高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
,
令X
max
1,
1
,则当
x
X 时,
有
f (x) A x 1 2 x 1 ,
2 2x2 x 1 2(x2 1) x
即
lim x2 x 1 1 .
x 2x2 x 1 2
例10 求 lim arctan x. x
解 因 lim arctan x 1 π,
x
x0 .
左、右极限
前面讨论的是函数f x在某一点x0的极限, 它反映的
是当 x在该点两侧趋近于x0 时, 函数有一个确定的变化
趋势, 但某种情况下, 函数在
y
两侧的趋势是不同的, 这就需 要分别加以讨论. 考虑函数:
y x 1
1
x 1 x 0,
f
(x)
0
x 0,
y x 1 O 1
x
⑵ limsin x 0. x0
证 ⑴因 f (x) A 2x 15 2x 4 2 x 2 所以 0, 取 , 当 0 x 2 , 有
2
f (x) A 2x 1 5 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x ,
将上面的问题一般化, 就得到函 y
数在有限点处极限的定义.
2
2
2
f (x) x2 1 x 1
O 1 11 x
定义 设函数f x 在点x0的某个去心邻域中有定义,
如果存在常数 A,使得对于任意给定的正数 , 总存在
正数 , 对于满足0 x x0 的一切 x 都有 f (x) A ,
那么常数 A就称作函数 f x 当x x0 时的极限, 记为
lim f (x) A.
或
x x0
f (x) A x x0 .
函数 f x 在点 x0处的极限的几何意义.
曲线均在矩形区域中
y
A A
A
y f (x)
o x0 x0 x0
x
注: 函数f x在点 x0 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 f x0 为多少毫无关系, 它所反映的是 f x 在
A, 使得对于任意给定的正数 , 总存在正数 X, 只要 x
满足 x X , 对应的函数值 f x都满足
f (x) A ,
那么常数 A 就叫做函数 f x 当 x 时的极限, 记为
lim f (x) A.
x
函数在无穷远处极限的几何意义
A y
y f x
A
A
X
O
X
x
从图中可以看出, 对于任意给定的正数 , 存在正数
为能解出不等式M x 2 ，要对 x进行适当的控制, 为
此限定x的变化范围是1 x 3, 此时有 x 2 5,
所以任取
0,
取
min{1, },
5
当0
x2
,
有
f (x) A x2 4 x 2 x 2 5 x 2 ,
即
lim x2 4.
x2
例4 证明 lim x2 2 3 . x1 x 1 2
x0 的某个去心邻域, 使得在该邻域中有: f x 0.
证 设 lim f (x) A , 由定义, 对 A / 2,存在 0,
o xx0
当 x U (x0, ) 时, 有
y
f (x) A A 0. 3A/ 2
y f x
2
A
右图说明保号性的 A/ 2
几何意义.
O x0 x0 x0
x
推论 在x0的某个去心领域中，有 f x 0, 且
则 A 0.
lim f (x) A,
x x0
值得注意的是, 在上面的问题中, 若将不等式改为严 格不等式, 则结论不真.
例
f
(x)
x
x 0, f x 0, 但 lim f (x) 0.
1 x 0.
x0
定理3（函数极限的归并性）设 lim f (x) 存在, 又设
容易验证:
定理 极限 lim f (x) 存在的充分必要条件是 f x在点 xx0
x0 处的左右极限存在并且相等.
例6 符号函数 y sgn x :
1 x 0,
y
sgn
x
0
x 0,
1 x 0.
则 lim f (x) lim 1 1,
x 0
x 0
lim f (x) lim (1) 1,
欲使 sin x ,即 sin x ,
所以 0, 不妨取0 1, 此时令 arcsin , 则
当 0 x 时有
f (x) A sin x 0 ,
因而
limsin x 0.
x0
例2 证明 lim 1 4x2 2. x1 2x 1
2
证因
1 4x2
(2x 1)2
xn
x0,
故存在
N,当n
N时,
有xn U (x0
即
lim
n
f
(xn )
A
lim
xx0
f
(x).
此定理的一个实际意义是: 对函数, 如果能够找到两
个不同的子列, 使函数数列收敛到两个不同的值, 则说
明函数在这一点无极限.
例11 证明函数 f (x) sin π 在 x 0 处极限不存在.
lim
.
x 2x2 x 1 2
证 任取 0, 因
f (x) A
x2 x 1 2x2 x 1
1 2
2x2
2x 2 2x2 x 1 2 2x2 x 1
x 1 2(2x2 x 1)
2
x 1 2x2 x 1
,
当 x 1时, 则有不等式
x 1
f (x) A 2 2x2 x 1
x
x
x
例8 证明 lim x2 1 x2 1 0. x
证因
f (x) A x2 1 x2 1
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以
0, 取X
max
2
,1,
当x
X 时有
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例9
x2 x 1 1
该点附近的变化趋势.
例 设函数
x2 1
f
(
x)
x
1
x 1,
0
x 1,
则
lim f x 2,
x1
y
x2 1 f (x)
x 1
2
O 1 11 x
但 f 1 0. 事实上, 极限与 f 1 的取值毫无关系.
y
x2 1 f (x)
x 1
2
O 1 11 x
注 函数 f x在点 x0的极限的定义说明了如何去证明 函数f x 在点 x0 的极限为 A 的方法: 对于 0, 考虑
函数的极限
本节要点
一、函数极限的定义 二、函数极限的性质
一、函数极限的定义
我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1
从图形中可以看出: 尽管函数在
x 1 x 0.
该函数在点 x 0两侧的变化趋势是不同的: 当x 在0的
右侧趋近于0时, f x 1 ；而当 x在0的左侧趋近于0 时, f x 1, 如此引出了左右极限的概念.
y
y x 1
1
y x 1 O 1
x
定义 设函数 f x在 x0的某个左(右)邻域内有定义, 如
果存在常数 A, 使得对于任意给定的正数 , 总存在正数
的极限为 A, 则存在点 x0的一个去心邻域U (x0, ), 当
点 x0 在该邻域中, 对应
y
的函数图形在某一个带 A1 形区域中, 而该邻域外 A
y f x
高等数学 第五版 上册
14
2. 逆映射与复合映射 g : Rf → X
g f的逆映射, f 映射 称为 的逆映射,记作 ,
定义域: 定义域: Df = Rf
1
1
值域: 值域: Rf = X
1
15
g : X → Y1, f : Y2 → Z ,
Y 其中 1 Y2.
f g: X →Z
16
三 函数
1. 函数的概念
例
圆内接正多边形的周长
, 例如 2x 1, x > 0 f ( x) = 2 x 1, x ≤ 0
y = x2 1
y = 2x 1
24
例 符号函数
1, x > 0 y = sgn( x) = 0, x = 0 1, x < 0
定义域(∞,+∞).
值域{1,0,1}. , ,
y
1
°
x
o
° –1
25
例 取整函数(阶梯曲线) y = [x] 为不超过 x 的最大 整数部分. 如图:
{x a < x < b} 称为开区间 记作(a, b) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作[a, b] o a
b
x
10
{x a ≤ x < b} {x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间
记作[a, b)
称为半开区间, 称为半开区间 记作(a, b] 以上都是有限区间,以下是无限区间: 以上都是有限区间,以下是无限区间:
反之, 反之, 如果
即 亦即
因此 所以
x A 或 xB x A∩ B
x ∈( A∩ B)C
高数同济七版电子课本上册
反常积分
反常积分的概念
反常积分是对于无穷区间上的积分，它分为两类：无穷限的反常积 分和瑕点的反常积分。
反常积分的性质
反常积分具有一些特殊的性质，例如：无穷限的反常积分的结果可 能为无穷大，瑕点的反常积分的结果可能为无穷小。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，计算方法有所不同，常用的方法包括利 用极限理论、幂级数展开等。
法则。
基本公式
02 基本公式包括指数函数的导数、幂函数的导数、对数
函数的导数和三角函数的导数等。
常见函数的导数
03
常见函数的导数包括一次函数的导数、二次函数的导
数、反比例函数的导数和幂函数的导数等。
微分及其应用
01
02
03
微分的概念
微分是函数在某一点处的 近似值，即函数在该点的 切线截距。
微分的几何意义
柯西中值定理
进一步揭示了函数在某点处的导数与该点附近函数的平均值之间的关系，是微分学中的重要定理之一。
洛必达法则
洛必达法则基本内容
在一定条件下，当一个函数的极限为0时，可以 应用洛必达法则求其导数的极限。
洛必达法则的应用
适用于求一些复杂函数的极限，简化计算过程 。
洛必达法则的条件
只有在满足一定条件下才能使用洛必达法则，否则可能导致错误的结果。
反常积分的应用
• 总结词：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类问 题。反常积分的应用包括物理、工程、经济等领域。
• 详细描述：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类 问题。反常积分有两种类型：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。 无穷区间上的反常积分可以用来求解函数在无穷区间上的积分，而无界函数的 反常积分可以用来求解函数在有限区间上的瑕积分。反常积分的应用非常广泛 ，包括物理、工程、经济等领域。例如，在物理学中，反常积分可以用来求解 量子力学中的波函数问题、电动力学中的电磁场问题等；在工程学中，反常积 分可以用来求解流体动力学中的问题、热传导问题等；在经济领域，反常积分 可以用来求解贴现问题、投资组合问题等。
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
(完整版)函数极限习题与解析
同济大学第六版高等数学)、填空题设 f(x) 2 x lglg x ，其定义域为 。
设 f(x) ln(x 1) ，其定义域为 。
设 f(x) arcsin( x 3) ，其定义域为 。
设 f (x)的定义域是 [0 ， 1] ，则 f(sin x)的定义域为设 y f ( x)的定义域是 [0，2] ，则 y f (x 2 )的定义域为x 2x k lim 4 ，则 k= x 3x 3x函数 y 有间断点 ，其中 为其可去间断点。
sinxsin2x若当 x 0时 ， f(x) ，且 f (x)在x 0处连续 ，则 f (0) x、函数 f(x)在 x 0处连续是 f(x)在 x 0连续的条件。
(x 3 1)(x 2 3x 2)53 2x 5 5x 3lim (1 2)kn e3，则 k= nx 2 12的间断点是x 3x 2、当 x 时， 1 是比 x 3 x 1 的无穷小。
x1、 2、 3、 4、5、6、 7、8、 9、1011121314l n im(n 21nn22n 2n n) nn、函数 y15 、当 x 0时，无穷小 1 1 x 与 x 相比较是 无穷小。
116、函数 y e x 在 x=0 处是第 类间断点。
x0若 lim f (x) 存在 ，则 a=(1 ax) x x 0x sin x20、曲线 y2 2 水平渐近线方程是 x 21、 f (x)4 xx 1 22 1的连续区间为a=、计算题1、求下列函数定义域2 ) y sin x ；23) y e x ；2、函数 f (x) 和 g(x) 是否相同？为什么？17 、设 y3x 1 x1，则 x=1 为 y 的 间断点。
18 、已知 f3， 则当 a 为3时，函数 f (x) asinxsin3x 在 x 33处连续。
sin x19、设 f (x) 2xxa,x22 、设 f (x)cosx , x00在 x 0连续 ，则常数11 x23) f (x) 1 g(x) sec2tan 2 x；3、判定函数的奇偶性221) y x2 (1 x2) ；2)2y 3x23x；3) y x(x 1)( x 1)4、求由所给函数构成的复合函数u2 sin v x2u,sin x 5、计算下列极限1)1l n im (1 12limn12 3 (n 1) ；2；n3) lim x2 5x2x4) l x im1x 2 2x 1x2 1；5) lim(1x 1)(2x12)x6) l x im2x32x 2；(x 2) 2 ；7) lim x 2x01sinx8)x21lxim1 3 x 1 x9) lim x( x2x1 x)6、计算下列极限sin wx 1) limx 0xsin 2 x lim ；x 0 sin 5 x3) lim xcot xx04) l x im(1x x)x；x 1 x 1(5) lim ( )x 1 ；xx 17、比较无穷小的阶1 6)lim (1 x)x；x0(1) x0时 ， 2x x 2与 x 2 x 3 4 ；12(2) x 1时 ， 1 x 与 (1 x 2) ；8、利用等价无穷小性质求极限2) lim sin(x m ) (n ,m 是正整数) ；x 0(sin x)m9、讨论函数的连续性 10、利用函数的连续性求极限B )1、设 f(x) 的定义域是 [0 ，1] ，求下列函数定义域4)lim (11)2xx1) lim ln(2cos2x)x62)lim ( x 2x xx 2x ) ；3)lim lnsin x； x 0x5)设f (x) lim(1nx n )nn,求 lim t1f(t1 11)6) lim xln( x 1) xx 1 11 、设函数 f(x) a x0 x0 应当怎样选择 a ，使得 f (x)成为在 ( ) 内的连续函数。
高数同济7版教案第一章-函数与极限
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：____ ___061041210______________总学时／周学时：51/3开课时间： 2015年9 月16 日第 3周至第18周授课年级、专业、班级：____制药本152班使用教材：__ 高等数学_同济大学第7版____教研室： _ _数学与应用数学教研室_________授课教师：____________ ___________________ 一、课程教学计划表二、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1．理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形。
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
（二）重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
（三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节 映射与函数一、映射 1. 映射概念定义4.设X 、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f ,使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作f : X →Y .其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =,元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X =。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
WORD 格式可编辑版
...
第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
WORD 格式可编辑版
...
公式。 常用公式( 前8个)
WORD 格式可编辑版
...
五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
WORD 格式可编辑版
...
1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
同济大学 高数上册知识点
2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.
f
(x)
高等数学（上）知识点
f (x0 ) f (x0 )
3、 无穷小（大）量
1） 定义：若 lim 0 则称为无穷小量；若 lim 则称为无穷大量.
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小
f (x) f (x0 ) x x0
(1
函数 f (x) 在 x0 点可导 f(x0 ) f(x0 )
2、 几何意义： f (x0 ) 为曲线 y f (x) 在点 x0 , f (x0 )处的切线的斜率.
3、 可导与连续的关系：
4、 求导的方法
1） 导数定义；
e) (1 x) 1 ~ x
二、 导数与微分
（一）导数
1、
定义：
左导数：
右导数：
f
(x0 )
f ( x0
f(x0 )
lim
x x0
)
（
高等数学（上）知识点
loga
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
xn
a
0,
lim f (x) A 0, 0, x, 使
x x0
N ,
n
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续
特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为 ）中进行，集合 是 的子集，此时称 为 的余集（或补集），记作 或 .
3、设 是两个非空的集合，则由有序数对 组成的集合
称为 与 的直积.
4、设 和 都是实数，且 ，数集 称为开区间，记作 ，即
.
和 称为开区 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， .
数集 称为闭区间，记作 ，即
.
和 也称为闭区间 的端点，且 ， .
5、邻域
设 与 为两个实数，且 ，数集 称为点 的 邻域，记作 ，即
，
其中 称作 的中心， 称作 的半径.
6、基本初等函数
中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教学基本指标
教学课题
第一章第一节集合与函数
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式
教学难点
分段函数图形
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
极限的性质
教学难点
用定义证明极限
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》