高考数学总复习知识点专题训练22---计数原理

=
10
．故选
B．
2．【答案】B
【解析】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有 2 × 3 = 6 种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有 4 × 2 = 8 种，
根据分类计数原理可得，共有 6 + 8 = 14 种，故从甲地到丁地共有 14 条不同的路
线．
故选 B．
3．【答案】B
【解析】由题意可得 Tr+1
10 ． 若
(1 − 3x)2017 = a0 + a1x + a2 x2 + L + a2017 x2017 ( x ∈ R )
，则
a1 3
+
a2 32
+L+
a2017 32017
=
（）
A．2
B．0
C． −1
( ) 11．
x2 + 2
1 6
x − x 的展开式中常数项为（
）
D． −2
A． −40
A．105 种
B． 510 种
C．50 种
D．以上都不对
8．若
x
+
1 x
n
的展开式中第
3
项与第
7
项的系数相等，则展开式中二项式系数
最大的项为（ ）
A．252
B．70
C． 56x2
D． 56x−2
9．6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有（ ）种．
A．480
B．624
C．600
D．240
18．【答案】（1）720，1440；（2）①15，②60．
【解析】（1）三个偶数相邻时，可视作将 2、4、6 捆绑在一起，得 A33A55 = 720 ；
三个偶数不相邻时，可视作将 2、4、6 插入到四个奇数中，共五个位置，所以
得
A
4 4
A35
= 1440
．
（2）①：分组与顺序无关，是组合问题．分组数是 C62C24C22 = 90 (种)，这 90 种
1，2，3，百位是 0，1，2，3，所以根据分步计数原理 N = 3× 4× 4=48 ，故选 D．
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横 线上）
8 / 12
13．【答案】1
【解析】由题意，令 x = 1 ，即可得到二项展开式的各项系数的和为 (2×1−1)n = 1．
要求的数． 结合古典概型计算公式可得所求概率值为 p = 36 = 9 ．
40 + 60 25
9 / 12
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17．【答案】（1）1；（2） −1 ．
【 解 析 】（ 1 ） 令 x = 0 ， 代 入 二 项 式 (1− 2x)7 = a0 + a1x + a2 x2 +L + a7 x7 ， 得 (1− 0)7 = a0 = 1． （2）令 x = 1 ，代入二项式 (1− 2x)7 = a0 + a1x + a2 x2 +L + a7 x7 ， 得 (1 − 2)7 = a0 + a1 + a2 + L + a7 = −1 ．
14．【答案】 1
2
【解析】因为 Tr+1 = C1r0 x10−r ar ，所以令10 − r = 7 ，解得 r = 3 ，所以 T4 = C130 x7a3 = 15x7 ， 解得 a = 1 ．
2
15．【答案】120
【解析】由题意得，可采用间接法：从男女组成的 9 中，选出 5 人，共有 C59 = 126 种不同的选法；其中 5 人中全是女教师的有 C56 = 6 种选法，故共有126 − 6 = 120 种
若令
6
−
2r
=
−2
⇒
r
=
4
，则展开式中的
x −2
项的系数为
( −1)4
C
4 6
=
15
，
( ) 故所求
x2 + 2
x
−
1 x
n
的展开式中常数项为
2
×
(−20)
+
15
=
−25
，应选答案
B．
12．【答案】D
【解析】 n + (n +1) + (n + 2) = 3n + 3 ，个位只能为 0，1，2，三种，十位只能是 0，
分组实际上重复了 6 次．我们不妨把六本不同的书写上 1、2、3、4、5、6 六
个号码，考察以下两种分法：(1,2) ，(3,4) ，(5,6) ，(3,4) ，(1,2) ，(5,6) ，由于书
是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分
法．以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除
19．（12 分）已知二项式 x −
2
10
的展开式中，
x
（1）求展开式中含 x4 项的系数；
（2）如果第 3r 项和第 r + 2 项的二项式系数相等，试求 r 的值．
20．（12 分）有 2 名老师，3 名男生，3 名女生站成一排照相留念，在下列情况
4 / 12
中，各有多少种不同站法？ （1）3 名男生必须站在一起； （2）2 名老师不能相邻； （3）若 3 名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站．（最终结 果用数字表示）
A
4 4
A52
=
24 ×
20
=
480
种．
7 / 12
故选 A．
10．【答案】C
【解析】令 x = 0 可得： a0
= 1 ，令 x =
1
3 ，可得： a0
+
a1 3
+
a2 32
+L+
a2017 32017
= 0 ，据此
可得：
a1 3
+
a2 32
+L+
a2017 32017
= −1 ．故选
C．
11．【答案】B
以组数的全排列数
A33
，所以分法是
C62C24C22 A33
= 15 (种)．
②：先分组，方法是 C16C52C33 ，那么还要不要除以 A33 ？我们发现，由于每组的
书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 C16C52C33 = 60 (种)分法．
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19．【答案】（1）3360；（2） r = 1．
( ) 【解析】因为
x2 + 2
x
−
1 x
6
=
x2
x
−
1 x
6
+
2
x
−
1 x
6
，所以问题转化为求
x
−
1 x
6
的展开式中常数项及含 x−2 项的系数，由于该二项式的展开式的通项公式为
( ) Tr+1
=
C6r x6−r
−
1 x
r
=
−1 r C6r x6−2r ，
所以若令 6 − 2r = 0 ⇒ r = 3，则展开式中的常数项为 (−1)3 C36 = −20 ；
B． −25
C．25
D．55
2 / 12
12．若自然数 n 使得 n + (n +1) + (n + 2) 作竖式加法不产生进位现象，则称 n 为“不
进位数”，例如：32 是“不进位数”，因为 32 + 33 + 34 不产生进位现象；23 不 是“不进位数”，因为 23 + 24 + 25 产生进位现象．那么小于 1000 的“不进位
=
C5r
( 2 x )5− r
−
1 x
r
，令
r
= 1， T2
=
−C15 24 x3
所以
x3
的系数
为 −80 ．故选 B．
4．【答案】C
【解析】先不考虑甲、乙同班的情况，将 4 人分成三组有 C24 = 6 (种)方法，再将 三组同学分配到三个班级有 A33 = 6 (种)分配方法，依据分步计数原理可得不同 分配方法有 6 × 6 = 36 种，应选答案 C．
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求
n
+
9C
2 n
+
81C3n
+ ...
+
9n−1 Cnn
的值．
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参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】B
【解析】
A52
−
C53
=
5
×
4
−
5×4×3 3× 2×1
15．在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、 女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）． 16．从 0 ，1， 2 ，3 ，4 ，5 中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数，其中 能被 5 整除的概率为_______（用数字作答）．
条路，从丙地到丁地有 2 条路，则从甲地到丁地不同的路有（ ）
A．11 条
B．14 条
C．16 条
3．
2
x
−
1 x
5