重力异常正反演问题
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球体重力异常正演程序报告
球体重力异常正演程序报告球体重力异常正演是地球物理学中的一种重要方法，用于研究地下物质分布和地球内部结构。
本报告将重点介绍球体重力异常正演程序的原理、步骤和应用。
一、原理球体重力异常正演是基于牛顿引力定律和球体模型的数学计算方法。
根据牛顿引力定律，在球体表面上的任意一点，重力加速度可以表示为：g = G * (M / r^2)其中，g为重力加速度，G为引力常数，M为球体的质量，r为球心到该点的距离。
根据球体模型，球体的质量可以表示为：M = (4/3) * π * ρ * R^3其中，ρ为球体的密度，R为球体的半径。
将质量公式代入重力加速度公式，可得到球体表面上的重力加速度公式：g = (4/3) * G * π * ρ * R / r^2二、步骤球体重力异常正演程序的步骤如下：1. 确定观测点的位置和高度，以及球体模型的半径和密度。
2. 计算球体表面上的重力加速度，根据上述公式进行计算。
3. 根据观测点与球心的距离，计算球体表面上的重力加速度的投影值。
4. 重复步骤3，直到计算出所有观测点的重力加速度投影值。
5. 计算观测点的球体重力异常值，即观测点的重力加速度减去球体表面上的重力加速度投影值。
三、应用球体重力异常正演程序在地球物理勘探中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 地质勘探：通过球体重力异常正演，可以对地下的岩石密度分布进行推测，从而帮助地质勘探人员确定地质构造和找到潜在的矿产资源。
2. 油气勘探：油气藏通常与地下的密度异常有关，通过球体重力异常正演，可以对潜在的油气藏进行初步判断，指导油气勘探的方向和深度。
3. 地壳构造研究：地球内部的构造和演化与地下岩石的密度分布密切相关，通过球体重力异常正演，可以揭示地壳的变形和演化过程，为地壳构造研究提供重要的参考依据。
4. 火山和地震研究：火山和地震活动通常与地下的岩浆和断层有关，球体重力异常正演可以帮助科学家们理解火山和地震的发生机制，预测可能的灾害风险。
重力异常正演资料
• 若以水平圆柱体的轴 线作为Y轴，Z轴垂直 向下，在轴线上取一
单位长度， dm d
• 若水平圆柱体有限长， 则
密度均匀的水平圆柱体
l
g G
d
l [( x)2 ( y)2]3/2
(x
2Gh0l
h0 )(x2 l2
h02 )3/2
密度均匀的水平圆柱体
• 当 l 时，
g 2Gh0
密度均匀的球体Vg VFra bibliotekzG
v
( z)d dd [( x)2 ( y)2 ( z)2 ]3/2
密度均匀的球体
密度均匀的球体
Vg
GM
[x2
h0 y2
h02 ]3/2
密度均匀的球体
Vg
GMh0 ( x2 h02 )3/2
球体重力异常图
球体重力异常图
利用已知异常计算球体参数
重力异常正演
正问题与反问题
正问题也称为正演计算(Forward Calculation) 已知地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理 论计算来求得异常的分布和规律。
正问题与反问题
• 反问题也称为反演(Inversion) • 已知异常的分布特征和变化规律，求场源的赋存
状态（如产状、形状和剩余密度等）
正问题与反问题
正演计算是解反问题的基础，解反 问题（反演）是目的
正问题与反问题
简单规则几何形体的异常
• 为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀， 地面水平，所取剖面为中心剖面。
• 规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状 体……
密度均匀的球体(点质量)
• 自然界中，一些近于等轴状的地质体， 如矿巢、矿囊、岩株、穹窿构造等， 都可以近似当作球体来计算它们的重 力异常，特别当地质体的水平尺寸小 于它的埋藏深度时，效果更好。
单位长度， dm d
• 若水平圆柱体有限长， 则
密度均匀的水平圆柱体
l
g G
d
l [( x)2 ( y)2]3/2
(x
2Gh0l
h0 )(x2 l2
h02 )3/2
密度均匀的水平圆柱体
• 当 l 时，
g 2Gh0
密度均匀的球体Vg VFra bibliotekzG
v
( z)d dd [( x)2 ( y)2 ( z)2 ]3/2
密度均匀的球体
密度均匀的球体
Vg
GM
[x2
h0 y2
h02 ]3/2
密度均匀的球体
Vg
GMh0 ( x2 h02 )3/2
球体重力异常图
球体重力异常图
利用已知异常计算球体参数
重力异常正演
正问题与反问题
正问题也称为正演计算(Forward Calculation) 已知地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理 论计算来求得异常的分布和规律。
正问题与反问题
• 反问题也称为反演(Inversion) • 已知异常的分布特征和变化规律，求场源的赋存
状态（如产状、形状和剩余密度等）
正问题与反问题
正演计算是解反问题的基础，解反 问题（反演）是目的
正问题与反问题
简单规则几何形体的异常
• 为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀， 地面水平，所取剖面为中心剖面。
• 规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状 体……
密度均匀的球体(点质量)
• 自然界中，一些近于等轴状的地质体， 如矿巢、矿囊、岩株、穹窿构造等， 都可以近似当作球体来计算它们的重 力异常，特别当地质体的水平尺寸小 于它的埋藏深度时，效果更好。
第一章重力勘探：5重力异常的推断解释
导数等
（1）重力异常的解析延拓
向上延拓： 将观测平面上的实测异常值，换算到观测平
面以上某一高度上的异常——称为向上延拓。 目的：消弱局部异常，突出深部异常
向下延拓： 将观测平面上的实测异常值，换算到观测平
面以下场源以外的某个深度上——称为向下延拓。 目的：压制深部的区域异常，突出浅部物质
产生的局部异常
地质解释时包括数量 方面的内容。如对异 常源的大小、产状、 埋藏深度给出具体解 答
正演问题： 已知地质体的形状、产状、物性参数，求场
（异常）的分布；
反演问题： 已知场（异常）的分布特征及变化规律，求
场源的赋存状态（如产状、物性参数、埋深等）
须指出的是：
正演问题的解是唯一的，而反演问题的解， 则具有“多解性”
A•
（二）重力异常的划分
所谓异常的划分，就是从迭加场中将区域场与 局部异常分离开来。
1、图解法（异常曲线平滑法）
布格异常平面等值线图
局部异常平异常平面等值线图
2、圆周平均法（多边形法）
r
3、位场转换
什么是位场转换？ 根据观测平面上的实测异常值，利用数学
的方法求场的导数或任意高度场的分布。 通常有解析延拓（上延和下延）、求高次
一、重力异常的识别和划分 （一）重力异常的识别
1、区域异常与局部异常的概念 区域异常 场源：大而深的岩体或地质构造
异常特征：幅值大、异常范围大、变化平缓 场源：小而浅的岩体、矿体或地质构造 局部异常 异常特征：幅值小、异常范围小、变化大
A B C
2、局部重力异常的识别 局部重力高—异常等值线在局部范围内向区域背景场 降低的方向凸出。
向下延拓
向上延拓
分
析
重力异常正反演问题
2 2 2 3/ 2 0
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
g G h0
2 h0 dy G 2 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h0 ) x h0
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
2πG△σ△h
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。 当台阶直立时：
P(x,0)
πG△σ△h
o
△σ
●
x
△g(0)= πG△σ△h
△h
当台阶面向台阶外侧倾 斜时：
△g(0) > πG△σ△h
当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题
（4-3）
如果还有其他的物性层界面存在，则可仿照以上公式（4-3）进行迭加，以 求多重界面的Δ g。将Δ g 进行傅立叶变换，便得空间域的Δ g(x,y,0)，即完成 正演计算。
双密度界面
（五）变密度多界面快速反演方法
1．反演问题的基本原理
现假设已知重力场为△g（r0,z0） ，其频谱记为 F[△g]，又假设已知密度函数ρ (r)的一个值为 ρ
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重 力异常正演方法，异常特征，反演方法； • 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方 法（近似解法、矩阵法）； • 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
用解析公式计算出每个小长方
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
g G h0
2 h0 dy G 2 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h0 ) x h0
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
2πG△σ△h
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。 当台阶直立时：
P(x,0)
πG△σ△h
o
△σ
●
x
△g(0)= πG△σ△h
△h
当台阶面向台阶外侧倾 斜时：
△g(0) > πG△σ△h
当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题
（4-3）
如果还有其他的物性层界面存在，则可仿照以上公式（4-3）进行迭加，以 求多重界面的Δ g。将Δ g 进行傅立叶变换，便得空间域的Δ g(x,y,0)，即完成 正演计算。
双密度界面
（五）变密度多界面快速反演方法
1．反演问题的基本原理
现假设已知重力场为△g（r0,z0） ，其频谱记为 F[△g]，又假设已知密度函数ρ (r)的一个值为 ρ
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重 力异常正演方法，异常特征，反演方法； • 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方 法（近似解法、矩阵法）； • 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
用解析公式计算出每个小长方
反演问题正断层逆断层3
V XZ 3GM
Dx (x 2 D 2 )5/2
VZZ
2D2 x 2 GM 2 (x D 2 )5/2
2D2 3x2 3GMD 2 (x D 2 )7/2
VZZZ
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
D
讨论：
g 2GD x2 D2
重力作业（5月9日交）
• 1.请解释重力异常的实质. • 2.岩矿石的密度有哪些特征? • 3.画出球体重力异常的剖面特征与平面特征，它 与水平圆柱体重力异常有何不同？ • 4.什么是相对布格重力异常？写出其表达式. • 5.什么是重力异常的解析延拓?向上与向下延拓各 有什么作用? • 6.什么是重力的导数法?重力高次导数有什么作用? • 7.举例说明重力勘探的应用.
3、垂直台阶
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
不同埋深的台阶剖面（a）和铅垂台阶的Vxz、Vzz、Vzzz
断层或不同岩层的接触带都可作为台阶处理
x2 h12 1 x 1 x g G (h x ln 2 2h1tg 2h2tg ) 2 x h2 h1 h2
由公式可见： 当 x 时，
g 2G h
2G h
G h
球体参数：半径30m，中心埋深50m，密度 2.0g/cm3，重力异常单位g.u.
1、球体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
x 10
-3
P(x,0)
-40 -30 -20 -10 0
0 -50
D
10
20
30
40
50
讨论：
简述重力场的正反演问题
简述重力场的正反演问题
重力场的正反演问题涉及重力异常的正演和反演。
正演问题是给定地下某种地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理论计算来求得它在地面上产生的异常大小、特征和变化规律，这是正向思维的问题。
反演问题则是依据已获得的异常特征、数值大小、分布情形等并结合物性资料来求解地下地质体的形状和空间位置等，这是逆向思维的问题。
重力正演是指根据地下地质体的形状、大小、密度等物理参数，利用重力场理论计算其在地球表面产生的重力异常。
重力反演则是根据实测的重力异常数据，结合物性资料，推断地下地质体的形状、大小、空间位置等信息。
重力正演是解决正问题的过程，它从地下地质体的物理参数出发，预测其在地球表面产生的重力异常。
重力反演则是解决反问题的过程，它从实测的重力异常数据出发，推断地下地质体的形状、大小、空间位置等信息。
重力场的正反演问题在地球物理学中具有重要的应用价值，例如在矿产资源勘探、地质构造研究、地下水资源调查等领域都有广泛的应用。
通过正反演问题的解决，可以更好地理解地球内部结构和动力学过程，为资源开发和环境保护提供科学依据。
重力正演、反演
2)当σ>o时，极大值一侧对应着上升盘，极小 值一侧对应着下降盘，在极小值十分清晰且大 干极大值的绝对值时，属正断层类型，反之则 属逆断层类型。
二度铅垂柱体 对于沿水平方向延伸较长而横截面近于矩形的 矿脉，可以当成二度铅垂柱体来研究。在正演 它的异常时，坐标系及有关参数的选取见图,用 (x+α)与(x一α)分别代替铅垂台阶各公式中的 x，并将结果相减，即获得这一形体的重力异 常及各阶导数异常的公式:
当柱体的下底 H→+∞ 时，便可获得底部无限延 伸的铅垂脉的相应公式Δg→∞
( x − a) 2 + h 2 V xz = Gσ ln ( x + a) 2 + h 2 h h 2ah V zz = 2Gσ (tg −1 − tg −1 ) = 2Gσtg −1 2 x−a x+a x + h2 − a2 ⎡ ⎤ x+a x−a 2a ( a 2 + h 2 − x 2 ) V zzz = 2Gσ ⎢ = 2Gσ 2 − 2 2 2 2 ⎥ ( x + a) + h ⎦ ( x + a 2 + h 2 ) 2 − 4a 2 x 2 ⎣ ( x + a) + h
GM GMD = 2 2 nD ( x1 / n + D 2 ) 3 / 2
x 1/n = ± D n 2 / 3 − 1
取n=2，得x1/2=0.766D(X正半轴)和x’1/2=－0.766 D (X负半轴)，说明异常半极值点的横坐标为球心 深的0.766倍
4、当D不变，使M加大m倍时，异常也同样加大
[( x + a ) 2 + H 2 ][( x − a ) 2 + h 2 ] V xz = Gσ ln [( x + a ) 2 + h 2 ][( x − a ) 2 + H 2 ] H h H h ) − tg −1 − tg −1 + tg −1 V zz = 2Gσ (tg −1 x+a x+a x−a x−a ⎡ ⎤ x+a x+a x−a x−a − + − V zzz = 2Gσ ⎢ ⎥ 2 2 ( x + a) 2 + H 2 ( x − a) 2 + h 2 ( x − a) 2 + H 2 ⎦ ⎣ ( x + a) + h
第四节 地质体参数的计算 重力勘探5-正反演
i ) ln
2 i 1 i2
2 i 1
2 i
(i1
i
)
tg
1
i i
tg1
i1 i1
（二）任意形状三度体
1、线元法
➢用一组垂直于y轴的平面
和一组垂直于X轴的平面分 别切割地质体，则任意两 个平面的交线包合在地质 体之内的部分形成一个线 元。
x 时， g Gf h
1
P(x,0)
●x
h2
h 1 △σ △h
2
△σ △h
主剖面异常曲线单调变化，断层正上方梯度最大；平面异常等值 线呈条带状分布，与断层线平行。
在前述三个特征点上，异常值与埋深无关； 异常形态与埋深有关，埋藏越浅，水平梯度越大。
等值线为一系列平行台阶走向的直线，在断面附近等值线最密， 称为“重力梯级带”，且异常向台阶延伸方向单调增大。
第四节 地质体参数的计算
正演与反演
正问题也称正演，是指给定地质异常体的形状、产状 和剩余密度分布，通过计算得出重力异常的大小、特 征和变化规律等。
反问题也称反演，是指根据重力异常的数值大小、变 化规律等场的特征，结合已知的地质资料和地质体的 物性参数，求解地质体的形状和空间位置等。
正问题从给定地球物理模型，通过数值计算或物理模拟，得 出相应地球物理场的过程，目的是认识和掌握地球物理场的 特征与场源之间的对应关系；
当α=90°（垂直断层）时，重力异常极大值 与极小值绝对值相等，曲线以原点O为中心对 称
当α<90°（正断层）时，下降盘一侧异常极 小值明显
当α>90°（逆断层）时，上升盘一侧异常极 大值明显
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设：
（D.1）
所以：
按式（D.1）的形式累加起来，最后只需要求一次反正切函 数，这样处理后，计算速度提高一倍以上。
1.2.2 直立“线元”法
某工区物探、勘探工作布置示意图
正演问题的定义： 根据巳知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度 分布，通过理沦计算，研究它们所引起的异常及其各阶导数异 常的数值大小、空间分布和变化规律。 反演问题的定义： （1）由观测上重力异常的分布，在给定物体边界位置函数的条 件下，求解物体的密度分布函数；（物性反演） （2）由观测面上重力异常分布，在给定物体密度函数的条件下， 求解物体的边界位置的数值；（几何反演） （3）由观测面上重力异常分布。在给定特殊约束（如设物体密 度均匀、形态规则)条件下，求解物体密度参数和几何参数。 给定的函数和特殊约束称为反演问题的定解条件。
什么是正问题与反问题？
反问题：m=G-1d
观测数据d
地质模型 m
正问题：d=Gm
（一）规则形体的正、反演问题
为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀，地 面水平，所取剖面为中心剖面
规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状体……
1、球体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
近似于等轴状地质体，如盐丘、矿巢、溶洞等
lim g 0; g max
g max h02 m G 2 ; x1/ 2 0.766h0 ; m h0 G
2、水平圆柱体 2、水平圆柱体（线质量）
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
小柱体元在P(x,0,0)点产生的重力异常为
g G
h0 dy
(x y h )
用一组垂直于y轴的平面
和一组垂直于X轴的平面分 别切割地质体，则任意两 个平面的交线包合在地质 体之内的部分形成一个线 元。 用解析式计算每一个线 元在计算点产生的重力异 常作用值。 对所有钱元的作用值依 次进行X方向和Y方向的数 值积分，便得到整个地质 体在计算点所产生的重力 异常值。
1、线元法
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
断层或不同岩层的接触带都可作为台阶处理
x 2 h12 1 x 1 x g G (h x ln 2 2h1tg 2h2tg ) 2 x h2 h1 h2
由公式可见：
当X→∞时， △g =2πG△σ△h 当X→ －∞时， △g =0
球体参数：半径30m，中心埋深20m，剩余密度 2.0g/cm3，重力异常单位mGal
1、球体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5
x 10
-3
P(x,0,0)
-40 -30 -20 -10
0 -50
h0
0
10
20
30
40
50
σ0
ΔE
Δg
σ
讨论：
x
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重 力异常正演方法，异常特征，反演方法； • 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方 法（近似解法、矩阵法）； • 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
用解析公式计算出每个小长方
最后，将所有长方体的重力异
常值累加，以求得整个地质体在 计算点的异常值。
体在计算点所产生的重力异常值。
点元法 “点元”法所取的各个点元的体积可以相同，也可不同。各 个点元的物性可以相同，也可不同。通常是将勘探剖面之间的 地质体用适当的长方体或立方体来近似，确定出各个点元的角 点坐标，即可计算出该点元的三重积分值。 对于一个点元而言，其计算公式如下：
2 2 2 3/ 2 0
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
g G h0
2 h0 dy G 2 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h0 ) x h0
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
2．面元法
用一组垂直于z轴的平面
或者垂直于X轴、y轴的平 面切割地质体，地质体与平 面相交形成一系列的裁面。
近似地用一个多边形代
替每一个截面，用解析表达 式计算出计算点的重力作用 值。
将所有面的作用值用数
值积分求得整个地质体产生 的重力异常值。
3．长方体元法
用一组垂直于X轴的平面、一
组垂直于y轴的平面和一组垂直于 Z轴的平面切割地质体，于是地 质体被划分成许多小长方体。
式中：
对所有点元求和：
Fi f ij
k 1
L
i 1,2, M
1、对计算ln项的简化 从式(1.2.1)式的V0，V2，V3．V5的表达式可以看出，需 要计算一系列带ln的项,然后求和，由于大量调用ln标准子 程序会花费很多计算时间并影响计算精度，所以有必要作 适当的简化。 利用： 对L个点元有：
当X=0 时， △g = πG△σ△h
2πG△σ△h πG△σ△h
P(x,0)
o 1 2
h1
●
x
h2
△σ
△h
△σ
△h
3、垂直台阶
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
平面异常特征：
等值线为一系列平行台阶走向的直线，在断面附 近等值线最密，称为“重力梯级带”，且异常向 台阶延伸方向单调增大。
当台阶倾斜时：
一、重力正、反问题的解法
任意形体重力异常计算公式：
g G
V
( z ) d d d ( x) ( y ) ( z )
2 2 2 3/ 2
式中：G为万有引力常数，(x, y, z)为观测点P的坐 标，V为地质体体积，Δσ为剩余密度， (ξ,η,ζ)为剩 余质量元 m d d d 的坐标
2πG△σ△h
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。 当台阶直立时：
P(x,0)
πG△σ△h
o
△σ
●
x
△g(0)= πG△σ△h
△h
当台阶面向台阶外侧倾 斜时：
△g(0) > πG△σ△h
当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题