设OD ―→＝－λ1OB ―→ (λ1>1)，OC ―→＝－λ2OA ―→(λ2>1)， 从而I 3＝OC ―→·OD ―→＝λ1λ2OA ―→·OB ―→＝λ1λ2I 1， 又λ1λ2>1，I 1<0，I 3<0，∴I 3<I 1，∴I 3<I 1<I 2.12．(2017·成都第一次诊断性检测)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA ―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3解析：选A 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA ―→＝(x 1，y 1)，OB ―→＝(x 2，y 2)，OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以OC ―→＝53OA ―→－23OB ―→＝⎝⎛⎭⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2.由|AB ―→|＝2，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝4 ①，又A ，B 在圆O 上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4 ②.联立①②得x 1x 2＋y 1y 2＝2，所以OC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 化简并整理，得56(x 21＋y 21)－13(x 22＋y 22)＋12(x 1x 2＋y 1y 2)＝56×4－13×4＋12×2＝3.法二：由条件易知△OAB 为正三角形．又由M 为AB 的中点，则OM ―→12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)·⎝⎛⎭⎫53 OA ―→－23OB ―→＝12⎝⎛ 53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－⎭⎫23|OB ―→|2＝3. 二、填空题13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：由向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， 得ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3. 答案：－314．在△ABC 中，已知向量AB ―→＝(2,2)，|AC ―→|＝2，AB ―→·AC ―→＝－4，则△ABC 的面积为________．解析：∵AB ―→＝(2,2)，∴|AB ―→|＝22＋22＝22，AB ―→·AC ―→＝|AB ―→|·|AC ―→|cos A ＝22×2×cos A ＝－4， 即cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin A ＝2.答案：215.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD 的中点，则向量AP ―→与AQ ―→的夹角的余弦值为________．解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝⎛⎭⎫52，32，Q ⎝⎛⎭⎫32，32，所以AP ―→＝⎝⎛⎭⎫52，32，AQ ―→＝⎝⎛⎭⎫32，32，所以cos 〈AP ―→，AQ ―→〉＝AP ―→·AQ ―→|AP ―→||AQ ―→|＝154＋347×3＝32114.答案：3211416．(2017·长沙统一模拟考试)平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°，P 是平行四边形ABCD 内一点，且AP ＝1，若AP ―→＝x AB ―→＋y AD ―→，则3x ＋2y 的最大值为________．解析：|AP ―→|2＝(x AB ―→＋y AD ―→)2＝9x 2＋4y 2＋2xy ·3·2·⎝⎛⎭⎫－12＝(3x ＋2y )2－3·3x ·2y ≥(3x ＋2y )2－34(3x ＋2y )2＝14(3x ＋2y )2.又|AP ―→|2＝1，因此14(3x ＋2y )2≤1，故3x ＋2y ≤2，当且仅当3x＝2y ，即x ＝13，y ＝12时，3x ＋2y 取得最大值2.答案：2。