鲁教版(五四制)九年级上册第三章第7节二次函数与一元二次方程 测试

鲁教版九年级上册第三章第7节二次函数与一元二次方程测试一、选择题1.对于二次函数y =3(x−2)2+1的图象，下列说法正确的是()A. 开口向下B. 对称轴是直线x=−2C. 顶点坐标是(2,1)D. 与x轴有两个交点2.二次函数y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+2019的值为A. 2018B. 2019C. 2020D. 20213.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是()4.5.A. ac<0B. b2−4ac>0C. 2a−b=0D. a−b+c=06.抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 37.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②a+12b+14c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.已知抛物线y=x2+2mx+m−7与x轴的两个交点在(1,0)两旁，则关于x的方程14x2+(m+1)x+ m2+5=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有实数根D. 无实数根9.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为()10.11.12.A. −7B. 7C. −10D. 1013.对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y=−x2−10x+m(m≠0)有两个不相等的零点x1，x2(x1<x2)，关于x的方程x2+10x−m−2=0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3<x4)，则下列关系式一定正确的是()A. 0<x1x3<1 B. x1x3>1 C. 0<x2x4<1 D. x2x4>114.二次函数y=kx2−4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是()A. k<2B. k<2且k≠0C. k≤2D. k≤2且k≠015.已知二次函数y=x2−2bx+2b2−4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为()A. −1B. 2C. 3D. 416.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是(−4,0)，(6,0)，则抛物线的对称轴是()A. 1B. 直线x=1C. 2D. 直线x=217.关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若二次函数y=ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b，则t的取值范围是()A. 14<t<12B. −1<t≤14C. −12≤t<12D. −1<t<12二、填空题18.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−3,0)、B(4,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x−1)2+c=b−bx的解是___________．19.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(−2,0)，(6,0)两点，则该抛物线的对称轴是______．20.若y关于x的函数y=ax2−(2a+1)x+a+2的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为______．21.已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+2018的值为______．22.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，则一元二次方程x2+bx+c=0的根为______．三、解答题23.已知抛物线y=x2+mx+12m−1，其中m是实数．(1)若抛物线的对称轴是x=1，求抛物线的顶点坐标；24.(2)求证：不论m是何实数，抛物线与x轴总有两个交点；25.(3)设抛物线与x轴两个交点A、B之间的距离为l，当m变化时，求l的最小值．26.27.28.29.30.31.32.33.已知关于x的一元二次方程mx2−(m−1)x−1=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若抛物线y=mx2−(m−1)x−1与x轴有两个公共点A，B，且AB=3，求m的值．34.已知函数y1=mx2+n，y2=nx+m(nm≠0)的图象在同一平面直角坐标系中．35.(1)若两函数图象都经过点(−2,6)，求y1，y2的函数表达式；36.(2)若两函数图象都经过x轴上同一点；37.①求mn的值；38.②当x>1，比较y1，y2的大小．39.40.41.42.43.44.45.46.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)与x轴交于点A(1,0)，顶点为B．47.(Ⅰ)a=1时，c=3时，求抛物线的顶点B的坐标；48.(Ⅱ)求抛物线y1=ax2+bx+c与x轴的另一个公共点的坐标(用含a，c的式子表示)；,b+8)，求当x≥1时，49.(Ⅲ)若直线y2=2x+m经过点B且与抛物线y1=ax2+bx+c交于另一点C(cay1的取值范围．50.51.52.53.54.55.答案和解析1.【答案】C【解析】解：二次函数y=3(x−2)2+1的图象的开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,1)，当y=0时，3(x−2)2+1=0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．故选：C．利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用3(x−2)2+1=0的实数解的个数对D进行判断．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2.【答案】C【解析】【试题解析】解：把(m,0)代入y=x2−x−1得m2−m−1=0，所以m2−m=1，所以m2−m+2019=1+2019=2020．故选：C．把(m,0)代入y=x2−x−1得m2−m=1，然后利用整体代入的方法计算m2−m+2019的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．3.【答案】C【解析】解：A、由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c>0，因此ac<0，故本选项正确，不符合题意；B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2−4ac>0，故本选项正确，不符合题意；C、由对称轴为x=−b2a=1，得2a=−b，即2a+b=0，故本选项错误，符合题意；D、由对称轴为x=1及抛物线过(3,0)，可得抛物线与x轴的另外一个交点是(−1,0)，所以a−b+c=0，故本选项正确，不符合题意．故选：C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程−x2+4x−4=0得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．【解答】解：当x=0时，y=−x2+4x−4=−4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,−4)，当y=0时，−x2+4x−4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选：C．5.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；∵b=−2a，∴a+12b=a−a=0，∵c>0，∴a+12b+14c>0，所以②错误；∵C(0,c)，OA=OC，∴A(−c,0)，把A(−c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2−bc+c=0，∴ac−b+1=0，所以③错误；∵A(−c,0)，对称轴为直线x=1，∴B(2+c,0)，∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；故选：B．①由抛物线开口方向得a<0，由抛物线的对称轴位置可得b>0，由抛物线与y轴的交点位置可得c>0，则可对①进行判断；②根据对称轴是直线x=1，可得b=−2a，代入a+12b+14c，可对②进行判断；③利用OA=OC可得到A(−c,0)，再把A(−c,0)代入y=ax2+bx+c即可对③作出判断；④根据抛物线的对称性得到B点的坐标，即可对④作出判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．根据抛物线y=x2+2mx+m−7与x轴的两个交点在(1,0)两旁，可知当x=1时，y<0，从而可以求得m的取值范围，即可判断方程14x2+(m+1)x+m2+5=0中△的正负情况，从而可以判断根的情况，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=x2+2mx+m−7与x轴的两个交点在(1,0)两旁，∴当x=1时，y=1+2m+m−7<0，得m<2，∵方程14x2+(m+1)x+m2+5=0，∴△=(m+1)2−4×14×(m2+5)=2m−4<0，即方程14x2+(m+1)x+m2+5=0无实数根，故选：D．7.【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根的判别式，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．先根据抛物线的开口向上可知a>0，由顶点纵坐标为−7得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+ m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】方法一：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为−7，∴a>0．−b24a=−7，即b2=28a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2−4am≥0，即28a−4am≥0，解得m≤7，∴m的最大值为7，方法二：解：一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则二次函数y=ax2+bx的图象与直线y=−m有交点，由图象得，−m≥−7，解得m≤7，∴m的最大值为7，故选B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．根据题意画出关于x的二次函数y=−x2−10x+m(m≠0)的图象以及直线y=−2，根据图象即可判断．【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x−m−2=0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3<x4)，就是关于x的二次函数y=−x2−10x+m(m≠0)与直线y=−2的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x=−−102×(−1)=−5，∴x3<x1<−5，由图象可知：0<x1x3<1一定成立，故选：A．9.【答案】D【解析】解：∵y=kx2−4x+2为二次函数，∴k≠0，∵二次函数y=kx2−4x+2的图象与x轴有公共点，∴△=(−4)2−4k×2≥0，解得k≤2，综上所述，k的取值范围是k≤2且k≠0．故选：D．先根据二次函数的定义得到k≠0，再根据抛物线与x轴的交点问题得到△=(−4)2−4k×2≥0，然后解不等式即可得到k的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)，△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：当△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．10.【答案】C【解析】解：由二次函数y=x2−2bx+2b2−4c的图象与x轴有公共点，∴(−2b)2−4×1×(2b2−4c)≥0，即b2−4c≤0①，由抛物线的对称轴x=−−2b2=b，抛物线经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，b=1−b+2b+c2，即，c=b−1②，②代入①得，b2−4(b−1)≤0，即(b−2)2≤0，因此b=2，c=b−1=2−1=1，∴b+c=2+1=3，故选：C．求出抛物线的对称轴x=b，再由抛物线的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，也可以得到对称轴为1−b+2b+c2，可得b=c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2−4c≤0，进而求出b、c 的值．本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．11.【答案】B【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为(−4,0)，(6,0)，∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=−4+62=1，即x=1．故选：B．因为点(−4,0)，(6,0)的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1+x22求解即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=x1+x22求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是(x1,0)，(x2,0)，则抛物线的对称轴为直线x=x1+x22．12.【答案】D【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，∴二次函数y=ax2+bx+12的图象过点(−1,0)，∴a−b+12=0，∴b=a+12，t=2a+b，则a=2t−16，b=2t+26，∵二次函数y=ax2+bx+12的图象的顶点在第一象限，∴−b2a>0，12−b24a>0，将a =2t−16，b =2t+26代入上式得：2t+262×2t−16>0，解得：−1<t <12， 12−(2t+26)24(2t−16)>0，解得：t <12，故：−1<t <12， 故选：D ．二次函数的图象过点(−1,0)，则a −b +12=0，而t =2a +b ，则a =2t−16，b =2t+26，二次函数的图象的顶点在第一象限，则−b2a >0，12−b 24a>0，即可求解．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用13.【答案】x 1=−2，x 2=5【解析】解：关于x 的一元二次方程a(x −1)2+c =b −bx 变形为a(x −1)2+b(x −1)+c =0， 把抛物线y =ax 2+bx +c 沿x 轴向右平移1个单位得到y =a(x −1)2+b(x −1)+c ， 因为抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A(−3,0)、B(4,0)，所以抛物线y =a(x −1)2+b(x −1)+c 与x 轴的两交点坐标为(−2,0)，(5,0)， 所以一元二次方程a(x −1)2+b(x −1)+c =0的解为x 1=−2，x 2=5． 故答案为x 1=−2，x 2=5．本题考查了二次函数图象于几何变换，二次函数与一元二次方程.由于抛物线y =ax 2+bx +c 沿x 轴向右平移1个单位得到y =a(x −1)2+b(x −1)+c ，从而得到抛物线y =a(x −1)2+b(x −1)+c 与x 轴的两交点坐标为(−2,0)，(5,0)，然后根据抛物线与x 轴的交点问题得到一元二次方程a(x −1)2+b(x −1)+c =0的解．14.【答案】直线x =2【解析】解：∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(−2,0)和(6,0)两点， ∴其对称轴为：直线x =−2+62=2．故答案为：直线x =2．根据抛物线的与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半． 本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等．15.【答案】0或14或−2【解析】解：∵关于x 的函数y =ax 2−(2a +1)x +a +2的图象与坐标轴有两个交点， ∴可分如下三种情况：①当函数为一次函数时，有a =0，∴a =0，此时y =−x +2，与坐标轴有两个交点；②当函数为二次函数时(a ≠0)，与x 轴有一个交点，与y 轴有一个交点，∵函数与x 轴有一个交点， ∴△=0，∴(2a +1)2−4a(a +2)=0， 解得a =14；③函数为二次函数时(a ≠0)，与x 轴有两个交点，与y 轴的交点和x 轴上的一个交点重合，即图象经过原点，∴a +2=0， ∴a =−2．当a =−2，此时y =−2x 2−3x ，与坐标轴有两个交点． 故答案为0或14或−2．由题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x 轴有一个交点，与y 轴有一个交点；③函数为二次函数，与y 轴的交点也在x 轴上，即图象经过原点．针对每一种情况，分别求出a 的值．此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x 轴无交点，其图象在x 轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．16.【答案】2019【解析】解：∵抛物线y =x 2−x −1与x 轴的一个交点为(m,0)，∴m 2−m −1=0， ∴m 2−m =1，∴m 2−m +2018=1+2018=2019． 故答案为2019．先把交点坐标代入抛物线解析式得到m 2−m =1，然后利用整体代入的方法计算代数式m 2−m +2018的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．17.【答案】−1或3【解析】解：物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，则一元二次方程x2+bx+c=0的根为：x=−1或3，故答案为：−1或3．物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为(−1,0)，(3,0)，则一元二次方程x2+bx+c=0的根为：x=−1或3，即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求确实理解函数与x轴交点与一元二次方程根之间对应的关系．18.【答案】解：(1)由对称轴为x=1，得m=−2，y=x2+mx+12m−1=x2−2x−2=(x−1)2−3，所以顶点坐标为(1,−3)；(2)由x2+mx+12m−1=0，∵Δ=m2−4(12m−1)=(m−1)2+3>0，∴方程x2+mx+12m−1=0有两个不相等的实数根，∴不论m是何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(3)设x1,x2是方程x2+mx+12m−1=0两个根，则x1+x2=−m,x1x2=12m−1，∴l=|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√m2−2m+4=√(m−1)2+3，∴当m=1时，l取最小值√3.【解析】【试题解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，(1)由对称轴公式可求解；(2)由二次函数与一元二次方程的关系，借助根的判别式可求解；(3)由一元二次方程的根与系数的关系可求得．19.【答案】解：(1)一元二次方程的根的判别式≥0．Δ[−(m−1)]2−4m·(−1)=m2−2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2≥0∴m的取值范围为不等于0的任意实数(2)设x1，x2为抛物线y=mx2−(m−1)x−1与x轴交点的横坐标．y=mx2−(m−1)x−1令y=0，则mx2−(m−1)x−1=0由求根公式得x1=1，x2=−1m∵AB=3即|x1−x2|=3，∴I1−x2|=3，∴x2=−2或x2=4，∴m=12或m=−14．【解析】【试题解析】本题考查了根的差别式，根与系数关系，二次函数与一元二次方程的关系：有实数根则Δ≥0，无实数根则Δ<0(1)先计算判别式可得到Δ≥0，列出关于m的不等式，得到(m+1)2≥0，可得到所求；(2)根据抛物线与x轴有两个公共点，可令y=0，利用一元一次方程中根与系数关系，列出方程，解出m 的值．20.【答案】解：(1)∵两函数图象都经过点(−2,6)，∴{4m+n=6−2n+m=6，∴m =2，n =−2，∴y 1=2x 2−2，y 2=−2x +2；(2)令y 2=0，得y 2=nx +m(nm ≠0)的图象与x 轴的交点为(−mn ,0)， ①∵两函数图象都经过x 轴上同一点， ∴y 1=mx 2+n 的图象也过(−mn ,0)， ∴m ×(−mn )2+n =0，nm ≠0， ∴m n=−1；②由①知m =−n ，∴y 1=mx 2−m ，y 2=−mx +m ，∴y 1−y 2=mx 2+mx −2m =m(x −1)(x +2)=m(x +12)2−94m ， ∵x >1，∴(x −1)(x +2)>0，∴当m >0时y 1−y 2>0，即y 1>y 2， 当m <0时y 1−y 2<0，即y 1<y 2．【解析】(1)由两函数图象都经过点(−2,6)，得到关于m ，n 的二元一次方程组，代入函数中即可求解； (2)①由已知得y 2=nx +m(nm ≠0)的图象与x 轴的交点为(−mn ,0)，进而得到y 1=mx 2+n 的图象也过(−mn ,0)，从而列出等式得出m 和n 的关系； ②根据m n =−1及作差法分类讨论即可求解．本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，解决本题的关键在于利用作差法比较大小，本题属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线y 1=ax 2+bx +c(a ≠0,a ≠c)与x 轴交于点A (1,0)，∴a +b +c =0．把a =1，c =3代入上式，得1+b +3=0． 解得b =−4．∴y 1=x 2−4x +3=(x −2)2−1． ∴抛物线的顶点B 的坐标是(2,−1)；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a +b +c =0，则b =−a −c ． 则抛物线y 1=ax 2+bx +c =ax 2+(−a −c)x +c ．方程ax 2+(−a −c)x +c =0的两个根是x 1=1，x 2=ca ． ∵a ≠c ，∴抛物线y 1=ax 2+bx +c 与x 轴的另一个公共点的坐标是(ca ,0)；(Ⅲ)∵C(ca ，b +8)在抛物线上，由(Ⅱ)知(ca ,0)也在抛物线上， ∴b +8=0，即b =−8， ∵a +c =−b ， ∴c =8−a①．由y 1=ax 2−8x +c 得到顶点B 的坐标是(4a ,c −16a).把C 点代入直线解析式y 2=2x +m 得：0=2c a+m ．m =−2ca ． 把B(4a ,c −16a)代入y 2=2x −2ca，得c −16a=2×4a −2c a.②联立①、②并求解得：a =2，c =6或a =4，c =4． ∵a ≠c ． ∴a =2，c =6．∴抛物线表达式为：y 1=2x 2−8x +6，A 、B 、C 点的坐标分别为(1,0)、(2,−2)、(3,0) 当x ≥1时，y 1的最小值是−2，无最大值． ∴y 1的取值范围为：y 1≥−2．【解析】(Ⅰ)利用待定系数法确定函数解析式即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+b+c=0，则b=−a−c.则利用根与系数的关系求得方程ax2+(−a−c)x+c的两个根是x1=1，x2=ca.从而求得抛物线与x轴的交点；(Ⅲ)根据点C(ca ,b+8)和(ca,0)都在抛物线上知b+8=0，即b=−8，求函数表达式即可求解．此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．。