关于斐波那契数列差分方程模型的建立
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
差分模型 (1)讲解
以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0 表示第一周期初，t=1表示第二周期初。 记 yt 为变量y在时刻t 时的取值，则称
yt yt 1 yt; y(t ) y(t 1) y(t )
为 yt 的一阶差分，称 2 yt ( yt ) yt 1 yt ( yt 2 yt 1 ) ( yt 1 yt ) yt 2 2 yt 1 yt . 为的二阶差分。
也是方程（2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（2）也成立。
例3 试改变差分方程 3 yt 2 yt 0 的形式. 例4试确定下列差分方程的阶.
(1) yt 3 yt 2 yt 4 0;(2) 5 yt 5 3 yt 1 7.
a0 ynt a1 ynt 1 L an yt b(t )
的形式，其对应的齐次方程为
（1）
a0 ynt a1 ynt 1 L an yt 0 （2） ( 2) (1) 容易证明，若序列 y t 与 y t 均为方程（2）的解，则
yt c1 yt(1) c2 yt( 2 )
P 记t时段初市场上的供应量 (即上 P0 一时段的生产 量)为xt ，市场上 该商品的价格 为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的， 即 P2 P* 1 Pt g ( xt ) P1 , Mt将趋于平衡点 随着 t M*,即商品量将趋于平衡 量x*,价 格将趋于平衡价 格P*。图中的箭 o 线反映了在市场经济下该商品的 供应量与价格的发展趋势。 P
图①和图②的区别在哪里， 不难看出，在 图①中平衡点 如何判定平衡点的稳定 性呢？ M *处供应曲线的切线斜率大于 需求曲线切线斜率的绝对值， 而在图②中情况恰好相反。
Fibonacci数列(斐波那契数列)
1 5 1 5 f n C1 C 2 2 2
n
n
3.Fibonacci数列的通项公式
根据初始条件 f1 f 2 1 ,可能确定常数
c1 , c2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
4.自然界中的斐波那契数列
科学家发现，很多植物的花瓣、萼片、果实 的数目以及排列的方式上，都有一个神奇的 规律，它们都非常符合著名的斐波那契数列。
4.自然界中的斐波那契数列
现代科学研究表明，0.618在养生中起重要作 用。注意了这些黄金分割点，对养生健体大 有好处。现在发现此比值和医学保健、健康 长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的 黄金分割律。在人体结构上，0.618更是无处 不在。脐至脚底与头顶至脐之比；躯干长度 与臀宽之比；下肢长度与上肢长度之比，均 近似于0.618。
4.自然界中的斐波那契数列
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以 有时人们在时间中并非注意到这个比例，而 特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了 这个法则之中。这也说明了，黄金分割的本 身就存在有美的性质。
5.练习
借助计算机，求解下列线性差分方程（即求 出数列的通项公式）。
an2 2an1 2an a1 3, a2 8
得到
fn2 fn1 fn n2 n 1 n
3.Fibonacci数列的通项公式
消去因子有
解得
1
斐波那契数列 ppt课件
end
%循环结束
fn=log(fn) %将原来的数据取对数
plot(fn)
%将装有数列前n项的数组显示出来
返回
根据取对数后的数据，拟合出线性表达式
function fitlnfibo(n) %先取对数，再拟合
fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn中
for i=3:n %fn的第3项到第n项
从图形看，显然是非线性关系，数据点列呈 现单调上升趋势，开始上升较快随后逐渐变 慢，故宜采用多项式、双曲型函数、指数型 函数或对数型函数做拟合等
27Βιβλιοθήκη 2、采用2，4和6阶多项式进行拟合 代码： p2= polyfit(t,y,2); p4= polyfit(t,y,4); p6= polyfit(t,y,6); R1 = dot(y-polyval(p6,t),y-polyval(p6,t)) %计算拟合残 差 plot(t,y,'r+',t,polyval(p2,t),t,polyval(p4,t),t,polyval(p6,t)) legend('测量数据', '2阶拟合', '4阶拟合', '6阶拟合‘)
推导fibonacci数列的通项公式21nnnfff????fibonacci数列具有如下递推关系这是一个二阶常系数线性齐次差分方程仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解特征方程21rr??两个特征根12152r??22ppt课件差分方程的通解12151522nnnfcc????????????????????取n1和n2代入上面的公式中解得121155cc???从而得到1515225????????????????nnnf23ppt课件六化学反应中生成物的浓度问题24ppt课件1描绘生成物浓度的散点图代码
Fibonacci数列(斐波那契数列)
f e 0 . 4 7 8 2 n 0 . 7 6 2 4 0 . 4 6 6 5 e 0 . 4 7 8 2 n
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2fn1fn ，称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。
猜测： 1 和 2 都是差分方程的解，都是数列
的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fnC 11nC2 2 n ，代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！
因此，差分方程的解为：
n
n
fnC1125 C2125
3.Fibonacci数列的通项公式
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有 生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明， 生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六， 也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心 理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达 到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活 作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时 间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在 动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还 是"生命在于静养"？
根据初始条件 f1 f2 1,可能确定常数 c 1 , c 2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
3.Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列（斐波那契数列）
斐波那契数列(Fibonacci sequence)及相关结论
斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。
证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。
这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。
2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。
4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。
斐波那契数列通项公式的推导方法ppt课件
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3)结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
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关于斐波那契数列差分方程模型的建立
摘要
本文主要对斐波那契数列差分方程模型的建立问题做了相关叙述。
针对模型建立过程中斐波那契数列的差分方程以及通项公式求解问题，首先，通过分析建立出模型；其次，利用代数方法和matlab求解该模型对应的特征方程，特征根以及方程通解各项系数，最后得到所求差分方程及通项公式。
关键词：差分方程，特征方程，特征根，通解，通项公式
目录
一、问题重述 ................ 错误！未定义书签。
二、问题分析 ................. 错误！未定义书签。
（1）问题1的分析 (3)
（2）问题2的分析 (3)
三、模型假设 ................. 错误！未定义书签。
四、定义与符号说明 ........... 错误！未定义书签。
五、模型的建立与求解 ......... 错误！未定义书签。
（1）模型建立 ............. 错误！未定义书签。
（2）模型求解 ............. 错误！未定义书签。
六、模型评价与推广 ........... 错误！未定义书签。
七、附录 ..................... 错误！未定义书签。
一、问题重述
假设在某年第一月初有雌雄各一的一对小兔。
假定两个月后这对小兔长成成兔，同时（即第三个月）开始在每月月初产下雌雄各一的一对小兔，新增的小兔也按此规律繁殖。
设在第n个月月末共有n F对兔子，试建立关于n F的差分方程，并求n F的通项公式。
二、问题分析
（1）问题1的分析
通过对问题1分析可知，当月兔子的对数由两部分组成，一部分是上个月的兔子对数，另一部分是本月新生兔子的对数；另第一个月的兔子对数为1，第二个月兔子对数也为1。
由此容易得出：本月兔子对数=上月兔子对数+本月新生兔子对数，从而建立所求差分方程的模型。
（2）问题2的分析
通过对问题2分析可知，要想求出n F的通项公式，必须求出问题1中差分方程的特征根以及其通解各项的系数。
利用高等数学相关知识，可求出差分方程的特征根以及其通解各项的系数，进而求出n F的通项公式。
三、模型假设
（1）假设雌雄兔子同时正常成长；
（2）假设成兔和小兔同步成长，且彼此互不影响；
（3）假设所有兔子的成长环境稳定，不受外界干扰，并严格按照生长规律繁殖。
四、定义与符号说明
n表示第几个月份,(n=1,2,3...)；
n F 表示第n 个月末时兔子的对数；
λ表示特征方程的特征根；
1C ，2C 表示差分方程通解的各项系数。
五、模型的建立与求解
（1）模型建立
12,(2);121,1n n n n F F F F F -->==+⎧⎨==⎩
（2）模型求解 特征方程：
210λλ--=
方程的特征根：
1211,22
λλ+-=
=
由于特征根互异,所以差分方程的通解为
:
1211((22
n n
n F C C +=+
由121,1F F ==
，可求得：1,2C C =
=
所以：11((22n n
n F +-=
故n F
的通项公式为：1122n n
n F =
-
六、模型评价与推广
本模型能给出题目所需求的通项；但此模型基于的是我们的假设，比如：假设雌雄两兔同时出生长大，其繁殖生长不受环境影响且具有严格规律性。
这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响。
七、附录
Matlab源程序
（1）
clc,clear;
tic
a=1;
b=-1;
c=-1;
d=b*b-4*a*c;
x=[(-b+sqrt(d))/(2*a),(-b-sqrt(d))/(2*a)]
toc
clc,clear;
（2）
tic
syms c1c2; %定义两个符号变量
[c1,c2]=solve('(c1*(1+sqrt(5)))/2+(c2*(1-sqrt(5)))/2=1','(c1*(3+s qrt(5)))/2+(c2*(3-sqrt(5)))/2=1');%定义一个 2x1 的数组，存放c1，c2 A=[(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2;(3+sqrt(5))/2,(3-sqrt(5))/2];
B=[1;1];
C=A\B %可以看成将（*）式左边都除以系数矩阵A
toc。