校车安排问题终极版

校车安排优化问题
【摘要】
本文针对学校内部普遍存在的校车安排问题，系统地探讨了如何安排校车能兼顾教职 工与运营方的双边利益问题。从实际出发，在基于一定合理简化假设的基础上，建立数学 模型，并充分利用 matlab 等数学软件简化计算，对相关问题进行了有针对性的求解。 对于问题一， 针对距离问题， 我们联系图论的相关思想， 构造距离矩阵， 并利用了 Floyd 算法的优越性，求出最短距离矩阵，继而借助 matlab 软件在此基础上找出最优划分方法， 确定了合理的站点位置，使得各区教师和工作人员到达固定乘车点距离最短，同时讨论并 具体给出了特殊情况下的站点位置： 当 n=2 时， 设立 18 和 31 区为站点， 最短距离和为 24192； 当 n=3 时，设立第 18，22 和 32 区为站点，最短距离和为 19691。 对于问题二，我们从实际出发，分析并以上述最短距离矩阵为基础建立了合理的满意 度函数，将看似难以处理的程度问题量化，同时考虑人数的影响，以人数百分比作权重， 构造出以最大平均满意度作为标准建立的数学模型，确定了合理的划分方法，同样依靠 matlab 软件简化计算，给出了特殊情况下的站点位置：当 n=2 时，设立第 19 和 32 区为站 点，最大平均满意度为 0.6426；当 n=3 时，设立第 15，21 和 32 区为站点，最大平均满意 度为 0.7024。 对于问题三，基于该问题的特殊性，我们首先分析并确定了车辆总数的取值情况，运 用穷举法的思想，利用 c++的优势，合理设置阈值，计算并给出了最大平均满意度按递减 排序的前 40 种方案及其对应的车辆数，同时用最大平均满意度与车辆百分比做商，将双 目标问题单目标化，综合考虑双边利益，确定了最优方案为设定第 15,22 和 32 区为站点， 最大平均满意度为 0.6957，需要 54 辆校车。 对于问题四，我们分别考虑设置不同数量站点所对应的最大平均满意度及其车辆数， 最后以模型数据为基础，从实际出发，在综合考虑运营成本及教职工满意度的前提下，提 出了几点建议合理优化校车安排问题。
i 1 50
15 49
程序见附录四(station=2)，求解得出： a=19 b=32 前往 19 区乘车点乘车的区有：1 2 3 4 5 6 7 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
8 9 10 11 12 14 28 44 46 47 48
39
前往 32 乘车点乘车的区有：13 40 41 42 43 45 50
，
，„，
，„，
,
其中
表示从顶点 到顶点 的路径经过的顶点序号不大于k的最短路径长度。
计算用的迭代公式： (i,j)=min( (i,j), (i,k)+ (k,j))
其中，k 表示迭代次数, i,j,k∈{1,2,3„,n} 得出i区到j区的最短距离矩阵 D= 当k=n时， 即是各项之间的最短距离。 ，
4.1.2 建立一般模型 假设 为50个区域，其中i=1,2,3，„，50，然后在50个乘车区域中任选n个区域作为乘 车点，记为 , ，则区域i到乘车点的最短距离为
=min {
},
设50个区域到乘车点的距离之和为B,则建立数学模型使得50个区到n个乘车点的最短距离 和为 min B= bi ，（i=1,2，„,50）
4
4.2.1 满意度函数的建立： 根据实际可知，该满意度函数可表示为随距离单调递减的函数，当距离为 0 时，函数 值为 1；当距离为最大时，函数值为 0；从心理学角度分析，人们的满意度不与距离成线 性关系，而是随着距离的增大，函数值变化率逐渐减小，设 度，可得满意度函数为 =
max{ d ij } d ij max{ d ij } d ij
13
14
36
37
4.1.4 n=3时的数学模型 当n=3时，同理可取任意三个乘车点a，b，e，使50个区域到三个乘车点的距离和最小， 设区域i到三个乘车点的距离为d ia ，d ib ，d ie ，则区域i到乘车点的最短距离为 b i = min{ d ia ，d ib ，d ie }，则 min B=
2、问题分析
问题一要求建立 n 个乘车点，使得各区教师和工作人员到最近乘车点距离和最小。根 据题目中表 1 给出的距离，运用 Floyd 算法求出任意两个区之间的最短距离（题目无标出 的表示不可直达） ，建立 50 50 阶矩阵将其表示出来。然后在 50 个区域中任取 n 个作为乘 车点，各区人员到最近乘车点乘车，建立模型算出使得距离和最小的 n 个乘车点。最后建 立 n 为 2 和 3 时的数学模型，分别得出对应的乘车点分布等问题。 问题二要求在考虑各区人员的满意度最大的前提下，建立 n 个乘车点。针对此问题， 可利用问题一得出的任意两区间最短距离矩阵，然后从 50 个区中任选 n 个区，建立满意 度函数，对每个区人员进行归一化处理，以平均满意度最大为目标函数建立数学模型，最 后得出 n 为 2 和 3 时的乘车点分布情况以及满意度大小等。 问题三中设定乘车站点为三个，并且每辆车最大载客量为 47 人，为求尽量使满意度 较大的前提下，至少需要的车辆数。欲解决此问题，首先应明确人员总数，通过表二可计 算总数为 2502，至少需要 2502/47=53.234，即 54 辆车，而最大车辆数为 56 辆，故车辆 值在[54,56]间变化，所以应在满意度与车辆数间寻求最优解。三个站点的排布有 种不
b ，（i=1,2，„,50）
i 1 i
50
matlab程序见附录二（station=3），求得a，b，e使得B最小，得 a=18 b=22 e=32 前往 18区乘车点乘车的区有： 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 24 25 26 27 28 到18区的总距离为9016 前往22区乘车点乘车的区有：1 2 21 22 23 43 44 45 46 47 48 49 到22区的总距离为4590 前往32区乘车点乘车的区有：13 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 50 到32区的总距离为6085 所以在18,22和32去设置乘车点，最短距离和为19691. 4.2 问题二 在考虑各区乘车人数的前提下，为使各区教师和工作人员满意度最大，首先需要定义 一个满意度函数，然后根据各区人数的不同，做归一化处理后产生不同权重，依此建立最 大平均满意度模型，任取 n 个乘车点得出一般模型，并计算出乘车点数分别为 2 和 3 的乘 车点设定结果。
1
，将双目标规划转化为单目标问
3、模型假设及符号说明
3.1 模型假设 假设 1 假设 2 假设 3 假设 4 假设 5 假设 6 3.2 符号说明 A= D= M= 各点之间距离的邻接矩阵 任意两点间的最小距离 满意度矩阵 第 i 个区域 第 i 个区域到乘车点的最短距离 B Ci 各区域到乘车点的距离总和 第 i 个区域到乘车点的最大满意度 第 i 个区域的人数 P 各区域的总人数 第 i 个区域人数占总人数的比例 Z Hi Ni 所有人员的平均满意度 前往第 i 个乘车点的人数 第 i 个乘车点所需的车辆数 将各区视为点的集合,不考虑区的大小问题； 各教师和工作人员在相同条件下满意度相同； 每天乘坐校车的人员人数稳定,不考虑特殊现象； 各教师和工作人员根据经验选择最佳前往乘车点路径,无绕远现象发生,且 题目中无距离说明的两区为不可直接到达线路，但可经过其他区到达； 校车只在起始站点和终点站停靠,无人员中途上下车情况； 每个校车从 50 个区域到新校区的成本相同。
表示第 i 区到第 j 区的满意
其中，
表示第 i 区到第 j 区的最短距离，max{
}表示最短距离矩阵 D 中的最大值。
满意度函数如下图 1 所示
图 1 满意度函数曲线 由此设定满意度矩阵为： M= {m ij } 5050 ,（结果见附录三） 4.2.2 归一化及权重处理 由表 2 可知各区人员分布，设第 i 区人数为 S i ， （i=1,2，…,50）,然后将各区人 数求和得总人数 P= S i
i 1 50
4.1.3 n=2时的数学模型 现就n=2进行讨论，首先从50个区域中任意选取 乘车点的距离为 , , 作为乘车点，设区域i到两个
，则区域i到乘车点的最短距离为 =min {
3
,
},
50个区域到乘车点的距离之和为B,则 min B= bi建立与求解
4.1 问题一 通过问题的分析和数据的整理，可知这是一个图论模型中的最短路问题，应计算出各 区域的邻接矩阵 A=
2
其中，
表示连接第i区到第j区弧的长度，如果i区与j区无弧连接，则
=∞
4.1.1 Floyd算法 由邻接矩阵，可根据Floyd算法求出各区域之间的最短距离的矩阵D=
的基本思想是：递推产生一个矩阵序列
编写matlab程序程序见附录二(station=2），求出a,b使B最小，求得 a=18 b=31 前往18区乘车点乘车的区有：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 20 21 24 25 26 27 47 到18区的总距离为11500 前往31 乘车点乘车的区有：22 23 28 29 30 31 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 49 50 到31区的总距离为12692 最短距离和为24192 所以在18和31区设置乘车点，最短距离和为24192.
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
最大平均满意度为 0.6426 即在第 19 和 32 区设立乘车点，最大平均满意度为 0.6426. 4.2.5 n=3 时数学模型 从 50 个区域中任取 a，b，e 三个区设立乘车点，则第 i 个区域到乘车点的最大满意 度为 最大平均满意度可表示为 max Z= Wi Ci