2019-2020学年浙江省杭州市长征中学高一上学期期末考试数学试卷

浙江省杭州市长征中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．方程组326x yx y-=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（）A．{}3,0x y==B．(){}3,0C．{}3,0D．{}0,32．若集合{}sin30,ln,lg10A e=︒-，{}220B x x x=∈-≤R，则A B =（）A．,12⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭ B．[]0,2C．1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D．1,1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3．下列函数是在(0,1)为减函数的是（）A．lgy x=B．2xy=C．cosy x=D．121=-yx4．若函数xy a b-=+的部分图像如图所示，则（）A．01,10a b<<-<<B．01,01a b<<<<C．1,10a b>-<<D．1,01a b><<5．已知4cos,5θθ=-∈π(0,)，则θtan=（）A．34B．34-C．43D．43-6．函数1()(4)21xa xf xa x x⎧>=⎨-+≤⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．(0,1)B．(1,4)C．(1,3]D．[3,4)7．函数()212()log 1f x x =-的单调递减区间为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞-8．把函数sin3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（）A ．sin(3)6y x π=+B ．sin(3)6y x π=-C ．cos3y x =D ．cos3y x =9．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A ．[2,2]-B ．[2,1]-C ．[1,3]-D ．[0,2]10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当302x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()12log 1f x x =-，则()()20172019f f +=（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-二、填空题（11-14题，每空格3分，15-17每空格4分，共36分）11．函数1()log (27)2a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________，若点P 在幂函数()g x 的图象上，则(9)g =________．12．已知α是第三象限的角，若tan 2α=，则sin cos()2ααπ⎛⎫+-π-⎪⎝⎭= ， 则2222sin 2cos cos 3sin αααα--=_______13．函数()212()log 23f x x x =-++的单调递减区为______，值域为______．14．已知函数()()22,031,0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则(2)f = ______，(1)f -=______． 15．51log 33332log 2log 32log 85+-+-=__________．16．已知函数()sin(),(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>>≤≤的部分图像如图所示，则()y f x =的[解析]式是()f x =_________.17．设3sin(),452αα=π+<π,则cos2=α________. 三、解答题18．设A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，AOB ∆为正三角形，AB //x 轴，（1） 求COB ∠的三个三角函数值；（2）设COB θ∠=，求sin()cos()2tan()cos()2θθθθππ+--ππ-++值..19．已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，求sin β的值.20．已知函数()log (1)log (3)(0,1),a a f x x x a a =++->≠(2)1f =．（1）求a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域；（3）求函数()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．21．已知2()2cos cos =+f x x x x （1）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（2）若x ∈R ，求()f x 的最值，并指出相应x 的值；（3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域22．已知为()f x二次函数，且()()21124f x f x x x++-=-，（1）求()f x的表达式；（2）设()()122x xg x f m+=-⋅，其中]0,1x⎡∈⎣，m为常数且m R∈，求函数()g x的最小值.——★ 参 考 答 案 ★——1．B[解析]因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0故选:B 2．C[解析]由题意，集合{}1sin 30,ln ,lg10{,1,1}2A e =︒-=-，{}220{|02}B x R x x x x =∈-≤=≤≤，所以AB =1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

故选：C 。

3．C[解析]对数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意； 指数函数，底数大于1时，在0x >上增函数，不满足题意； 余弦函数，从最高点往下走，即[0,]x π∈上为减函数；反比例型函数，在1(,)2-∞与1(,)2+∞上分别为减函数，不满足题意；故选：C.4．C[解析]由图象可知函数单调递减，1a ∴>，当0x =时，1y b =+，由图象可知011b <+<，10b ∴-<<.故选：C 5．B[解析]由题意，4cos ,5θθ=-∈π(0,)，所以3sin 5θ===， 则3sin 35tan 4cos 45θθθ===--.故选：B.6．D[解析]()f x 是R 上的单调递增函数，∴只需满足()140412a a a a ⎧>⎪->⎨⎪-⨯+≤⎩，解得：34a ≤<.故选：D7．C[解析]首先函数可以写成内外层函数12log y t=，21t x =-，12log y t=是单调递减函数，根据“同增异减”的原则，只需满足2100x x ⎧->⎨≥⎩，解得：1x >，∴函数的单调递减区间是()1,+∞.故选：C8．C[解析]把函数sin 3y x =的图象向左平移6π可得sin 3+=sin 3+62y x x ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由诱导公式化简可得sin 3+= cos32y x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:C 9．C[解析]由于()f x 是奇函数，故()()221f f =--=-.由于奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数.由1(1)1f x -≤-≤得()()()212f f x f ≤-≤-，所以212x ≥-≥-，解得13x -≤≤.故选：C.10．A[解析]根据题意，函数()f x 满足任意的x ∈R 都有3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3f x f x =-，则函数()f x 是周期为3的周期函数， ()()()2017167231f f f =+⨯=，()()()201967330f f f =⨯=又由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()12log 1f x x =-，则()()121log 111f ⎡⎤-=--=-⎣⎦，则()()111f f =--=；故()()()()20172019011f f f f +=+=；故选：A ．11．[解析]（1）log 10a =(0a >且1)a ≠271x ∴-=，4x =当4x =时，12y =，∴点P 的坐标为14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）设()g x xα=，142α=，解得12α=-，()12g x x -∴=，()121993g -∴==.故[答案]为：14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；1312．[解析]解：因为α是第三象限的角且tan 2α=解得cos α=()sin cos()cos cos 2cos 2παπαααα⎛⎫+--=--= ⎪⎝⎭ sin cos()2παπα⎛⎫∴+--= ⎪⎝⎭故[答案]为： ∵tan a ＝2，∴a 的终边不落在坐标轴上∴cos a ≠0．故原式=2222sin 2cos cos 3sin αααα--22221311tan a tan a-==--．故[答案]为：211- 13．[解析]由题意得2230x x -++>，解得13x ，令2223(1)4t x x x =-++=-+，则(]0,4∈t . 因为函数223t x x =-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，且函数12log y t=在(]0,4上递减，所以()212()log 23f x x x =-++的单调减区间是(1,1)-.又04t <≤，则()21122()log 23log 42f x x x =-++≥=-，所以函数的值域是[2,)-+∞，故[答案]为：(1,1);[2,)--+∞．14．[解析]∵函数()()22,031,0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，2(2)226f ∴=+=，又(1)3(0)9(1)9(12)27f f f -===⨯+=．故[答案]为：6，27． 15．[解析]51log 33332log 2log 32log 85+-+-5log 3333log 4log 32log 855=-+-⨯34log 85332=⨯-⨯3log 115=-15=-．故[答案]为：-15 16．[解析]根据图象，得2A =，又13()2882T πππ=--=，T ∴=π，2ω∴=， 将点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，得2sin(2)0x φ+=，0φπ，4φπ∴=，()2sin(2)4f x x π∴=+，故[答案]为：2sin(2)4x π+17．[解析]因为3sin()45απ+=,根据正弦的和角公式展开可得)3sin cos 25αα+=, 1812sin cos 25αα+=,即72sin cos 25αα=-所以sin α与cos α异号因为2απ<,所以02απ-<<则sin 0,cos 0αα<> 因为()2732sin cos 12sin cos 12525αααα⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭所以sin cos 5αα-=±而sin cos 0αα-<,即sin cos 5αα-=-由余弦二倍角公式可知22cos 2cos sin =-ααα()()cos sin cos sin αααα=-+245525=⨯=故[答案]为: 242518．（1）由题意，//AB x 轴，可得3AOB BAO π∠=∠=， 所以3COA π∠=，所以23COB ∠=π，则1sin ,cos ,tan 22COB COB COB ∠=∠=-∠=（2）由（1）得sin tan θθ==又由sin()cos()2sin sin 2sin 22tan sin tan sin tan()cos()2ππθθθθθπθθθθπθθ+----====---+-++.19．[详解]因为,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=， 所以3cos 5α==，12sin()13αβ+，所以sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=.20．[详解]（1）(2)1f =(2)log (12)log (32)1a a f ∴=++-=log 313a a ∴=∴=（2）1030x x +>⎧⎨->⎩13x ∴-<<即函数()f x 的定义域为(1,3)-（3）由（1）可知33()log (1)log (3)f x x x =++-3log (1)(3)x x =+-()23log 23x x =-++令3log ,y t =223,t x x =-++30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 2223(1)4t x x x =-++=--+在[0,1]是增函数，在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数34t ∴≤≤而3log y t =在[3,4]t ∈上是增函数，∴当4t =，即1x =时，max 3()log 4f x =，当3t =，即0x =时，min ()1f x =21．[详解]()2cos 212sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， （1）解不等式222262k x k ππππ-≤+≤π+，得()36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， (x)f ∴的单调增区间为,()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππππZ ； （2）当2262x k +=π-ππ，即3()x k k -π=π∈Z 时，()f x 取最小值为-1， 当2262x k πππ+=+，即()6x k k π=π+∈Z 时，()f x 取最大值为3（3）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2666x ππ7π∴≤+≤，则1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，02sin 2136x ⎛⎫∴≤++≤ ⎪π⎝⎭，即当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[]0,3.22．[详解]解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c期末考试数学试题11 因为f （x +1）+f （x ﹣1）=2x 2﹣4x ，所以a （x +1）2+b （x +1）+c +a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=2x 2﹣4x 所以2ax 2+2bx +2a +2c=2x 2﹣4x故有即，所以f （x ）=x 2﹣2x ﹣1()()()()122222)22?21x x x x g x f m m +=-⋅=-+-、（[]2,1,2x t t =∈设()()()22222?1122y t m t t m m m ⎡⎤=-+-=-+-++⎣⎦12,1m m +当即时()[]222?11,2y t m t t =-+-∈在为减函数min 2,41t y m ==--当;, 11,0m m +<<当即时()[]2min 22?11,21,22y t m t t t y m =-+-∈==--在为增函数当, 3)01m ≤≤时()2min 1,21t m y m m =+=-++当综上所述：24112202201min m m g x m m m m m --⎧⎪=--⎨⎪--+≤≤⎩，＞（），＜．，。