第13章介质中的静电场
大学物理第13章_真空中的静电场(场强)
dl
则
q dq dl 2R
1 dq 0 dE r 2 40 r
O
x
dE
dE
dE x x
由对称性有
R
E dE x dE cosi 1 q cos l dl i 2 40 2R r
r
P
cos x r r x R
实验规律 场的 性质 场与物质的相 互作用
静电场：相对于观察者静
止的电荷所产生的电场
§1-1电荷.库仑定律
一.两种电荷 1.自然界只存在两种 电荷，同种电荷相排 斥，异种电荷相吸引
2.美国物理学家富兰克林首先称其为正 电荷和负电荷
3.带电的物体叫带电体 4.质子和电子是自然界存在的最小正、负电 荷，其数值相等，常用+e和-e表示
1986年 e 的推荐值为
e 1.60217733 10
C(库仑)为电量的单位
19
C
二.电荷量子化 1.实验表明:任何带电体或其它微观粒 子所带的电量都是 e 的整数倍
----物体所带电荷量量值不连续
2.电荷量子化：电荷量不连续的性质
三.电荷守恒定律 常见的两种起电方式： 摩擦起电 摩擦起电的本质：电子从一个 物体转移到另一个物体
定义：电场强度
F E q0
单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m) 三.场强叠加原理 设空间有点电荷q1、q2 、q3 … qn
P点处的试探电荷 q0 所受电场力为
n F F1 F2 Fn Fi
i 1
F F1 F2 Fn P点的场强为 E q0 q0 q0 q0
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
第十三章(2)电介质
斜圆柱体元内的电偶极矩为
pi
P dl dS cosθ
i
介质的极化使两底面产生极
化电荷 dS
因此斜柱体元又可看成一个
电偶极子
pi
σ dSdl
i
所以
pi
dl dS
c osθ P
i
P dl dS cosθ σ dSdl
五、闭合曲面内的极化电荷
在已极化的介质内任意作一闭合面S（如图所示）
S 将把位于 S 附近的电介质分子分为两部分: 一部分在 S 内，一部分在 S 外。 电偶极矩穿过S 的分子对S内的极化电荷有贡献。
S
q0
q' q0
设在介质内闭合曲面
S附近极化强度矢量
如图示。
S
取一宏观上足够小
、微观上足够大的 斜圆柱体元。
r R sin θ x R cos θ
知该带电圆环在球心的场强为
－＋
－R ＋
－ －P
－ －
θ＋＋
o R＋s＋in
z
－ ＋R d
en
P
dEz
σ(2πR sin θRdθ) 4πε0
R cosθ [(R cosθ)2 (R sin θ)2 ]3/2
知该带电圆环在球心的场强为
pi
0
有极分子在外场中同样有位i 移极化，但是取向极化
效应要比位移极化效应更强。
有极分子的极化
电介质的极化： ①位移极化 位移极化
主要是电子发生位移
E0
无极分子只有位移极化，感生电矩的方向沿外场方向。 ②取向极化
第13章电介质
第十三章 电介质 一、 选择题 1、关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 为零．(B) 高斯面的D 通量仅与面内自由电荷有关． (C) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷．(D) 以上说法都不正确． ［ B ］2、关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一个是正确的(A) 起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断．(B) 任何两条电位移线互相平行． (C) 起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交．(D) 电位移线只出现在有电介质的空间． ［ C ］3、一导体球外充满相对介电常量为r 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度为(A) 0 E ． (B) 0 r E ．(C) r E ． (D) (0 r-0)E ． ［ B ］4、在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强E 与空气中的场强0E 相比较，应有(A) E = E 0，两者方向相同． (B) E > E 0，两者方向相同．(C) E < E 0，两者方向相同． (D) E < E 0，两者方向相反． ［ C ］5、设有一个带正电的导体球壳．当球壳内充满电介质、球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；而球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2，U 2表示，则两种情况下壳外同一点处的场强大小和电势大小的关系为(A) E 1 = E 2，U 1 = U 2． (B) E 1 = E 2，U 1 > U 2．(C) E 1 > E 2，U 1 > U 2． (D) E 1 < E 2，U 1 < U 2． ［ A ］6、在一点电荷q 产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面S ，则对此球形闭合面：(A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强． (B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强． (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立．(D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立．［ B ］E E 0q S7、一平行板电容器中充满相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化电荷面密度为±′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：(A)0εσ'． (B) rεεσ0'． (C) 02εσ'． (D) r εσ'． ［ A ］ 8、一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ，电位移为0D ，而当两极板间充满相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质时，电场强度为E ，电位移为D ，则 (A) r E E ε/0 =，0D D =． (B) 0E E =，0D D r ε=．(C) r E E ε/0 =，r D D ε/0 =． (D) 0E E =，0D D=． ［ B ］ 9、在静电场中，作闭合曲面S ，若有0d =⎰⋅SS D (式中D 为电位移矢量)，则S 面内必定(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷．(B) 没有自由电荷．(C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零．(D) 自由电荷的代数和为零． ［ D ］10、一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图．当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m 、带电荷为+q 的质点，在极板间的空气区域中处于平衡．此后，若把电介质抽去 ，则该质点 (A) 向下运动． (B) 向上运动． (C) 保持不动． (D) 是否运动不能确定．［ B ］11、C 1和C 2两空气电容器串联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C 2中插入一电介质板，则(A) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷增加． (B) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增加． (C) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷减少．(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷减少． ［ A ］12、C 1和C 2两空气电容器并联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C 1中插入一电介质板，如图所示, 则 (A) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷减少．(B) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增加． (C) C 1极板上电荷增加，C 2极板上电荷不变．(D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷不变． ［ C ］+q m+QC 1C 2C 1C 213、C 1和C 2两空气电容器，把它们串联成一电容器组．若在C 1中插入一电介质板，则(A) C 1的电容增大，电容器组总电容减小． (B) C 1的电容增大，电容器组总电容增大． (C) C 1的电容减小，电容器组总电容减小．(D) C 1的电容减小，电容器组总电容增大． ［ B ］14、C 1和C 2两空气电容器并联起来接上电源充电．然后将电源断开，再把一电介质板插入C 1中，如图所示, 则 (A) C 1和C 2极板上电荷都不变．(B) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷不变．(C) C 1极板上电荷增大，C 2极板上电荷减少． (D) C 1极板上电荷减少，C 2极板上电荷增大． ［ C ］15、如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板，由于该电介质板的插入和它在两极板间的位置不同，对电容器电容的影响为：(A) 使电容减小，但与介质板相对极板的位置无关．(B) 使电容减小，且与介质板相对极板的位置有关．(C) 使电容增大，但与介质板相对极板的位置无关．(D) 使电容增大，且与介质板相对极板的位置有关． ［ C ］16、如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的金属板，则由于金属板的插入及其相对极板所放位置的不同，对电容器电容的影响为：(A) 使电容减小，但与金属板相对极板的位置无关．(B) 使电容减小，且与金属板相对极板的位置有关．(C) 使电容增大，但与金属板相对极板的位置无关．(D) 使电容增大，且与金属板相对极板的位置有关． ［ C ］17、如果某带电体其电荷分布的体密度增大为原来的2倍，则其电场的能量变为原来的(A) 2倍． (B) 1/2倍．(C) 4倍． (D) 1/4倍． ［ C ］18、如图所示, 一球形导体，带有电荷q ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将(A) 增大． (B) 减小． (C) 不变． (D) 如何变化无法确定．［ B ］12C 1C 2q19、一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E 、电容C 、电压U 、电场能量W 四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为(A) E ↑，C ↑，U ↑，W ↑．(B) E ↓，C ↑，U ↓，W ↓．(C) E ↓，C ↑，U ↑，W ↓．(D) E ↑，C ↓，U ↓，W ↑． ［ B ］20、一平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则极板上的电荷Q 、电场强度的大小E 和电场能量W 将发生如下变化(A) Q 增大，E 增大，W 增大．(B) Q 减小，E 减小，W 减小．(C) Q 增大，E 减小，W 增大．(D) Q 增大，E 增大，W 减小． ［ B ］21、真空中有“孤立的”均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电荷都相等．则它们的静电能之间的关系是(A) 球体的静电能等于球面的静电能．(B) 球体的静电能大于球面的静电能．(C) 球体的静电能小于球面的静电能．(D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能． ［ B ］22、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示, 则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：(A) 储能减少，但与金属板相对极板的位置无关．(B) 储能减少，且与金属板相对极板的位置有关．(C) 储能增加，但与金属板相对极板的位置无关．(D) 储能增加，且与金属板相对极板的位置有关． ［ A ］23、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示．金属板的插入及其所处位置的不同，对电容器储存电能的影响为：(A) 储能减少，但与金属板相对极板的位置无关．(B) 储能减少，且与金属板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与金属板相对极板的位置无关．(D) 储能增加，且与金属板相对极板的位置有关． ［ C ］24、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示. 则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关．(B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关． (D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关．［ A ］25、将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，把一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示．介质板的插入及其所处位置的不同，对电容器储存电能的影响为：(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关．(C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关．(D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关． ［ C ］二、填空题1、分子的正负电荷中心重合的电介质叫做_______________ 电介质。
物理学教学ppt§7-4电介质中的静电场
1rΒιβλιοθήκη 01' P
2
2
P ( 1) E
2
r
02
例3 球形电容器的内外半径分别为R1、 R2，在两球 壳间充满相对介电常量为r的介质，求球形电容器 的电容.
解：设内球带电量为Q，在介质
内取半径为r的球面为高斯面S
R1 r R2
介质内的场强
两球壳间的电势差
U E dl
Q
R2 dr
l
4 π 0 r R1 r 2
三、电介质中的高斯定理
问题一：库仑定律与场强叠加原理成立吗？
问题二：静电场的性质变化吗？
极化电荷是静止电荷，库仑定律与场强叠加原理
仍然成立 ，电场是有源场、保守场。
E dl l(E0 E) dl 0
l
介质中静电场的场强与电势的关系仍然成立。
介质中的高斯定理
1
S
E
ds
0
(
q 0
S内
q')
§7-4 电介质中的静电场
一、介质内的电场强度
E 自由电荷产生的场
E E0 E
0 E束缚电荷产生的场
介质中的电场强度
E E0 E'
E0 0 / 0 E' '/0
d
-+
+ r
-+ + + E0
+ +-+ E'
+- +-+ E
-+- -+- -+- -+- -+- +-
P 0E P '
Q (1 1)
4 π 0 r R1 R2
均匀电介质
§13-2 极化强度和极化电荷
极化强度: P
pei
体积V中分子 电矩的矢量和
i
V
体积V
(13-1)
实验证明: P o (r 1)E (13-2)
式中r称为相对介电常数，由介质特性确定。
在电介质表面上取一面元
dS, 并在电介质中沿极化强度 方向取一如图13-3所示的斜柱 体。
sd50例题132一空气平行板电容器充电后与电源断开然后在两板间充满各向同性均匀电介质则电容c电压u电场强度的大小e电场能量w四个量各自与充介质前比较增大或减小的情况为51例题133一电容器的电容c1000v的电源对其充电然后断开电源再与另一个未充电的电容器c50f两端相连求
第12章
导体电学
C(Conodnudcutcotroreleelcetcrtirciictiyty)
CA
B
E1
q1 os
E2
q2 os
q1 q2 -q1 -q2
q2
os
d2
q1
os
d1
(2)
解式(1)、(2)得：
d1 d2
q1=2.0×10-7C, q2=1.0×10-7C。
图12-8
A板电势：
VA VA VB
q2 os
d2
2.3 103V
13
例题12-3 如图12-9所示，一内外半径分别为R1、 R2的金属球壳，带有电量q2, 球心有一点电荷q1,设无 穷远为电势零点，求金属球壳的电势。
边缘效应)
解 设四个表面上的面电荷密
度分别为1、2 、3和4 ,如图12-
7所示，则
(1+ 2)S=QA
大学物理A(上册)电磁学b介质静电场PPT课件
解：设±q
-q
+q R1
o·
R2
E
q
40r 2
（沿经向）
(R 1rR2)
R2 1 q
u1u2Edl R 140r2dr
q R2 R1
4 0 R1R2
C q 40R1R2
u1u2 R2R1
仅与R1、R2有关
.
11
例3、柱形电容器，半经R1、R2（金属柱面）, 长L>> R2 -R1,求电容。
弹性偶极子。
E0
pe
E0
.
15
2、有极分子电介质的极化
——转向极化(Orientation polarization)
无场：杂乱， 性。
P分不显0电
有场： 转向、有序。 刚性偶极子
E0
f2
pe
共 性：
E0
.
31
§5 电场的能量
一、带电系统的能量 (electrostatic energy)
1、带电Q 的带电体具有的能量
设想建立：不断把dq从∞移至该带电体上
移第一个dq时，不受力，外力不需作功。
Q
dqdq
u dqqdqdqdqdqdq
假如不⊥，则在表面 上有分量，电荷移动， 故不静电平衡。
E //
ds
A
En ●P
表面场强⊥表面，内部场强为零
sE dsEds10ds
E 0
E方向与 n 相同还是相反，取决于的正负， 考虑到方向
E
n o
0
.
3
2、导体内部处处没有未被抵消的净余电荷
（即e=0），电荷只分布在导体表面上。
导 体
湖南大学物理(2)第13章课后习题参考答案
第13章 静电场中的导体和电解质一、选择题1(D)，2(A)，3(C)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B)二、填空题(1). 4.55×105 C ；(2). σ (x ，y ，z )/ε0，与导体表面垂直朝外(σ > 0) 或 与导体表面垂直朝里(σ < 0). (3). εr ，1， εr ； (4). 1/εr ，1/εr ；(5). σ ，σ / ( ε 0ε r )； (6).Rq 04επ ；(7). P ，－P ，0； (8) (1- εr )σ / εr ； (9). 452； (10). εr ，εr三、计算题1.如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势．解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 adqU q 04επ=⎰-aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点 产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ=a q 04επ-b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εbQ04επ+2. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0= 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布 为 )2/(r E ελπ= 设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为⎰⎰⋅π==R rRr r r r E U d 2d ελ 0ln 2r Rελπ=电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有002E r ελπ=，000ln r R E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，即令0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U ，得 e R r /0=，显然有22d d r U < 0，故当 e R r /0= 时电容器可承受最高的电压 e RE U /0max = = 147 kV.3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R 1，外筒半径为R 2 (R 2＜2 R 1)，其间充有相对介电常量分别为εr 1和εr 2＝εr 1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ．若两种介质的击穿电场强度相同，问：(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？(2) 该电容器能承受多高的电压？解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋λ和－λ．两筒间电位移的大小为 D ＝λ / (2πr ) 在两层介质中的场强大小分别为E 1 = λ / (2πε0 εr 1r )， E 2 = λ / (2πε0 εr 2r ) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即E 1M = λ / (2πε0 εr 1R 1)， E 2M = λ / (2πε0 εr 2R ) 可得 E 1M / E 2M = εr 2R / (εr 1R 1) = R / (2R 1)已知 R 1＜2 R 1， 可见 E 1M ＜E 2M ，因此外层介质先击穿． (2) 当内筒上电量达到λM ，使E 2M ＝E M 时，即被击穿，λM = 2πε0 εr 2RE M 此时．两筒间电压(即最高电压)为：r r r r U R R r M RR r M d 2d 221201012⎰⎰+=επελεπελ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R R R R RE r r M r 22112ln 1ln 1εεε4. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d (d 远小于极板线度)，在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为t (<d )的金属片，如图所示. 试求：(1) 电容C 于多少？ (2) 金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？解：设极板上分别带电荷+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 )/(01S q E ε=金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε= 金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为2211d E d E U U B A +=- )(210d d S q+=ε)(0t d Sq -=ε 由此得 )/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响．O R 1R 2Rεr 2εr 1t S S S d Ad 1t d 2d5. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和-Q ．设 (b - a ) << a ，L >> b ，可以忽略边缘效应，求：(1) 圆柱形电容器的电容；(2) 电容器贮存的能量．解：由题给条件 (a a b <<-)和b L >>，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两 筒之间的场强为： )2/(0Lr Q E r εεπ= 两筒间的电势差 =π=⎰r drL QU bar εε02a b L Q r ln 20εεπ 电容器的电容 )]//[ln()2(/0a b L U Q C r εεπ== 电容器贮存的能量 221CU W =)/ln()]4/([02a b L Q r εεπ=6. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为ε1和ε2．当电容器带电荷±Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为ε1的介质板抽出，试求外力所作的功．解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为d S C 112ε=，d SC 222ε= 串联后的等效电容为 ()21212εεεε+=d SC带电荷±Q 时，电容器的电场能量为 ()S d Q C Q W 21212242εεεε+== 将ε1的介质板抽去后，电容器的能量为 ()S d Q W 202024εεεε+='外力作功等于电势能增加，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-'=∆=102114εεS d Q W W W A7. 如图所示，将两极板间距离为d 的平行板电容器垂直地插入到密度为ρ、相对介电常量为εr 的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U 不变，试求液体上升的高度h ．解：设极板宽度为L ，液体未上升时的电容为 C 0 = ε0HL / d 液体上升到h 高度时的电容为()d hL dL h H C rεεε00+-=()011C H h r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ε 在U 不变下，液体上升后极板上增加的电荷为()d hLU U C CU Q r /100-=-=∆εε电源作功 ()d hLU QU A r /120-==∆εε液体上升后增加的电能20212121U C CU W -=∆()d hLU r /12120-=εε 液体上升后增加的重力势能 2221gdh L W ρ=∆因 A = ∆W 1+∆W 2，可解出 ()2201gdU h r ρεε-=思考题1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为)2/(0εσ=E ，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为0/εσ=E ，为什么前者比后者小一半？参考解答：关键是题目中两个式中的σ不是一回事。
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例 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d，相对介电 常数为r，内部均匀分布体电荷密度为0的自由电荷。
求：介质板内、外的 解： 面对称 取坐标系如图
D E P D E P 平板
x0 处 E 0
d
以 x = 0 处的面为对称面 过场点作正柱形高斯面S 底面积设S0
0
r
S S0
0x
x
根据介质中的高斯定理有
d x 2
2DS 0 0 2 x S0
D 0 x
d
0
S
r
d x 2
2 DS 0 0 S0 d
D
0x
x
x
0
2
d
d x 2
D 0 x
d1
d2
r1 r2
o d1 d 2 U E1d1 E2 d1 o r1 r 2
oS
U
C
oS r1
d1
r2
d2
1 1 1 C C1 C2
例3、球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的 导体球壳构成，其间有两层均匀电介质，分界面的 半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。求：电容。 解：
+ - + -+
E
E0
E E0 E
q0源电荷 q’极化电荷
※以平行板电容器为例讨论空间总的静电场
P
E0
E'
e
(a)平行板电容 器自由电荷面 密度为0。
(b)(c)介质均匀 极化，表面出现 束缚电荷± 。
Pn e 0 E
E E0 E
•束缚电荷±
0 E0 0
E E0 E E0 e E 相对介电常数>1 E0 E0 E (1 e ) r 0 0 介电常数 0 r permittivity e r 1 0 0 1 e r
E e E 0
2 SD dS 4 r D q q D 2 4r D E
R2
R1 R3
r2
r1
o r
2
E1
q 4o r1r
E2
q 4o r 2 r
2
U
R2
qdr 4o r1r
2
R1
R3
qdr 4o r 2 r
2
R2
q r 2 R3 R2 R1 r1 R1 R3 R2 4r1 r 2 r 3 R1 R2 R3
l
E dl 0
§13-4 电位移矢量
一、闭合曲面内的极化电荷
在已极化的介质内任意作一闭合面S（如图所示） S 将把位于 S 附近的电介质分子分为两部分: 一部分在 S 内，一部分在 S 外。 电偶极矩穿过S 的分子对S内的极化电荷有贡献
S
q0
q'
q0
P en
P
pi
V
V
（C· -2 ） m
pi
每个分子的 电偶极矩
二、极化电荷
设在均匀电介质表面取一 斜圆柱体。体积为dV。
en
P
+ ds
pi ql dsl
dV ds l cos
-
l
pi ds l ˆ P l dV ds l cos cos
S
0
定义电位移矢量：
S
0 S 0 E P dS q
D oE P
D dS q
S
——介质中的高斯定理
讨论：
D dS q
S
（1）介质中的高斯定理表明：电位移矢量对任意封闭曲 面的通量与该封闭曲面内自由电荷有关。
一、电介质的微观机制和极化过程
两大类电介质分子结构：
(1)、有极分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时 不重合，分子存在固有电偶极矩。
O--q
H+
+ H2O
H+
=
+q
(2)、无极分子：分子的正、负电荷中心在无外场时 重合。不存在固有分子电偶极矩。 H+
H+ C-H+ H+
=
±
H4C
1、无极分子的位移极化
但是：电位移矢量本身与对空间所有的电荷分布有关， 包括自由电荷和束缚电荷。 （2）电位移矢量是描述介质中电场性质的辅助量，没有 具体的物理意义。电场强度是描述电场的基本物理量。
(3) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷
在没有自由电荷处不中断。
（4）介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理。
S
0 S 0 E P dS q
自由电荷
1 E dS q q' S 0 S内 S内
q' P dS
S内 S
1 1 E dS q P dS
P e 0 E
0 x D E 0r 0r
0 x P r 1 r
D 0 d E 0 2 0
d x 2
D
0
2
d
均匀场
P 0 r 1 E 0
例 一均匀介质球发生均匀极化，已知 P, R
求极化电荷在中心产生的电场。 解：
D
0 o o r o o
o
1 1 r
例2、一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和 d2的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极板 面积为S。求电容。 解： D o
o o E2 E1 o r 2 o r1
第13章 电介质
§13.1 电介质的极化
§13.2 极化强度和极化电荷 §13.3电介质中的静电场 §13.4 电位移矢量 §13.5 静电场的能量
§13-1 电介质的极化
电介质：Dielectric
电阻率很大，导 电能力很差的物质。 即绝缘体。
电介质的特点：
分子中的正负电荷 束缚的很紧，介质内部 几乎没有自由电荷。
P cos
dq dE 2 40 R
+ P + dE +
z
(2RSin )( Rd ) dEz dE cos cos 2 40 R P Ez 3 0
介质边界两侧的静电场
各向同性均匀介质内部 D, E , P 方向相同， D 或 E 之间的关系。 下面讨论极靠近边界两侧
e 0 E
※充满介质时电容器的电容
•电容器无介质 时，自由电荷Q0
E0 U 0
E E0
•电容器充满介质时， 电场强度变小
Q0 Q0 C r rC0 U U 0
介质中的场强 E 比真空中相应电荷分布的场强 E0 小， 而充满介质电容器的电容 C 比真空电容器的电容 C0 大。
(d)内部的场由自由 电荷和束缚电荷共 同产生
二、介质中的电极化率
实验证明：对于各向同性的介质，当电场不太强时，介 质内任意点的电极化强度与该点的总电场度成正比。
P e 0 E
—— e 称为介质的电极化率
当介质为各向同性的均匀介质时，极化率为一纯（常）数。
•自由电荷± 0
设界面没有自由电荷
一、场强与界面垂直
D dS D1S D2 S 0
1
D1 E1
D2
2
D1 D2
D
E E
1 1 2
E2
2
E
D线连续 E线连续
二、场强与界面斜交
1
2
D1 cos1 D2 cos 2（1）
2 P2
, P1 en1 P2 en 2 ( P1 P2 ) en1
§13-3 介质中的静电场
一、介质中的场强
有介质存在时，空间静电场的性 质与自由电荷（q0）以及电介质 的分布有关。
-
电介质的宏观电学性质可以 由极化电荷（q'）代替。 空间总的静电场为：
D 0 E P 0 E e 0 E 1 e 0 E 0 r E E
P e 0 E
三、介质中的高斯定理应用
主要是指自由电荷分布和电介质在空间分布具有 高度对称性的问题
计算电介质中场强的主要步骤： 1. 根据自由电荷分布和电介质空间分布对称性分析 电位移矢量空间分布特征；
P en P cos
en
介质外法线方向
不同介质交界面处的极化电荷分布。
P
1
ˆ n
en1
P en
, P1 en1 P2 en 2 ( P1 P2 ) en1
P1 en 2
D1
D1n D2n 1E1n 2 E2n
E2
2
1
1
2
E1 sin 1 E2 sin 2（2）
E1
E1t E2 t
D1t
1
D2 t
2
E1 E2 tg 2 tg tg （2）（1） tg1 2 1 1 2 D1 D2
2tg1 1tg 2
P0