三角形
三角形
特殊点、线
证明 五心的距离
作用
其中，R是外接圆半径；r是内切圆半径。
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。 ∴第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性 任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形（n≥4）每个角都不固定
基本定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧 线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。
分类
判断方法
三角形
几何图形
01 基本定义
03 周长公式 05 四线
目录
02 分类 04 面积公式 06 性质
07 边角关系
09 相似
目录
08 全等 010 特殊点、线
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、 建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等 的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角 形统称斜三角形。
相似
定义
特点
判定
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。 2、相似三角形对应边的比叫做相似比。 3、相似三角形的周长比等线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。
三角形的特征
三角形的特征
定义
三角形是由三条线段连接而成的几何图形。
每条线段称为三角
形的边，而连接边的点称为三角形的顶点。
特点
1. 三边相交于顶点
三角形的三条边都相交于顶点，且相邻的两条边之间没有空隙。
2. 三个内角相加为180度
三角形的三个内角之和总是等于180度。
3. 两边之和大于第三边
三角形的任意两边之和必须大于第三边的长度。
4. 正三角形的特殊性
正三角形是一种特殊的三角形，三边长度相等且三个内角都是60度。
5. 等腰三角形的特征
等腰三角形是指两条边的长度相等，且两个对应的内角也相等。
6. 直角三角形的特性
直角三角形是指其中一个内角为90度，而其他两个内角之和
为90度。
7. 锐角三角形和钝角三角形
根据三个内角的大小关系，三角形可以分为锐角三角形（三个
内角都小于90度）、直角三角形（一个内角为90度）和钝角三角
形（一个内角大于90度）。
应用领域
三角形的特征和性质在几何学、物理学、工程学等领域应用广泛。
可以通过测量三边长度和内角大小，来确定三角形的形状和尺寸，从而用于建筑、机械、电子等设计中的角度计算和模型构建。
总结
三角形是由三条线段连接而成的几何图形，具有特定的特征和性质。
我们可以通过研究三角形的边长、内角等来确定其形状和尺寸，以及在各个领域的实际应用中进行计算和建模。
三角形的基本概念和定义
三角形的基本概念和定义三角形是几何学中最基本的形状之一，其作为平面图形，由三条线段所构成。
本文将探讨三角形的基本概念和定义，其中包括三角形的构成要素、分类以及相关定理。
一、三角形的构成要素三角形由3条线段所构成，我们称之为边。
这3条边可以连接成一个封闭的图形，其中任意两条边的交点称为顶点。
顶点之间的线段称为角。
在三角形中，我们可以将边分为不同的角度，从而定义其性质。
其中，最长的一条边叫做底边，其他两条边叫做腿（legs）。
两条腿的末端构成顶点。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的不同，我们可以将三角形进行分类。
以下是常见的分类：1. 根据边长分类：- 等边三角形：三条边的长度都相等，每个角都是60度。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，两个对应的角也相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角也都不相等。
2. 根据角度分类：- 直角三角形：其中一个角是90度。
根据两腿的长度关系，我们还可以分为等腿直角三角形和斜腿直角三角形。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：所有角都小于90度。
三、三角形的相关定理在三角形中，存在一些定理和性质，这些定理可以帮助我们研究和解决与三角形相关的问题。
以下是一些常见的三角形定理：1. 三角形内角和定理：三角形的所有内角的和等于180度。
2. 三边定理（三角形的海伦公式）：设三角形的三边长分别为a、b、c，其半周长为s，则三角形的面积可以用海伦公式计算：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 直角三角形的勾股定理：直角三角形中，两个腿的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，顶角相等。
5. 等边三角形的性质：所有角都是60度，每个角的外角也是60度。
6. 同位角定理：当两条平行线被一条截线切割，所形成的内角和外角相等。
7. 外角定理：三角形的外角等于不相邻的内角之和。
三角形
A
A E A D C C B F
F
B
B
D
C 中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D ) C B C B B D A C D C A A D D A B (A) (B) (C) (D) 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
C
∠BOC=90°+
1 ∠A 2
4.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线， 交于点P。 1 求证：∠P=90°- ∠A
A
C
4
2
B
2 1
3
解:∵BP、CP是外角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∵∠EBC是△ABC的外角 ∴ ∠EBC=∠A+∠ACB =∠A+(180°-∠3-∠4) ∴ ∠EBC=∠1+∠2 2∠1=∠A+(180°-2∠3) 2∠1+2∠3=∠A+180°
那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
A
E
3. 已知AD,BE分别是∆ABC中BC,AC边上的高 ，BC=8cm,AC=5cm,若AD=4cm,求BE的长? B D
C
2,三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相 交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角 平分线。
w
1，如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边
BC,AD,CE 的中点, 且S
A
△ABC=4cm 2,则S阴影等于
E F B D C
A E
2，如图， S△ABC=1,且D是BC的 中点，AE:EB=1:2,求△ADE的面积.
C B D
（1）三角形的三条高线(或高线所在直 线)交于一点
三角形知识点总结
三角形知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
下面就来对三角形的相关知识点进行一个全面的总结。
一、三角形的定义和基本要素三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
三角形有三个顶点、三条边和三个角。
三角形的内角和为 180 度，这是三角形一个非常重要的性质。
二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个角都小于 90 度的三角形。
（2）直角三角形：有一个角等于 90 度的三角形。
（3）钝角三角形：有一个角大于 90 度小于 180 度的三角形。
2、按边分类（1）等边三角形：三条边都相等的三角形。
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。
其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（3）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
三、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
例如，有三条线段 a、b、c，如果 a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a，同时｜a b| ＜ c，｜a c| ＜ b，｜b c| ＜ a，那么这三条线段可以组成三角形。
四、三角形的高、中线和角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
2、三角形的中线连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
中线将三角形分成面积相等的两个部分。
3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的证明方法
三角形的证明方法
三角形的证明方法有以下几种：
1. 使用勾股定理证明：如果已知三角形的三边长度，可以利用勾股定理来证明三角形的存在。
勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c为三角形的三边长度。
2. 使用余弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，则可以使用余弦定理来证明三角形的存在。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c为三角形的第三边长度，a、b为两边长度，C为夹角的度数。
3. 使用正弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和一个夹角的度数，可以使用正弦定理来证明三角形的存在。
正弦定理表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边长度，A、B、C为夹角的度数。
4. 使用面积法证明：如果已知三角形的三个顶点坐标，可以利用向量叉积的方法来计算三角形的面积。
如果面积不为零，则可以证明三角形的存在。
这些方法可以根据已知的条件选择合适的方法证明三角形的存在。
三角形所有知识点
三角形所有知识点三角形，这可是数学世界里的“常客”！从小学到高中，它一直陪伴着咱们的学习旅程。
先来说说三角形的定义吧。
三角形啊，就是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。
这听起来是不是有点抽象？给您举个例子，咱家里的三角衣架，那就是个实实在在的三角形。
它的三条边紧紧相连，形成了一个稳定的形状，能稳稳地挂住衣服。
三角形的分类那也是有讲究的。
按角来分，可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形就是三个角都小于 90 度的三角形。
您想想看，那些小巧可爱的三角积木，它们的角是不是都比较尖锐，这很可能就是锐角三角形哟！直角三角形呢，有一个角是 90 度，像咱们教室里的墙角，那就是个直角。
钝角三角形就更好理解啦，有一个角大于 90 度小于 180 度。
按边来分的话，有等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等，都是 60 度。
还记得学校门口卖的彩色三角旗吗？有时候就会有等边三角形的，看起来特别规整。
等腰三角形呢，有两条边相等，相应的两个角也相等。
就像有些女士戴的等腰三角形的耳环，是不是很漂亮？三角形的内角和是 180 度，这可是个非常重要的知识点。
我记得有一次和孩子一起做手工，我们用硬纸板剪了几个三角形，然后想办法去测量它们的内角和。
孩子一开始还不太相信内角和一定是 180 度，结果我们量了又量，算了又算，最后得出的结论都是 180 度，孩子可兴奋了，对这个知识点记得特别牢。
三角形还有个很重要的性质，就是三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这在我们生活中也很有用呢！比如说，我们要搭一个三角形的架子，如果选的三根木条长度不符合这个条件，那可就搭不成三角形啦。
再来说说三角形的面积。
三角形的面积等于底乘以高除以 2。
这就好比我们要给一块三角形的地种庄稼，得先算出它的面积，才能知道需要多少种子。
在高中阶段，我们对三角形的研究就更深入啦。
三角形所有知识点总结
三角形所有知识点总结一、三角形的定义和性质1.1 三角形的定义三角形是由三条线段相互连接而成的闭合图形。
1.2 三角形的分类根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类： - 等边三角形：三条边的长度相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：三个角都小于90度。
1.3 三角形的性质三角形有许多重要性质需要了解： - 三角形的内角和为180度。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 等边三角形的三个角都是60度。
- 等腰直角三角形的两个锐角都是45度。
二、三角形的重要定理2.1 三角形的重心定理重心定理指出，三角形的三条中线交于一点，该点被称为重心。
重心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：重心到某个顶点的距离等于其他两个顶点到该顶点距离的和的一半。
2.2 三角形的垂心定理垂心定理指出，三角形的三条高交于一点，该点被称为垂心。
垂心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：垂心到某个顶点的距离等于其他两个顶点到该顶点距离的和的一半。
2.3 三角形的外心定理外心定理指出，三角形的三条垂直平分线交于一点，该点被称为外心。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
2.4 三角形的角平分线定理角平分线定理指出，三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为角平分点。
角平分点到三角形的三个顶点的距离满足以下关系：角平分点到某个顶点的距离与该边对应边的长度之比等于另外两个顶点到对边的距离与对边长度的比值。
三、三角形的边长计算公式3.1 三角形的周长三角形的周长即三边之和，用公式表示为：周长 = 边1长 + 边2长 + 边3长。
3.2 三角形的面积根据海伦公式，可以计算三角形的面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可通过以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s=(a+b+c)/2。
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店上联校北村小学学案（学生用）
姓名科目数学年级五课型新授课课题三角形面积的计算时间编号5-2-1 学习目标：
1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．
2．培养观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．
3．培养勤于思考，积极探索的学习精神．
教学重点:理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．
教学难点:理解三角形面积公式的推导过程．
检测：一、自学检测
1、两个完全一样的三角形能拼成一个（），拼成的（）的底等于三角形的（），高等于三角形的（），面积是每个三角形面积的（），所以一个三角形的面积等于（），用字母表示为（）。
2、一个平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的（）。
二、基础检测
1、判断
（1）平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
（）
（2）等底等高的两个三角形的面积一定相等。
（）
（3）平行四边形的面积比三角形的面积大。
（）
（4）一个三角形的底扩大到原来的3倍，高缩小到原来的1/3，面积不变。
（）
2、选择题
（1）直角三角形有（）条高。
A、1
B、2
C、3
（2）两个完全一样的（）三角形可以拼成一个正方形。
A、等腰
B、直角
C、等腰直角
3、解决问题
（1）一个三角形的面积是24平方分米，它的高是5分米，求它的底，
（2）为迎接元旦，学校准备做800面三角形小旗，每面小旗的底是25厘米，高是8厘米，学校需要买多少平方米的红布？
（3）如图正方形的周长是24厘米，那么阴影部分的面积是多少？
店上联校北村小学导案（教师用）
姓名李红梅科目数学年级五课型新授课课题三角形面积的计算时间编号5-2-1 学习目标：
1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．
3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神．
教学重点:理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．
教学难点:理解三角形面积公式的推导过程．
导学流程：
一、复习导入
1．出示平行四边形
1.5厘米
2厘米
提问：(1)这是什么图形?怎样计算平行四边形的面积。
（板书：平行四边形面积＝底×高）
(2)底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。
(3)平行四边形面积的计算公式是怎样推导的?
2．出示三角形。
三角形按角可以分为哪几种?
3．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?（揭示课题：三角形面积的计算）
教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）
二、出示目标、重难点
1、目标：理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．
2、重难点：理解三角形面积公式的推导过程．
三、指导探索
（一）推导三角形面积计算公式．
1．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？
2．用两个完全一样的直角三角形拼．
（1）教师参与学生拼摆，个别加以指导
（2）可以拼成哪些图形？（大三角形、长方形、平行四边形）
（3）讨论
①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式
吗？为什么？
②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
3．用两个完全一样的锐角三角形拼．
（1）可以拼成哪些图形？（指名演示）
（2）讨论：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
4．用两个完全一样的钝角三角形来拼．由学生独立完成．
5．讨论：
（1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？
（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
（3）三角形面积的计算公式是什么？
6、引导学生明确：
①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
（同时板书）
③这个平行四边形的底等于三角形的底。
（同时板书）
④这个平行四边形的高等于三角形的高。
（同时板书）
7、三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?为什么要加上“除以2”？（强化理解推导过程）
板书：三角形面积＝底×高÷2
如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？
（二）自学例1
红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？
1．由学生独立解答．
2．集体订正
3、尝试练习完成“做一做”
四、练习检测：完成学案
五、课堂总结
这节课大家有什么收获？还有什么疑问？
课后反思：。