黄冈市高二上学期数学期末考试模拟题(含答案) (5)
黄冈市高二上学期数学期末考试模拟题5一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.从已经编号的180（1～180）名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法．若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是（）A. 74B. 83C. 92D. 962.命题“∃x0∈R，2x0+x02”的否定是（）A. “∃x0∈R，＞log2x0+xB. “∃x0∈R，2x0+C. ∀x∈R，e x≤log2x+x2D. ∀x∈R，e x＞log2x+x23.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）4.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是（）A. 甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63B. 甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56C. 甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差5.抛物线C：y2=16x的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，|MF|=8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知a∈R，函数f（x）=ae x-1-x lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A. -2B. -1C. 2D. 17.已知双曲线C（a＞0）的一个焦点和抛物线y2的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为（）A. yB. yC. yD. y=±x8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则直线OD1与平面OA1B1所成角的正弦值为（）9.函数f（x）=x3-3ax2+bx-2a2在x=2时有极值0，那么a+b的值为（）A. 14B. 40C. 48D. 5210.执行如图所示的程序框图，若输入的n=8，则输出的s，k依次是（）A. 15，4B. 15，5C. 31，6D. 31，711.已知双曲线C：x2，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB的面积是（）A. 2B. 112.已知抛物线C：y2=4x，过点P（2，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设Q（-2，0），λ∈1）∪（1，2]时，则直线MN斜率的取值范围是（）A. （-∞，-2]∪[2，+∞）B. （-∞，-3]∪[3，+∞）C. [-2，0）∪（0，2]D. [-3，0）∪（0，3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（1）=x sinx+cos x f______．14.已知四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2．现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥P-ABCD的内部的概率为______．15.椭圆C（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的点，cos∠F1PF2=，C的短轴长是______．16.函数f（x）=x（e x+x）+4，g（x）=-4x-e x+a，a∈R，若存在实数x，使得f（x0）＜g（x0）成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：x2-4x+3≤0，q：e x≥2x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．18.某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x留两位小数）（Ⅱ）试根据（I）求出的线性回归方程，预测x=50时，用次卡洗车的车辆数．19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定．考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式．随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来．为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20，70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；（Ⅱ）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？20.如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，ED⊥面ABCD，EF∥DB，EF=1，异面直线AF，CD（Ⅰ）求证：面ACF⊥面EDB；（Ⅱ）求二面角B-AF-E的余弦值．21.已知P（0），Q（3，0），圆（x2+y2=16上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．（Ⅰ）求点K的轨迹C的方程；（Ⅱ）经过点A（-2，0）的斜率之积为C相交于M，N 两点，试判断直线MN是否经过定点．若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．22.已知a∈R，f（x）=2x-a ln x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.答案：B解析：求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．解答：解：样本间隔为180÷20=9，第10组抽取的号码是2+9×9=83，故选：B．2.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈R，2x0+x02”的否定是：∀x∈R，e x＞log2x+x2．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.答案：A解析：解：如下图，利用隔板法，得到共计有n种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，∴乙获得“最佳手气”的概率p故选：A．利用隔板法得到共计有n种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.答案：D解析：解：由茎叶图可得：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；对于C40+53+57+57+60+62+63）=56（45+47+52+56+59+63+63）=55，，可得正确；对于D（40-56）2+（53-56）2+（57-56）2+（57-56）2+（60-56）2+（62-56）2+（63-56）2]=52.5858，S乙2（45-55）2+（47-55）2+（52-55）2+（56-55）2+（59-55）2+（63-55）2+（63-55）2]=45.428，可得：S甲2＞S乙2，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；故选：D．由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解．本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题．5.答案：C解析：解：抛物线C：y2=16x的焦点为F（4，0），点M为C上第一象限内一点，|MF|=8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，即（x-4）2+（y-4）2=16，x=0时，y=4．故选：C．利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.答案：D解析：解：函数f（x）=ae x-1-x lnx，可得f′（x）=ae x-1-ln x-1，切线的斜率为：k=f′（1）=a-1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y-a=（a-1）（x-1），l在y轴上的截距为：a+（a-1）（-1）=1．故选：D．求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y 轴上的截距．本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．7.答案：B解析：解：抛物线y2的焦点（0），双曲线C（a＞0）的一个焦点和抛物线y2的焦点相同，可得c可得a2+4=12，解得a所以双曲线C的渐近线方程：y=±．故选：B．求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.答案：A解析：解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则O（1，1，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），（-1，-1，2（1，-1，2（1，1，2），设平面OA1B1的法向量（x，y，z），z=1（-2，0，1），设直线OD1与平面OA1B1所成角为θ，则sinθ===∴直线OD1与平面OA1B1故选：A．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OD1与平面OA1B1所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：B解析：求导得f'（x）=3x2-6ax+b，若在x=2时有极值0a，b，并且验证即可得出答案．本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解答：解：函数f（x）=x3-3ax2+bx-2a2，f'（x）=3x2-6ax+b，若在x=2时有极值0，当a=4，b=36时，f'（x）=3x2-24x+36，满足题意函数f（x）=x3-3ax2+bx-2a2在x=2时有极值0．当a=2，b=12时，f'（x）=3x2-12x+12，不满足题意：函数f（x）=x3-3ax2+bx-2a2在x=2时有极值0．∴a+b=40．故选：B．10.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得n=8，i=1，s=0，k=0第1次执行循环体，r=0，s=1，k=1，i=2第2次执行循环体，r=0，s=3，k=2，i=3第3次执行循环体，r=2，i=4第4次执行循环体，r=0，s=7，k=3，i=5第5次执行循环体，r=3，i=6第6次执行循环体，r=2，i=7第7次执行循环体，r=1，i=8第8次执行循环体，r=0，s=15，k=4，i=9此时，满足条件i＞8，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.答案：B解析：解：设P（m，n），则4m2-n2=4，设PA和渐近线y=2x平行，PB和渐近线y=-2x平行，由PA：y=2（x-m）+n，PB：y=-2（x-m）+n，且PA和渐近线y=2x的距离为d由y=2x和y=-2（x-m）+n，求得B（可得|OB m+n|，即有四边形OAPB的面积是d|OB m+n|4m2-n24=1．故选：B．设P（m，n），则4m2-n2=4，求得渐近线方程，设出PA，PB的方程，运用点到直线的距离公式求得渐近线y=2x和PA的距离，以及B的坐标，再由平行四边形的面积公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式和化简运算能力，属于中档题．12.答案：A解析：解：设直线l的方程为x=my+2，则m≠0，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）．将直线l的方程与抛物线C x得，y2-4my-8=0，由韦达定所以，k MQ+k NQ=0，所以，x轴为∠MQN的角平分线，∴，所以，y1=-λy2．①将①式代入韦达定理得y1+y2=（1-λ）y2=4m，∴．②，所以，．设直线MN的斜率为kk2≥4，解得k≤-2或k≥2．故选：A．设点M（x1，y1）、N（x2，y2），并设直线l的方程为x=my+2，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并结合韦达定理得出直线QM和直线NQ的斜率互为相反数，得出∠MQN的角平分线为x轴，利用角平分线的性质得出y1=-λy2，代入韦达定理并消去y2可得出m2关于λ的函数表达式，可计算出m2MN的斜率k的取值范围．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查角平分线的性质，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．13.答案：0解析：解：∵f（x）=x sinx+cos x，∴f′（x）=（x sinx）′+（cos x）′=x（sin x）′+（x）′sin x+（cos x）′=x cosx+sin x-sin x=x cosx∴k=f=0．函数f（1）=x sinx+cos x f0．故答案为：0．先对函数f（x f f本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系．属基础题．14.解析：解：四棱锥P-ABCD扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即R，即R则四棱锥的体积V2×2×，则该点取自四棱锥P-ABCD的内部的概率P==.根据条件求出四棱锥的体积和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．15.答案：解析：解：椭圆C（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的点，cos∠F1PF2F1P=m，PF2=n，可得：4c2=m2+n2-2mn cos∠F1PF2F1PF2m+n=2a，a2=c2+b2，解得：b则椭圆C的短轴长是故答案为：利用椭圆的定义以及余弦定理以及三角形的面积，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．16.答案：（-e-2，+∞）解析：解：函数f（x）=x（e x+x）+4，g（x）=-4x-e x+a，a∈R，若存在实数x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，可得f（x0）-g（x0）＜0成立，可令h（x）=x（e x+x）+4+4x+e x-a，h′（x）=（x+1）e x+2x+4+e x=（x+2）（e x+2），由e x＞0，x＞-2时，h′（x）＞0，h（x）递增；x＜-2时，h′（x）＜0，h（x）递减，可得x=-2处h（x）取得极小值，且为最小值-a-e-2，可得-a-e-2＜0，解得a＞-e-2，故a的范围是（-e-2，+∞）．由题意可得f（x0）-g（x0）＜0成立，可令h（x）=x（e x+x）+4+4x+e x-a，求得导数和单调性、极小值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．17.答案：解：由x2-4x+3≤0得1≤x≤3，即p：1≤x≤3，若q是p的必要条件，即p⇒q，即当1≤x≤3时，e x≥2x+a恒成立，即e x-2x≥a恒成立，设f（x）=e x-2x，函数的导数f′（x）=e x-2，当1≤x≤3时，f′（x）≥0恒成立，即此时f（x）为增函数，即当x=1时，函数f（x）取得最小值为f（1）=e-2，则a≤e-2，即实数a的取值范围是（-∞，e-2]．解析：求出p的等价条件，结合必要条件的定义转化为当1≤x≤3时，e x≥2x+a恒成立问题进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的定义，根据必要条件的定义转化为不等式恒成立是解决本题的关键．18.答案：解：（Ⅰ+40×23-5×26×15=310，262=616．∴．则y关于x的线性回归方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）的线性回归方程可得，当x=50时，用次卡洗车的车辆数估计是0.50×50+2=27．解析：（Ⅰ）由已知图表结合公式即可求得y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求得的线性回归方程中，取x=50求得y值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：解：（Ⅰ）年龄在[20，30），[30，40），[40，50）的频率为0.05，0.2，0.4，∵0.05+0.2＜0.5，0.05+0.2+0.4＞0.5，∴中位数为，平均数的估计值为：25×0.05+35×0.2+45×0.4+55×0.2+65×0.15=47．（Ⅱ）第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，∴三个组依次抽取的人数为2，4，2．（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数n，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，∴第三组至少有1个人被抽到的概率p解析：（Ⅰ）由频率分布直方图能求出中位数和平均数的估计值．（Ⅱ）第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，由此能求出三个组依次抽取的人数．（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数n，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，利用对立事件概率计算公式能求出第三组至少有1个人被抽到的概率．本题考查中位数、平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.答案：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵ED⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴ED⊥AC，∵BD∩ED=D，∴AC⊥面EBD，∵AC⊂面ACF，∴面ACF⊥面EDB．解：（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠DAB=60°，∴DB=2，DO=1，∵EF∥DB，EF=1，∴EF∥DO，EF=DO，∴四边形EFOD是平行四边形，∴ED∥FO，∵ED⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A D（0，-1，0），C（0，0），设F（0，0，t），（（cos t＞0），解得t F（0，0，），（0，1，0），∵B（0，1，0），E（0，-1），（（设平面AFB的法向量（x，y，z），x=1（1设平面AFE的法向量=（x，y，z），x=1（1，0，1），设二面角B-AF-E的平面角为θ，由图形得θ为钝角，则cosθ=-=-=-．∴二面角B-AF-E的余弦值为解析：（Ⅰ）推导出AC⊥BD，从而ED⊥AC，进而AC⊥面EBD，由此能证明面ACF⊥面EDB．（Ⅱ）推导出四边形EFOD是平行四边形，从而ED∥FO，由ED⊥面ABCD，得FO⊥面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AF-E的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（Ⅰ）∵|KP|+|KQ|=|PT|=4＞|PQ∴点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为∴点K y2=1，（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为y=k（x+2），1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，则-2x M，则x M=y=k（x+2），可得y M∴M，），同理可得N（，当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率k MN故直线MN的方程为y x令y=0，可得x此时直线MN经过点（0），当M，N k2此时点M，N的横坐标为此时直线MN经过点（，0），综上所述直线MN经过点（0）解析：（Ⅰ）利用椭圆的定义即可得出k的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程消元，得出M，N坐标的关系，求出MN的方程，即可求出点的坐标．本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，在（0f′（x）＜0，f（x）递减，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，a＞0时，f（x）在（0+∞）递增；（Ⅱ）xf（x）≥x2+1恒成立，即xf（x）-（x2+1）≥0恒成立，设g（x）=xf（x）-（x2+1），则g（x）=x2-ax lnx-1，g′（x）=2x-a（1+ln x），g′（x）的单调性和f（x）相同，当a≤0时，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=2-a＞0，故g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，当a＞0时，g′（x）在（0+∞）递增，当0＜a≤2，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）=2-a≥0，故g（x）是增函数，故g（x）≥g（1）=0，当a＞2时，在区间（1g′（x）递减，故g′（x）＜g′（1）=2-a＜0，故g（x）递减，故g（x）＜g（1）=0，不合题意，综上，a的范围是（-∞，2]．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为xf（x）-（x2+1）≥0恒成立，设g（x）=xf（x）-（x2+1），求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．。
湖北省黄冈市2023年数学高二上期末质量检测试题含解析
湖北省黄冈市2023年数学高二上期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2211612x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为6，N 是1MF 的中点，则ON =（ ）A.1B.2C.3D.42．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A.()0,2 B.()0,4 C.()2,0D.()4,03．给出下列结论：①如果数据12n x x x ，，，的平均数为3，方差为0.2，则12353535n x x x +++，，，的平均数和方差分别为14和1.8；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．③对A 、B 、C 三种个体按3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（）. A.3 B.2 C.1D.04．已知双曲线的两个焦点()10F ，)2F ，P 是双曲线上一点，且12PF PF ⊥，122PF PF ⋅=，则双曲线的标准方程是（）A.22123x y -= B.22132x y -= C.2214y x -=D.2214x y -= 5．已知{}n a 是公差为3的等差数列.若1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前10项和10S =（ ） A.165 B.138 C.60D.306．已知直线20ax y a --+=与圆22450x y x +--=相交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（ ）A.3,25⎡⎤⎣⎦B.4,25⎡⎤⎣⎦C.[]4,6D.25,6⎡⎤⎣⎦7．在空间直角坐标系中，点()2,1,3A -关于Oxy 平面的对称点为B ，则OA OB ⋅=（ ） A.－4 B.－10 C.4D.108．如图，是函数()y f x =的部分图象，且关于直线2x =对称，则（）A.()()()123f f f '''<<B.()()()132f f f '''=<C.()()()123f f f '''>>D.()()()132f f f '''=>9．已知两条直线1l ：()120x m y ++-=，2l ：240mx y ++=，且12l l ∥，则m 的值为( ) A.－2 B.1 C.－2或1D.2或－110．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a n }中，12a =，公和为5，则18=a （ ） A.2 B.﹣2 C.3D.﹣311．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44S =-，50S =，则1a =（） A.8- B.4- C.4D.812．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差为d ，890a a +>，90a <，则下列结论不正确的是（） A.0d <B.当8n =时，n S 取得最大值C.45180a a a ++<D.使得0n S >成立的最大自然数n 是15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省黄冈市高二上册期末数学试题与答案
湖北省黄冈市高二上册期末数学试题与答案第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对两位同学的10次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，由图可知，成绩更稳定的同学是（）A. 甲B. 乙C. 甲乙同学D. 无法确定【答案】B由茎叶图的特征可直接判断出结果。
数据越集中，说明越稳定，因此可直接判断，乙同学成绩更稳定，故选B.本题主要考查茎叶图的特征，属于基础题型.2.任意抛两枚一元硬币，记事件：恰好一枚正面朝上；：恰好两枚正面朝上；：恰好两枚正面朝上；：至少一枚正面朝上；：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是（）A. 与 B. 与 C. 与 D. 与【答案】D根据对立事件的定义，逐项判断即可.因为与的并事件不是必然事件，因此A错；至少一枚正面朝上包含恰好两枚正面朝上，所以与m不是对立事件，故B错；因与是均表示两枚正面向上，所以与是相等事件，故C错；所以选D.本题主要考查对立事件的概念，属于基础题型.3.已知双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】A先由双曲线的方程求出焦点坐标，以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解即可.因为双曲线方程为，所以可得其一个焦点为,一条渐近线为,所以焦点到渐近线的距离为，故选A.本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.4.点的坐标分别是，，直线与相交于点，且直线与的斜率的商是，则点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线【答案】A设点M坐标，由题意列等量关系，化简整理即可得出结果.设，由题意可得,,因为直线与的斜率的商是，所以，化简得，为一条直线,故选A.本题主要考查曲线的方程，通常情况下，都是设曲线上任一点坐标，由题中条件找等量关系，化简整理，即可求解，属于基础题型.5.下列命题中的假命题是（）A. 对于命题，，则B. “”是“”的充分不必要条件C. 若命题为真命题，则都是真命题D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”【答案】C利用命题的否定，判断A；根据充要条件判断B；由复合命题的真假判断C；由四种命题的逆否关系判断D。
【免费】黄冈中学高二数学上期期末模拟题-含答案
黄冈中学高二数学上期期末模拟题一 选择题（每题4分，共48分） 1．已知集合{}24M x x =<，103x N x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合N M 等于 （ ）A ．{}2-<x xB ．{}3>x xC ．{}21<<-x xD ．{}32<<x x2.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为A.1，-1B.2，-2C.1D.-13．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c bc a .（D ）||||c b c a >. 4. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是：A ．3B ．9C ．17D ．51 5．200辆汽车通过某一段公路时的时速的 频率分布直方图如右图所示，则时速在 [60，70)的汽车大约有( ) (A) 30辆 (B) 40辆 (C) 60辆 (D) 80辆6.设0,0.a b >>若11333aba b+是与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D147.如果执行如图所示的程序框图，输入5N =， 则输出的数等于（ ） A.54 B.45时速（km ）0.010.02 0.03 0.04 频率组距40 50 60 70 80C.65D.568.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球 和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（） （A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）459.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和大于12的概率是 ( ) A.78 B. 18 C. 38 D. 5810.已知函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是A [1,1]-B [2,2]-C [2,1]-D [1,2]-11.已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．312.已知a x x 22|4||3|<++-，若已知不等式的解集不空，求a 的取值范围。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1 B．C．D．4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合5．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=06．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．B．84 C．3 D．217．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．巳知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形PF1F2，若边PF1的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C．D．9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A．B．C．D．10．已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点．若|AB|=10，则△F1AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．3611．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A．B．C．D．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s=14．在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．16．已知F是双曲线C：x2﹣y2=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．18．命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．19．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．2015-2016学年湖北省黄冈中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】用随机数表法从100名学生中抽选20人，属简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为，故某男学生被抽到的机率是故选C【点评】本题考查简单随机抽样、等可能事件的概率等知识，属基础知识的考查．2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．【专题】规律型．【分析】利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．【点评】主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用，属于基础题．3．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k 的值是（）A．1 B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k ﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．∵两向量垂直，∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．∴k=，故选D．【点评】本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合【考点】变量间的相关关系．【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（s，t），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（s，t）．【解答】解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t）∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线l1和l2都过点（s，t）∴两条直线有公共点（s，t）故选：B．【点评】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．5．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为（）A．若a≠0或b≠0，则ab=0 B．若a≠0且b≠0，则ab=0C．若a=0或b=0，则ab=0 D．若a=0且b=0，则ab=0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据否命题的定义进行判断即可．【解答】解：同时否定条件和结论得否命题：若a=0且b=0，则ab=0，故选：D．【点评】本题主要考查四种命题的关系，比较基础．注意否命题和命题的否定的区别．6．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．B．84 C．3 D．21【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|﹣|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|pF1|•|pF2|=21故选D．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如图：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用茎叶图性质、平均数和方差公式求解．【解答】解：由茎叶图得去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值：，方差．故选：D．【点评】本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．8．巳知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形PF1F2，若边PF1的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率是（）A．﹣1 B． +1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设边PF1的中点为Q，连接F2Q，Rt△QF1F2中，算出|QF1|=c且|QF2|=c，根据椭圆的定义得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c，由此不难算出该椭圆的离心率．【解答】解：由题意，设边PF1的中点为Q，连接F2Q在△QF1F2中，∠QF1F2=60°，∠QF2F1=30°Rt△QF1F2中，|F1F2|=2c（椭圆的焦距），∴|QF1|=|F1F2|=c，|QF2|=|F1F2|= c根据椭圆的定义，得2a=|QF1|+|QF2|=（1+）c∴椭圆的离心率为e===﹣1故选：A【点评】本题给出椭圆与以焦距为边的正三角形交于边的中点，求该椭圆的离心率，着重考查了解三角形、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于中档题．9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出恰好在第3次才能开门包含的基本事件个数，由此能求出恰好在第3次才能开门的概率．【解答】解：∵某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．∴恰好在第3次才能开门的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．已知双曲线的一条渐近线方程为3x﹣2y=0．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线右支交于A，B两点．若|AB|=10，则△F1AB的周长为（）A．18 B．26 C．28 D．36【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线方程利用双曲线定义，转化求解三角形的周长即可．【解答】解：因为渐近线方程为3x﹣2y=0，所以双曲线的方程为．△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=（|AF2|+2a）+（|BF2|+2a）+|AB|=2|AB|+4a=28．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【点评】本题是轨迹问题与空间线面关系相结合的题目，有助于学生提高学生的空间想象能力．12．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO⊂β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH⊄α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A【点评】本题给出正四面体的一条棱与平面α成45°，在顶点A与B在平面α内的射影点O的距离最大时，求直线CD与平面α所成角的正弦值，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入a=2，n=4时，输出s= 2468【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的p，s，i的值，当i=5时满足条件i＞n，退出循环，输出s的值为2468．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=4，s=0，p=0，i=1p=2，s=2，i=2不满足条件i＞n，p=22，s=24，i=3不满足条件i＞n，p=222，s=246，i=4不满足条件i＞n，p=2222，s=2468，i=5满足条件i＞n，退出循环，输出s的值为2468．故答案为：2468．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的p，s，i的值是解题的关键，属于基础题．14．在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，求出对应的概率即可．【解答】解：如图所示，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，则所求概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是根据题意画出对应的示意图形，是基础题目．15．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH⊥平面ABC，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得结论．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC，∴S在面ABC上的射影为AB中点H，∴SH⊥平面ABC．∴SH上任意一点到A、B、C的距离相等．∵SH=，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心．∵SC=2∴SM=1，∠OSM=30°∴SO=，∴OH=，即为O与平面ABC的距离．故答案为：【点评】本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定OHO与平面ABC的距离是关．键16．已知F是双曲线C：x2﹣y2=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为 3 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积【解答】解：设左焦点为F1（﹣2，0），右焦点为F（2，0）．△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（|PF1|+2a）=|AF|+|AP|+|PF1|+2a≥|AF|+|AF1|+2a，当且仅当A，P，F1三点共线，即P位于P0时，三角形周长最小．此时直线AF1的方程为y=x+2，代入x2﹣y2=2中，可求得，故．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…[80，90），[90，100]．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；（Ⅱ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a，由此能估计该企业的职工对该部门评分的平均值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知在[40，50）内的人数为2人，在[50，60）内的人数为3人，由此能求出此2人评分都在[40，50）的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，∴a=0.006．估计该企业的职工对该部门评分的平均值：=0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：在[40，50）内的人数为0.004×40×50=2（人），在[50，60）内的人数为0.006×10×50=3（人），设[40，50）内的两人分别为a1，a2，[50，60）内的三人为A1，A2，A3．则从[40，60）的受访职工中随机抽取2人，基本事件有（a1，a2），（a1，A1），（a1，A2），（a1，A3），（a2，A1），（a2，A2），（a2，A3），（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共10种，其中2人评分都在[40，50）内的基本事件有（a1，a2）共1种，所求的概率为p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，q：＞1，r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0．（1）若￢p∧q为假命题，求实数a的取值范围；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q，r为真时的a的范围，（1）由￢p∧q为假命题，则p真q假，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）问题转化为r是q的必要不充分条件，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：关于命题p：∃x∈R，ax2+ax﹣1≥0，a＞0时，显然成立，a=0时不成立，a＜0时只需△=a2+4a≥0即可，解得：a＜﹣4，故p为真时：a（0，+∞）∪（﹣∞，﹣4]；关于q：＞1，解得：﹣2＜a＜1，关于r：（a﹣m）（a﹣m﹣1）＞0，解得：a＞m+1或a＜m，（1）若￢p∧q为假命题，则p真q假，∴，解得：a≥1或a≤﹣4；（2）若￢q是￢r的必要不充分条件，即r是q的必要不充分条件，即q⇒r，∴m+1≤﹣2或m＞1，即m≤﹣3或m＞1．【点评】本题考察了充分必要条件，考察复合命题的判断，考察二次函数的性质，是一道中档题．19．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和A1B1的中点．（Ⅰ）求二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且EP∥平面BFC1，求|EP|的最小值．【考点】直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．求出B，C1，E，F的坐标，（Ⅰ）求出面FC1B1的一个法向，面BFC1的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值．（Ⅱ）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），利用EP∥平面BFC1，推出，求出x，y的关系，利用空间距离结合二次函数的最值求解即可．【解答】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．则．（Ⅰ）由图可取面FC1B1的一个法向量；，设面BFC1的法向量为，则，可取．所以，即二面角B﹣FC1﹣B1的余弦值为．（Ⅱ）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），则．因为EP∥平面BFC1，所以，即（1，2，1）=0，所以，∵0≤x≤1，0≤y≤1，∴，∴，所以=，当时，．【点评】本题看v我没觉得平面角的求法，空间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M，过焦点且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=12．（I）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出写出，即可求此抛物线方程；（Ⅱ）过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．【解答】解：（I）因焦点F（，0），所以直线l的方程为y=（x﹣），与抛物线y2=2px联立，消去y得4x2﹣20px+p2=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=5p，∴|AB|=x1+x2+p=6p=12，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1过点P作PA垂直于准线，A为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PA|，则==sin∠PMA，∠PMA为锐角．故当∠PMA最小时，最小，故当PM和抛物线相切时，最小．设切点P（a，2），则PM的斜率为=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PA|=2|PM|=2sin∠PMA=【点评】本题考查抛物线与直线方程的综合应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=4，点P在平面ABCD上的射影中点O，且，二面角P﹣AD﹣B为45°．（1）求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）若AB+BP=8求三棱锥P﹣ABD的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接PH．过O点作OK⊥PH，连接AK，证明∠OAK 就是OA与平面PAB所成的角，求出OK、OA的长，即可求直线OA与平面PAB所成角的大小；（2）利用AB+BP=8，求出AB的长，利用三棱锥P﹣ABD的体积V=，即可求三棱锥P﹣ABD的体积．【解答】解：（1）过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接PH．过O点作OK⊥PH，连接AK．∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AB．∵OH⊥AB，∴AB⊥平面POH．∵OK⊂平面POH，∴AB⊥OK，∵OK⊥PH，∴OK⊥平面PAB．∴∠OAK就是OA与平面PAB所成角．∵PA=PD，∴P点在平面ABCD上的射影O在线段AD的中垂线上，设AD的中点为E，连接EP，EO，∴EO⊥AD，EP⊥AD，∴∠PEO为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEO=45°．在等腰△PAD中，∵AD=4，∴EA=ED=2，∵PA=PD=2．∴PE=2．在Rt△PEO中，OP=OE=2，∴OA=2，又∵OH=AE=2，PO=2，在Rt△POH中，可得OK=∴sin∠OAK==，∴∠OAK=30°，∴直线OA与平面PAB所成的角为30°．（2）设AB=x，则PB=8﹣x，连接OB．在Et△POB中，PB2=PO2+OB2，∵OE⊥AE，OE=AE，∴∠OAE=45°，∴∠OAB=45°．在△OAB中，OB2=AO2+AB2﹣2AO•AB•cos∠OAB=8+x2﹣4x∴4+8+x2﹣4x=（8﹣x）2，∴x=，即AB=∴三棱锥P﹣ABD的体积V==【点评】本题考查线面角，考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．22．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2019-2020学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)
【解析】去除所有为1的项后,根据图可知前n行共有 个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减去后五项,即可得到此数列的前50项和.
【详解】
解:去除所有为1的项后,由图可知前n行共有 个数,
当n=10时, ,即前10行共有55个数.
因为第n-1行的和为 ,
所以前10行的和为 .
因为第10行最后5个数为 , , , , ,
(2)求出平面 与平面 的法向量所成角的余弦值,即可得到二面角 的余弦值.
A．144个B．168个C．192个D．196个
【答案】B
【解析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数.
【详解】
解:当选1不选3时,五位数中偶数有 个;
当选3不选1时,五位数中偶数有 个;
当选1和3时,五位数中偶数有 个,
所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个.
（1）求这100件产品质量指标值落在区间 内的频率；
（2）根据频率分布直方图求平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若 取这100件产品指标的平均值 ，从这种产品（数量很大）中任取3个，求至少有1个 落在区间 的概率.
参考数据： ，若 ，则 ； ； .
【答案】（1）0.1（2）50（3）0.994
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用空间向量求异面直线所成的角和向量的夹角公式,属基础题.
9．下列结论中
①若空间向量 ， ，则 是 的充要条件；
②若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为 ；
③已知 ， 为两个不同平面， ， 为两条直线， ， ， ， ，则“ ”是“ ”的充要条件；
2022-2023学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线():1340l a x ay a +-++=与y 轴垂直，则a 为（ ） A ．1- B ．0 C ．4- D ．1-或0【答案】A【分析】由直线与y 轴垂直得到方程和不等式，求出a 的值. 【详解】因为():1340l a x ay a +-++=与y 轴垂直， 所以直线l 的斜率为0，所以10a +=，且30a -≠，解得1a =-. 故选：A.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24S =，且3214S a a =+，则5S =（ ） A ．40 B ．120 C ．121 D ．363【答案】C【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为q ，由3214S a a =+，可得321124a a a a a +=++， 所以323a a =，所以323a q a ==， 由24S =，可得114a a q +=，即144a =，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--. 故选：C.3．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】列举出10以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定孪生素数的个数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】10以内的素数有2、3、5、7，任取两个不同的素数有()2,3、()2,5、()2,7、()3,5、()3,7、()5,7，共6个， 其中孪生素数有()3,5、()5,7，共2个，故所求概率为2163P ==. 故选：B.4．如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 满足2MG GN =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OG =（ ）A ．111333a b c ++ B ．111633a b c ++C ．111366a b c ++D ．111666a b c ++【答案】B【分析】根据向量的线性运算一步步将向量OG 化为关于OA ，OB ，OC ，即可整理得出答案. 【详解】()12122323OG OM MG OA MN OA MA AB BN =+=+=+++，12112322OA OA OB OA BC ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， ()12112322OA OA OB OA OC OB ⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦， 111633OA OB OC =++， 111633a b c =++. 故选：B.5．已知()1,0A -，()10B ,，若直线()2y k x =-上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则实数k 的取值范围为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦B ．330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ C ．33⎛ ⎝⎭D ．33,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据题意分析可得直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=有公共点（公共点不能是A 、B ），结合直线与圆的位置关系分析运算.【详解】若90APB ∠=︒，则点P 在以()1,0A -，()10B ,为直径的圆上（点P 不能是A 、B ）， ∵以()1,0A -，()10B ,为直径的圆的圆心为()0,0O ，半径1r =，则圆O 的方程为221x y +=， 即直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=有公共点（公共点不能是A 、B ）， 当直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=有公共点时，则()22211k k -≤+-，解得33,33k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=的公共点为A 或B 时，则直线()2y k x =-即为x 轴，即0k =； 综上所述：实数k 的取值范围为33,00,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 故选：B.6．已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，记P 到双曲线左焦点1F 的距离为1d ，P 到双曲线一条渐近线的距离为2d ，若12d d +的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．53y x =±D ．45y x =±【答案】A【分析】由双曲线定义得到122d PF a =+，故21222PF d a d d +=++，数形结合得到当点P 为线段2F M 与双曲线的交点时，此时22PF d +取得最小值，从而列出方程，求出43a b =，得到渐近线方程.【详解】由双曲线定义可知：122PF PF a -=， 故122d PF a =+，故21222PF d a d d +=++， 过点2F 作渐近线1:b l y x a=的垂线，垂足为M ，当点P 为线段2F M 与双曲线的交点时，此时22PF d +取得最小值， 最小值即为2F M ，则22221bc a a c b a+=+，解得：22b a c +=，两边平方得：222444b ab a c ++=， 又222+=a b c ， 所以43a b =， 渐近线方程为43b y x x a =±=±. 故选：A 7．已知在大小为3π的二面角l αβ--中，A α∈，B β∈，AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，且22CD DB AC ===，则直线AB 与CD 所成角的余弦为（ ）A ．21111B ．277C ．217D ．12【答案】B【分析】以CD 、BD 为邻边作平行四边形CDBE ，连接AE ，计算出AE 、BE 的长，证明出BE AE ⊥，利用勾股定理可求得AB 的长，即可求解【详解】如下图所示，以CD 、BD 为邻边作平行四边形CDBE ，连接AE ，因为BD CD ⊥，//CE BD ，则CE CD ⊥，又因为AC CD ⊥，AC α⊂，CE β⊂，故二面角l αβ--的平面角为π3ACE ∠=， 因为四边形CDBE 为平行四边形，则2CE BD ==，2BE CD ==，所以在ACE △中，222π2cos3AE AC CE AC CE =+-⋅，则3AE = //BE CD ，则BE CE ⊥，BE AC ⊥，AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，故BE ⊥平面ACE ，因为AE ⊂平面ACE ，则BE AE ⊥，故227AB AE BE =+=//BE CD ，所以直线AB 与CD 所成角相当于直线AB 与BE 所成角，即ABE ∠，所以cosABE ∠==， 故选：B8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，22AF F B λ=，且120AF AF ⋅=，椭圆C 的离心率为2，则实数λ=（ ） A ．23B ．2C ．13D ．3【答案】D【分析】设22(0)AF B t t F λ==>，根据椭圆的定义求出1=2AF a t -，1=2aBF a λ-，利用12AF AF ⊥即可求解.【详解】因为22AF F B λ=，设22(0)AF B t t F λ==>，由椭圆的定义可得：12=2AF AF a +，则1=2AF a t -，因为120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，所以2221212=AF AF F F +，即222(2)4a t t c -+=，又因为椭圆C所以a =，则有2222(2)42a t t c a -+==， 所以t a =，则2a F B λ=，则2F B aλ=，由12=2BF BF a +，所以1=2aBF a λ-，因为120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，所以22211=AF AB BF +，即22221(1)(2)a a a a λλ++=-，解得：3λ=，故选：D .二、多选题9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A =“第一次出现3点”，B =“第二次的点数小于5点”，C =“两次点数之和为奇数”，D “两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）A ．A 与B 不互斥且相互独立 B ．A 与D 互斥且不相互独立C ．B 与C 不互斥且相互独立D ．B 与D 互斥且不相互独立【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出事件A ，B ，C ，D 的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)， (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36个不同结果，事件A 所含的结果有：()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，共6个，事件B 所含的结果有24个，事件C 所含的结果有18个，事件D 所含的结果有：()()()4,6,5,5,6,4，共3个， 因此6124218131(),(),(),()3663633623612P A P B P C P D ========， 对于A ，事件A 与B 都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，共4个结果，即事件A 与B 可以同时发生， 而41()()()369P AB P A P B ===，A 与B 不互斥且相互独立，A 正确； 对于B ，事件A 与D 不能同时发生，()0()()P AD P A P D =≠，A 与D 互斥且不相互独立，B 正确； 对于C ，事件B 与C 都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)，共12个结果，即事件B 与C 可以同时发生，121()()()363P BC P B P C ===，B 与C 不互斥且相互独立，C 正确； 对于D ，事件B 与D 都含有(6,4)，即B 与D 可以同时发生，121()()()36312P BD P B P D =≠⨯=， 因此B 与D 不互斥且不相互独立，D 错误. 故选：ABC10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6135S S S <<，121n n n n b a a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T .则下列说法正确的有（ ） A ．90a <，80b >B ．当且仅当9n =时，n S 取得最小值C ．当0n S <时，n 的最大值为17D ．当且仅当8n =时，n T 取得最大值【答案】ABD【分析】由6135S S S <<结合等差数列的角标性质判断ABC ；由裂项相消求和法判断D. 【详解】对于A ：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为6135S S S <<，所以6560S S a -=<， 因为136789101112131070S S a a a a a a a a +-==+++++>，所以100a >.因为1312111098711603594()0a a a a a S a a a a a S -=+++++++=+<，所以1090a a +<.由100a >，1090a a +<可得90,0a d <>，因为890a a d =-<，所以8891010b a a a =>，故A 正确；对于B ：因为90,0a d <>，100a >，所以当且仅当9n =时，n S 取得最小值，故B 正确； 对于C ：()()118910181818022a a a a S ++==<，即当0n S <时，n 的最大值不是17，故C 错误； 对于D ：1211211112n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭122323341121212111111111122n n n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a a a +++++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0d >，所以当121n n a a ++最小时，n T 最大.当8n =时，90a <，100a >，此时121n n a a ++最小，即当8n =时，n T 取得最大值，故D 正确；故选：ABD11．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，1CC t =，点Q 是棱1CC 的中点，点P 在底面ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）A ．存在点P 使得1//A P 平面11BCC BB ．当2t =时，存在点P 使得直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6C ．当2t =时，满足1A P PQ ⊥的点P 有且仅有两个D ．当23t =时，满足1A P PQ ⊥的点P 43π 【答案】AD【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B 、C 、D.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D -xyz ，则()12,0,A t ，0,2,2t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,0D ，()2,2,0B ，对于A ：由直棱柱的性质可知平面11//A D DA 平面11B C CB ，当P AD ∈时1//A P 平面11BCC B ，故A 正确；对于B ：当2t =时，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()12,,2P x A y =--， 显然平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n =， 设直线1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则()12122sin 24P n P nx A A y θ⋅==⋅-++，若直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6，则()2221sin 224x y θ==-++，即()22244x y -++=，所以()22212x y -+=，因为[],0,2x y ∈，所以()[]220,4x -∈，[]20,4y ∈，所以()[]2220,8x y -+∈，故不存在[],0,2x y ∈使得()22212x y -+=，即不存在点P 使得直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6，故B 错误；对于C ：由()12,,2P x A y =--，(),2,1PQ x y =--， 因为1A P PQ ⊥，所以()()12220A P PQ x x y y ⋅=--+--=，所以()()22110x y -+-=，所以11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1,0P ，所以满足1A P PQ ⊥的点P 有且仅有1个，故C错误； 对于D ：当233t =时，1232,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1232,,3A P x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,2,3PQ x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为1A P PQ ⊥，所以()()123322033P PQ x x A y y ⋅=--+--⨯=，即()()224113x y -+-=，由22233133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 又[],0,2x y ∈，则圆心()1,1E ，半径为233的圆与x 轴、y 轴分别交于点31,03M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,13N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：过点E 作EF AD ⊥交AD 于点F ，则33MF =，所以1sin 2MF MEF ME ∠==，则π6MEF ∠=，又π4DEF ∠=， 所以π12MED DEF MEF ∠=∠-∠=，所以π26MEN MED ∠=∠=，圆弧MN 的长度π233π639l =⨯=，所以点P 的轨迹长度为43π9，故D 正确；故选：AD12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，点()2,0T ，直线,AT BT 与抛物线的另一个交点分别为,C D ，则下列说法正确的有（ ） A ．直线CD 过定点()3,0B ．ATB 与CTD △的面积之比为1:4C ．若直线AB ，CD 斜率都存在，且分别为1k ，2k ，则2112k k = D ．ATF △与CTD △的面积之和的最小值为45【答案】BCD【分析】可通过特殊情况，直线l 斜率不存在时求得直线CD 不过定点()3,0，排除A ，也可以通过设出,,AC BD AB 的方程与抛物线方程联立，求得,,,A B C D 纵坐标关系，两点式写出CD 方程，化简整理可得方程过定点()4,0，用,,,A B C D 纵坐标表示两个三角形面积之比，直线AB ，CD 斜率化简可判断B ，C 正确，ATF △与CTD △的面积之和用,,,A B C D 纵坐标表示，化简后利用基本不等式可求得最小值.【详解】当l 与x 垂直时，(1,2),(1,2)A B -，又(2,0)T ， :24=24AT y x BT y x ∴=-+-，：，AT 与抛物线方程联立2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，得(4,4)C -，BT 与抛物线方程联立2244y x y x =-⎧⎨=⎩，得(4,4)D ， :4CD x ∴=，不过定点()3,0，所以A 错误.如图：设11223344(,),(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，CD 交x 轴于E ，设222,4x ty AC x ty y x =+⎧=+∴⎨=⎩：，得2480y ty --=，则131388,y y y y -=-=， 设222,4x my BD x my y x =+⎧=+∴⎨=⎩：，得2480y my --=， 则242488,y y y y -=-=， 设211,4x ny AB x ny y x=+⎧=+∴⎨=⎩：，得2440y ny --=，则121244,y y y y -=-=， 123434348864()()4,16,y y y y y y y y --∴===-=- 直线CD()()()()()34444434223434344:14y y x x x x x x y y y y x x y y y y -----=-==-+- ()()()()24443444344343434444x x x x y y y x x y y y y y y y y y y y --++-++∴=+==+++443434344()1644164(4)x x x x x y y y y y y --+--===+++，所以直线CD 过定点()4,043123434434334438()881()11()44121()2()2164()2ATB DTCy y y y FT y y y y S Sy y y y y y y y TE -----⋅⋅-⋅--======-⋅-⋅--⋅， 所以B 正确.()()4322214343432212221143212143211414y y y y x x y y y y k x x y y k x x y y y y y y x x ------==⋅=⋅------ 214343434388281y y y y y y y y y y ++-==++⋅-==-, 所以C 正确.1431112()22ATF CTD SSy y y +=⨯⨯+⨯⨯-1433333318162022y y y y y y y y ---=+-=⨯+-=-, 333200,ATFCTDy SSy y -<∴+=-≥所以D 正确. 故选：BCD三、填空题13．{},,a b c 是空间向量的一组基底，2OA a mb c =++，2OB a b =+，OC a b c =++，已知点O 在平面ABC 内，则m =______. 【答案】3【分析】根据空间向量共面定理可得存在λ与μ 使得OC OA OB λμ=+,从而可求解. 【详解】因为点O 在平面ABC 内，所以OA ，OB ，OC 共面， 所以存在λ与μ 使得OC OA OB λμ=+,即()()()()2222a b c a mb c a b a m b c λμλμλμλ++=++++=++++，所以21211m λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得113m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故3m =. 故答案为:3.14．已知圆C 被直线l 所截得的两段圆弧的弧长之比为1:2，且圆C 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1，则直线l 被圆C 所截得的弦长为______. 【答案】23【分析】设圆C 的半径为r ，作出图形，计算出圆心C 到直线l 的距离为为2r，根据题意可得出关于r 的等式，解出r 的值，利用勾股定理可求得直线l 被圆C 所截得的弦长.【详解】设圆C 的半径为r ，因为圆C 被直线l 所截得的两段圆弧的弧长之比为1:2， 则劣弧所对的圆心角为120，所以，圆心C 到直线l 的距离为120cos22rd r ==， 将直线l 平移，使得平移后的直线与直线l 之间的距离为1，如下图所示：假设平移后的直线为1l 、2l ，则这两条直线一条与圆C 相切，一条与圆C 相交， 不妨设直线1l 与圆C 相切，则直线l 与1l 之间的距离为12rr -=，可得2r =， 所以，直线l 截圆C 所得弦长为222232r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：2315．已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，焦距为8，过1F 的直线与该椭圆交于M ，N 两点，若MN 的最小值为185，则2F MN 周长为______.【答案】20【分析】根据焦距为8，MN 的最小值为185可得：4c =，5a =，结合椭圆的定义进而求解. 【详解】由题意可知：2222282185c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：4c =，5a =， 由椭圆的定义可得：2F MN 周长为420a =，故答案为：20.16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++-=，50600S =，则12a a +=______.【答案】12-【分析】根据题意令43,n k k =+∈N 和44,n k k =+∈N ，代入整理可得4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，利用并项求和结合等差数列求和运算求解.【详解】当43,n k k =+∈N 时，则()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++为偶数， 可得()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++-==++，()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++-+==+，两式相加可得：4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，故()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=，解得1212a a +=-. 故答案为：12-.【点睛】方法点睛：本题中出现()()121n n +-，故应讨论()12n n +的奇偶性，根据题意把相邻的四项合并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对12a a +的处理.四、解答题17．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为45，23，34，在面试部分合格的概率分别为12，23，35，所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.【答案】(1)丙 (2)4960【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，且A ，B ，C 相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算得出()P A ，()P B ，()P C ，比较概率的大小即可得出答案；（2）记三人中至少有一人被录取为事件D ，则D 与A B C 互为对立事件，从而根据对立事件的计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.【详解】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，则()412525P A =⨯=，()224339P B =⨯=，()3394520P C =⨯=，()()()P A P B P C <<，∴丙被录取的可能性最大.（2）记三人中至少有一人被录取为事件D ， 则D 与A B C 互为对立事件，()()()()()24949111111592060P D P C P P P C A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．已知直线()1:2220l a x y a ---=，2:410l x ay a -+-=，且12l l ∥. (1)求1l 与2l 之间的距离；(2)一束光线从()2,3P 出发经1l 反射后平行于x 轴射出，求入射光线所在的直线方程.【答案】(2)43170x y +-=【分析】（1）由平行条件得出a 的值，再由距离公式求解；（2）由()2,3P 关于1l 的对称点()00,P x y '得出反射光线的方程，并与直线1l 联立得出入射点，进而由两点式写出方程.【详解】（1）由12l l ∥可得：()()()22140a a -⋅---⋅=，解得：2a =或1- 当1a =-时，1:420l x y --+=，2:420l x y +-=，此时1l 与2l 重合，舍去 当2a =时，1:240l x y --=，2:4210l x y -+=，此时12l l ∥，符合题意故1l 与2l 之间的距离为d ==（2）设()2,3P 关于1l 的对称点为()00,P x y '，则000032122324022y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩解得：0022595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴229,55P '⎛⎫⎪⎝⎭ 联立24095x y y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：291095x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴入射点为299,105⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故入射光线所在的直线方程为9335292210y x --=--，即43170x y +-=. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，223a =，数列(){}423n n nS n a ++是等差数列. (1)求证数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)求n S .【答案】(1)证明见解析(2)9691443nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得23944n n n S a n +=-+，由n a 与n S 的关系整理得()11231n n a a n n n -=⋅≥-，根据等比数列的定义分析理解； （2）根据等比数列通项公式可得13n n na -=，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错位相减法求和；法三：整理可得()19919911243243nn n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）对于等差数列(){}423n n nS n a ++可得：当1n =时，则11459S a +=；当2n =时，则22128781518S a a a +=+=； ∴(){}423n n nS n a ++是以9为首项，9为公差的等差数列， 则()()4239919n n nS n a n n ++=+-=，即23944n n n S a n +=-+①， 当2n ≥时，1219444n n n S a n -+=-+-②， -①②得：12321444n n n n n a a a n n -++=-+-，整理得：()11231n n a a n n n -=⋅≥-，且1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，13为公比的等比数列.（2）方法一：由（1）可知，1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则13n n na -=， ∴11239239923144434443n n n n n n n n S a n n --+++⎛⎫=-+=-⋅+=-⋅ ⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知，1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则13n n na -=， ()0122111111123133333n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()12311111111231333333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， -①②得：0121211111333333n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113131133111323322313n n n n nn n n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， ∴1333192312223443nn n n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅⎢⎥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦； 方法三：由（1）可知，1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则13n n na -=， 设()()111133nn n a An B A n B +⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭22111333333nnAn B A n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，比较系数得：23321033A B A ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：9294A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴()19919911243243n n n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∴(121223991991991991991912232432432432432432...nn n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯++-+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣-++9691443nn +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 20．在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，在梯形ABEF 中，//AF BE ，AF AB ⊥，22AB BE AF ===，平面ABEF ⊥平面ABCD .(1)证明：BD ⊥平面ACF ；(2)若直线DA 与平面ACF 所成的角为60°，求平面ACF 与平面CEF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到AF BD ⊥，结合BD AC ⊥，得到线面垂直； （2）在第一问的基础上，得到直线DA 与平面ACF 所成的角为DAO ∠，故60DAO ∠=︒，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，AF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，∴AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴AF BD ⊥，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥， 又AFAC A =，,AF AC ⊂平面ACF ，∴BD ⊥平面ACF ； （2）设ACBD O =，由（1）可知，DO ⊥平面ACF ，则直线DA 在面ACF 内的射影为OA ，故直线DA 与平面ACF 所成的角为DAO ∠， ∴60DAO ∠=︒，ACD 和ACB △均为边长为2的等边三角形，以O 为原点，OC ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，如下图：由BD ⊥平面ACF ，可得平面ACF 的法向量为()10,1,0n =，而()1,0,0C ，()1,0,1F -，()0,3,2E ， ∴()2,0,1CF =-，()1,3,2CE =-，设平面CEF 的法向量()2,,n x y z =，则2220320n CF x z n CE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，可得2,3z y ==-，故()21,3,2n =-， ∴平面ACF 与平面CEF 夹角的余弦值为12121236cos ,41134n n n n n n -⋅===⋅++⋅. 21．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形1111D C B A 的面积为11a =，往里第二个正方形2222A B C D 的面积为2a ，…，往里第n 个正方形n n n n A B C D 的面积为n a .(1)求{}n a 的通项公式； (2)已知{}n b 满足()2*12122N n nb b b n n n a a a ++⋅⋅⋅+=-∈，问{}n b 是否存在最大项?若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭(2)存在，23259b b ==【分析】（1）由图形可得222=+即159n n a a +=，则{}n a 为等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）当2n ≥时，()()2121121211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---，结合题设条件可得43n nb n a =-，从而得出n b ，然后利用数列的单调性求出结果. 【详解】（1）由图形可得：222=+，即159n n a a +=∴{}n a 是以1为首项，59为公比的等比数列∴()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（2）212122n nb b bn n a a a ++⋅⋅⋅+=-① 当1n =时，111b a =，∴11b = 当2n ≥时，()()2121121211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---② -①②得，43n nb n a =-，∴()()154329n n b n n -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭经检验，当1n =时，11b =也满足上式，∴()()1*543N 9n n b n n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭令()()()()11541541919435439nn n n n n b b n n +-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==>-⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：2n < ∴当1n =时，21b b >；当2n =时，32b b =；当3n ≥时，1n n b b +< ∴当2n =或3时，n b 的最大项为23259b b ==. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =，椭圆C 的一条以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线的方程为3240x y +-=. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线4x =上一点，且P 不在x 轴上，直线1PA ，2PA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12PA A △，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值，并求出此时点P 的坐标. 【答案】(1)22143x y += (2)43，()4,3P ±【分析】（1）由点差法得出2234b a =，进而由1224A A a ==得出椭圆C 的方程； （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线1PA （2PA ）与椭圆方程，求出1y ，2y ，再由面积公式结合相似三角形的性质得出()()()2212222739t t S S t ++=+，令29m t =+，由二次函数的性质得出12S S 的最大值以及点P 的坐标. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2222AB y b k x a ⋅=-中中 即223122b a-⋅=-，∴2234b a =又1224A A a ==，所以2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y 则1PA ：()26ty x =+，2PA ：()22t y x =- 联立22623412x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+ 同理，联立22223412x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()222263603t t y ty y t -++=⇒=+第 21 页 共 21 页 所以121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，12S S 取得最大值43. 综上所述，当()4,3P ±时，12S S 取得最大值43.。
2024届湖北黄冈数学高二上期末检测试题含解析
2024届湖北黄冈数学高二上期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为5，则C 的渐近线方程为（）A.2y x =±B.2y x =±C.12y x =±D.y x =±2．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A ，B 两种卡车，其中A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，以备不时之需，若x和y 满足约束条件42320?26y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩则最多需调用卡车的数量为（ ）A.7B.9C.13D.143．过抛物线26y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（ ） A.62 B.63 C.32D.334．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为21米，则以下说法不正确（ ）A.底面边长为6米B.体积为3C.侧面积为243平方米D.侧棱与底面所成角的正弦值为555．已知等差数列{}n a 中的3a 、7a 是函数()321261f x x x x =-+-的两个不同的极值点，则25log a 的值为（） A.12B.1C.2D.36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 A.OM OA OB OC =++ B.23OM OA OB OC =++ C.111222OM OA OB OC =++ D.111333OM OA OB OC =++ 7． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列{}n a 的第n 项，则50a 的值为（）A.1225B.1275C.1326D.13628．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (2)=2, ()1f x '>，则f (x )＞x 的解集是（ ） A.(0,2) B.(2,0)(0,2)-C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,)+∞9．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且2=PM MC ，=PN ND ，=++NM xAB y AD z AP ，则x y z ++=（ ）A.23- B.23 C.1D.5610．椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率之积为2，则双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B.433y x =±C.393y x =±D.3913y x =±11．已知向量(2,1,3),(,2,1)a b x x ==-，若a b ⊥，则x =（） A.5- B.5 C.4D.1-12．已知一个乒乓球从m 米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的()01k k <<倍，则当它第8次着地时，经过的总路程是（ ） A.()8211mk k m k -+-B.()811mk k m k -+-C.()7211mk k m k-+-D.()711mk k m k-+-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年湖北省黄冈市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年湖北省黄冈市高二上册期末数学质量检测试题一、填空题（每题3分）1.小陈掷两次骰子都出现6的概率为______.2.从{}1,2,3,4,5中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.3.若等比数列的前n 项和14n n S a -=+，则a =______.4.若数列{}n a 满足1210212112n n n n n a a a a a +≤⎧⎪⎪=⎨≤-≤<⎪⎪⎩.若167a =，则2023a =______.5.为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg ）：5656575859596163646566686970737483据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg.6.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是______.7.已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元.家庭年收入（单位：万元）[)4,5[)5,6[)6,7[)7,8[)8,9[)9,10频率f0.20.20.20.260.070.078.第14届国际数学教育大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知佑老师和Lisa 老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.9.112S n =+++ ，222212S n =+++ ，333312S n =+++ ，使1S ，2S ，3S 成等差数列的自然数n 的所有可能的值为______.10.已知()*234N n nn n a n n +⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2m 项之和为______.11.已知数列{}n a 满足11a =，()()2*118N n n a a m n +=+∈，若对任意的正整数n 均有4n a <，则实数m 的最大值是______.12.设数列{}n a 满足112a =，()()2*12023N n n n a a a n +=+∈，记()()()12111nn T a a a =--- ，则使得0n T <成立的最小正整数n 是______.二、选择题（每题4分）13.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A.①用简单随机抽样法；②用系统抽样法；B.①用分层抽样法；②用简单随机抽样法；C.①用系统抽样法；②用分层抽样法；D.①用分层抽样法；②用系统抽样法.14.已知数据1x ，2x ，…，n x 3n ≥*N n ∈是上海普通职工n 个人的年收入，这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A.年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变；B.年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大；C.年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变；D.年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变.15.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A.1a ，3a ，9a 成等比数列B.2a ，3a ，6a 成等比数列C.2a ，4a ，8a 成等比数列D.3a ，6a ，9a 成等比数列16.已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，112b =，1111n n n n n n a b a b a b ++=+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，*N n ∈，则下列选项错误的是（）A.505014a b = B.5050112a b <C.5050a b +=D.505015a b -≤三、解答题17.（本题6分）某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g ，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量（单位：g ）如下：124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；求：20罐茶叶的平均质量x 和标准差s .（精确到0.01）18.（本题6分）俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率.19.（本题10分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且410a =.（1）若20590S =，求{}n a 的公差；（2）若1a Z ∈，且7S 是数列{}n S 中最大的项，求1a 所有可能的值.20.（本题12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为()1,3-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122n a n n b a +=，求数列{}n b 前n 项和n S .21.（本题14分）已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+.（1）写出数列{}n a 的前四项；（2）判断数列(){}2n a 的单调性；（3）求证.()221211)n n a ++<<+答案一、填空题1.【正确答案】1362.这两个元素的积是6的倍数的有()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为42115525P =-=⨯.3.11444n n n S a a -=+=⋅+，由等比数列的性质，14a =-.4.167a =，257a =，337a =，467a =，周期为3，则2023167a a ==.5.170.7512.75⨯=，故第75百分位数为第13个数据，为69kg.6.设公差为d ，则()()24613536d a a a a a a =++-++=-，所以2d =-，13533105a a a a ++==，所以335a =，所以3(3)241n a a n d n =+-=-+，所以200a >，210a <，则使得n S 达到最大值的n 是20.7.【正确答案】6.58.设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为123，234，345，456，567，共5种情况，所以张老师与李老师随机选择的总数为115525C C =种情况，两人选择的日期恰好都不相同的分别为()123,456，()123,567，()234,567，()456,123，()567,123，()567,234共6种情况，所以所求事件的概率为625.9.1(1)2n n S +=，2(1)(21)6n n n S ++=，223(1)4n n S +=，由2132S S S =+，得22(1)(21)(1)(1)324n n n n n n n ++++=+，即23520n n -+=，解得1n =.10.()()21321242m m m S a a a a a a -=+++++++ ()24116(541)2116mm m ⨯-++⋅=+-11216161616(23)23151515m n m m m m ++-=+⋅+=++.11.法一：()()221114288n n n n n a a a a m a m +-=-+=-+-，若2m >，则12n n a a m +-≥-，所以()()112111(2)()n n n a a a a a a n m n ++=+-++-=+-→∞→∞ ，所以2m ≤，当2m =时，()21128n n a a +=+，得()()114448n n n a a a +-=+-，又11a =，得()()1440n n a a +-->，因为1430a -=-<，故40n a -<，符合题意，所以实数m 的最大值是2.法二：一方面，当2m =时，()21128n n a a +=+，得()()114448n n n a a a +-=+-，又11a =，得()()1440n n a a +-->，因为1430a -=-<，故40n a -<；另一方面，若2m >，则44320m ∆=-<，得递推数列无不动点，由蛛网图得，当n →+∞，n a →+∞，综上，实数m 的最大值为2.12.因为212023n n n a a a +=+，又112a =，所以2102023n n n a a a +-=>，故数列{}n a 为严格递增数列，则12n a ≥，由212023n n n a a a +=+得2120232023n n n a a a +=+，进而有()120232023n n n a a a +=+，进而有()1120231120232023n n n n n a a a a a +==-++，有11112023n n n a a a +-=+，所以1111112023n i n n a a a =+-=+∑，所以20231202411122202311202320232i i a a ==->-⨯>++∑，20241a <，所以2024120251112220241202320231i i a a ==-<-⨯=++∑，所以20251a >，综上，1220240T T T >>>> ，20250T <，要使0n T <的正整数n 的最小值为2025.二、选择题13.B 14.B15.记{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则22431a a q =⋅，28191a a a q ⋅=⋅，26261a a a q ⋅=⋅，故当1q ≠±时，A 、B 选项均不正确；22641a a q =⋅，28281a a a q ⋅=⋅，当1q ≠±时，C 也不正确；221061a a q =⋅，210391a a a q ⋅=⋅，故D 选项正确.故选D.20.（1）由题意得10a ≠，方程2130a x dx --=的两个根分别为－1和3，则11233d a a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121d a =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-，*N n ∈.（2）由（1）得(21)2n n b n =-，故121232(21)2n n S n =⨯+⨯++- ①，23121232(21)2n n S n +=⨯+⨯++- ②，两式相减得()123122222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-- ，整理得1(23)26n n S n +=-⨯+，*N n ∈.21.（1）11a =，22a =，352a =，42910a =.（2）因为1n a ≥，110n n na a a +-=>，所以11n n a a +>≥，所以有2211n n a a +>≥，故(){}2n a 为严格增数列.（3）用数学归纳法：当1n =221a <=<明显成立；当n k =时，假设命题成立，11k a +<<+，所以当1n k =+21k a +<<+成立即可.2k a +<：由于111k k a a +++随k的增大而增大，所以有111k k a a +++>，只需证>，两边平方12122321k k k +++>++，化简得1021k >+，明显成立.再证右边1111k k a a +++<+：由于111k k a a +++随k的增大而增大，所以有1111k k a a +++<只需证11++<，11+<，化简得21)11)1)++<+⋅+，进一步化简21k ++<，再平方，左边241422(2k k k k =+++++，右边244222(2k k k k =+++++.综上所述，原命题成立，即()221211)n n a ++<<+.。
2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题一、单选题1．若()()0,1,2,2,5,8A B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．()3,2,1 B ．()1,3,2 C ．()2,1,3 D ．()1,2,3【答案】D【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量AB ，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】∵ ()()0,1,2,2,5,8A B 在直线l 上， ∴ 直线l 的一个方向向量(2,4,6)AB =，又∵1(1,2,3)(2,4,6)2=，∴(1,2,3)是直线l 的一个方向向量． 故选：D ． 2．“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线平行的充要条件求出a ，然后可得. 【详解】若14a =，则1:240l x y +-=，2:220l x y +-=，显然平行； 若直线12l l ∥，则2(21)a a a -=-且()2a a --≠，即14a =. 故“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的充要条件. 故选：C3．已知圆222(0)x y r r +=>与直线2y kx =+至少有一个公共点，则r 的取值范围为（ ） A ．2r > B ．1rC ．2rD ．02r<【答案】C【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线2y kx =+的距离范围，从而求出r 的取值范围.【详解】圆心()0,0到直线2y kx =+的距离2221d k=≤+，当且仅当0k =时等号成立，故只需2r 即可. 故选：C4．已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，且23452534,52a a a a a a +++==，且42a a >，则9S =（ ） A ．36 B ．117C ．36-D ．13【答案】B【分析】根据等差数列下标的性质，2534a a a a +=+，进而根据条件求出25,a a ，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.【详解】由题意，42a a >，即{}n a 为递增数列，所以52a a >，又()234525253421734a a a a a a a a +++=+⇒⇒+==，又2552a a =，联立方程组解得：25134,a a ==.于是，()99155911227992a a a S a +⨯====. 故选：B.5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为PC ，PD 上的点，1,3CM PN ND CP ==，设,,AB a AD b AP c ===，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．121333a b c ++B ．121333a b c --C ．111366a b c --+D ．211366a b c --+【答案】D【分析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.【详解】11()32MN MC CA AN PC AC AD AP =++=-++11()()()32BC BP AB AD AD AP =--+++ 11(+)()()32AD AP AB AB AD AD AP =--+++ 211366AB AD AP =--+211366a b c =--+.故选：D6．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析】【详解】试题分析：由已知可得，故选A.【解析】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.7．已知{}n a 是等比数列，且1232341,2a a a a a a ++=++=，则 567a a a ++=（ ） A ．16 B ．32 C ．24 D ．64【答案】A【分析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】1232341231,()2a a a a a a a a a q ++=∴++=++=，得2q4567123()16a a a a a a q ∴++=++=故选：A8．已知椭圆22:143x y C +=的上下顶点分别为,A B ，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C 交于D 点，则直线BD 的斜率BD k 为（ ） ABCD ．32【答案】B【分析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD 的方程，进而求出点D 的坐标计算作答.【详解】依题意，椭圆22:143x y C +=的上顶点A，下顶点(0,B ，左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ，由椭圆的光学性质知，反射光线AD 必过右焦点2F ，于是得直线AD的方程为：y =由223412y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩8(,5D，则有(5805BD k ==- 所以直线BD 的斜率BD k故选：B 二、多选题9．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若16113a a a π++=，1598b b b =，则（ ）A ．1111S π=B ．210461sin2a ab b += C ．3783a a a π++= D ．374b b +≥ 【答案】ACD【分析】根据题意得6a π=，52b =，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，16113a a a π++=，1598b b b =，所以1611633a a a a π+==+，即6a π=，315958b b b b ==，即52b =，对于A 选项，()1111161111112a a S a π+===，故正确；对于B 选项，2210646522,4a a a b b b π+====，所以21046sinsin 12a ab b π+==，故错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则37866663233a a a a d a d a d a π++=-++++==，故正确；对于D 选项，由52b =得37,0b b >，故237375224b b b b b +≥==，当且仅当372b b ==时等号成立，故正确； 故选：ACD10．如图，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交拋物线于,A B 两点，过 ,A B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的有（ ）A ．若AB x ⊥轴，则2AB p =B ．若()()1122,,,A x y B x y ，则12y y 为定值2pC ．2||4PQ AF BF =D ．以线段AF 为直径的圆与y 轴相切 【答案】ACD【分析】根据给定条件设出直线AB 的方程，再结合抛物线的定义、性质逐项分析、计算并判断作答.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2pF ，准线为：2p x =-，显然直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为：2p x my =+， 由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 并整理得：2220y pmy p --=，设()()1122,,,A x y B x y ， 当AB x ⊥轴时，0m =，12,y p y p ==-，则12||||2AB y y p =-=，A 正确； 212y y p =-，即12y y 为定值2p -，B 不正确；过点B 作BM AP ⊥交AP 于M ，如图，显然四边形BMPQ 为矩形，由抛物线定义知，||||||||||||||AM AP BQ AF BF =-=-，则2222||||PQ BM AB AM ==-()()224AF BFAF BF AF BF =+--=，C 正确；由抛物线定义知，1||2p AF x =+，线段AF 中点横坐标1012||22px x AF +==，即线段AF 中点到y 轴距离是1||2AF ，所以以线段AF 为直径的圆与y 轴相切，D 正确. 故选：ACD11．已知：()()1,0,1,0A B -，直线,AP BP 相交于P ，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，则（ ）A ．当122k k ⋅=-时，P 点的轨迹为除去,AB 两点的椭圆 B ．当122k k ⋅=时，P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线C ．当122k k =时，P 点的轨迹为一条直线 D ．当122k k -=时，P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线 【答案】ABD【分析】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 逐个代入选项化简1k 与2k 的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 当122k k ⋅=-时，=11y yx x ⋅+-2-， 22222222(1)1(1)12y y y x x x x ⇒=-⇒=--⇒+=≠±-. 故P 点的轨迹为除去,A B 两点的椭圆，A 正确；当122k k ⋅=时，222222=222(1)1(1)1112y y y y y x x x x x x ⋅⇒=⇒=-⇒-=≠±+--，故P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线，B 正确；当122k k =时，12112(1)2(1)311yk x x x x x y k x x -+===⇒-=+⇒=-+-. 20,0k y ≠∴≠，即不含点(3,0)-，∴轨迹是一条直线不含(3,0)-，C 错误；当122k k -=时，则2=21(1)11y y y x x x x -⇒=-+≠±+-. 故P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线，D 正确. 故选：ABD.12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A (含边界)内有一动点P ，则（ ）A ．若1111,1B P mB B nB A m n =++=，则 1110B P B D ⋅= B ．若11(01)A P A B λλ=<<，则110C P BD ⋅= C ．若()11111111,22B P PA A E AC A D ==+，则 1123E B P A ⋅=- D ．若()1111112A E AC A D =+，则存在非零向量1B P 使111B P A E ⋅=- 【答案】BCD【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对每一个选项进行判断.【详解】对于A ，1111,1B P mB B nB A m n =++=， 则11111111(1())B P n B B nB A B B A B B n B =+-=-+111111()B P B B B A B B n BP nBA ⇒-=-⇒=，从而可知点P 在线段1BA 上，由于11B D 不垂直侧面11ABB A ，故1110B P B D ⋅=不成立，所以A 错误；对于B ，易证111AC B D ⊥，11BC B D ⊥，从而可知1B D ⊥平面11ABC ， 由11(01)A P A B λλ=<<，可知点P 在线段1BA 上，因此11B D C P ⊥，所以110C P B D ⋅=，B 正确；对于C ，11B P A E ⋅=()()11111111111224PA AC A D PA AC A D +=+⋅⋅ ()()11111111111112431()6B A B AC AD AC A D B B A +=+=⨯⋅+⋅ ()11111111()26B B A B A D B A =+⋅+ 11111111111111221()6B B B B B A B A D A B A A A B D ⋅+⋅+⋅+⋅= 12(0040)63=+-+=-，故C 正确； 对于D ，设1111B P B B B A λμ=+， 所以11B P A E ⋅=()()1111111111111111(222)()AC A D A B A D B B B A B B B A λμλμ+=++⋅+⋅ ()111111112(2)B B B A A B A D λμ+⋅=+ 11111111111111221()2B B B B B A B A D A B A D A B A λλμμ⋅+⋅+⋅+=⋅ 1(004)0221μμ+-+-==-=，得12μ=，从而可知1B P 不会是零向量，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x 221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤. 故答案为：11b -<≤或2b =-.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.14．数列{}n a 的前n 项和为()*,2n n n S S n n =-∈N ，则{}n a 的通项公式为________.【答案】11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩【分析】讨论1n =和2n ≥两种情况，进而利用1,1,,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得答案.【详解】由题意，1n =时，111a S ==，2n ≥时，()1121n n S n --=--，则()()11122121n n n n n n a S S n n ---=-=--+-=-，于是，11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 故答案为：11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线与,P Q 两点，且1PF 18FQ+=，则拋物线的准线方程为________. 【答案】18x =-【分析】根据题意作出图形，设直线PQ 与x 轴的夹角为α，不妨设||||PF QF ≥，设抛物线的准线与x 轴的交点为E ，过点P 作准线与x 轴的垂线，垂足分别为,P H '，过点Q 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为,Q G '，进一步可以得到||||||||||||cos PF PP EH EF FH p PF α'===+=+，进而求出||PF ，同理求出||QF ，最后解得答案.【详解】设直线PQ 与x 轴的夹角为(0)2παα<≤，根据抛物线的对称性，不妨设||||PF QF ≥，如图所示.设抛物线的准线与x 轴的交点为E ，过点P 作准线与x 轴的垂线，垂足分别为,P H '，过点Q 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为,Q G '. 由抛物线的定义可知，||||||||||||cos ||1cos pPF PP EH EF FH p PF PF αα'===+=+⇒=-，同理：||||||||||||cos ||1cos pQF QQ EG EF GF p QF QF αα'===-=-⇒=+,于是，111cos 1cos 218||||4p PF QF p p p αα-++=+==⇒=，则抛物线的准线方程为：18x =-.故答案为：18x =-.16．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________. 【答案】2276【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276. 四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n n n a a a a n ++-=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记[]lg n n b a =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.60=，[]lg661=. （i ）求1b 、23b 、123b ；（ii ）求数列{}n b 的前1000项的和. 【答案】(1)1n a n=； (2)（i ）10b =，231b =，1232b =；（ii ）1893.【分析】（1）推导出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）（i ）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得1b 、23b 、123b 的值；（ii ）分别解不等式0lg 1n ≤<、1lg 2n ≤<、2lg 3n ≤<，结合题中定义可求得数列{}n b 的前1000项的和. (1)解：因为11a =，()*11n n n n a a a a n ++-=∈N ，则221a a -=，可得212a =， 331122a a -=，可得313a =，以此类推可知，对任意的N n *∈，0n a ≠.由()11N n n n n a a a a n *++-=∈，变形为111111n n n n n n a a a a a a ， 1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是一个以1为公差的等差数列，且首项为111a ，所以，()1111n n n a =+-⋅=，因此，1n a n=.(2)解：（i ）[][]lg lg n n b a n =-=，则[][]1lg100b ===，1023100<<，则1lg10lg 23lg1002=<<=，故[]23lg 231b ==， 1001231000<<，则2lg100lg123lg10003=<<=，故[]123lg1232b ==； （ii ）lg10003=，当0lg 1n ≤<时，即当110n ≤<时，[]lg 0n b n ==， 当1lg 2n ≤<时，即当10100n ≤<时，[]lg 1n b n ==， 当2lg 3n ≤<时，即当1001000n ≤<时，[]lg 2n b n ==， 因此，数列{}n b 的前1000项的和为09190290031893⨯+⨯+⨯+=.18．如图，四边形ABCD 为矩形，1AB =，2AD =，E 为AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .(1)若3GAF π∠=，求AG 与BD 所成角的余弦值；(2)若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. 【答案】(1)1615 【分析】（1）以A 为原点，AD 、AB 所在的直线为x 、y 轴，以过A 点垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得AG 与BD 所成角的余弦值；（2）计算出平面ABG 的法向量，利用空间向量法可求得直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. (1)解：如图，以A 为原点，AD 、AB 所在的直线为x 、y 轴，以过A 点垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，223AC AB AD =+=，//AD BC ，则AEF CBF ∽△△，则12AF AE CF BC ==，故133AF AC == 因为GF ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，则GF AF ⊥， 若3GAF π∠=，则tan13GF AF π==，故()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0D、21,13G ⎫⎪⎪⎝⎭，则21,133AG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，113cos ,62333AG BD AG BD AG BD ⋅<>===⋅⨯. 因此，若3GAF π∠=，则AG 与BD 所成角的余弦值为16.(2)解：若3AF FG ==，则2E ⎫⎪⎪⎝⎭、2133G ⎝⎭， 21363EG ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =，21333AG ⎛= ⎝⎭，设平面ABG 的法向量为(),,n x y z =，则0213033n AB y n AG x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 取3x =(3,0,2n =-，6152cos ,252EG n EG n EG n⋅<>===⋅⨯ 所以直线EG 与平面ABG 1519．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，椭圆上的动点到焦点F 21. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 作一条不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的中垂线交x 轴于P ，当l 变化时，PFMN是否为定值? 若是，定值为多少? 【答案】(1)2212x y +=(2)【分析】(1)由抛物线24y x =方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出a b c ，，，的方程，解方程求a b c ，，，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦MN的长和其中垂线方程，再计算PFMN ，由此完成证明.(1)抛物线的交点坐标为（1，0），1c ∴=，又1,a c a +=∴= 又222b a c =-，∴ 21b =，∴椭圆的标准方程为2212x C y +=：. (2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得到2222124220k x k x k +-+-=（），显然0∆>， 22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，12MN x ∴=-=∴MN ∴==， 又MN 的中点坐标为2222(,)1212k kk k-++，直线l 的中垂线的斜率为1k - ∴ 直线l 的中垂线方程为2222121()+121212k k k y x x k k k k k =---=-+++，令220,12k y x k ==+，2222111212k k PF k k +∴=-=++，4PF MN ∴=. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥，N 分别是棱 1,CC BC 的中点，点P 在线段11A B 上.(1)当直线PN 与平面111A B C 所成角最大时，求线段1A P 的长度；(2)是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面1AC C 6，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)12 (2)存在， A 1P =14【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大； （2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得. (1)直线PN 与平面A 1B 1C 1所成的角即为直线PN 与平面ABC 所成角， 过P 作PH AB H ⊥于,PNH ∠即PN 与面ABC 所成的角， 因为PH 为定值，所以当NH 最小时线面角最大， 因为当P 为中点时，NH AB ⊥,此时NH 最小， 即PN 与平面ABC 所成角最大，此时112A P =.(2)以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴建立空间坐标系，则： A （0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,1) 设111(1,0,0)A P A B λλ===00λ（，，）(,0,1)P λ∴，111001222N M （，，），（，，），11111122222NP NM λ=--=-（，，），（，，），设平面PMN 的法向量为,,)n x y z =（， 则00NP n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11220x y z x y z λ⎧⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-++=⎩，解得1(3,21,22)n λλ=+-，平面AC 1C 的法向量为2(1,0,0)n =121222126cos ,98458414n n n n n n λλλλ⋅====+-+-+ 21168104λλλ∴-+==，.所以P 点为A 1B 1的四等分点，且A 1P =14.21．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p => 的焦点为F ，点(),02p T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭是x 轴上一定点，过F 的直线交C 与,A B 两点.(1)若过T 的直线交抛物线于,D E ，证明,D E 纵坐标之积为定值；(2)若直线,AT BT 分别交抛物线C 于另一点,P Q ，连接,P Q 交x 轴于点M .证明：,,OF OT OM 成等比数列.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）设直线方程为x my t =+，联立抛物线方程用韦达定理可得；（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F 、T 、Q 三点横坐标关系，然后可证. (1)显然过T 的直线斜率不为0，设方程为x my t =+， 联立22y px =，消元得到2220y pmy pt --=， 2D E y y pt ∴=-.(2)由（1）设11223344(,,(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y ）， 因为AP 与BQ 均过T (t ,0)点，可知13242,2y y pt y y pt =-=-，又AB 过F 点，所以212y y p =-，如图：2212344y y y y p t ∴=，2344y y t ∴=-,设M (n ，0）,由（1）类比可得223422,42,t y y pn t pn n p∴=-∴==.22,,2p t OF OT t OM p ===，且2222p t t p=⨯，∴,,OF OT OM 成等比数列.22．已知等差数列{}n a 各项均不为零，n S 为其前n 项和，点()211,n n a S -+在函数()2(1)f x x =-的图像上.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足13nn n a b -=，求{}n b 的前n 项和n T ； (3)若数列{}n c 满足114(1)n n n n n c a a -+=-，求{}n c 的前n 项和的最大值、最小值.【答案】(1)21n a n =- (2)1133n n n T -+=-(3)最大值为43，最小值为45【分析】（1）将点代入函数解析再结合前n 和即可求解； （2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；（3）将数列{}n c 的通项变形为111(1)()2121n n c n n -=-+-+，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可. (1)因为点211,n n a S -+（）在函数2()(1)f x x =-的图像上， 所以222111n n n S a a -=+-=（），又数列{}n a 是等差数列，所以121212(21)(21)22n n n a a aS n n --+=⨯-=⨯-， 即21(21),n n S n a -=-所以2(21)n n a n a =-，0,21n n a a n ≠∴=-；(2)解法1：11211213(1)21233333n n n n n n n n n n n b --------+-===-+， 1300121131()11210...2333331nn n n n n T ----∴=-+-++-+-=111333n n n ---+-=1133n n -+-， 解法2：012211352321 (33333)n n n n n T ----=+++++， ① 123111352321...333333n n n n n T ---=+++++， ② ①-② 得 12311211112112112(...)233333333n n n n n n n T ----=+++++-=--， 1133n n n T -+∴=-； (3) 11114(21)(21)11(1)(1)(1)()(21)(21)2121n n n n n n n n n c a a n n n n ---+-++=-=-=-+-+-+ 记{}n c 的前n 项和为n W ，则n W =112311111111...()()()...(1)()1335572121n n c c c c n n -++++=+-+++++-+-+ 111121n n -=+-+（）， 当n 为奇数时n W 1121n =++随着n 的增大而减小，可得413n W <≤，当n 为偶数时n W 1121n =-+随着n 的增大而增大，可得415n W ≤<， 所以n W 的最大值为43，最小值为45.。
湖北省黄冈中学高二数学上学期期末考试试题 文 新人教A版
数 学 试 题（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．命题：“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是 ( ) A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在03200,10x R x x ∈-+≤ C. 存在03200,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>2．椭圆22143x y +=的焦距为( )A. 1C. 2D. 3．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知函数xe x xf )3()(-=，则(0)f '＝（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 45．斜率是1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，则线段AB 的长是（ ）A ．2B ．4C ．D ． 86．在区间[0,4]内随机取两个实数,a b ，则使得方程220x ax b ++=有实根的概率是( ) A ．14B ．13C ．16D ．567．过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-P 的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．01335=--y xB ．01335=-+y xC ．01335=+-y xD ．01335=++y x8. 已知函数()f x 的图象是下列四个图象之一，且其导函数()f x '的图象 如右图所示，则该函数的图象是( )9．已知函数3()3f x x x a =-+有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2][2,)-∞⋃+∞C ．(2,2)-D ．[-2,2]10. 如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是( )A ．2B ．3C ．23 D ．26 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡相应位置上．) 11. 在区间[-1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 .12. “若y x >，则22y x >”的逆否命题是13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米，水面宽4米， 水位下降2米后，水面宽 米.14．函数24(),[2,2]1xf x x x =∈-+的最大值是________，最小值是________．ADCB13题图OxyA BF 1F 21015．已知O 为原点，在椭圆2213627x y +=上任取一点P ，点M 在线段OP 上,且13OM OP =,当点P 在椭圆上运动时，点M 的轨迹方程为 .16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 .17．若直线1y kx =+与曲线21x y =+有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（本小题满分12分）设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．19. （本小题满分13分）已知双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0a b >>)的与双曲线13:222=-y x C 有公共渐近线，且过点10A （，）. （1）求双曲线1C 的标准方程（2）设F 1、F 2分别是双曲线1C 左、右焦点．若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S.20. （本小题满分13分）设2()61025f x lnx ax ax a =+-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点(0,6).（1）求a 的值; （2）求函数()f x 的单调区间与极值.21. (本小题满分13分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-.（1）求此抛物线的方程;（2）已知点(1,0)B -，设直线:(0)l y kx b k =+≠与抛物线C 交于不同的两点1122(,),(,)P x y Q x y ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点，并求出该定点坐标.22. （本小题满分14分）如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中斜率为k 的直线1l 交圆2C 于A,B 两点,2l 交椭圆1C 于另一点D （1）求椭圆1C 的方程; （2）试用k 表示ABD ∆的面积S;（3）求ABD ∆面积S 取最大值时直线1l 的方程.xOyBl 1l 2PDA（第22题图）参考答案CCBBD,A ABCD11.3112.若22y x ≤，则y x ≤ 13.14．2 ;－2 15． 22143x y += 16． 6 17．1k <<- 18．若p 为真，则24020m m m ⎧∆=->⇒>⎨-<⎩若q 为真，则216(2)1616(1)(3)013m m m m ∆=--=--<⇒<< 由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 和q 一真一假①若p 真q 假，则2313m m m m >⎧⇒⎨⎩≥≤或≥②若p 假q 真，则2213m km m ⎧⇒⎨<<⎩≤≤ 综上知12m <≤或3m ≥19.解：（1）2213y x -=，（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2在12F PF ∆中，由余弦定理有222162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+-12mn ∴= 11sin 601222S mn ∴==⨯=20.（1）因为6()2(5)f x a x x'=-+令1,(1)16,(1)68,()x f a f a y f x '===-=得所以曲线 在点(1,(1))f 处的切线方程为16(68)(1)y a a x -=--由点(0,6)在切线上可得161686,2a a a -=-=故.（2）由（1）知，21()(5)6ln (0)2f x x x x =-+>，6(2)(3)()5x x f x x x x --'=-+=令()0f x '=，解得122,3x x ==当02x <<或3x >时，()0f x '>，故()f x 在(0,2),(3,)+∞上为增函数；当23x <<时，()0f x '<，故()f x 在(2,3)上为减函数.由此可知，()f x 在2x =处取得极大值9(2)6ln 22f =+，在3x =处取得极小值(3)26ln3f =+ 21. 解：(1) x y82=(2)将28y kx b y x =+=代入中，得222(28)0k x bk x b +-+=， 其中32640kb ∆=-+>由根与系数的关系得，12282,bkx x k-+= ①2122.b x x k =② ∵x 轴是∠PBQ 的解平分线， ∴121211y yx x =-++，即1221(1)(1)0,y x y x +++=∴1221()(1)()(1)0kx b x kx b x +++++=，∴12122()()20kx x b k x x b ++++=，③ 将①②代入③并整理得222()(82)20kb k b bk k b ++-+=，∴k b =-，此时△>0 ∴直线l 的方程为(1)y k x =-，即直线l 过定点(1,0).22.解:(1)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=; (2)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==; 由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||44D P k x x DP k k +=-∴==++所以11||||22S AB DP ===(3)S ==2323213==≤=++当252k k=⇒=⇒=时等号成立, 此时直线，1:1l y=-。