离散数学及其应用第10章-特殊图模型与算法(下)
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离散数学(chapter10一些特殊的图)精品PPT课件
因为每个值班人员的值班天数都不多于四天，故每 个结点的度数至少是３，任两个结点度数的和至少是 ６，根据判断定理（1）， G包含一条哈密尔顿通路， 它对应着一个可行的值班安排方案。
29.11.2020
离散数学
31
§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上，则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
29.11.2020
离散数学
3
用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
29.11.2020
离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
29.11.2020
离散数学
32
面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域， 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
29.11.2020
离散数学
33
包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
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离散数学
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§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上，则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
29.11.2020
离散数学
3
用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
29.11.2020
离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
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离散数学
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面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域， 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
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离散数学
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包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
最新离散数学第10章陈瑜
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的图
称为(n，m)图；
e4
v3 e6
v5 v4
e2 e5
e3
v2
e1
v1
21.01.2021
计算机科学与工程学院
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图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边。
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的
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计算机科学与工程学院
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几个概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称 为邻接点，否则称为不邻接的；
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
离散数学及其应用课后习题答案
离散数学及其应用课后习题答案【篇一：离散数学及其应用(课后习题)】出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若2?2?4，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为t（因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为f（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令p：天气好。
q：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）p?q。
（3）q?p。
（6）p?q。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）：（1）我去新华书店（p），仅当我有时间（q）。
（3）只要努力学习（p），成绩就会好的（q）。
（6）我今天进城（p），除非下雨（q）。
（10）人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）p?q。
（3）p?q。
（6）?q?p。
（10）(?p??q)?(p?q)。
习题1.41. 写出下列公式的真值表：（2）p?(q?r)。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）(p?q)??(p?q)??(p?q)。
证明：?(p?q)??((p?q)?(?p??q))??(p?q)??(?p??q))??(p?q)?(p?q) ?(p ?q)??(p?q)（4）(p?q)?(p?r)?p?(q?r)。
证明：(p?q)?(p?r)?(?p?q)?(?p?r)??p?(q?r)?p?(q?r)3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
乙说：是丁。
丙说：是乙。
丁说：不是我。
已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？解：设a：甲成绩最好。
b：乙成绩最好。
离散数学 第11章 特殊图
置可用二进制信号表示。试问如何选取鼓轮 16 个部分的材
料才能使鼓轮每转过一个部分得到一个不同的二进制信号， 即每转一周，能得到0000到1111的16个数。
2015/12/25 110-23
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
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3、计算机鼓轮设计
假设一个旋转鼓的表面被等 分为 24 个部分，如图所示，其中 每一部分分别由导体或绝缘体构 成，图中阴影部分表示导体，空 白部分表示绝缘体，导体部分给 出信号 1 ，绝缘体部分给出信号 0 。 根据鼓轮转动时所处的位置， 四个触头 A 、B 、C 、 D 将获得一定的信息。因此，鼓轮的位
以上定义既适合无向图，又适合有向图。
2015/12/25
110-6
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欧拉通路和欧拉回路的特征
欧拉通路是经过图中所有边的通路中长度最短 的通路，即为通过图中所有边的简单通路；
欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最短 的回路，即为通过图中所有边的简单回路。 如果仅用边来描述，欧拉通路和欧拉回路就是 图中所有边的一种全排列。
P12 = v1e1v2e2v3e3v4e4v5e5v6e6v7e7v8e9v2e10v4e11v6e12v8e8v1
110-18
2015/12/25
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
11.2.3 欧拉图的难点
1. 仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图；
2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路图的判定非 常简单，只需要数一下图中结点的度数即可； 3. 使用 Fleury 算法求欧拉通路 ( 回路 ) 时，每次走 一条边，在可能的情况下，不走桥。
离散数学特殊图的应用
9
平面图
• 【例1】？
平面图应用
例4 有
11
7
二分图
• 【概念】匹配、最大匹配、完全匹配、匈牙利算法、霍尔 定理（婚姻定理）
二分图应用
例4 六名间谍a,b,c,d,e,f被捕获，他们分别懂得语言是{汉 语、法语、日语}，{德语、日语、俄语}，{英语、法语}， {汉语、西班牙语}，{英语、德语}，{俄语、西班牙语}， 用几个房间监禁他们才能使同一房间的人不能互相直接 对话。
Euler图、Hamilton图应用
• 【例2】 下图是一个生活小区的道路示意图。道路清扫 工人能否从小区大门出发清扫所有的道路一遍后从该大 门离开？能否从大门1出发清扫所有的道路一遍后从小区 大门2离开？
小区大门2
小区大门1
图a
图b
解：图b中的非欧拉图的欧拉路径告诉我们：第一个答 3 案是否定的，第二个答案是肯定的。
20 50
30
45 48 32
6
40
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Euler图、Hamilton图应用
• 【例3】 货郎担问题： • 理论上这个问题很简单，只要计算所有不同的12条H回路的边的权 值和，求出其和最小的一条H回路，问题便得以解决。可是，当城镇 的数目比较大（例如100个）的时候，需要计算边的权值和H回路的 数量就非常的大（(100-1)!/2=99!/2条H回路），以至于没有计算的 可能。 • 这就迫使人们去寻找新的计算完全图中的最小H回路的方法。 • 在计算机算法理论中，与货郎担问题类似的问题有许多，被统称为 “难处理问题”或“NP完全问题”。对这类问题的研究，以及对高 效近似算法的探讨，是许多年来计算机科学界的热门话题。 • 有兴趣的同学可以参考文献: Michael Sipser. 计算理论导引, 张立昂 等译, 北京：机械工业出版社, 2000
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
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10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
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实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
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群中元素的幂
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学概述
数理逻辑简介
前提
推理（规则）
结论
集合论(set theroy)概述
20世纪数学中最为深刻的活动, 是关于数学基础的探讨。这 不仅涉及到数学的本性, 也涉及到演绎数学的正确性。数学 中若干悖论的发现, 引发了数学史上的第三次危机, 这种悖论 在集合论中尤为突出。
集合论最初是一门研究数学基础的学科, 它从一个比“数” 更简单的概念----集合出发, 定义数及其运算, 进而发展到整 个数学领域, 在这方面它取得了极大的成功。
达） 软件工程—团队开发—时间和分工的优化（图论—网络、划
分） (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估（离散数学
的各分支）
目的和任务
由于离散数学的重要地位, 因此通过本课程的教学, 使计算机及应用专业的学生能够掌握数理逻辑、 集合论、近世代数与图论的基本概念、基本定理、 基本方法, 并且培养学生具有一定的抽象思维能力 和逻辑推理能力。同时为计算机及应用专业的其 它重要后续课程（如数据结构、操作系统、编译 原理等课程）奠定比较坚实的基础。
用数学方法来研究推理的规律称为数理逻辑。这里所指的数 学方法, 就是引进一套符号体系的方法, 在其中表达和研究推 理的规律。
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括:
证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算
图论
图论是离散数学的重要组成部分, 是近代应用数学的重要分支。
1736年是图论历史元年, 因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》, 所以 人们普遍认为欧拉是图论的创始人。
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（4）转到（2），直到所有顶点都着色为止 （2）标顶点vi (i=1,2,…,n)的颜色集Ci的第一种颜色ck
c2 v2 v3
v4
v1 c1
C1={c1}
v7
C2={c2}
C3={c2,c3}
C4={c1,c2,c3,c4}
v6
C5={c2,c3,c4,c5}
C6={c2,c3,c4,c5,c6}
2020/3/7
平面图的面着色
2020/3/7
面着色的定义
2020/3/7
面着色猜想
2020/3/7
面着色的性质
面着色可以转化为点着色来完成
【定理】地图G是k-面可色的，当且仅当它 的对偶图G*是k-可色图。 【定理】若图G是一个简单平面图，则该图 中至少存在一个度数小于或等于5的结点。
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
【解】（1）该问题可用如图所示二分图G的边着色方法 求解。一节课的时段对应边的一个着色组。由于G是二分 图，故边色数是G的最大度35，即最少总课时时段为35节 。故平均每天要安排7节课。 （2）若每天安排8节课，则由G的总边数240知需要 240/40=6间教室。
例题
2020/3/7
例题
【例】证明图（a）所示的图G不是平面图。
2020/3/7
平面图与着色问题
平面图的概念与性质 ☺ 平面图的对偶图 着色问题与算法
2020/3/7
计算机应用技术研究所
33
对偶图的概念
2020/3/7
例题
2020/3/7
对偶图的性质
2020/3/7
四色猜想：连通简单平面图的色数不超过4。
2020/3/7
结点着色算法
2020/3/7
例题
对下图顶点进行着色。
v1 v2
v7
v3
v4
v6
v5
例题
（1）对i=1,2,…,n,作Ci={c1,c2,…,ci}；
v1
v2 v3
v4
v7
v6 v5
C1={c1} C2={c1,c2} C3={c1,c2,c3} C4={c1,c2,c3,c4} C5={c1,c2,c3,c4,c5} C6={c1,c2,c3,c4,c5,c6} C7={c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7}
v5
C7={c2,c3,c4,c5,c6,c7}
（3）对顶点vi的所有邻接点vj( j>i)，作Cj= Cj-{ck}；
c2 v2 v3
v4
v1 c1
C1={c1}
C2={c2}
v7
C3={c23,}c3}
C4={c1,c2,c3,c4}
C5={c2,c3,c4,c5}
结点着色
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
点色数的性质
2020/3/7
布鲁克斯定理
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
边着色
2020/3/7
维津定理
2020/3/7
例题
2020/3/7
欧拉公式
2020/3/7
定理
2020/3/7
定理
2020/3/7
非平面图的判定
2020/3/7
例题
2020/3/7
定理
2020/3/7
例题
2020/3/7
定义
2020/3/7
例题
2020/3/7
定义
2020/3/7
库拉托夫斯基定理
2020/3/7
平面图与着色问题
2020/3/7
计算机应用技术研究所
4
平面图与着色问题
☺ 平面图的概念与性质 平面图的对偶图 着色问题与算法
2020/3/7
计算机应用技术研究所
5
应用实例
2020/3/7
交叉点与交叉边
2020/3/7
可平面图
2020/3/7
平面图的定义
2020/3/7
非平面图
2020/3/7
最大平面图
2020/3/7
面与边界思想
2020/3/7
面与边界的定义
2020/3/7
对面理解
2020/3/7
例题
2020/3/7
一点说明
2020/3/7
次数与边的关系
2020/3/7
欧拉公式
2020/3/7
欧拉公式
2020/3/7
离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
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第10章 特殊图模型与算法
(下)
2020/3/7
计算机应用技术研究所
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本章学习内容
3 平面图与着色问题 4 网络流图及其优化问题 5 特殊图模型的应用
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例题
Hale Waihona Puke （2）标顶点vi (i=1,2,…,n)的颜色集Ci的第一种颜色ck；
v2 v3
v4
v1 c1 v7
v6 v5
C1={c1} C2={c1,c2} C3={c1,c2,c3} C4={c1,c2,c3,c4} C5={c1,c2,c3,c4,c5} C6={c1,c2,c3,c4,c5,c6} C7={c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7}
对偶图的定理
2020/3/7
平面图与着色问题
平面图的概念与性质 平面图的对偶图 ☺着色问题与算法
2020/3/7
计算机应用技术研究所
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四色猜想
2020/3/7
应用实例
【解】可用一个无向图模型表示 上述问题，图的每个结点分别代 表一种食物，如果两种食物不能 放在一起，则在这两种食物之间 画一条无向边。
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应用实例
可通过对该图的结进行着色的方法实现对上述问题的求 解。具体地说，就是对图中每个结点分别涂上或者标注 一种颜色，并满足相邻的结点之间具有不同的颜色，将 相同颜色结点所代表的食物放在同一个隔间，则所需要 的最少颜色数目显然就是所求的冰箱隔间数目。 一种着色方案：
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（3）对顶点vi的所有邻接点vj( j>i)，作Cj= Cj-{ck}；
v2 v3
v4
v1 c1 v7
v6 v5
C1={c1}
CC22=={{cc12,c} 2} CC33=={{cc12,c, 2c,3c}3} C4={c1,c2,c3,c4}
CC55=={{cc12,,cc23,,cc34,,cc45,}c5} CC66=={{cc12,,cc23,,cc34,,cc45,,cc56,}c6} CC77=={{cc12,,cc23,,cc34,,cc45,,cc56,,cc67,}c7}